MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipsubdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dipsubdi 28258
Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipsubdir.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipsubdir.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
ipsubdir.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
dipsubdi ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐵𝑀𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐵) − (𝐴𝑃𝐶)))

Proof of Theorem dipsubdi
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 ((𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋))
213com13 1160 . 2 ((𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋))
3 id 22 . . . . . 6 ((𝐵𝑋𝐶𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝑋𝐶𝑋𝐴𝑋))
433com12 1159 . . . . 5 ((𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝑋𝐶𝑋𝐴𝑋))
5 ipsubdir.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6 ipsubdir.3 . . . . . 6 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
7 ipsubdir.7 . . . . . 6 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
85, 6, 7dipsubdir 28257 . . . . 5 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋𝐴𝑋)) → ((𝐵𝑀𝐶)𝑃𝐴) = ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶𝑃𝐴)))
94, 8sylan2 588 . . . 4 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → ((𝐵𝑀𝐶)𝑃𝐴) = ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶𝑃𝐴)))
109fveq2d 6436 . . 3 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑀𝐶)𝑃𝐴)) = (∗‘((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶𝑃𝐴))))
11 phnv 28223 . . . 4 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
12 simpl 476 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
135, 6nvmcl 28055 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐵𝑀𝐶) ∈ 𝑋)
14133com23 1162 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝑀𝐶) ∈ 𝑋)
15143adant3r3 1241 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝐵𝑀𝐶) ∈ 𝑋)
16 simpr3 1258 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → 𝐴𝑋)
175, 7dipcj 28123 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵𝑀𝐶) ∈ 𝑋𝐴𝑋) → (∗‘((𝐵𝑀𝐶)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐵𝑀𝐶)))
1812, 15, 16, 17syl3anc 1496 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑀𝐶)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐵𝑀𝐶)))
1911, 18sylan 577 . . 3 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑀𝐶)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐵𝑀𝐶)))
205, 7dipcl 28121 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
21203adant3r1 1239 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
225, 7dipcl 28121 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶𝑋𝐴𝑋) → (𝐶𝑃𝐴) ∈ ℂ)
23223adant3r2 1240 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝐶𝑃𝐴) ∈ ℂ)
24 cjsub 14265 . . . . . 6 (((𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑃𝐴) ∈ ℂ) → (∗‘((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶𝑃𝐴))) = ((∗‘(𝐵𝑃𝐴)) − (∗‘(𝐶𝑃𝐴))))
2521, 23, 24syl2anc 581 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶𝑃𝐴))) = ((∗‘(𝐵𝑃𝐴)) − (∗‘(𝐶𝑃𝐴))))
265, 7dipcj 28123 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (∗‘(𝐵𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐵))
27263adant3r1 1239 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘(𝐵𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐵))
285, 7dipcj 28123 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶𝑋𝐴𝑋) → (∗‘(𝐶𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐶))
29283adant3r2 1240 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘(𝐶𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐶))
3027, 29oveq12d 6922 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → ((∗‘(𝐵𝑃𝐴)) − (∗‘(𝐶𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐵) − (𝐴𝑃𝐶)))
3125, 30eqtrd 2860 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐵) − (𝐴𝑃𝐶)))
3211, 31sylan 577 . . 3 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐵) − (𝐴𝑃𝐶)))
3310, 19, 323eqtr3d 2868 . 2 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐵𝑀𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐵) − (𝐴𝑃𝐶)))
342, 33sylan2 588 1 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐵𝑀𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐵) − (𝐴𝑃𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  cfv 6122  (class class class)co 6904  cc 10249  cmin 10584  ccj 14212  NrmCVeccnv 27993  BaseSetcba 27995  𝑣 cnsb 27998  ·𝑖OLDcdip 28109  CPreHilOLDccphlo 28221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329  ax-addf 10330  ax-mulf 10331
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-iin 4742  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-of 7156  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-supp 7559  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-2o 7826  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-ixp 8175  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-fsupp 8544  df-fi 8585  df-sup 8616  df-inf 8617  df-oi 8683  df-card 9077  df-cda 9304  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-n0 11618  df-z 11704  df-dec 11821  df-uz 11968  df-q 12071  df-rp 12112  df-xneg 12231  df-xadd 12232  df-xmul 12233  df-ioo 12466  df-icc 12469  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-seq 13095  df-exp 13154  df-hash 13410  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-clim 14595  df-sum 14793  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-starv 16319  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-ip 16322  df-tset 16323  df-ple 16324  df-ds 16326  df-unif 16327  df-hom 16328  df-cco 16329  df-rest 16435  df-topn 16436  df-0g 16454  df-gsum 16455  df-topgen 16456  df-pt 16457  df-prds 16460  df-xrs 16514  df-qtop 16519  df-imas 16520  df-xps 16522  df-mre 16598  df-mrc 16599  df-acs 16601  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-submnd 17688  df-mulg 17894  df-cntz 18099  df-cmn 18547  df-psmet 20097  df-xmet 20098  df-met 20099  df-bl 20100  df-mopn 20101  df-cnfld 20106  df-top 21068  df-topon 21085  df-topsp 21107  df-bases 21120  df-cld 21193  df-ntr 21194  df-cls 21195  df-cn 21401  df-cnp 21402  df-t1 21488  df-haus 21489  df-tx 21735  df-hmeo 21928  df-xms 22494  df-ms 22495  df-tms 22496  df-grpo 27902  df-gid 27903  df-ginv 27904  df-gdiv 27905  df-ablo 27954  df-vc 27968  df-nv 28001  df-va 28004  df-ba 28005  df-sm 28006  df-0v 28007  df-vs 28008  df-nmcv 28009  df-ims 28010  df-dip 28110  df-ph 28222
This theorem is referenced by:  siilem1  28260  ip2eqi  28266
  Copyright terms: Public domain W3C validator