Theorem iconstr 33774

Description: The imaginary unit i is constructible. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
iconstr	⊢ i ∈ Constr

Proof of Theorem iconstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11062	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → i ∈ ℂ)
3		3nn0 12396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℕ0)
5	4	nn0red 12440	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
6	4	nn0ge0d 12442	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 0 ≤ 3)
7	5, 6	resqrtcld 15322	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (√‘3) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11137	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (√‘3) ∈ ℂ)
9	2, 8	absmuld 15361	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘(i · (√‘3))) = ((abs‘i) · (abs‘(√‘3))))
10		absi 15190	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘i) = 1
11	7	mptru 1548	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘3) ∈ ℝ
12		3re 12202	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
13	6	mptru 1548	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 3
14		sqrtge0 15161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → 0 ≤ (√‘3))
15	12, 13, 14	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (√‘3)
16		absid 15200	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘3)) → (abs‘(√‘3)) = (√‘3))
17	11, 15, 16	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(√‘3)) = (√‘3)
18	10, 17	oveq12i 7358	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘i) · (abs‘(√‘3))) = (1 · (√‘3))
19	8	mptru 1548	. . . . . . . 8 ⊢ (√‘3) ∈ ℂ
20	19	mullidi 11114	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (√‘3)) = (√‘3)
21	18, 20	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘i) · (abs‘(√‘3))) = (√‘3)
22	9, 21	eqtrdi 2782	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (abs‘(i · (√‘3))) = (√‘3))
23	22	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((i · (√‘3)) / (abs‘(i · (√‘3)))) = ((i · (√‘3)) / (√‘3)))
24	4	nn0cnd 12441	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℂ)
25		3ne0 12228	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
26		cnsqrt00 15297	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℂ → ((√‘3) = 0 ↔ 3 = 0))
27	26	necon3bid 2972	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℂ → ((√‘3) ≠ 0 ↔ 3 ≠ 0))
28	27	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (√‘3) ≠ 0)
29	24, 25, 28	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (√‘3) ≠ 0)
30	29	mptru 1548	. . . . 5 ⊢ (√‘3) ≠ 0
31	1, 19, 30	divcan4i 11865	. . . 4 ⊢ ((i · (√‘3)) / (√‘3)) = i
32	23, 31	eqtrdi 2782	. . 3 ⊢ (⊤ → ((i · (√‘3)) / (abs‘(i · (√‘3)))) = i)
33		1nn0 12394	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
35	34	nn0constr 33769	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ Constr)
36	4	nn0constr 33769	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 ∈ Constr)
37	35	constrnegcl 33771	. . . . 5 ⊢ (⊤ → -1 ∈ Constr)
38	2, 8	mulcld 11129	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (i · (√‘3)) ∈ ℂ)
39		1nn 12133	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
40		nnneneg 12157	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ≠ -1)
41	39, 40	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ≠ -1)
42		1cnd 11104	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
43	42, 38	subcld 11469	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (1 − (i · (√‘3))) ∈ ℂ)
44	43	abscld 15343	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (abs‘(1 − (i · (√‘3)))) ∈ ℝ)
45		2re 12196	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
46	45	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
47	43	absge0d 15351	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ≤ (abs‘(1 − (i · (√‘3)))))
48		0le2 12224	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 2
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ≤ 2)
50		1red 11110	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
51	7, 50	pythagreim 32724	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((abs‘(1 − (i · (√‘3))))↑2) = (((√‘3)↑2) + (1↑2)))
52	24	sqsqrtd 15346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((√‘3)↑2) = 3)
53		sq1 14099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1↑2) = 1
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (1↑2) = 1)
55	52, 54	oveq12d 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (((√‘3)↑2) + (1↑2)) = (3 + 1))
56		3p1e4 12262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
57		sq2 14101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) = 4
58	56, 57	eqtr4i 2757	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = (2↑2)
59	55, 58	eqtrdi 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (((√‘3)↑2) + (1↑2)) = (2↑2))
60	51, 59	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((abs‘(1 − (i · (√‘3))))↑2) = (2↑2))
61	44, 46, 47, 49, 60	sq11d 14162	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘(1 − (i · (√‘3)))) = 2)
62	38, 42	abssubd 15360	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘((i · (√‘3)) − 1)) = (abs‘(1 − (i · (√‘3)))))
63	5, 50	resubcld 11542	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (3 − 1) ∈ ℝ)
64		3m1e2 12245	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 − 1) = 2
65	49, 64	breqtrrdi 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 ≤ (3 − 1))
66	63, 65	absidd 15327	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (abs‘(3 − 1)) = (3 − 1))
67	66, 64	eqtrdi 2782	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘(3 − 1)) = 2)
68	61, 62, 67	3eqtr4d 2776	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (abs‘((i · (√‘3)) − 1)) = (abs‘(3 − 1)))
69	42	negcld 11456	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → -1 ∈ ℂ)
70	69, 38	subcld 11469	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (-1 − (i · (√‘3))) ∈ ℂ)
71	70	abscld 15343	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (abs‘(-1 − (i · (√‘3)))) ∈ ℝ)
72	70	absge0d 15351	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ≤ (abs‘(-1 − (i · (√‘3)))))
73	50	renegcld 11541	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → -1 ∈ ℝ)
74	7, 73	pythagreim 32724	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((abs‘(-1 − (i · (√‘3))))↑2) = (((√‘3)↑2) + (-1↑2)))
75		neg1sqe1 14100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1↑2) = 1
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (-1↑2) = 1)
77	52, 76	oveq12d 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (((√‘3)↑2) + (-1↑2)) = (3 + 1))
78	77, 58	eqtrdi 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (((√‘3)↑2) + (-1↑2)) = (2↑2))
79	74, 78	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((abs‘(-1 − (i · (√‘3))))↑2) = (2↑2))
80	71, 46, 72, 49, 79	sq11d 14162	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘(-1 − (i · (√‘3)))) = 2)
81	38, 69	abssubd 15360	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (abs‘((i · (√‘3)) − -1)) = (abs‘(-1 − (i · (√‘3)))))
82	80, 81, 67	3eqtr4d 2776	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (abs‘((i · (√‘3)) − -1)) = (abs‘(3 − 1)))
83	35, 36, 35, 37, 36, 35, 38, 41, 68, 82	constrcccl 33766	. . . 4 ⊢ (⊤ → (i · (√‘3)) ∈ Constr)
84		ine0 11549	. . . . . 6 ⊢ i ≠ 0
85	84	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → i ≠ 0)
86	2, 8, 85, 29	mulne0d 11766	. . . 4 ⊢ (⊤ → (i · (√‘3)) ≠ 0)
87	83, 86	constrdircl 33773	. . 3 ⊢ (⊤ → ((i · (√‘3)) / (abs‘(i · (√‘3)))) ∈ Constr)
88	32, 87	eqeltrrd 2832	. 2 ⊢ (⊤ → i ∈ Constr)
89	88	mptru 1548	1 ⊢ i ∈ Constr

Syntax hints:   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  ℝcr 11002  0cc0 11003  1c1 11004  ici 11005   + caddc 11006   · cmul 11008   ≤ cle 11144   − cmin 11341  -cneg 11342   / cdiv 11771  ℕcn 12122  2c2 12177  3c3 12178  4c4 12179  ℕ₀cn0 12378  ↑cexp 13965  √csqrt 15137  abscabs 15138  Constrcconstr 33737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-rp 12888  df-seq 13906  df-exp 13966  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-constr 33738

This theorem is referenced by:  constrremulcl  33775  constrmulcl  33779  constrreinvcl  33780  constrresqrtcl  33785  constrsqrtcl  33787