MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfre Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvfre 25468
Description: The derivative of a real function is real. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvfre ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
Proof of Theorem dvfre
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvf 25424 . . 3 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚
2 ffn 6718 . . 3 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚ β†’ (ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹))
31, 2mp1i 13 . 2 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹))
41ffvelcdmi 7086 . . . . 5 (π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
54adantl 483 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
6 simpr 486 . . . . . 6 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹))
7 fvco3 6991 . . . . . 6 (((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ ((βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹))β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
81, 6, 7sylancr 588 . . . . 5 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ ((βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹))β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
9 ax-resscn 11167 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† β„‚
10 fss 6735 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
119, 10mpan2 690 . . . . . . . . 9 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
12 dvcj 25467 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) = (βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹)))
1311, 12sylan 581 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) = (βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹)))
14 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
1514adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
1615cjred 15173 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) = (πΉβ€˜π‘¦))
1716mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
1815recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
19 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
2019feqmptd 6961 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
21 cjf 15051 . . . . . . . . . . . . 13 βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚)
2322feqmptd 6961 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ βˆ— = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (βˆ—β€˜π‘§)))
24 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘¦) β†’ (βˆ—β€˜π‘§) = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘¦)))
2518, 20, 23, 24fmptco 7127 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (βˆ— ∘ 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
2617, 25, 203eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (βˆ— ∘ 𝐹) = 𝐹)
2726oveq2d 7425 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) = (ℝ D 𝐹))
2813, 27eqtr3d 2775 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹)) = (ℝ D 𝐹))
2928fveq1d 6894 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ ((βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹))β€˜π‘₯) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
3029adantr 482 . . . . 5 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ ((βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹))β€˜π‘₯) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
318, 30eqtr3d 2775 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
325, 31cjrebd 15149 . . 3 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3332ralrimiva 3147 . 2 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
34 ffnfv 7118 . 2 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„ ↔ ((ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ ℝ))
353, 33, 34sylanbrc 584 1 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   βŠ† wss 3949   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  βˆ—ccj 15043   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  dvnfre  25469  dvferm1lem  25501  dvferm1  25502  dvferm2lem  25503  dvferm2  25504  dvferm  25505  c1lip2  25515  dvle  25524  dvivthlem1  25525  dvivth  25527  dvne0  25528  dvfsumle  25538  dvfsumge  25539  dvmptrecl  25541  gg-dvfsumle  35182  dvbdfbdioolem1  44644  dvbdfbdioolem2  44645  ioodvbdlimc1lem1  44647  ioodvbdlimc1lem2  44648  ioodvbdlimc2lem  44650  fourierdlem58  44880  fourierdlem59  44881  fourierdlem60  44882  fourierdlem61  44883  fourierdlem94  44916  fourierdlem97  44919  fourierdlem112  44934  fourierdlem113  44935
  Copyright terms: Public domain W3C validator