Theorem constraddcl 34069

Description: Constructive numbers are closed under complex addition. Item (1) of Theorem 7.10 of [Stewart] p. 96. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constraddcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
constraddcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constraddcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ Constr)

Proof of Theorem constraddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑌)
2	1	oveq2d 7416	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋 + 𝑋) = (𝑋 + 𝑌))
3		0nn0 12510	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
5	4	nn0constr 34068	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
6		constraddcl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
7		2re 12306	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
9	6	constrcn 34067	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
10	9, 9	addcld 11216	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑋) ∈ ℂ)
11		2cnd 12310	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
12		0cnd 11187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
13	9, 12	subcld 11557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) ∈ ℂ)
14	11, 13	mulcld 11217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑋 − 0)) ∈ ℂ)
15	14	addlidd 11399	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 + (2 · (𝑋 − 0))) = (2 · (𝑋 − 0)))
16	9	subid1d 11546	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
17	16	oveq2d 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑋 − 0)) = (2 · 𝑋))
18	9	2timesd 12478	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
19	15, 17, 18	3eqtrrd 2805	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑋) = (0 + (2 · (𝑋 − 0))))
20	9, 9	pncand 11558	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑋) − 𝑋) = 𝑋)
21	20, 16	eqtr4d 2803	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑋) − 𝑋) = (𝑋 − 0))
22	21	fveq2d 6875	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋 + 𝑋) − 𝑋)) = (abs‘(𝑋 − 0)))
23	5, 6, 6, 6, 5, 8, 10, 19, 22	constrlccl 34064	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑋) ∈ Constr)
24	23	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋 + 𝑋) ∈ Constr)
25	2, 24	eqeltrrd 2866	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑋 + 𝑌) ∈ Constr)
26	6	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ Constr)
27		constraddcl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Constr)
28	27	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ Constr)
29	5	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 0 ∈ Constr)
30	9	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ ℂ)
31	27	constrcn 34067	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
32	31	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℂ)
33	30, 32	addcld 11216	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℂ)
34		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
35	30, 32	pncan2d 11559	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑋) = 𝑌)
36	32	subid1d 11546	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌 − 0) = 𝑌)
37	35, 36	eqtr4d 2803	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑋) = (𝑌 − 0))
38	37	fveq2d 6875	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (abs‘((𝑋 + 𝑌) − 𝑋)) = (abs‘(𝑌 − 0)))
39	30, 32	pncand 11558	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑌) = 𝑋)
40	30	subid1d 11546	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 − 0) = 𝑋)
41	39, 40	eqtr4d 2803	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑌) = (𝑋 − 0))
42	41	fveq2d 6875	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (abs‘((𝑋 + 𝑌) − 𝑌)) = (abs‘(𝑋 − 0)))
43	26, 28, 29, 28, 26, 29, 33, 34, 38, 42	constrcccl 34065	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 + 𝑌) ∈ Constr)
44	25, 43	pm2.61dane 3047	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088   + caddc 11091   · cmul 11093   − cmin 11429  2c2 12286  ℕ₀cn0 12495  abscabs 15275  Constrcconstr 34036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-n0 12496  df-z 12583  df-constr 34037

This theorem is referenced by:  constrremulcl  34074  constrimcl  34077  constrmulcl  34078  constrreinvcl  34079  constrsdrg  34082  constrresqrtcl  34084  constrsqrtcl  34086  cos9thpinconstr  34098