Theorem dvfre 25918

Description: The derivative of a real function is real. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvfre	⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)

Proof of Theorem dvfre

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvf 25874	. . 3 ⊢ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
2		ffn 6668	. . 3 ⊢ ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ → (ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹))
3	1, 2	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹))
4	1	ffvelcdmi 7035	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
7		fvco3 6939	. . . . . 6 ⊢ (((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((∗ ∘ (ℝ D 𝐹))‘𝑥) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
8	1, 6, 7	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((∗ ∘ (ℝ D 𝐹))‘𝑥) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
9		ax-resscn 11095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
10		fss 6684	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
11	9, 10	mpan2 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
12		dvcj 25917	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)))
13	11, 12	sylan 581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)))
14		ffvelcdm 7033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
15	14	adantlr 716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
16	15	cjred 15188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∗‘(𝐹‘𝑦)) = (𝐹‘𝑦))
17	16	mpteq2dva 5178	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (∗‘(𝐹‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑦)))
18	15	recnd 11173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
19		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
20	19	feqmptd 6908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑦)))
21		cjf 15066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ∗:ℂ⟶ℂ)
23	22	feqmptd 6908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ∗ = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘𝑧)))
24		fveq2 6840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑦) → (∗‘𝑧) = (∗‘(𝐹‘𝑦)))
25	18, 20, 23, 24	fmptco 7082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (∗‘(𝐹‘𝑦))))
26	17, 25, 20	3eqtr4d 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ 𝐹) = 𝐹)
27	26	oveq2d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (ℝ D 𝐹))
28	13, 27	eqtr3d 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)) = (ℝ D 𝐹))
29	28	fveq1d 6842	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((∗ ∘ (ℝ D 𝐹))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
30	29	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((∗ ∘ (ℝ D 𝐹))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
31	8, 30	eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
32	5, 31	cjrebd 15164	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
33	32	ralrimiva 3129	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ∀𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
34		ffnfv 7071	. 2 ⊢ ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ ((ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ))
35	3, 33, 34	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   ⊆ wss 3889   ↦ cmpt 5166  dom cdm 5631   ∘ ccom 5635   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  ∗ccj 15058   D cdv 25830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-icc 13305  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-rest 17385  df-topn 17386  df-topgen 17406  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-cncf 24845  df-limc 25833  df-dv 25834

This theorem is referenced by:  dvnfre  25919  dvferm1lem  25951  dvferm1  25952  dvferm2lem  25953  dvferm2  25954  dvferm  25955  c1lip2  25965  dvle  25974  dvivthlem1  25975  dvivth  25977  dvne0  25978  dvfsumle  25988  dvfsumge  25989  dvmptrecl  25991  dvbdfbdioolem1  46356  dvbdfbdioolem2  46357  ioodvbdlimc1lem1  46359  ioodvbdlimc1lem2  46360  ioodvbdlimc2lem  46362  fourierdlem58  46592  fourierdlem59  46593  fourierdlem60  46594  fourierdlem61  46595  fourierdlem94  46628  fourierdlem97  46631  fourierdlem112  46646  fourierdlem113  46647