MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coecj Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem coecj 26028
Description: Double conjugation of a polynomial causes the coefficients to be conjugated. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plycj.1 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
plycj.2 𝐺 = ((βˆ— ∘ 𝐹) ∘ βˆ—)
coecj.3 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
coecj (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (coeffβ€˜πΊ) = (βˆ— ∘ 𝐴))
Proof of Theorem coecj
Dummy variables π‘₯ π‘˜ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plycj.1 . . 3 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
2 plycj.2 . . 3 𝐺 = ((βˆ— ∘ 𝐹) ∘ βˆ—)
3 cjcl 15056 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (βˆ—β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
43adantl 480 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
5 plyssc 25949 . . . 4 (Polyβ€˜π‘†) βŠ† (Polyβ€˜β„‚)
65sseli 3977 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
71, 2, 4, 6plycj 26027 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
8 dgrcl 25982 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
91, 8eqeltrid 2835 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
10 cjf 15055 . . 3 βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚
11 coecj.3 . . . 4 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
1211coef3 25981 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
13 fco 6740 . . 3 ((βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (βˆ— ∘ 𝐴):β„•0βŸΆβ„‚)
1410, 12, 13sylancr 585 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (βˆ— ∘ 𝐴):β„•0βŸΆβ„‚)
15 fvco3 6989 . . . . . . . . 9 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) = (βˆ—β€˜(π΄β€˜π‘˜)))
1612, 15sylan 578 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) = (βˆ—β€˜(π΄β€˜π‘˜)))
17 cj0 15109 . . . . . . . . . 10 (βˆ—β€˜0) = 0
1817eqcomi 2739 . . . . . . . . 9 0 = (βˆ—β€˜0)
1918a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 0 = (βˆ—β€˜0))
2016, 19eqeq12d 2746 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) = 0 ↔ (βˆ—β€˜(π΄β€˜π‘˜)) = (βˆ—β€˜0)))
2112ffvelcdmda 7085 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
22 0cnd 11211 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ β„‚)
23 cj11 15113 . . . . . . . 8 (((π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ ((βˆ—β€˜(π΄β€˜π‘˜)) = (βˆ—β€˜0) ↔ (π΄β€˜π‘˜) = 0))
2421, 22, 23syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((βˆ—β€˜(π΄β€˜π‘˜)) = (βˆ—β€˜0) ↔ (π΄β€˜π‘˜) = 0))
2520, 24bitrd 278 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) = 0 ↔ (π΄β€˜π‘˜) = 0))
2625necon3bid 2983 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) β‰  0 ↔ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0))
2711, 1dgrub2 25984 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
28 plyco0 25941 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ ((𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)))
299, 12, 28syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ ((𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)))
3027, 29mpbid 231 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
3130r19.21bi 3246 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
3226, 31sylbid 239 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
3332ralrimiva 3144 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
34 plyco0 25941 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (βˆ— ∘ 𝐴):β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (((βˆ— ∘ 𝐴) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)))
359, 14, 34syl2anc 582 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (((βˆ— ∘ 𝐴) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)))
3633, 35mpbird 256 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ ((βˆ— ∘ 𝐴) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
371, 2, 11plycjlem 26026 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((βˆ— ∘ 𝐴)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
387, 9, 14, 36, 37coeeq 25976 1 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (coeffβ€˜πΊ) = (βˆ— ∘ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  {csn 4627   class class class wbr 5147   β€œ cima 5678   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ≀ cle 11253  β„•0cn0 12476  β„€β‰₯cuz 12826  βˆ—ccj 15047  Polycply 25933  coeffccoe 25935  degcdgr 25936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-0p 25419  df-ply 25937  df-coe 25939  df-dgr 25940
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator