Theorem adj1o 32502

Description: The adjoint function maps one-to-one onto its domain. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adj1o	⊢ adjℎ:dom adjℎ–1-1-onto→dom adjℎ

Proof of Theorem adj1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funadj 32494	. . 3 ⊢ Fun adjℎ
2		funfn 6571	. . 3 ⊢ (Fun adjℎ ↔ adjℎ Fn dom adjℎ)
3	1, 2	mpbi 233	. 2 ⊢ adjℎ Fn dom adjℎ
4		funcnvadj 32501	. 2 ⊢ Fun ◡adjℎ
5		df-rn 5661	. . 3 ⊢ ran adjℎ = dom ◡adjℎ
6		cnvadj 32500	. . . 4 ⊢ ◡adjℎ = adjℎ
7	6	dmeqi 5885	. . 3 ⊢ dom ◡adjℎ = dom adjℎ
8	5, 7	eqtri 2783	. 2 ⊢ ran adjℎ = dom adjℎ
9		dff1o2 6831	. 2 ⊢ (adjℎ:dom adjℎ–1-1-onto→dom adjℎ ↔ (adjℎ Fn dom adjℎ ∧ Fun ◡adjℎ ∧ ran adjℎ = dom adjℎ))
10	3, 4, 8, 9	mpbir3an 1360	1 ⊢ adjℎ:dom adjℎ–1-1-onto→dom adjℎ

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650  ran crn 5651  Fun wfun 6533   Fn wfn 6534  –1-1-onto→wf1o 6538  adj_ℎcado 31563

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-hfvadd 31608  ax-hvcom 31609  ax-hvass 31610  ax-hv0cl 31611  ax-hvaddid 31612  ax-hfvmul 31613  ax-hvmulid 31614  ax-hvdistr2 31617  ax-hvmul0 31618  ax-hfi 31687  ax-his1 31690  ax-his2 31691  ax-his3 31692  ax-his4 31693

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-hvsub 31579  df-adjh 32457

This theorem is used by:  dmadjrn  32503  adjbdlnb  32692  adjbd1o  32693