MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfre 24547
Description: The derivative of a real function is real. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvfre ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)

Proof of Theorem dvfre
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvf 24504 . . 3 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
2 ffn 6513 . . 3 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ → (ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹))
31, 2mp1i 13 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹))
41ffvelrni 6849 . . . . 5 (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
54adantl 484 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
6 simpr 487 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
7 fvco3 6759 . . . . . 6 (((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((∗ ∘ (ℝ D 𝐹))‘𝑥) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
81, 6, 7sylancr 589 . . . . 5 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((∗ ∘ (ℝ D 𝐹))‘𝑥) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
9 ax-resscn 10593 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
10 fss 6526 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
119, 10mpan2 689 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
12 dvcj 24546 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)))
1311, 12sylan 582 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)))
14 ffvelrn 6848 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
1514adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
1615cjred 14584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (∗‘(𝐹𝑦)) = (𝐹𝑦))
1716mpteq2dva 5160 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦𝐴 ↦ (∗‘(𝐹𝑦))) = (𝑦𝐴 ↦ (𝐹𝑦)))
1815recnd 10668 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
19 simpl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2019feqmptd 6732 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 = (𝑦𝐴 ↦ (𝐹𝑦)))
21 cjf 14462 . . . . . . . . . . . . 13 ∗:ℂ⟶ℂ
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ∗:ℂ⟶ℂ)
2322feqmptd 6732 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ∗ = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘𝑧)))
24 fveq2 6669 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝐹𝑦) → (∗‘𝑧) = (∗‘(𝐹𝑦)))
2518, 20, 23, 24fmptco 6890 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ 𝐹) = (𝑦𝐴 ↦ (∗‘(𝐹𝑦))))
2617, 25, 203eqtr4d 2866 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ 𝐹) = 𝐹)
2726oveq2d 7171 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (ℝ D 𝐹))
2813, 27eqtr3d 2858 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)) = (ℝ D 𝐹))
2928fveq1d 6671 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((∗ ∘ (ℝ D 𝐹))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
3029adantr 483 . . . . 5 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((∗ ∘ (ℝ D 𝐹))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
318, 30eqtr3d 2858 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
325, 31cjrebd 14560 . . 3 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
3332ralrimiva 3182 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ∀𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
34 ffnfv 6881 . 2 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ ((ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ))
353, 33, 34sylanbrc 585 1 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wral 3138  wss 3935  cmpt 5145  dom cdm 5554  ccom 5558   Fn wfn 6349  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7155  cc 10534  cr 10535  ccj 14454   D cdv 24460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ioo 12741  df-icc 12744  df-fz 12892  df-seq 13369  df-exp 13429  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-rest 16695  df-topn 16696  df-topgen 16716  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-fbas 20541  df-fg 20542  df-cnfld 20545  df-top 21501  df-topon 21518  df-topsp 21540  df-bases 21553  df-cld 21626  df-ntr 21627  df-cls 21628  df-nei 21705  df-lp 21743  df-perf 21744  df-cn 21834  df-cnp 21835  df-haus 21922  df-fil 22453  df-fm 22545  df-flim 22546  df-flf 22547  df-xms 22929  df-ms 22930  df-cncf 23485  df-limc 24463  df-dv 24464
This theorem is referenced by:  dvnfre  24548  dvferm1lem  24580  dvferm1  24581  dvferm2lem  24582  dvferm2  24583  dvferm  24584  c1lip2  24594  dvle  24603  dvivthlem1  24604  dvivth  24606  dvne0  24607  dvfsumle  24617  dvfsumge  24618  dvmptrecl  24620  dvbdfbdioolem1  42213  dvbdfbdioolem2  42214  ioodvbdlimc1lem1  42216  ioodvbdlimc1lem2  42217  ioodvbdlimc2lem  42219  fourierdlem58  42450  fourierdlem59  42451  fourierdlem60  42452  fourierdlem61  42453  fourierdlem94  42486  fourierdlem97  42489  fourierdlem112  42504  fourierdlem113  42505
  Copyright terms: Public domain W3C validator