Theorem constraddcl 33900

Description: Constructive numbers are closed under complex addition. Item (1) of Theorem 7.10 of [Stewart] p. 96 (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constraddcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
constraddcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constraddcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ Constr)

Proof of Theorem constraddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑌)
2	1	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋 + 𝑋) = (𝑋 + 𝑌))
3		0nn0 12420	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
5	4	nn0constr 33899	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
6		constraddcl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
7		2re 12223	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
9	6	constrcn 33898	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
10	9, 9	addcld 11155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑋) ∈ ℂ)
11		2cnd 12227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
12		0cnd 11129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
13	9, 12	subcld 11496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) ∈ ℂ)
14	11, 13	mulcld 11156	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑋 − 0)) ∈ ℂ)
15	14	addlidd 11338	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 + (2 · (𝑋 − 0))) = (2 · (𝑋 − 0)))
16	9	subid1d 11485	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
17	16	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑋 − 0)) = (2 · 𝑋))
18	9	2timesd 12388	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
19	15, 17, 18	3eqtrrd 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑋) = (0 + (2 · (𝑋 − 0))))
20	9, 9	pncand 11497	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑋) − 𝑋) = 𝑋)
21	20, 16	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑋) − 𝑋) = (𝑋 − 0))
22	21	fveq2d 6839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋 + 𝑋) − 𝑋)) = (abs‘(𝑋 − 0)))
23	5, 6, 6, 6, 5, 8, 10, 19, 22	constrlccl 33895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑋) ∈ Constr)
24	23	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋 + 𝑋) ∈ Constr)
25	2, 24	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋 + 𝑌) ∈ Constr)
26	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ Constr)
27		constraddcl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Constr)
28	27	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ Constr)
29	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 0 ∈ Constr)
30	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ ℂ)
31	27	constrcn 33898	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
32	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℂ)
33	30, 32	addcld 11155	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℂ)
34		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
35	30, 32	pncan2d 11498	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑋) = 𝑌)
36	32	subid1d 11485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌 − 0) = 𝑌)
37	35, 36	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑋) = (𝑌 − 0))
38	37	fveq2d 6839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (abs‘((𝑋 + 𝑌) − 𝑋)) = (abs‘(𝑌 − 0)))
39	30, 32	pncand 11497	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑌) = 𝑋)
40	30	subid1d 11485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 − 0) = 𝑋)
41	39, 40	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑌) = (𝑋 − 0))
42	41	fveq2d 6839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (abs‘((𝑋 + 𝑌) − 𝑌)) = (abs‘(𝑋 − 0)))
43	26, 28, 29, 28, 26, 29, 33, 34, 38, 42	constrcccl 33896	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 + 𝑌) ∈ Constr)
44	25, 43	pm2.61dane 3020	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030   + caddc 11033   · cmul 11035   − cmin 11368  2c2 12204  ℕ₀cn0 12405  abscabs 15161  Constrcconstr 33867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12406  df-z 12493  df-constr 33868

This theorem is referenced by:  constrremulcl  33905  constrimcl  33908  constrmulcl  33909  constrreinvcl  33910  constrsdrg  33913  constrresqrtcl  33915  constrsqrtcl  33917  cos9thpinconstr  33929