Theorem cdlemk54 40960

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 10, p. 120. 𝐺, 𝐼 stand for g, h. 𝑋 represents tau. (Contributed by NM, 26-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk5.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
cdlemk5.x	⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
cdlemk54	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋) = ((⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋) ∘ ⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋))

Distinct variable groups:   ∧ ,𝑔   ∨ ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ∧ ,𝑏,𝑧   ≤ ,𝑏   𝑧,𝑔, ≤   ∨ ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,𝑔,𝑧   𝑗,𝑏,𝑔,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑅(𝑗)   𝑇(𝑗)   𝐹(𝑗)   𝐺(𝑗)   𝐻(𝑗)   𝐼(𝑗)   ∨ (𝑗)   𝐾(𝑗)   ≤ (𝑗)   ∧ (𝑗)   𝑁(𝑗)   𝑊(𝑗)   𝑋(𝑧,𝑔,𝑗,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑗,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑗,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk54

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coass 6285	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∘ 𝐼) ∘ 𝑗) = (𝐺 ∘ (𝐼 ∘ 𝑗))
2		csbeq1 3902	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∘ 𝐼) ∘ 𝑗) = (𝐺 ∘ (𝐼 ∘ 𝑗)) → ⦋((𝐺 ∘ 𝐼) ∘ 𝑗) / 𝑔⦌𝑋 = ⦋(𝐺 ∘ (𝐼 ∘ 𝑗)) / 𝑔⦌𝑋)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ⦋((𝐺 ∘ 𝐼) ∘ 𝑗) / 𝑔⦌𝑋 = ⦋(𝐺 ∘ (𝐼 ∘ 𝑗)) / 𝑔⦌𝑋
4		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)))
5		simp21 1207	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇))
6		simp1l 1198	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		simp22 1208	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
8		simp31l 1297	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → 𝐼 ∈ 𝑇)
9		cdlemk5.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10		cdlemk5.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11	9, 10	ltrnco 40721	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) → (𝐺 ∘ 𝐼) ∈ 𝑇)
12	6, 7, 8, 11	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (𝐺 ∘ 𝐼) ∈ 𝑇)
13		simp23 1209	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
14		simp32 1211	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → 𝑗 ∈ 𝑇)
15		simp333 1329	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼)))
16	15	necomd 2996	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼)) ≠ (𝑅‘𝑗))
17		cdlemk5.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
18		cdlemk5.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
19		cdlemk5.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
20		cdlemk5.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
21		cdlemk5.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
22		cdlemk5.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
23		cdlemk5.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
24		cdlemk5.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
25		cdlemk5.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))
26	17, 18, 19, 20, 21, 9, 10, 22, 23, 24, 25	cdlemk53 40959	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼)) ≠ (𝑅‘𝑗))) → ⦋((𝐺 ∘ 𝐼) ∘ 𝑗) / 𝑔⦌𝑋 = (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋))
27	4, 5, 12, 13, 14, 16, 26	syl132anc 1390	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → ⦋((𝐺 ∘ 𝐼) ∘ 𝑗) / 𝑔⦌𝑋 = (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋))
28		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)))
29	9, 10	ltrnco 40721	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇) → (𝐼 ∘ 𝑗) ∈ 𝑇)
30	6, 8, 14, 29	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (𝐼 ∘ 𝑗) ∈ 𝑇)
31		simp31r 1298	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼))
32		simp332 1328	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺))
33	32, 31	neeqtrd 3010	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐼))
34	33	necomd 2996	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (𝑅‘𝐼) ≠ (𝑅‘𝑗))
35		simp331 1327	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵))
36	17, 9, 10, 22	trlcone 40730	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐼) ≠ (𝑅‘𝑗) ∧ 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘𝐼) ≠ (𝑅‘(𝐼 ∘ 𝑗)))
37	6, 8, 14, 34, 35, 36	syl122anc 1381	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (𝑅‘𝐼) ≠ (𝑅‘(𝐼 ∘ 𝑗)))
38	31, 37	eqnetrd 3008	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘(𝐼 ∘ 𝑗)))
39	17, 18, 19, 20, 21, 9, 10, 22, 23, 24, 25	cdlemk53 40959	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∘ 𝑗) ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘(𝐼 ∘ 𝑗)))) → ⦋(𝐺 ∘ (𝐼 ∘ 𝑗)) / 𝑔⦌𝑋 = (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋(𝐼 ∘ 𝑗) / 𝑔⦌𝑋))
40	4, 28, 30, 38, 39	syl112anc 1376	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → ⦋(𝐺 ∘ (𝐼 ∘ 𝑗)) / 𝑔⦌𝑋 = (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋(𝐼 ∘ 𝑗) / 𝑔⦌𝑋))
41	17, 18, 19, 20, 21, 9, 10, 22, 23, 24, 25	cdlemk53 40959	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐼) ≠ (𝑅‘𝑗))) → ⦋(𝐼 ∘ 𝑗) / 𝑔⦌𝑋 = (⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋))
42	4, 5, 8, 13, 14, 34, 41	syl132anc 1390	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → ⦋(𝐼 ∘ 𝑗) / 𝑔⦌𝑋 = (⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋))
43	42	coeq2d 5873	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋(𝐼 ∘ 𝑗) / 𝑔⦌𝑋) = (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ (⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋)))
44		coass 6285	. . . 4 ⊢ ((⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋) ∘ ⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋) = (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ (⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋))
45	43, 44	eqtr4di 2795	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋(𝐼 ∘ 𝑗) / 𝑔⦌𝑋) = ((⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋) ∘ ⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋))
46	40, 45	eqtrd 2777	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → ⦋(𝐺 ∘ (𝐼 ∘ 𝑗)) / 𝑔⦌𝑋 = ((⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋) ∘ ⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋))
47	3, 27, 46	3eqtr3a 2801	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ (𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ (𝑅‘𝑗) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐼))))) → (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋) = ((⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋) ∘ ⦋𝑗 / 𝑔⦌𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ⦋csb 3899   class class class wbr 5143   I cid 5577  ^◡ccnv 5684   ↾ cres 5687   ∘ ccom 5689  ‘cfv 6561  ℩crio 7387  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  joincjn 18357  meetcmee 18358  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  LHypclh 39986  LTrncltrn 40103  trLctrl 40160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-riotaBAD 38954

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-undef 8298  df-map 8868  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161

This theorem is referenced by:  cdlemk55a  40961