Theorem constraddcl 33953

Description: Constructive numbers are closed under complex addition. Item (1) of Theorem 7.10 of [Stewart] p. 96. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constraddcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
constraddcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constraddcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ Constr)

Proof of Theorem constraddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑌)
2	1	oveq2d 7379	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋 + 𝑋) = (𝑋 + 𝑌))
3		0nn0 12450	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
5	4	nn0constr 33952	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
6		constraddcl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
7		2re 12253	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
9	6	constrcn 33951	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
10	9, 9	addcld 11162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑋) ∈ ℂ)
11		2cnd 12257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
12		0cnd 11135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
13	9, 12	subcld 11503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) ∈ ℂ)
14	11, 13	mulcld 11163	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑋 − 0)) ∈ ℂ)
15	14	addlidd 11345	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 + (2 · (𝑋 − 0))) = (2 · (𝑋 − 0)))
16	9	subid1d 11492	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
17	16	oveq2d 7379	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑋 − 0)) = (2 · 𝑋))
18	9	2timesd 12418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
19	15, 17, 18	3eqtrrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑋) = (0 + (2 · (𝑋 − 0))))
20	9, 9	pncand 11504	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑋) − 𝑋) = 𝑋)
21	20, 16	eqtr4d 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑋) − 𝑋) = (𝑋 − 0))
22	21	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋 + 𝑋) − 𝑋)) = (abs‘(𝑋 − 0)))
23	5, 6, 6, 6, 5, 8, 10, 19, 22	constrlccl 33948	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑋) ∈ Constr)
24	23	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋 + 𝑋) ∈ Constr)
25	2, 24	eqeltrrd 2841	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋 + 𝑌) ∈ Constr)
26	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ Constr)
27		constraddcl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Constr)
28	27	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ Constr)
29	5	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 0 ∈ Constr)
30	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ ℂ)
31	27	constrcn 33951	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
32	31	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℂ)
33	30, 32	addcld 11162	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℂ)
34		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
35	30, 32	pncan2d 11505	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑋) = 𝑌)
36	32	subid1d 11492	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌 − 0) = 𝑌)
37	35, 36	eqtr4d 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑋) = (𝑌 − 0))
38	37	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (abs‘((𝑋 + 𝑌) − 𝑋)) = (abs‘(𝑌 − 0)))
39	30, 32	pncand 11504	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑌) = 𝑋)
40	30	subid1d 11492	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 − 0) = 𝑋)
41	39, 40	eqtr4d 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑌) = (𝑋 − 0))
42	41	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (abs‘((𝑋 + 𝑌) − 𝑌)) = (abs‘(𝑋 − 0)))
43	26, 28, 29, 28, 26, 29, 33, 34, 38, 42	constrcccl 33949	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 + 𝑌) ∈ Constr)
44	25, 43	pm2.61dane 3022	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036   + caddc 11039   · cmul 11041   − cmin 11375  2c2 12234  ℕ₀cn0 12435  abscabs 15194  Constrcconstr 33920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-n0 12436  df-z 12523  df-constr 33921

This theorem is referenced by:  constrremulcl  33958  constrimcl  33961  constrmulcl  33962  constrreinvcl  33963  constrsdrg  33966  constrresqrtcl  33968  constrsqrtcl  33970  cos9thpinconstr  33982