Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk54 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk54 39824
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 10, p. 120. 𝐺, 𝐼 stand for g, h. 𝑋 represents tau. (Contributed by NM, 26-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk5.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk5.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk5.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
cdlemk5.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
cdlemk5.x 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜π‘ƒ) = π‘Œ))
Assertion
Ref Expression
cdlemk54 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹) = ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹) ∘ ⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹))
Distinct variable groups:   ∧ ,𝑔   ∨ ,𝑔   𝐡,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ∧ ,𝑏,𝑧   ≀ ,𝑏   𝑧,𝑔, ≀   ∨ ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐡,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   π‘Š,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,π‘Œ   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,𝑔,𝑧   𝑗,𝑏,𝑔,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐡(𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑅(𝑗)   𝑇(𝑗)   𝐹(𝑗)   𝐺(𝑗)   𝐻(𝑗)   𝐼(𝑗)   ∨ (𝑗)   𝐾(𝑗)   ≀ (𝑗)   ∧ (𝑗)   𝑁(𝑗)   π‘Š(𝑗)   𝑋(𝑧,𝑔,𝑗,𝑏)   π‘Œ(𝑔,𝑗,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑗,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk54
StepHypRef Expression
1 coass 6264 . . 3 ((𝐺 ∘ 𝐼) ∘ 𝑗) = (𝐺 ∘ (𝐼 ∘ 𝑗))
2 csbeq1 3896 . . 3 (((𝐺 ∘ 𝐼) ∘ 𝑗) = (𝐺 ∘ (𝐼 ∘ 𝑗)) β†’ ⦋((𝐺 ∘ 𝐼) ∘ 𝑗) / π‘”β¦Œπ‘‹ = ⦋(𝐺 ∘ (𝐼 ∘ 𝑗)) / π‘”β¦Œπ‘‹)
31, 2ax-mp 5 . 2 ⦋((𝐺 ∘ 𝐼) ∘ 𝑗) / π‘”β¦Œπ‘‹ = ⦋(𝐺 ∘ (𝐼 ∘ 𝑗)) / π‘”β¦Œπ‘‹
4 simp1 1136 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)))
5 simp21 1206 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇))
6 simp1l 1197 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
7 simp22 1207 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
8 simp31l 1296 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ 𝐼 ∈ 𝑇)
9 cdlemk5.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
10 cdlemk5.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
119, 10ltrnco 39585 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) β†’ (𝐺 ∘ 𝐼) ∈ 𝑇)
126, 7, 8, 11syl3anc 1371 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (𝐺 ∘ 𝐼) ∈ 𝑇)
13 simp23 1208 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
14 simp32 1210 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ 𝑗 ∈ 𝑇)
15 simp333 1328 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼)))
1615necomd 2996 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼)) β‰  (π‘…β€˜π‘—))
17 cdlemk5.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
18 cdlemk5.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
19 cdlemk5.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
20 cdlemk5.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
21 cdlemk5.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
22 cdlemk5.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
23 cdlemk5.z . . . 4 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
24 cdlemk5.y . . . 4 π‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
25 cdlemk5.x . . . 4 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜π‘ƒ) = π‘Œ))
2617, 18, 19, 20, 21, 9, 10, 22, 23, 24, 25cdlemk53 39823 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼)) β‰  (π‘…β€˜π‘—))) β†’ ⦋((𝐺 ∘ 𝐼) ∘ 𝑗) / π‘”β¦Œπ‘‹ = (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹))
274, 5, 12, 13, 14, 16, 26syl132anc 1388 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ ⦋((𝐺 ∘ 𝐼) ∘ 𝑗) / π‘”β¦Œπ‘‹ = (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹))
28 simp2 1137 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)))
299, 10ltrnco 39585 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇) β†’ (𝐼 ∘ 𝑗) ∈ 𝑇)
306, 8, 14, 29syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (𝐼 ∘ 𝑗) ∈ 𝑇)
31 simp31r 1297 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ))
32 simp332 1327 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ))
3332, 31neeqtrd 3010 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΌ))
3433necomd 2996 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (π‘…β€˜πΌ) β‰  (π‘…β€˜π‘—))
35 simp331 1326 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ 𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
3617, 9, 10, 22trlcone 39594 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΌ) β‰  (π‘…β€˜π‘—) ∧ 𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜πΌ) β‰  (π‘…β€˜(𝐼 ∘ 𝑗)))
376, 8, 14, 34, 35, 36syl122anc 1379 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (π‘…β€˜πΌ) β‰  (π‘…β€˜(𝐼 ∘ 𝑗)))
3831, 37eqnetrd 3008 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜(𝐼 ∘ 𝑗)))
3917, 18, 19, 20, 21, 9, 10, 22, 23, 24, 25cdlemk53 39823 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∘ 𝑗) ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜(𝐼 ∘ 𝑗)))) β†’ ⦋(𝐺 ∘ (𝐼 ∘ 𝑗)) / π‘”β¦Œπ‘‹ = (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋(𝐼 ∘ 𝑗) / π‘”β¦Œπ‘‹))
404, 28, 30, 38, 39syl112anc 1374 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ ⦋(𝐺 ∘ (𝐼 ∘ 𝑗)) / π‘”β¦Œπ‘‹ = (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋(𝐼 ∘ 𝑗) / π‘”β¦Œπ‘‹))
4117, 18, 19, 20, 21, 9, 10, 22, 23, 24, 25cdlemk53 39823 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΌ) β‰  (π‘…β€˜π‘—))) β†’ ⦋(𝐼 ∘ 𝑗) / π‘”β¦Œπ‘‹ = (⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹))
424, 5, 8, 13, 14, 34, 41syl132anc 1388 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ ⦋(𝐼 ∘ 𝑗) / π‘”β¦Œπ‘‹ = (⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹))
4342coeq2d 5862 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋(𝐼 ∘ 𝑗) / π‘”β¦Œπ‘‹) = (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ (⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹)))
44 coass 6264 . . . 4 ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹) ∘ ⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹) = (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ (⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹))
4543, 44eqtr4di 2790 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋(𝐼 ∘ 𝑗) / π‘”β¦Œπ‘‹) = ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹) ∘ ⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹))
4640, 45eqtrd 2772 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ ⦋(𝐺 ∘ (𝐼 ∘ 𝑗)) / π‘”β¦Œπ‘‹ = ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹) ∘ ⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹))
473, 27, 463eqtr3a 2796 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΌ)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ (π‘…β€˜π‘—) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐼))))) β†’ (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹) = ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹) ∘ ⦋𝑗 / π‘”β¦Œπ‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  β¦‹csb 3893   class class class wbr 5148   I cid 5573  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  β„©crio 7363  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  lecple 17203  joincjn 18263  meetcmee 18264  Atomscatm 38128  HLchlt 38215  LHypclh 38850  LTrncltrn 38967  trLctrl 39024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-riotaBAD 37818
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8257  df-map 8821  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-lvols 38366  df-lines 38367  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025
This theorem is referenced by:  cdlemk55a  39825
  Copyright terms: Public domain W3C validator