MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipsubdi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dipsubdi 30370
Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipsubdir.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ipsubdir.3 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
ipsubdir.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dipsubdi ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑃(𝐡𝑀𝐢)) = ((𝐴𝑃𝐡) βˆ’ (𝐴𝑃𝐢)))
Proof of Theorem dipsubdi
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 ((𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
213com13 1123 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
3 id 22 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
433com12 1122 . . . . 5 ((𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
5 ipsubdir.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
6 ipsubdir.3 . . . . . 6 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
7 ipsubdir.7 . . . . . 6 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
85, 6, 7dipsubdir 30369 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐡𝑀𝐢)𝑃𝐴) = ((𝐡𝑃𝐴) βˆ’ (𝐢𝑃𝐴)))
94, 8sylan2 592 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐡𝑀𝐢)𝑃𝐴) = ((𝐡𝑃𝐴) βˆ’ (𝐢𝑃𝐴)))
109fveq2d 6895 . . 3 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ—β€˜((𝐡𝑀𝐢)𝑃𝐴)) = (βˆ—β€˜((𝐡𝑃𝐴) βˆ’ (𝐢𝑃𝐴))))
11 phnv 30335 . . . 4 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
12 simpl 482 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
135, 6nvmcl 30167 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝑀𝐢) ∈ 𝑋)
14133com23 1125 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝑀𝐢) ∈ 𝑋)
15143adant3r3 1183 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝑀𝐢) ∈ 𝑋)
16 simpr3 1195 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
175, 7dipcj 30235 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐡𝑀𝐢) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ—β€˜((𝐡𝑀𝐢)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐡𝑀𝐢)))
1812, 15, 16, 17syl3anc 1370 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ—β€˜((𝐡𝑀𝐢)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐡𝑀𝐢)))
1911, 18sylan 579 . . 3 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ—β€˜((𝐡𝑀𝐢)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐡𝑀𝐢)))
205, 7dipcl 30233 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝑃𝐴) ∈ β„‚)
21203adant3r1 1181 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝑃𝐴) ∈ β„‚)
225, 7dipcl 30233 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐢𝑃𝐴) ∈ β„‚)
23223adant3r2 1182 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐢𝑃𝐴) ∈ β„‚)
24 cjsub 15101 . . . . . 6 (((𝐡𝑃𝐴) ∈ β„‚ ∧ (𝐢𝑃𝐴) ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜((𝐡𝑃𝐴) βˆ’ (𝐢𝑃𝐴))) = ((βˆ—β€˜(𝐡𝑃𝐴)) βˆ’ (βˆ—β€˜(𝐢𝑃𝐴))))
2521, 23, 24syl2anc 583 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ—β€˜((𝐡𝑃𝐴) βˆ’ (𝐢𝑃𝐴))) = ((βˆ—β€˜(𝐡𝑃𝐴)) βˆ’ (βˆ—β€˜(𝐢𝑃𝐴))))
265, 7dipcj 30235 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ—β€˜(𝐡𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐡))
27263adant3r1 1181 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ—β€˜(𝐡𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐡))
285, 7dipcj 30235 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ—β€˜(𝐢𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐢))
29283adant3r2 1182 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ—β€˜(𝐢𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐢))
3027, 29oveq12d 7430 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((βˆ—β€˜(𝐡𝑃𝐴)) βˆ’ (βˆ—β€˜(𝐢𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐡) βˆ’ (𝐴𝑃𝐢)))
3125, 30eqtrd 2771 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ—β€˜((𝐡𝑃𝐴) βˆ’ (𝐢𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐡) βˆ’ (𝐴𝑃𝐢)))
3211, 31sylan 579 . . 3 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ—β€˜((𝐡𝑃𝐴) βˆ’ (𝐢𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐡) βˆ’ (𝐴𝑃𝐢)))
3310, 19, 323eqtr3d 2779 . 2 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑃(𝐡𝑀𝐢)) = ((𝐴𝑃𝐡) βˆ’ (𝐴𝑃𝐢)))
342, 33sylan2 592 1 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑃(𝐡𝑀𝐢)) = ((𝐴𝑃𝐡) βˆ’ (𝐴𝑃𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11112   βˆ’ cmin 11449  βˆ—ccj 15048  NrmCVeccnv 30105  BaseSetcba 30107   βˆ’π‘£ cnsb 30110  Β·π‘–OLDcdip 30221  CPreHilOLDccphlo 30333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-t1 23039  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-grpo 30014  df-gid 30015  df-ginv 30016  df-gdiv 30017  df-ablo 30066  df-vc 30080  df-nv 30113  df-va 30116  df-ba 30117  df-sm 30118  df-0v 30119  df-vs 30120  df-nmcv 30121  df-ims 30122  df-dip 30222  df-ph 30334
This theorem is referenced by:  siilem1  30372  ip2eqi  30377
  Copyright terms: Public domain W3C validator