Theorem adj1o 31134

Description: The adjoint function maps one-to-one onto its domain. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adj1o	⊢ adjℎ:dom adjℎ–1-1-onto→dom adjℎ

Proof of Theorem adj1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funadj 31126	. . 3 ⊢ Fun adjℎ
2		funfn 6575	. . 3 ⊢ (Fun adjℎ ↔ adjℎ Fn dom adjℎ)
3	1, 2	mpbi 229	. 2 ⊢ adjℎ Fn dom adjℎ
4		funcnvadj 31133	. 2 ⊢ Fun ◡adjℎ
5		df-rn 5686	. . 3 ⊢ ran adjℎ = dom ◡adjℎ
6		cnvadj 31132	. . . 4 ⊢ ◡adjℎ = adjℎ
7	6	dmeqi 5902	. . 3 ⊢ dom ◡adjℎ = dom adjℎ
8	5, 7	eqtri 2760	. 2 ⊢ ran adjℎ = dom adjℎ
9		dff1o2 6835	. 2 ⊢ (adjℎ:dom adjℎ–1-1-onto→dom adjℎ ↔ (adjℎ Fn dom adjℎ ∧ Fun ◡adjℎ ∧ ran adjℎ = dom adjℎ))
10	3, 4, 8, 9	mpbir3an 1341	1 ⊢ adjℎ:dom adjℎ–1-1-onto→dom adjℎ

Syntax hints:   = wceq 1541  ^◡ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  –1-1-onto→wf1o 6539  adj_ℎcado 30195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-hfvadd 30240  ax-hvcom 30241  ax-hvass 30242  ax-hv0cl 30243  ax-hvaddid 30244  ax-hfvmul 30245  ax-hvmulid 30246  ax-hvdistr2 30249  ax-hvmul0 30250  ax-hfi 30319  ax-his1 30322  ax-his2 30323  ax-his3 30324  ax-his4 30325

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-hvsub 30211  df-adjh 31089

This theorem is referenced by:  dmadjrn  31135  adjbdlnb  31324  adjbd1o  31325