Theorem iconstr 33943

Description: The imaginary unit i is constructible. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
iconstr	⊢ i ∈ Constr

Proof of Theorem iconstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11097	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → i ∈ ℂ)
3		3nn0 12431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℕ0)
5	4	nn0red 12475	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
6	4	nn0ge0d 12477	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 0 ≤ 3)
7	5, 6	resqrtcld 15353	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (√‘3) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11172	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (√‘3) ∈ ℂ)
9	2, 8	absmuld 15392	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘(i · (√‘3))) = ((abs‘i) · (abs‘(√‘3))))
10		absi 15221	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘i) = 1
11	7	mptru 1549	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘3) ∈ ℝ
12		3re 12237	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
13	6	mptru 1549	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 3
14		sqrtge0 15192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → 0 ≤ (√‘3))
15	12, 13, 14	mp2an 693	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (√‘3)
16		absid 15231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘3)) → (abs‘(√‘3)) = (√‘3))
17	11, 15, 16	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(√‘3)) = (√‘3)
18	10, 17	oveq12i 7380	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘i) · (abs‘(√‘3))) = (1 · (√‘3))
19	8	mptru 1549	. . . . . . . 8 ⊢ (√‘3) ∈ ℂ
20	19	mullidi 11149	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (√‘3)) = (√‘3)
21	18, 20	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘i) · (abs‘(√‘3))) = (√‘3)
22	9, 21	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (abs‘(i · (√‘3))) = (√‘3))
23	22	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((i · (√‘3)) / (abs‘(i · (√‘3)))) = ((i · (√‘3)) / (√‘3)))
24	4	nn0cnd 12476	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℂ)
25		3ne0 12263	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
26		cnsqrt00 15328	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℂ → ((√‘3) = 0 ↔ 3 = 0))
27	26	necon3bid 2977	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℂ → ((√‘3) ≠ 0 ↔ 3 ≠ 0))
28	27	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (√‘3) ≠ 0)
29	24, 25, 28	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (√‘3) ≠ 0)
30	29	mptru 1549	. . . . 5 ⊢ (√‘3) ≠ 0
31	1, 19, 30	divcan4i 11900	. . . 4 ⊢ ((i · (√‘3)) / (√‘3)) = i
32	23, 31	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ (⊤ → ((i · (√‘3)) / (abs‘(i · (√‘3)))) = i)
33		1nn0 12429	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
35	34	nn0constr 33938	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ Constr)
36	4	nn0constr 33938	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 ∈ Constr)
37	35	constrnegcl 33940	. . . . 5 ⊢ (⊤ → -1 ∈ Constr)
38	2, 8	mulcld 11164	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (i · (√‘3)) ∈ ℂ)
39		1nn 12168	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
40		nnneneg 12192	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ≠ -1)
41	39, 40	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ≠ -1)
42		1cnd 11139	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
43	42, 38	subcld 11504	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (1 − (i · (√‘3))) ∈ ℂ)
44	43	abscld 15374	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (abs‘(1 − (i · (√‘3)))) ∈ ℝ)
45		2re 12231	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
46	45	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
47	43	absge0d 15382	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ≤ (abs‘(1 − (i · (√‘3)))))
48		0le2 12259	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 2
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ≤ 2)
50		1red 11145	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
51	7, 50	pythagreim 32835	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((abs‘(1 − (i · (√‘3))))↑2) = (((√‘3)↑2) + (1↑2)))
52	24	sqsqrtd 15377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((√‘3)↑2) = 3)
53		sq1 14130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1↑2) = 1
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (1↑2) = 1)
55	52, 54	oveq12d 7386	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (((√‘3)↑2) + (1↑2)) = (3 + 1))
56		3p1e4 12297	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
57		sq2 14132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) = 4
58	56, 57	eqtr4i 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = (2↑2)
59	55, 58	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (((√‘3)↑2) + (1↑2)) = (2↑2))
60	51, 59	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((abs‘(1 − (i · (√‘3))))↑2) = (2↑2))
61	44, 46, 47, 49, 60	sq11d 14193	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘(1 − (i · (√‘3)))) = 2)
62	38, 42	abssubd 15391	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘((i · (√‘3)) − 1)) = (abs‘(1 − (i · (√‘3)))))
63	5, 50	resubcld 11577	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (3 − 1) ∈ ℝ)
64		3m1e2 12280	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 − 1) = 2
65	49, 64	breqtrrdi 5142	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 ≤ (3 − 1))
66	63, 65	absidd 15358	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (abs‘(3 − 1)) = (3 − 1))
67	66, 64	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘(3 − 1)) = 2)
68	61, 62, 67	3eqtr4d 2782	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (abs‘((i · (√‘3)) − 1)) = (abs‘(3 − 1)))
69	42	negcld 11491	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → -1 ∈ ℂ)
70	69, 38	subcld 11504	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (-1 − (i · (√‘3))) ∈ ℂ)
71	70	abscld 15374	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (abs‘(-1 − (i · (√‘3)))) ∈ ℝ)
72	70	absge0d 15382	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ≤ (abs‘(-1 − (i · (√‘3)))))
73	50	renegcld 11576	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → -1 ∈ ℝ)
74	7, 73	pythagreim 32835	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((abs‘(-1 − (i · (√‘3))))↑2) = (((√‘3)↑2) + (-1↑2)))
75		neg1sqe1 14131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1↑2) = 1
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (-1↑2) = 1)
77	52, 76	oveq12d 7386	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (((√‘3)↑2) + (-1↑2)) = (3 + 1))
78	77, 58	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (((√‘3)↑2) + (-1↑2)) = (2↑2))
79	74, 78	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((abs‘(-1 − (i · (√‘3))))↑2) = (2↑2))
80	71, 46, 72, 49, 79	sq11d 14193	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘(-1 − (i · (√‘3)))) = 2)
81	38, 69	abssubd 15391	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘((i · (√‘3)) − -1)) = (abs‘(-1 − (i · (√‘3)))))
82	80, 81, 67	3eqtr4d 2782	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (abs‘((i · (√‘3)) − -1)) = (abs‘(3 − 1)))
83	35, 36, 35, 37, 36, 35, 38, 41, 68, 82	constrcccl 33935	. . . 4 ⊢ (⊤ → (i · (√‘3)) ∈ Constr)
84		ine0 11584	. . . . . 6 ⊢ i ≠ 0
85	84	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → i ≠ 0)
86	2, 8, 85, 29	mulne0d 11801	. . . 4 ⊢ (⊤ → (i · (√‘3)) ≠ 0)
87	83, 86	constrdircl 33942	. . 3 ⊢ (⊤ → ((i · (√‘3)) / (abs‘(i · (√‘3)))) ∈ Constr)
88	32, 87	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ (⊤ → i ∈ Constr)
89	88	mptru 1549	1 ⊢ i ∈ Constr

Syntax hints:   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  ici 11040   + caddc 11041   · cmul 11043   ≤ cle 11179   − cmin 11376  -cneg 11377   / cdiv 11806  ℕcn 12157  2c2 12212  3c3 12213  4c4 12214  ℕ₀cn0 12413  ↑cexp 13996  √csqrt 15168  abscabs 15169  Constrcconstr 33906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-constr 33907

This theorem is referenced by:  constrremulcl  33944  constrmulcl  33948  constrreinvcl  33949  constrresqrtcl  33954  constrsqrtcl  33956