MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfre Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvfre 25702
Description: The derivative of a real function is real. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvfre ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
Proof of Theorem dvfre
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvf 25658 . . 3 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚
2 ffn 6718 . . 3 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚ β†’ (ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹))
31, 2mp1i 13 . 2 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹))
41ffvelcdmi 7086 . . . . 5 (π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
54adantl 480 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
6 simpr 483 . . . . . 6 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹))
7 fvco3 6991 . . . . . 6 (((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ ((βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹))β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
81, 6, 7sylancr 585 . . . . 5 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ ((βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹))β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
9 ax-resscn 11171 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† β„‚
10 fss 6735 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
119, 10mpan2 687 . . . . . . . . 9 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
12 dvcj 25701 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) = (βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹)))
1311, 12sylan 578 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) = (βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹)))
14 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
1514adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
1615cjred 15179 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) = (πΉβ€˜π‘¦))
1716mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
1815recnd 11248 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
19 simpl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
2019feqmptd 6961 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
21 cjf 15057 . . . . . . . . . . . . 13 βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚)
2322feqmptd 6961 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ βˆ— = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (βˆ—β€˜π‘§)))
24 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘¦) β†’ (βˆ—β€˜π‘§) = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘¦)))
2518, 20, 23, 24fmptco 7130 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (βˆ— ∘ 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
2617, 25, 203eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (βˆ— ∘ 𝐹) = 𝐹)
2726oveq2d 7429 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) = (ℝ D 𝐹))
2813, 27eqtr3d 2772 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹)) = (ℝ D 𝐹))
2928fveq1d 6894 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ ((βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹))β€˜π‘₯) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
3029adantr 479 . . . . 5 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ ((βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹))β€˜π‘₯) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
318, 30eqtr3d 2772 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
325, 31cjrebd 15155 . . 3 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3332ralrimiva 3144 . 2 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
34 ffnfv 7121 . 2 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„ ↔ ((ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ℝ))
353, 33, 34sylanbrc 581 1 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   βŠ† wss 3949   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  β„‚cc 11112  β„cr 11113  βˆ—ccj 15049   D cdv 25614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-icc 13337  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14034  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-rest 17374  df-topn 17375  df-topgen 17395  df-psmet 21138  df-xmet 21139  df-met 21140  df-bl 21141  df-mopn 21142  df-fbas 21143  df-fg 21144  df-cnfld 21147  df-top 22618  df-topon 22635  df-topsp 22657  df-bases 22671  df-cld 22745  df-ntr 22746  df-cls 22747  df-nei 22824  df-lp 22862  df-perf 22863  df-cn 22953  df-cnp 22954  df-haus 23041  df-fil 23572  df-fm 23664  df-flim 23665  df-flf 23666  df-xms 24048  df-ms 24049  df-cncf 24620  df-limc 25617  df-dv 25618
This theorem is referenced by:  dvnfre  25703  dvferm1lem  25735  dvferm1  25736  dvferm2lem  25737  dvferm2  25738  dvferm  25739  c1lip2  25749  dvle  25758  dvivthlem1  25759  dvivth  25761  dvne0  25762  dvfsumle  25772  dvfsumge  25773  dvmptrecl  25775  gg-dvfsumle  35470  dvbdfbdioolem1  44944  dvbdfbdioolem2  44945  ioodvbdlimc1lem1  44947  ioodvbdlimc1lem2  44948  ioodvbdlimc2lem  44950  fourierdlem58  45180  fourierdlem59  45181  fourierdlem60  45182  fourierdlem61  45183  fourierdlem94  45216  fourierdlem97  45219  fourierdlem112  45234  fourierdlem113  45235
  Copyright terms: Public domain W3C validator