Theorem constrcccl 33756

Description: Constructible numbers are closed under circle-circle intersections. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrcccl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Constr)
constrcccl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Constr)
constrcccl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Constr)
constrcccl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Constr)
constrcccl.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Constr)
constrcccl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Constr)
constrcccl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
constrcccl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐷)
constrcccl.2	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐴)) = (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
constrcccl.3	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐷)) = (abs‘(𝐸 − 𝐹)))

Assertion

Ref	Expression
constrcccl	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Proof of Theorem constrcccl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑠 𝑡 𝑥 𝑟 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 𝑚 𝑞 𝑦 𝑧 𝑜 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrcbvlem 33753	. 2 ⊢ rec((𝑧 ∈ V ↦ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (∃𝑖 ∈ 𝑧 ∃𝑗 ∈ 𝑧 ∃𝑘 ∈ 𝑧 ∃𝑙 ∈ 𝑧 ∃𝑜 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑖 + (𝑜 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ 𝑦 = (𝑘 + (𝑝 · (𝑙 − 𝑘))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑗 − 𝑖)) · (𝑙 − 𝑘))) ≠ 0) ∨ ∃𝑖 ∈ 𝑧 ∃𝑗 ∈ 𝑧 ∃𝑘 ∈ 𝑧 ∃𝑚 ∈ 𝑧 ∃𝑞 ∈ 𝑧 ∃𝑜 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑖 + (𝑜 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑘)) = (abs‘(𝑚 − 𝑞))) ∨ ∃𝑖 ∈ 𝑧 ∃𝑗 ∈ 𝑧 ∃𝑘 ∈ 𝑧 ∃𝑙 ∈ 𝑧 ∃𝑚 ∈ 𝑧 ∃𝑞 ∈ 𝑧 (𝑖 ≠ 𝑙 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑖)) = (abs‘(𝑗 − 𝑘)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑙)) = (abs‘(𝑚 − 𝑞))))}), {0, 1}) = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
2		constrcccl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Constr)
3		constrcccl.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Constr)
4		constrcccl.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Constr)
5		constrcccl.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Constr)
6		constrcccl.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Constr)
7		constrcccl.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Constr)
8		constrcccl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
9		constrcccl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐷)
10		constrcccl.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐴)) = (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
11		constrcccl.3	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐷)) = (abs‘(𝐸 − 𝐹)))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	constrcccllem 33752	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2927  ∃wrex 3055  {crab 3411  Vcvv 3455  {cpr 4599   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  reccrdg 8386  ℂcc 11084  ℝcr 11085  0cc0 11086  1c1 11087   + caddc 11089   · cmul 11091   − cmin 11423  ∗ccj 15072  ℑcim 15074  abscabs 15210  Constrcconstr 33727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-tp 4602  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-2o 8444  df-er 8682  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-ltxr 11231  df-sub 11425  df-constr 33728

This theorem is referenced by:  constraddcl  33760  iconstr  33764  cos9thpinconstrlem1  33787