Theorem constrcccl 34016

Description: Constructible numbers are closed under circle-circle intersections. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrcccl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Constr)
constrcccl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Constr)
constrcccl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Constr)
constrcccl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Constr)
constrcccl.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Constr)
constrcccl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Constr)
constrcccl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
constrcccl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐷)
constrcccl.2	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐴)) = (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
constrcccl.3	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐷)) = (abs‘(𝐸 − 𝐹)))

Assertion

Ref	Expression
constrcccl	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Proof of Theorem constrcccl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑠 𝑡 𝑥 𝑟 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 𝑚 𝑞 𝑦 𝑧 𝑜 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrcbvlem 34013	. 2 ⊢ rec((𝑧 ∈ V ↦ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (∃𝑖 ∈ 𝑧 ∃𝑗 ∈ 𝑧 ∃𝑘 ∈ 𝑧 ∃𝑙 ∈ 𝑧 ∃𝑜 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑖 + (𝑜 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ 𝑦 = (𝑘 + (𝑝 · (𝑙 − 𝑘))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑗 − 𝑖)) · (𝑙 − 𝑘))) ≠ 0) ∨ ∃𝑖 ∈ 𝑧 ∃𝑗 ∈ 𝑧 ∃𝑘 ∈ 𝑧 ∃𝑚 ∈ 𝑧 ∃𝑞 ∈ 𝑧 ∃𝑜 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑖 + (𝑜 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑘)) = (abs‘(𝑚 − 𝑞))) ∨ ∃𝑖 ∈ 𝑧 ∃𝑗 ∈ 𝑧 ∃𝑘 ∈ 𝑧 ∃𝑙 ∈ 𝑧 ∃𝑚 ∈ 𝑧 ∃𝑞 ∈ 𝑧 (𝑖 ≠ 𝑙 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑖)) = (abs‘(𝑗 − 𝑘)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑙)) = (abs‘(𝑚 − 𝑞))))}), {0, 1}) = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
2		constrcccl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Constr)
3		constrcccl.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Constr)
4		constrcccl.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Constr)
5		constrcccl.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Constr)
6		constrcccl.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Constr)
7		constrcccl.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Constr)
8		constrcccl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
9		constrcccl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐷)
10		constrcccl.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐴)) = (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
11		constrcccl.3	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐷)) = (abs‘(𝐸 − 𝐹)))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	constrcccllem 34012	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ w3o 1096   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085  {crab 3413  Vcvv 3453  {cpr 4583   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  reccrdg 8375  ℂcc 11068  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075   − cmin 11411  ∗ccj 15106  ℑcim 15108  abscabs 15244  Constrcconstr 33987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-ltxr 11218  df-sub 11413  df-constr 33988

This theorem is referenced by:  constraddcl  34020  iconstr  34024  cos9thpinconstrlem1  34047