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Theorem cnfldfunOLD 21409
Description: Obsolete version of cnfldfun 21396 as of 27-Apr-2025. (Contributed by AV, 18-Nov-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnfldfunOLD Fun ℂfld

Proof of Theorem cnfldfunOLD
StepHypRef Expression
1 cnfldstrOLD 21399 . 2 fld Struct ⟨1, 13⟩
2 structn0fun 17185 . . 3 (ℂfld Struct ⟨1, 13⟩ → Fun (ℂfld ∖ {∅}))
3 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘ndx) ∈ V
4 cnex 11234 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ∈ V
53, 4opnzi 5485 . . . . . . . . . . . 12 ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ≠ ∅
65nesymi 2996 . . . . . . . . . . 11 ¬ ∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩
7 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . 13 (+g‘ndx) ∈ V
8 addex 13029 . . . . . . . . . . . . 13 + ∈ V
97, 8opnzi 5485 . . . . . . . . . . . 12 ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ≠ ∅
109nesymi 2996 . . . . . . . . . . 11 ¬ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩
11 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . 13 (.r‘ndx) ∈ V
12 mulex 13031 . . . . . . . . . . . . 13 · ∈ V
1311, 12opnzi 5485 . . . . . . . . . . . 12 ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ≠ ∅
1413nesymi 2996 . . . . . . . . . . 11 ¬ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩
15 3ioran 1105 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∨ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∨ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩) ↔ (¬ ∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩))
16 0ex 5313 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ V
1716eltp 4694 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ↔ (∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∨ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∨ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩))
1815, 17xchnxbir 333 . . . . . . . . . . 11 (¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ↔ (¬ ∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩))
196, 10, 14, 18mpbir3an 1340 . . . . . . . . . 10 ¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
20 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . 13 (*𝑟‘ndx) ∈ V
21 cjf 15140 . . . . . . . . . . . . . 14 ∗:ℂ⟶ℂ
22 fex 7246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ∈ V) → ∗ ∈ V)
2321, 4, 22mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 ∗ ∈ V
2420, 23opnzi 5485 . . . . . . . . . . . 12 ⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩ ≠ ∅
2524necomi 2993 . . . . . . . . . . 11 ∅ ≠ ⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩
26 nelsn 4671 . . . . . . . . . . 11 (∅ ≠ ⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩ → ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}
2819, 27pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
29 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopSet‘ndx) ∈ V
30 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . . 14 (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ V
3129, 30opnzi 5485 . . . . . . . . . . . . 13 ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ≠ ∅
3231nesymi 2996 . . . . . . . . . . . 12 ¬ ∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩
33 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . . 14 (le‘ndx) ∈ V
34 letsr 18651 . . . . . . . . . . . . . . 15 ≤ ∈ TosetRel
3534elexi 3501 . . . . . . . . . . . . . 14 ≤ ∈ V
3633, 35opnzi 5485 . . . . . . . . . . . . 13 ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ≠ ∅
3736nesymi 2996 . . . . . . . . . . . 12 ¬ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩
38 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . . 14 (dist‘ndx) ∈ V
39 absf 15373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 abs:ℂ⟶ℝ
40 fex 7246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
4139, 4, 40mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 abs ∈ V
42 subf 11508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
434, 4xpex 7772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℂ × ℂ) ∈ V
44 fex 7246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ (ℂ × ℂ) ∈ V) → − ∈ V)
4542, 43, 44mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 − ∈ V
4641, 45coex 7953 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ − ) ∈ V
4738, 46opnzi 5485 . . . . . . . . . . . . 13 ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩ ≠ ∅
4847nesymi 2996 . . . . . . . . . . . 12 ¬ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩
49 3ioran 1105 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ∨ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ∨ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩) ↔ (¬ ∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩))
5032, 37, 48, 49mpbir3an 1340 . . . . . . . . . . 11 ¬ (∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ∨ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ∨ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩)
5116eltp 4694 . . . . . . . . . . 11 (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ↔ (∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ∨ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ∨ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩))
5250, 51mtbir 323 . . . . . . . . . 10 ¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}
53 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . 13 (UnifSet‘ndx) ∈ V
54 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . 13 (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ V
5553, 54opnzi 5485 . . . . . . . . . . . 12 ⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩ ≠ ∅
5655necomi 2993 . . . . . . . . . . 11 ∅ ≠ ⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩
57 nelsn 4671 . . . . . . . . . . 11 (∅ ≠ ⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩ → ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}
5952, 58pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
6028, 59pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
61 ioran 985 . . . . . . . . 9 (¬ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ (¬ (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ ¬ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
62 ioran 985 . . . . . . . . . 10 (¬ (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ↔ (¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}))
63 ioran 985 . . . . . . . . . 10 (¬ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ↔ (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
6462, 63anbi12i 628 . . . . . . . . 9 ((¬ (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ ¬ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ ((¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
6561, 64bitri 275 . . . . . . . 8 (¬ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ ((¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
6660, 65mpbir 231 . . . . . . 7 ¬ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
67 dfcnfldOLD 21398 . . . . . . . . 9 fld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
6867eleq2i 2831 . . . . . . . 8 (∅ ∈ ℂfld ↔ ∅ ∈ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
69 elun 4163 . . . . . . . 8 (∅ ∈ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ (∅ ∈ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ ∅ ∈ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
70 elun 4163 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ↔ (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}))
71 elun 4163 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ↔ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7270, 71orbi12i 914 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ ∅ ∈ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
7368, 69, 723bitri 297 . . . . . . 7 (∅ ∈ ℂfld ↔ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
7466, 73mtbir 323 . . . . . 6 ¬ ∅ ∈ ℂfld
75 disjsn 4716 . . . . . 6 ((ℂfld ∩ {∅}) = ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ℂfld)
7674, 75mpbir 231 . . . . 5 (ℂfld ∩ {∅}) = ∅
77 disjdif2 4486 . . . . 5 ((ℂfld ∩ {∅}) = ∅ → (ℂfld ∖ {∅}) = ℂfld)
7876, 77ax-mp 5 . . . 4 (ℂfld ∖ {∅}) = ℂfld
7978funeqi 6589 . . 3 (Fun (ℂfld ∖ {∅}) ↔ Fun ℂfld)
802, 79sylib 218 . 2 (ℂfld Struct ⟨1, 13⟩ → Fun ℂfld)
811, 80ax-mp 5 1 Fun ℂfld
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 395  wo 847  w3o 1085  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  cin 3962  c0 4339  {csn 4631  {ctp 4635  cop 4637   class class class wbr 5148   × cxp 5687  ccom 5693  Fun wfun 6557  wf 6559  cfv 6563  cc 11151  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cle 11294  cmin 11490  3c3 12320  cdc 12731  ccj 15132  abscabs 15270   Struct cstr 17180  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  *𝑟cstv 17300  TopSetcts 17304  lecple 17305  distcds 17307  UnifSetcunif 17308   TosetRel ctsr 18623  MetOpencmopn 21372  metUnifcmetu 21373  fldccnfld 21382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-ps 18624  df-tsr 18625  df-cnfld 21383
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