Theorem iconstr 33923

Description: The imaginary unit i is constructible. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
iconstr	⊢ i ∈ Constr

Proof of Theorem iconstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11085	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → i ∈ ℂ)
3		3nn0 12419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℕ0)
5	4	nn0red 12463	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
6	4	nn0ge0d 12465	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 0 ≤ 3)
7	5, 6	resqrtcld 15341	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (√‘3) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11160	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (√‘3) ∈ ℂ)
9	2, 8	absmuld 15380	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘(i · (√‘3))) = ((abs‘i) · (abs‘(√‘3))))
10		absi 15209	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘i) = 1
11	7	mptru 1548	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘3) ∈ ℝ
12		3re 12225	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
13	6	mptru 1548	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 3
14		sqrtge0 15180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → 0 ≤ (√‘3))
15	12, 13, 14	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (√‘3)
16		absid 15219	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘3)) → (abs‘(√‘3)) = (√‘3))
17	11, 15, 16	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(√‘3)) = (√‘3)
18	10, 17	oveq12i 7370	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘i) · (abs‘(√‘3))) = (1 · (√‘3))
19	8	mptru 1548	. . . . . . . 8 ⊢ (√‘3) ∈ ℂ
20	19	mullidi 11137	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (√‘3)) = (√‘3)
21	18, 20	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘i) · (abs‘(√‘3))) = (√‘3)
22	9, 21	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (abs‘(i · (√‘3))) = (√‘3))
23	22	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((i · (√‘3)) / (abs‘(i · (√‘3)))) = ((i · (√‘3)) / (√‘3)))
24	4	nn0cnd 12464	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℂ)
25		3ne0 12251	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
26		cnsqrt00 15316	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℂ → ((√‘3) = 0 ↔ 3 = 0))
27	26	necon3bid 2976	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℂ → ((√‘3) ≠ 0 ↔ 3 ≠ 0))
28	27	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (√‘3) ≠ 0)
29	24, 25, 28	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (√‘3) ≠ 0)
30	29	mptru 1548	. . . . 5 ⊢ (√‘3) ≠ 0
31	1, 19, 30	divcan4i 11888	. . . 4 ⊢ ((i · (√‘3)) / (√‘3)) = i
32	23, 31	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (⊤ → ((i · (√‘3)) / (abs‘(i · (√‘3)))) = i)
33		1nn0 12417	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
35	34	nn0constr 33918	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ Constr)
36	4	nn0constr 33918	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 ∈ Constr)
37	35	constrnegcl 33920	. . . . 5 ⊢ (⊤ → -1 ∈ Constr)
38	2, 8	mulcld 11152	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (i · (√‘3)) ∈ ℂ)
39		1nn 12156	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
40		nnneneg 12180	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ≠ -1)
41	39, 40	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ≠ -1)
42		1cnd 11127	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
43	42, 38	subcld 11492	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (1 − (i · (√‘3))) ∈ ℂ)
44	43	abscld 15362	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (abs‘(1 − (i · (√‘3)))) ∈ ℝ)
45		2re 12219	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
46	45	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
47	43	absge0d 15370	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ≤ (abs‘(1 − (i · (√‘3)))))
48		0le2 12247	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 2
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ≤ 2)
50		1red 11133	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
51	7, 50	pythagreim 32825	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((abs‘(1 − (i · (√‘3))))↑2) = (((√‘3)↑2) + (1↑2)))
52	24	sqsqrtd 15365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((√‘3)↑2) = 3)
53		sq1 14118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1↑2) = 1
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (1↑2) = 1)
55	52, 54	oveq12d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (((√‘3)↑2) + (1↑2)) = (3 + 1))
56		3p1e4 12285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
57		sq2 14120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) = 4
58	56, 57	eqtr4i 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = (2↑2)
59	55, 58	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (((√‘3)↑2) + (1↑2)) = (2↑2))
60	51, 59	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((abs‘(1 − (i · (√‘3))))↑2) = (2↑2))
61	44, 46, 47, 49, 60	sq11d 14181	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘(1 − (i · (√‘3)))) = 2)
62	38, 42	abssubd 15379	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘((i · (√‘3)) − 1)) = (abs‘(1 − (i · (√‘3)))))
63	5, 50	resubcld 11565	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (3 − 1) ∈ ℝ)
64		3m1e2 12268	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 − 1) = 2
65	49, 64	breqtrrdi 5140	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 ≤ (3 − 1))
66	63, 65	absidd 15346	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (abs‘(3 − 1)) = (3 − 1))
67	66, 64	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘(3 − 1)) = 2)
68	61, 62, 67	3eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (abs‘((i · (√‘3)) − 1)) = (abs‘(3 − 1)))
69	42	negcld 11479	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → -1 ∈ ℂ)
70	69, 38	subcld 11492	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (-1 − (i · (√‘3))) ∈ ℂ)
71	70	abscld 15362	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (abs‘(-1 − (i · (√‘3)))) ∈ ℝ)
72	70	absge0d 15370	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ≤ (abs‘(-1 − (i · (√‘3)))))
73	50	renegcld 11564	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → -1 ∈ ℝ)
74	7, 73	pythagreim 32825	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((abs‘(-1 − (i · (√‘3))))↑2) = (((√‘3)↑2) + (-1↑2)))
75		neg1sqe1 14119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1↑2) = 1
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (-1↑2) = 1)
77	52, 76	oveq12d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (((√‘3)↑2) + (-1↑2)) = (3 + 1))
78	77, 58	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (((√‘3)↑2) + (-1↑2)) = (2↑2))
79	74, 78	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((abs‘(-1 − (i · (√‘3))))↑2) = (2↑2))
80	71, 46, 72, 49, 79	sq11d 14181	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘(-1 − (i · (√‘3)))) = 2)
81	38, 69	abssubd 15379	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘((i · (√‘3)) − -1)) = (abs‘(-1 − (i · (√‘3)))))
82	80, 81, 67	3eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (abs‘((i · (√‘3)) − -1)) = (abs‘(3 − 1)))
83	35, 36, 35, 37, 36, 35, 38, 41, 68, 82	constrcccl 33915	. . . 4 ⊢ (⊤ → (i · (√‘3)) ∈ Constr)
84		ine0 11572	. . . . . 6 ⊢ i ≠ 0
85	84	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → i ≠ 0)
86	2, 8, 85, 29	mulne0d 11789	. . . 4 ⊢ (⊤ → (i · (√‘3)) ≠ 0)
87	83, 86	constrdircl 33922	. . 3 ⊢ (⊤ → ((i · (√‘3)) / (abs‘(i · (√‘3)))) ∈ Constr)
88	32, 87	eqeltrrd 2837	. 2 ⊢ (⊤ → i ∈ Constr)
89	88	mptru 1548	1 ⊢ i ∈ Constr

Syntax hints:   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027  ici 11028   + caddc 11029   · cmul 11031   ≤ cle 11167   − cmin 11364  -cneg 11365   / cdiv 11794  ℕcn 12145  2c2 12200  3c3 12201  4c4 12202  ℕ₀cn0 12401  ↑cexp 13984  √csqrt 15156  abscabs 15157  Constrcconstr 33886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-constr 33887

This theorem is referenced by:  constrremulcl  33924  constrmulcl  33928  constrreinvcl  33929  constrresqrtcl  33934  constrsqrtcl  33936