Theorem dvfre 24550

Description: The derivative of a real function is real. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvfre	⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)

Proof of Theorem dvfre

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvf 24507	. . 3 ⊢ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
2		ffn 6516	. . 3 ⊢ ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ → (ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹))
3	1, 2	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹))
4	1	ffvelrni 6852	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
5	4	adantl 484	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
6		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
7		fvco3 6762	. . . . . 6 ⊢ (((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((∗ ∘ (ℝ D 𝐹))‘𝑥) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
8	1, 6, 7	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((∗ ∘ (ℝ D 𝐹))‘𝑥) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
9		ax-resscn 10596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
10		fss 6529	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
11	9, 10	mpan2 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
12		dvcj 24549	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)))
13	11, 12	sylan 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)))
14		ffvelrn 6851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
15	14	adantlr 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
16	15	cjred 14587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∗‘(𝐹‘𝑦)) = (𝐹‘𝑦))
17	16	mpteq2dva 5163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (∗‘(𝐹‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑦)))
18	15	recnd 10671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
19		simpl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
20	19	feqmptd 6735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑦)))
21		cjf 14465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ∗:ℂ⟶ℂ)
23	22	feqmptd 6735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ∗ = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘𝑧)))
24		fveq2 6672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑦) → (∗‘𝑧) = (∗‘(𝐹‘𝑦)))
25	18, 20, 23, 24	fmptco 6893	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (∗‘(𝐹‘𝑦))))
26	17, 25, 20	3eqtr4d 2868	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ 𝐹) = 𝐹)
27	26	oveq2d 7174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (ℝ D 𝐹))
28	13, 27	eqtr3d 2860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)) = (ℝ D 𝐹))
29	28	fveq1d 6674	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((∗ ∘ (ℝ D 𝐹))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
30	29	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((∗ ∘ (ℝ D 𝐹))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
31	8, 30	eqtr3d 2860	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
32	5, 31	cjrebd 14563	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
33	32	ralrimiva 3184	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ∀𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
34		ffnfv 6884	. 2 ⊢ ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ ((ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ))
35	3, 33, 34	sylanbrc 585	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140   ⊆ wss 3938   ↦ cmpt 5148  dom cdm 5557   ∘ ccom 5561   Fn wfn 6352  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  ∗ccj 14457   D cdv 24463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-icc 12748  df-fz 12896  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-rest 16698  df-topn 16699  df-topgen 16719  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-fbas 20544  df-fg 20545  df-cnfld 20548  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cld 21629  df-ntr 21630  df-cls 21631  df-nei 21708  df-lp 21746  df-perf 21747  df-cn 21837  df-cnp 21838  df-haus 21925  df-fil 22456  df-fm 22548  df-flim 22549  df-flf 22550  df-xms 22932  df-ms 22933  df-cncf 23488  df-limc 24466  df-dv 24467

This theorem is referenced by:  dvnfre  24551  dvferm1lem  24583  dvferm1  24584  dvferm2lem  24585  dvferm2  24586  dvferm  24587  c1lip2  24597  dvle  24606  dvivthlem1  24607  dvivth  24609  dvne0  24610  dvfsumle  24620  dvfsumge  24621  dvmptrecl  24623  dvbdfbdioolem1  42220  dvbdfbdioolem2  42221  ioodvbdlimc1lem1  42223  ioodvbdlimc1lem2  42224  ioodvbdlimc2lem  42226  fourierdlem58  42456  fourierdlem59  42457  fourierdlem60  42458  fourierdlem61  42459  fourierdlem94  42492  fourierdlem97  42495  fourierdlem112  42510  fourierdlem113  42511