MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coecj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coecj 24873
Description: Double conjugation of a polynomial causes the coefficients to be conjugated. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plycj.1 𝑁 = (deg‘𝐹)
plycj.2 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
coecj.3 𝐴 = (coeff‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
coecj (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐺) = (∗ ∘ 𝐴))

Proof of Theorem coecj
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plycj.1 . . 3 𝑁 = (deg‘𝐹)
2 plycj.2 . . 3 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
3 cjcl 14455 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
43adantl 485 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
5 plyssc 24795 . . . 4 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
65sseli 3938 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
71, 2, 4, 6plycj 24872 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
8 dgrcl 24828 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
91, 8eqeltrid 2918 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10 cjf 14454 . . 3 ∗:ℂ⟶ℂ
11 coecj.3 . . . 4 𝐴 = (coeff‘𝐹)
1211coef3 24827 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
13 fco 6512 . . 3 ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
1410, 12, 13sylancr 590 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
15 fvco3 6742 . . . . . . . . 9 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴𝑘)))
1612, 15sylan 583 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴𝑘)))
17 cj0 14508 . . . . . . . . . 10 (∗‘0) = 0
1817eqcomi 2831 . . . . . . . . 9 0 = (∗‘0)
1918a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 = (∗‘0))
2016, 19eqeq12d 2838 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = 0 ↔ (∗‘(𝐴𝑘)) = (∗‘0)))
2112ffvelrnda 6833 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
22 0cnd 10623 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℂ)
23 cj11 14512 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝐴𝑘)) = (∗‘0) ↔ (𝐴𝑘) = 0))
2421, 22, 23syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘(𝐴𝑘)) = (∗‘0) ↔ (𝐴𝑘) = 0))
2520, 24bitrd 282 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = 0 ↔ (𝐴𝑘) = 0))
2625necon3bid 3055 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐴𝑘) ≠ 0))
2711, 1dgrub2 24830 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
28 plyco0 24787 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
299, 12, 28syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
3027, 29mpbid 235 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
3130r19.21bi 3198 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
3226, 31sylbid 243 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
3332ralrimiva 3174 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
34 plyco0 24787 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ) → (((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
359, 14, 34syl2anc 587 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
3633, 35mpbird 260 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
371, 2, 11plycjlem 24871 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
387, 9, 14, 36, 37coeeq 24822 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐺) = (∗ ∘ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  wral 3130  {csn 4539   class class class wbr 5042  cima 5535  ccom 5536  wf 6330  cfv 6334  (class class class)co 7140  cc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  cle 10665  0cn0 11885  cuz 12231  ccj 14446  Polycply 24779  coeffccoe 24781  degcdgr 24782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-0p 24272  df-ply 24783  df-coe 24785  df-dgr 24786
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator