Theorem constraddcl 33752

Description: Constructive numbers are closed under complex addition. Item (1) of Theorem 7.10 of [Stewart] p. 96 (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constraddcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
constraddcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constraddcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ Constr)

Proof of Theorem constraddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑌)
2	1	oveq2d 7403	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋 + 𝑋) = (𝑋 + 𝑌))
3		0nn0 12457	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
5	4	nn0constr 33751	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
6		constraddcl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
7		2re 12260	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
9	6	constrcn 33750	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
10	9, 9	addcld 11193	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑋) ∈ ℂ)
11		2cnd 12264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
12		0cnd 11167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
13	9, 12	subcld 11533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) ∈ ℂ)
14	11, 13	mulcld 11194	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑋 − 0)) ∈ ℂ)
15	14	addlidd 11375	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 + (2 · (𝑋 − 0))) = (2 · (𝑋 − 0)))
16	9	subid1d 11522	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
17	16	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑋 − 0)) = (2 · 𝑋))
18	9	2timesd 12425	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
19	15, 17, 18	3eqtrrd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑋) = (0 + (2 · (𝑋 − 0))))
20	9, 9	pncand 11534	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑋) − 𝑋) = 𝑋)
21	20, 16	eqtr4d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑋) − 𝑋) = (𝑋 − 0))
22	21	fveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋 + 𝑋) − 𝑋)) = (abs‘(𝑋 − 0)))
23	5, 6, 6, 6, 5, 8, 10, 19, 22	constrlccl 33747	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑋) ∈ Constr)
24	23	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋 + 𝑋) ∈ Constr)
25	2, 24	eqeltrrd 2829	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋 + 𝑌) ∈ Constr)
26	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ Constr)
27		constraddcl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Constr)
28	27	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ Constr)
29	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 0 ∈ Constr)
30	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ ℂ)
31	27	constrcn 33750	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
32	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℂ)
33	30, 32	addcld 11193	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℂ)
34		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
35	30, 32	pncan2d 11535	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑋) = 𝑌)
36	32	subid1d 11522	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌 − 0) = 𝑌)
37	35, 36	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑋) = (𝑌 − 0))
38	37	fveq2d 6862	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (abs‘((𝑋 + 𝑌) − 𝑋)) = (abs‘(𝑌 − 0)))
39	30, 32	pncand 11534	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑌) = 𝑋)
40	30	subid1d 11522	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 − 0) = 𝑋)
41	39, 40	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑌) = (𝑋 − 0))
42	41	fveq2d 6862	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (abs‘((𝑋 + 𝑌) − 𝑌)) = (abs‘(𝑋 − 0)))
43	26, 28, 29, 28, 26, 29, 33, 34, 38, 42	constrcccl 33748	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 + 𝑌) ∈ Constr)
44	25, 43	pm2.61dane 3012	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068   + caddc 11071   · cmul 11073   − cmin 11405  2c2 12241  ℕ₀cn0 12442  abscabs 15200  Constrcconstr 33719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-constr 33720

This theorem is referenced by:  constrremulcl  33757  constrimcl  33760  constrmulcl  33761  constrreinvcl  33762  constrsdrg  33765  constrresqrtcl  33767  constrsqrtcl  33769  cos9thpinconstr  33781