Theorem coecj 26435

Description: Double conjugation of a polynomial causes the coefficients to be conjugated. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plycj.2	⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
coecj.3	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
coecj	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐺) = (∗ ∘ 𝐴))

Proof of Theorem coecj

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plycj.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
2		cjcl 15152	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
3	2	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
4		plyssc 26357	. . . 4 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
5	4	sseli 3933	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
6	1, 3, 5	plycj 26434	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
7		dgrcl 26390	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
8		cjf 15151	. . 3 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
9		coecj.3	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
10	9	coef3 26389	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
11		fco 6730	. . 3 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
12	8, 10, 11	sylancr 598	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
13		fvco3 6981	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴‘𝑘)))
14	10, 13	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴‘𝑘)))
15		cj0 15205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘0) = 0
16	15	eqcomi 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (∗‘0)
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 = (∗‘0))
18	14, 17	eqeq12d 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = 0 ↔ (∗‘(𝐴‘𝑘)) = (∗‘0)))
19	10	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
20		0cnd 11194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℂ)
21		cj11 15209	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝐴‘𝑘)) = (∗‘0) ↔ (𝐴‘𝑘) = 0))
22	19, 20, 21	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘(𝐴‘𝑘)) = (∗‘0) ↔ (𝐴‘𝑘) = 0))
23	18, 22	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = 0 ↔ (𝐴‘𝑘) = 0))
24	23	necon3bid 3002	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐴‘𝑘) ≠ 0))
25		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
26	9, 25	dgrub2 26392	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐴 “ (ℤ≥‘((deg‘𝐹) + 1))) = {0})
27		plyco0 26349	. . . . . . . 8 ⊢ (((deg‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ≥‘((deg‘𝐹) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (deg‘𝐹))))
28	7, 10, 27	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴 “ (ℤ≥‘((deg‘𝐹) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (deg‘𝐹))))
29	26, 28	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (deg‘𝐹)))
30	29	r19.21bi 3257	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (deg‘𝐹)))
31	24, 30	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (deg‘𝐹)))
32	31	ralrimiva 3157	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (deg‘𝐹)))
33		plyco0 26349	. . . 4 ⊢ (((deg‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ) → (((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ≥‘((deg‘𝐹) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (deg‘𝐹))))
34	7, 12, 33	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ≥‘((deg‘𝐹) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (deg‘𝐹))))
35	32, 34	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ≥‘((deg‘𝐹) + 1))) = {0})
36	25, 1, 9	plycjlem 26433	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑧 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑧) · (𝑦↑𝑧))))
37	6, 7, 12, 35, 36	coeeq 26384	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐺) = (∗ ∘ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  {csn 4589   class class class wbr 5109   “ cima 5664   ∘ ccom 5665  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   ≤ cle 11239  ℕ₀cn0 12499  ℤ_≥cuz 12857  ∗ccj 15143  Polycply 26341  coeffccoe 26343  degcdgr 26344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-0p 25829  df-ply 26345  df-coe 26347  df-dgr 26348

This theorem is referenced by: (None)