Theorem coecj 26182

Description: Double conjugation of a polynomial causes the coefficients to be conjugated. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plycj.2	⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
coecj.3	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
coecj	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐺) = (∗ ∘ 𝐴))

Proof of Theorem coecj

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plycj.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
2		cjcl 15012	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
4		plyssc 26103	. . . 4 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
5	4	sseli 3931	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
6	1, 3, 5	plycj 26181	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
7		dgrcl 26136	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
8		cjf 15011	. . 3 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
9		coecj.3	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
10	9	coef3 26135	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
11		fco 6676	. . 3 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
12	8, 10, 11	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
13		fvco3 6922	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴‘𝑘)))
14	10, 13	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴‘𝑘)))
15		cj0 15065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘0) = 0
16	15	eqcomi 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (∗‘0)
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 = (∗‘0))
18	14, 17	eqeq12d 2745	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = 0 ↔ (∗‘(𝐴‘𝑘)) = (∗‘0)))
19	10	ffvelcdmda 7018	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
20		0cnd 11108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℂ)
21		cj11 15069	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝐴‘𝑘)) = (∗‘0) ↔ (𝐴‘𝑘) = 0))
22	19, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘(𝐴‘𝑘)) = (∗‘0) ↔ (𝐴‘𝑘) = 0))
23	18, 22	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = 0 ↔ (𝐴‘𝑘) = 0))
24	23	necon3bid 2969	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐴‘𝑘) ≠ 0))
25		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
26	9, 25	dgrub2 26138	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐴 “ (ℤ≥‘((deg‘𝐹) + 1))) = {0})
27		plyco0 26095	. . . . . . . 8 ⊢ (((deg‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ≥‘((deg‘𝐹) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (deg‘𝐹))))
28	7, 10, 27	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴 “ (ℤ≥‘((deg‘𝐹) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (deg‘𝐹))))
29	26, 28	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (deg‘𝐹)))
30	29	r19.21bi 3221	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (deg‘𝐹)))
31	24, 30	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (deg‘𝐹)))
32	31	ralrimiva 3121	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (deg‘𝐹)))
33		plyco0 26095	. . . 4 ⊢ (((deg‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ) → (((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ≥‘((deg‘𝐹) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (deg‘𝐹))))
34	7, 12, 33	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ≥‘((deg‘𝐹) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (deg‘𝐹))))
35	32, 34	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ≥‘((deg‘𝐹) + 1))) = {0})
36	25, 1, 9	plycjlem 26180	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑧 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑧) · (𝑦↑𝑧))))
37	6, 7, 12, 35, 36	coeeq 26130	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐺) = (∗ ∘ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  {csn 4577   class class class wbr 5092   “ cima 5622   ∘ ccom 5623  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   ≤ cle 11150  ℕ₀cn0 12384  ℤ_≥cuz 12735  ∗ccj 15003  Polycply 26087  coeffccoe 26089  degcdgr 26090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-0p 25569  df-ply 26091  df-coe 26093  df-dgr 26094

This theorem is referenced by: (None)