Theorem dvmptcj 24252

Description: Function-builder for derivative, conjugate rule. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptcj.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptcj.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvmptcj.da	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
dvmptcj	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (∗‘𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (∗‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem dvmptcj

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptcj.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	fmpttd 6749	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
3		dvmptcj.da	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
4	3	dmeqd 5667	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = dom (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
5		dvmptcj.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6	5	ralrimiva 3151	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ 𝑉)
7		dmmptg 5978	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = 𝑋)
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = 𝑋)
9	4, 8	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = 𝑋)
10		dvbsss 24187	. . . 4 ⊢ dom (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) ⊆ ℝ
11	9, 10	syl6eqssr 3949	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
12		dvcj 24234	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))) = (∗ ∘ (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))))
13	2, 11, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (∗ ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))) = (∗ ∘ (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))))
14		cjf 14301	. . . . 5 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∗:ℂ⟶ℂ)
16	15, 1	cofmpt 6764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (∗‘𝐴)))
17	16	oveq2d 7039	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (∗ ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))) = (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (∗‘𝐴))))
18		reelprrecn 10482	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
20	19, 1, 5, 3	dvmptcl 24243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
21	15	feqmptd 6608	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∗ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (∗‘𝑦)))
22		fveq2 6545	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∗‘𝑦) = (∗‘𝐵))
23	20, 3, 21, 22	fmptco 6761	. 2 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (∗‘𝐵)))
24	13, 17, 23	3eqtr3d 2841	1 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (∗‘𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (∗‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ∀wral 3107   ⊆ wss 3865  {cpr 4480   ↦ cmpt 5047  dom cdm 5450   ∘ ccom 5454  ⟶wf 6228  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  ℂcc 10388  ℝcr 10389  ∗ccj 14293   D cdv 24148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fi 8728  df-sup 8759  df-inf 8760  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-q 12202  df-rp 12244  df-xneg 12361  df-xadd 12362  df-xmul 12363  df-ioo 12596  df-icc 12599  df-fz 12747  df-seq 13224  df-exp 13284  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-starv 16413  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-unif 16421  df-rest 16529  df-topn 16530  df-topgen 16550  df-psmet 20223  df-xmet 20224  df-met 20225  df-bl 20226  df-mopn 20227  df-fbas 20228  df-fg 20229  df-cnfld 20232  df-top 21190  df-topon 21207  df-topsp 21229  df-bases 21242  df-cld 21315  df-ntr 21316  df-cls 21317  df-nei 21394  df-lp 21432  df-perf 21433  df-cn 21523  df-cnp 21524  df-haus 21611  df-fil 22142  df-fm 22234  df-flim 22235  df-flf 22236  df-xms 22617  df-ms 22618  df-cncf 23173  df-limc 24151  df-dv 24152

This theorem is referenced by:  dvmptre  24253  dvmptim  24254