Theorem coecj 26652

Description: Double conjugation of a polynomial causes the coefficients to be conjugated. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plycj.2	⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
coecj.3	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
coecj	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐺) = (∗ ∘ 𝐴))

Proof of Theorem coecj

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plycj.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
2		cjcl 15315	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
3	2	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
4		plyssc 26573	. . . 4 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
5	4	sseli 3909	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
6	1, 3, 5	plycj 26651	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
7		dgrcl 26607	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
8		cjf 15314	. . 3 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
9		coecj.3	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
10	9	coef3 26606	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
11		fco 6764	. . 3 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
12	8, 10, 11	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
13		fvco3 7016	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴‘𝑘)))
14	10, 13	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴‘𝑘)))
15		cj0 15368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘0) = 0
16	15	eqcomi 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (∗‘0)
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 = (∗‘0))
18	14, 17	eqeq12d 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = 0 ↔ (∗‘(𝐴‘𝑘)) = (∗‘0)))
19	10	ffvelcdmda 7116	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
20		0cnd 11338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℂ)
21		cj11 15372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((∗‘(𝐴‘𝑘)) = (∗‘0) ↔ (𝐴‘𝑘) = 0))
22	19, 20, 21	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘(𝐴‘𝑘)) = (∗‘0) ↔ (𝐴‘𝑘) = 0))
23	18, 22	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = 0 ↔ (𝐴‘𝑘) = 0))
24	23	necon3bid 3003	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐴‘𝑘) ≠ 0))
25		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
26	9, 25	dgrub2 26609	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐴 “ (ℤ≥‘((deg‘𝐹) + 1))) = {0})
27		plyco0 26565	. . . . . . . 8 ⊢ (((deg‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ≥‘((deg‘𝐹) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (deg‘𝐹))))
28	7, 10, 27	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴 “ (ℤ≥‘((deg‘𝐹) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (deg‘𝐹))))
29	26, 28	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (deg‘𝐹)))
30	29	r19.21bi 3258	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (deg‘𝐹)))
31	24, 30	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (deg‘𝐹)))
32	31	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (deg‘𝐹)))
33		plyco0 26565	. . . 4 ⊢ (((deg‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (∗ ∘ 𝐴):ℕ0⟶ℂ) → (((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ≥‘((deg‘𝐹) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (deg‘𝐹))))
34	7, 12, 33	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ≥‘((deg‘𝐹) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (deg‘𝐹))))
35	32, 34	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((∗ ∘ 𝐴) “ (ℤ≥‘((deg‘𝐹) + 1))) = {0})
36	25, 1, 9	plycjlem 26650	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑧 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑧) · (𝑦↑𝑧))))
37	6, 7, 12, 35, 36	coeeq 26601	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐺) = (∗ ∘ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  {csn 4588   class class class wbr 5108   “ cima 5661   ∘ ccom 5662  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   ≤ cle 11383  ℕ₀cn0 12646  ℤ_≥cuz 13005  ∗ccj 15306  Polycply 26557  coeffccoe 26559  degcdgr 26560

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-0p 26046  df-ply 26561  df-coe 26563  df-dgr 26564

This theorem is used by: (None)