Theorem adj1o 30388

Description: The adjoint function maps one-to-one onto its domain. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adj1o	⊢ adjℎ:dom adjℎ–1-1-onto→dom adjℎ

Proof of Theorem adj1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funadj 30380	. . 3 ⊢ Fun adjℎ
2		funfn 6500	. . 3 ⊢ (Fun adjℎ ↔ adjℎ Fn dom adjℎ)
3	1, 2	mpbi 229	. 2 ⊢ adjℎ Fn dom adjℎ
4		funcnvadj 30387	. 2 ⊢ Fun ◡adjℎ
5		df-rn 5618	. . 3 ⊢ ran adjℎ = dom ◡adjℎ
6		cnvadj 30386	. . . 4 ⊢ ◡adjℎ = adjℎ
7	6	dmeqi 5833	. . 3 ⊢ dom ◡adjℎ = dom adjℎ
8	5, 7	eqtri 2764	. 2 ⊢ ran adjℎ = dom adjℎ
9		dff1o2 6758	. 2 ⊢ (adjℎ:dom adjℎ–1-1-onto→dom adjℎ ↔ (adjℎ Fn dom adjℎ ∧ Fun ◡adjℎ ∧ ran adjℎ = dom adjℎ))
10	3, 4, 8, 9	mpbir3an 1340	1 ⊢ adjℎ:dom adjℎ–1-1-onto→dom adjℎ

Syntax hints:   = wceq 1540  ^◡ccnv 5606  dom cdm 5607  ran crn 5608  Fun wfun 6459   Fn wfn 6460  –1-1-onto→wf1o 6464  adj_ℎcado 29449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-hfvadd 29494  ax-hvcom 29495  ax-hvass 29496  ax-hv0cl 29497  ax-hvaddid 29498  ax-hfvmul 29499  ax-hvmulid 29500  ax-hvdistr2 29503  ax-hvmul0 29504  ax-hfi 29573  ax-his1 29576  ax-his2 29577  ax-his3 29578  ax-his4 29579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-id 5506  df-po 5520  df-so 5521  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-2 12115  df-cj 14886  df-re 14887  df-im 14888  df-hvsub 29465  df-adjh 30343

This theorem is referenced by:  dmadjrn  30389  adjbdlnb  30578  adjbd1o  30579