Theorem iconstr 34073

Description: The imaginary unit i is constructible. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
iconstr	⊢ i ∈ Constr

Proof of Theorem iconstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11147	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → i ∈ ℂ)
3		3nn0 12513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℕ0)
5	4	nn0red 12557	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
6	4	nn0ge0d 12559	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 0 ≤ 3)
7	5, 6	resqrtcld 15459	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (√‘3) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11225	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (√‘3) ∈ ℂ)
9	2, 8	absmuld 15498	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘(i · (√‘3))) = ((abs‘i) · (abs‘(√‘3))))
10		absi 15327	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘i) = 1
11	7	mptru 1570	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘3) ∈ ℝ
12		3re 12312	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
13	6	mptru 1570	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 3
14		sqrtge0 15298	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → 0 ≤ (√‘3))
15	12, 13, 14	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (√‘3)
16		absid 15337	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘3)) → (abs‘(√‘3)) = (√‘3))
17	11, 15, 16	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(√‘3)) = (√‘3)
18	10, 17	oveq12i 7412	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘i) · (abs‘(√‘3))) = (1 · (√‘3))
19	8	mptru 1570	. . . . . . . 8 ⊢ (√‘3) ∈ ℂ
20	19	mullidi 11202	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (√‘3)) = (√‘3)
21	18, 20	eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘i) · (abs‘(√‘3))) = (√‘3)
22	9, 21	eqtrdi 2816	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (abs‘(i · (√‘3))) = (√‘3))
23	22	oveq2d 7416	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((i · (√‘3)) / (abs‘(i · (√‘3)))) = ((i · (√‘3)) / (√‘3)))
24	4	nn0cnd 12558	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℂ)
25		3ne0 12341	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
26		cnsqrt00 15434	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℂ → ((√‘3) = 0 ↔ 3 = 0))
27	26	necon3bid 3004	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℂ → ((√‘3) ≠ 0 ↔ 3 ≠ 0))
28	27	biimpar 482	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (√‘3) ≠ 0)
29	24, 25, 28	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (√‘3) ≠ 0)
30	29	mptru 1570	. . . . 5 ⊢ (√‘3) ≠ 0
31	1, 19, 30	divcan4i 11953	. . . 4 ⊢ ((i · (√‘3)) / (√‘3)) = i
32	23, 31	eqtrdi 2816	. . 3 ⊢ (⊤ → ((i · (√‘3)) / (abs‘(i · (√‘3)))) = i)
33		1nn0 12511	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
35	34	nn0constr 34068	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ Constr)
36	4	nn0constr 34068	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 ∈ Constr)
37	35	constrnegcl 34070	. . . . 5 ⊢ (⊤ → -1 ∈ Constr)
38	2, 8	mulcld 11217	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (i · (√‘3)) ∈ ℂ)
39		1nn 12235	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
40		nnneneg 12262	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ≠ -1)
41	39, 40	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ≠ -1)
42		1cnd 11190	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
43	42, 38	subcld 11557	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (1 − (i · (√‘3))) ∈ ℂ)
44	43	abscld 15480	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (abs‘(1 − (i · (√‘3)))) ∈ ℝ)
45		2re 12306	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
46	45	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
47	43	absge0d 15488	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ≤ (abs‘(1 − (i · (√‘3)))))
48		0le2 12334	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 2
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ≤ 2)
50		1red 11197	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
51	7, 50	pythagreim 33002	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((abs‘(1 − (i · (√‘3))))↑2) = (((√‘3)↑2) + (1↑2)))
52	24	sqsqrtd 15483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((√‘3)↑2) = 3)
53		sq1 14222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1↑2) = 1
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (1↑2) = 1)
55	52, 54	oveq12d 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (((√‘3)↑2) + (1↑2)) = (3 + 1))
56		3p1e4 12376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
57		sq2 14224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) = 4
58	56, 57	eqtr4i 2791	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = (2↑2)
59	55, 58	eqtrdi 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (((√‘3)↑2) + (1↑2)) = (2↑2))
60	51, 59	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((abs‘(1 − (i · (√‘3))))↑2) = (2↑2))
61	44, 46, 47, 49, 60	sq11d 14285	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘(1 − (i · (√‘3)))) = 2)
62	38, 42	abssubd 15497	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘((i · (√‘3)) − 1)) = (abs‘(1 − (i · (√‘3)))))
63	5, 50	resubcld 11630	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (3 − 1) ∈ ℝ)
64		3m1e2 12359	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 − 1) = 2
65	49, 64	breqtrrdi 5147	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 ≤ (3 − 1))
66	63, 65	absidd 15464	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (abs‘(3 − 1)) = (3 − 1))
67	66, 64	eqtrdi 2816	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘(3 − 1)) = 2)
68	61, 62, 67	3eqtr4d 2810	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (abs‘((i · (√‘3)) − 1)) = (abs‘(3 − 1)))
69	42	negcld 11544	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → -1 ∈ ℂ)
70	69, 38	subcld 11557	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (-1 − (i · (√‘3))) ∈ ℂ)
71	70	abscld 15480	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (abs‘(-1 − (i · (√‘3)))) ∈ ℝ)
72	70	absge0d 15488	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ≤ (abs‘(-1 − (i · (√‘3)))))
73	50	renegcld 11629	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → -1 ∈ ℝ)
74	7, 73	pythagreim 33002	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((abs‘(-1 − (i · (√‘3))))↑2) = (((√‘3)↑2) + (-1↑2)))
75		neg1sqe1 14223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1↑2) = 1
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (-1↑2) = 1)
77	52, 76	oveq12d 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (((√‘3)↑2) + (-1↑2)) = (3 + 1))
78	77, 58	eqtrdi 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (((√‘3)↑2) + (-1↑2)) = (2↑2))
79	74, 78	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((abs‘(-1 − (i · (√‘3))))↑2) = (2↑2))
80	71, 46, 72, 49, 79	sq11d 14285	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘(-1 − (i · (√‘3)))) = 2)
81	38, 69	abssubd 15497	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘((i · (√‘3)) − -1)) = (abs‘(-1 − (i · (√‘3)))))
82	80, 81, 67	3eqtr4d 2810	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (abs‘((i · (√‘3)) − -1)) = (abs‘(3 − 1)))
83	35, 36, 35, 37, 36, 35, 38, 41, 68, 82	constrcccl 34065	. . . 4 ⊢ (⊤ → (i · (√‘3)) ∈ Constr)
84		ine0 11637	. . . . . 6 ⊢ i ≠ 0
85	84	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → i ≠ 0)
86	2, 8, 85, 29	mulne0d 11854	. . . 4 ⊢ (⊤ → (i · (√‘3)) ≠ 0)
87	83, 86	constrdircl 34072	. . 3 ⊢ (⊤ → ((i · (√‘3)) / (abs‘(i · (√‘3)))) ∈ Constr)
88	32, 87	eqeltrrd 2866	. 2 ⊢ (⊤ → i ∈ Constr)
89	88	mptru 1570	1 ⊢ i ∈ Constr

Syntax hints:   = wceq 1563  ⊤wtru 1564   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089  ici 11090   + caddc 11091   · cmul 11093   ≤ cle 11232   − cmin 11429  -cneg 11430   / cdiv 11859  ℕcn 12224  2c2 12286  3c3 12287  4c4 12288  ℕ₀cn0 12495  ↑cexp 14088  √csqrt 15274  abscabs 15275  Constrcconstr 34036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-seq 14029  df-exp 14089  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-constr 34037

This theorem is referenced by:  constrremulcl  34074  constrmulcl  34078  constrreinvcl  34079  constrresqrtcl  34084  constrsqrtcl  34086