Theorem iconstr 33746

Description: The imaginary unit i is constructible. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
iconstr	⊢ i ∈ Constr

Proof of Theorem iconstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11196	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → i ∈ ℂ)
3		3nn0 12527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℕ0)
5	4	nn0red 12571	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
6	4	nn0ge0d 12573	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 0 ≤ 3)
7	5, 6	resqrtcld 15438	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (√‘3) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11271	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (√‘3) ∈ ℂ)
9	2, 8	absmuld 15475	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘(i · (√‘3))) = ((abs‘i) · (abs‘(√‘3))))
10		absi 15307	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘i) = 1
11	7	mptru 1546	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘3) ∈ ℝ
12		3re 12328	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
13	6	mptru 1546	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 3
14		sqrtge0 15278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → 0 ≤ (√‘3))
15	12, 13, 14	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (√‘3)
16		absid 15317	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘3)) → (abs‘(√‘3)) = (√‘3))
17	11, 15, 16	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(√‘3)) = (√‘3)
18	10, 17	oveq12i 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘i) · (abs‘(√‘3))) = (1 · (√‘3))
19	8	mptru 1546	. . . . . . . 8 ⊢ (√‘3) ∈ ℂ
20	19	mullidi 11248	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (√‘3)) = (√‘3)
21	18, 20	eqtri 2757	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘i) · (abs‘(√‘3))) = (√‘3)
22	9, 21	eqtrdi 2785	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (abs‘(i · (√‘3))) = (√‘3))
23	22	oveq2d 7429	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((i · (√‘3)) / (abs‘(i · (√‘3)))) = ((i · (√‘3)) / (√‘3)))
24	4	nn0cnd 12572	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℂ)
25		3ne0 12354	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
26		cnsqrt00 15413	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℂ → ((√‘3) = 0 ↔ 3 = 0))
27	26	necon3bid 2975	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℂ → ((√‘3) ≠ 0 ↔ 3 ≠ 0))
28	27	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (√‘3) ≠ 0)
29	24, 25, 28	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (√‘3) ≠ 0)
30	29	mptru 1546	. . . . 5 ⊢ (√‘3) ≠ 0
31	1, 19, 30	divcan4i 11996	. . . 4 ⊢ ((i · (√‘3)) / (√‘3)) = i
32	23, 31	eqtrdi 2785	. . 3 ⊢ (⊤ → ((i · (√‘3)) / (abs‘(i · (√‘3)))) = i)
33		1nn0 12525	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
35	34	nn0constr 33741	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ Constr)
36	4	nn0constr 33741	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 ∈ Constr)
37	35	constrnegcl 33743	. . . . 5 ⊢ (⊤ → -1 ∈ Constr)
38	2, 8	mulcld 11263	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (i · (√‘3)) ∈ ℂ)
39		1nn 12259	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
40		nnneneg 12283	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ≠ -1)
41	39, 40	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ≠ -1)
42		1cnd 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
43	42, 38	subcld 11602	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (1 − (i · (√‘3))) ∈ ℂ)
44	43	abscld 15457	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (abs‘(1 − (i · (√‘3)))) ∈ ℝ)
45		2re 12322	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
46	45	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
47	43	absge0d 15465	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ≤ (abs‘(1 − (i · (√‘3)))))
48		0le2 12350	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 2
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ≤ 2)
50		1red 11244	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
51	7, 50	pythagreim 32689	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((abs‘(1 − (i · (√‘3))))↑2) = (((√‘3)↑2) + (1↑2)))
52	24	sqsqrtd 15460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((√‘3)↑2) = 3)
53		sq1 14216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1↑2) = 1
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (1↑2) = 1)
55	52, 54	oveq12d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (((√‘3)↑2) + (1↑2)) = (3 + 1))
56		3p1e4 12393	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
57		sq2 14218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) = 4
58	56, 57	eqtr4i 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = (2↑2)
59	55, 58	eqtrdi 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (((√‘3)↑2) + (1↑2)) = (2↑2))
60	51, 59	eqtrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((abs‘(1 − (i · (√‘3))))↑2) = (2↑2))
61	44, 46, 47, 49, 60	sq11d 14279	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘(1 − (i · (√‘3)))) = 2)
62	38, 42	abssubd 15474	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘((i · (√‘3)) − 1)) = (abs‘(1 − (i · (√‘3)))))
63	5, 50	resubcld 11673	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (3 − 1) ∈ ℝ)
64		3m1e2 12376	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 − 1) = 2
65	49, 64	breqtrrdi 5165	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 ≤ (3 − 1))
66	63, 65	absidd 15443	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (abs‘(3 − 1)) = (3 − 1))
67	66, 64	eqtrdi 2785	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘(3 − 1)) = 2)
68	61, 62, 67	3eqtr4d 2779	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (abs‘((i · (√‘3)) − 1)) = (abs‘(3 − 1)))
69	42	negcld 11589	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → -1 ∈ ℂ)
70	69, 38	subcld 11602	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (-1 − (i · (√‘3))) ∈ ℂ)
71	70	abscld 15457	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (abs‘(-1 − (i · (√‘3)))) ∈ ℝ)
72	70	absge0d 15465	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ≤ (abs‘(-1 − (i · (√‘3)))))
73	50	renegcld 11672	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → -1 ∈ ℝ)
74	7, 73	pythagreim 32689	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((abs‘(-1 − (i · (√‘3))))↑2) = (((√‘3)↑2) + (-1↑2)))
75		neg1sqe1 14217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1↑2) = 1
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (-1↑2) = 1)
77	52, 76	oveq12d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (((√‘3)↑2) + (-1↑2)) = (3 + 1))
78	77, 58	eqtrdi 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (((√‘3)↑2) + (-1↑2)) = (2↑2))
79	74, 78	eqtrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((abs‘(-1 − (i · (√‘3))))↑2) = (2↑2))
80	71, 46, 72, 49, 79	sq11d 14279	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘(-1 − (i · (√‘3)))) = 2)
81	38, 69	abssubd 15474	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘((i · (√‘3)) − -1)) = (abs‘(-1 − (i · (√‘3)))))
82	80, 81, 67	3eqtr4d 2779	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (abs‘((i · (√‘3)) − -1)) = (abs‘(3 − 1)))
83	35, 36, 35, 37, 36, 35, 38, 41, 68, 82	constrcccl 33738	. . . 4 ⊢ (⊤ → (i · (√‘3)) ∈ Constr)
84		ine0 11680	. . . . . 6 ⊢ i ≠ 0
85	84	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → i ≠ 0)
86	2, 8, 85, 29	mulne0d 11897	. . . 4 ⊢ (⊤ → (i · (√‘3)) ≠ 0)
87	83, 86	constrdircl 33745	. . 3 ⊢ (⊤ → ((i · (√‘3)) / (abs‘(i · (√‘3)))) ∈ Constr)
88	32, 87	eqeltrrd 2834	. 2 ⊢ (⊤ → i ∈ Constr)
89	88	mptru 1546	1 ⊢ i ∈ Constr

Syntax hints:   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   class class class wbr 5123  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  ℂcc 11135  ℝcr 11136  0cc0 11137  1c1 11138  ici 11139   + caddc 11140   · cmul 11142   ≤ cle 11278   − cmin 11474  -cneg 11475   / cdiv 11902  ℕcn 12248  2c2 12303  3c3 12304  4c4 12305  ℕ₀cn0 12509  ↑cexp 14084  √csqrt 15254  abscabs 15255  Constrcconstr 33709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-sup 9464  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13017  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15120  df-re 15121  df-im 15122  df-sqrt 15256  df-abs 15257  df-constr 33710

This theorem is referenced by:  constrremulcl  33747