Theorem constrcccl 33935

Description: Constructible numbers are closed under circle-circle intersections. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrcccl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Constr)
constrcccl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Constr)
constrcccl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Constr)
constrcccl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Constr)
constrcccl.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Constr)
constrcccl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Constr)
constrcccl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
constrcccl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐷)
constrcccl.2	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐴)) = (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
constrcccl.3	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐷)) = (abs‘(𝐸 − 𝐹)))

Assertion

Ref	Expression
constrcccl	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Proof of Theorem constrcccl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑠 𝑡 𝑥 𝑟 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 𝑚 𝑞 𝑦 𝑧 𝑜 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrcbvlem 33932	. 2 ⊢ rec((𝑧 ∈ V ↦ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (∃𝑖 ∈ 𝑧 ∃𝑗 ∈ 𝑧 ∃𝑘 ∈ 𝑧 ∃𝑙 ∈ 𝑧 ∃𝑜 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑖 + (𝑜 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ 𝑦 = (𝑘 + (𝑝 · (𝑙 − 𝑘))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑗 − 𝑖)) · (𝑙 − 𝑘))) ≠ 0) ∨ ∃𝑖 ∈ 𝑧 ∃𝑗 ∈ 𝑧 ∃𝑘 ∈ 𝑧 ∃𝑚 ∈ 𝑧 ∃𝑞 ∈ 𝑧 ∃𝑜 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑖 + (𝑜 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑘)) = (abs‘(𝑚 − 𝑞))) ∨ ∃𝑖 ∈ 𝑧 ∃𝑗 ∈ 𝑧 ∃𝑘 ∈ 𝑧 ∃𝑙 ∈ 𝑧 ∃𝑚 ∈ 𝑧 ∃𝑞 ∈ 𝑧 (𝑖 ≠ 𝑙 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑖)) = (abs‘(𝑗 − 𝑘)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑙)) = (abs‘(𝑚 − 𝑞))))}), {0, 1}) = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
2		constrcccl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Constr)
3		constrcccl.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Constr)
4		constrcccl.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Constr)
5		constrcccl.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Constr)
6		constrcccl.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Constr)
7		constrcccl.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Constr)
8		constrcccl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
9		constrcccl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐷)
10		constrcccl.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐴)) = (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
11		constrcccl.3	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐷)) = (abs‘(𝐸 − 𝐹)))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	constrcccllem 33931	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  {crab 3401  Vcvv 3442  {cpr 4584   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  reccrdg 8350  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11376  ∗ccj 15031  ℑcim 15033  abscabs 15169  Constrcconstr 33906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378  df-constr 33907

This theorem is referenced by:  constraddcl  33939  iconstr  33943  cos9thpinconstrlem1  33966