Theorem dvfre 25871

Description: The derivative of a real function is real. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvfre	⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)

Proof of Theorem dvfre

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvf 25824	. . 3 ⊢ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
2		ffn 6656	. . 3 ⊢ ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ → (ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹))
3	1, 2	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹))
4	1	ffvelcdmi 7021	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
7		fvco3 6926	. . . . . 6 ⊢ (((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((∗ ∘ (ℝ D 𝐹))‘𝑥) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
8	1, 6, 7	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((∗ ∘ (ℝ D 𝐹))‘𝑥) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
9		ax-resscn 11085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
10		fss 6672	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
11	9, 10	mpan2 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
12		dvcj 25870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)))
13	11, 12	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)))
14		ffvelcdm 7019	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
15	14	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
16	15	cjred 15151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∗‘(𝐹‘𝑦)) = (𝐹‘𝑦))
17	16	mpteq2dva 5188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (∗‘(𝐹‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑦)))
18	15	recnd 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
19		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
20	19	feqmptd 6895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑦)))
21		cjf 15029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ∗:ℂ⟶ℂ)
23	22	feqmptd 6895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ∗ = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘𝑧)))
24		fveq2 6826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑦) → (∗‘𝑧) = (∗‘(𝐹‘𝑦)))
25	18, 20, 23, 24	fmptco 7067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (∗‘(𝐹‘𝑦))))
26	17, 25, 20	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ 𝐹) = 𝐹)
27	26	oveq2d 7369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (ℝ D 𝐹))
28	13, 27	eqtr3d 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)) = (ℝ D 𝐹))
29	28	fveq1d 6828	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((∗ ∘ (ℝ D 𝐹))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
30	29	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((∗ ∘ (ℝ D 𝐹))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
31	8, 30	eqtr3d 2766	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
32	5, 31	cjrebd 15127	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
33	32	ralrimiva 3121	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ∀𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
34		ffnfv 7057	. 2 ⊢ ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ ((ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹) ∧ ∀𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ))
35	3, 33, 34	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3905   ↦ cmpt 5176  dom cdm 5623   ∘ ccom 5627   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  ∗ccj 15021   D cdv 25780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-icc 13273  df-fz 13429  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-rest 17344  df-topn 17345  df-topgen 17365  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24224  df-ms 24225  df-cncf 24787  df-limc 25783  df-dv 25784

This theorem is referenced by:  dvnfre  25872  dvferm1lem  25904  dvferm1  25905  dvferm2lem  25906  dvferm2  25907  dvferm  25908  c1lip2  25919  dvle  25928  dvivthlem1  25929  dvivth  25931  dvne0  25932  dvfsumle  25942  dvfsumleOLD  25943  dvfsumge  25944  dvmptrecl  25946  dvbdfbdioolem1  45913  dvbdfbdioolem2  45914  ioodvbdlimc1lem1  45916  ioodvbdlimc1lem2  45917  ioodvbdlimc2lem  45919  fourierdlem58  46149  fourierdlem59  46150  fourierdlem60  46151  fourierdlem61  46152  fourierdlem94  46185  fourierdlem97  46188  fourierdlem112  46203  fourierdlem113  46204