Theorem constraddcl 33939

Description: Constructive numbers are closed under complex addition. Item (1) of Theorem 7.10 of [Stewart] p. 96. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constraddcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
constraddcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constraddcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ Constr)

Proof of Theorem constraddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑌)
2	1	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋 + 𝑋) = (𝑋 + 𝑌))
3		0nn0 12428	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
5	4	nn0constr 33938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
6		constraddcl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
7		2re 12231	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
9	6	constrcn 33937	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
10	9, 9	addcld 11163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑋) ∈ ℂ)
11		2cnd 12235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
12		0cnd 11137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
13	9, 12	subcld 11504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) ∈ ℂ)
14	11, 13	mulcld 11164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑋 − 0)) ∈ ℂ)
15	14	addlidd 11346	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 + (2 · (𝑋 − 0))) = (2 · (𝑋 − 0)))
16	9	subid1d 11493	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
17	16	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑋 − 0)) = (2 · 𝑋))
18	9	2timesd 12396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
19	15, 17, 18	3eqtrrd 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑋) = (0 + (2 · (𝑋 − 0))))
20	9, 9	pncand 11505	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑋) − 𝑋) = 𝑋)
21	20, 16	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑋) − 𝑋) = (𝑋 − 0))
22	21	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋 + 𝑋) − 𝑋)) = (abs‘(𝑋 − 0)))
23	5, 6, 6, 6, 5, 8, 10, 19, 22	constrlccl 33934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑋) ∈ Constr)
24	23	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋 + 𝑋) ∈ Constr)
25	2, 24	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋 + 𝑌) ∈ Constr)
26	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ Constr)
27		constraddcl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Constr)
28	27	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ Constr)
29	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 0 ∈ Constr)
30	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ ℂ)
31	27	constrcn 33937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
32	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℂ)
33	30, 32	addcld 11163	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℂ)
34		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
35	30, 32	pncan2d 11506	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑋) = 𝑌)
36	32	subid1d 11493	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌 − 0) = 𝑌)
37	35, 36	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑋) = (𝑌 − 0))
38	37	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (abs‘((𝑋 + 𝑌) − 𝑋)) = (abs‘(𝑌 − 0)))
39	30, 32	pncand 11505	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑌) = 𝑋)
40	30	subid1d 11493	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 − 0) = 𝑋)
41	39, 40	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑌) = (𝑋 − 0))
42	41	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (abs‘((𝑋 + 𝑌) − 𝑌)) = (abs‘(𝑋 − 0)))
43	26, 28, 29, 28, 26, 29, 33, 34, 38, 42	constrcccl 33935	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 + 𝑌) ∈ Constr)
44	25, 43	pm2.61dane 3020	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11376  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  abscabs 15169  Constrcconstr 33906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-constr 33907

This theorem is referenced by:  constrremulcl  33944  constrimcl  33947  constrmulcl  33948  constrreinvcl  33949  constrsdrg  33952  constrresqrtcl  33954  constrsqrtcl  33956  cos9thpinconstr  33968