Theorem constrext2chn 33793

Description: If a constructible number generates some subfield 𝐿 of ℂ, then the degree of the extension of 𝐿 over ℚ is a power of two. Theorem 7.12 of [Stewart] p. 98. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrext2chn.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
constrext2chn.l	⊢ 𝐿 = (ℂfld ↾s 𝑆)
constrext2chn.s	⊢ 𝑆 = (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴}))
constrext2chn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constrext2chn	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝐿[:]𝑄) = (2↑𝑛))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝐿   𝑄,𝑛   𝑆,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem constrext2chn

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 𝑚 𝑜 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrcbvlem 33789	. 2 ⊢ rec((𝑧 ∈ V ↦ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (∃𝑖 ∈ 𝑧 ∃𝑗 ∈ 𝑧 ∃𝑘 ∈ 𝑧 ∃𝑙 ∈ 𝑧 ∃𝑜 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑖 + (𝑜 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ 𝑦 = (𝑘 + (𝑝 · (𝑙 − 𝑘))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑗 − 𝑖)) · (𝑙 − 𝑘))) ≠ 0) ∨ ∃𝑖 ∈ 𝑧 ∃𝑗 ∈ 𝑧 ∃𝑘 ∈ 𝑧 ∃𝑚 ∈ 𝑧 ∃𝑞 ∈ 𝑧 ∃𝑜 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑖 + (𝑜 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑘)) = (abs‘(𝑚 − 𝑞))) ∨ ∃𝑖 ∈ 𝑧 ∃𝑗 ∈ 𝑧 ∃𝑘 ∈ 𝑧 ∃𝑙 ∈ 𝑧 ∃𝑚 ∈ 𝑧 ∃𝑞 ∈ 𝑧 (𝑖 ≠ 𝑙 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑖)) = (abs‘(𝑗 − 𝑘)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑙)) = (abs‘(𝑚 − 𝑞))))}), {0, 1}) = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
2		eqid 2733	. 2 ⊢ (ℂfld ↾s 𝑒) = (ℂfld ↾s 𝑒)
3		eqid 2733	. 2 ⊢ (ℂfld ↾s 𝑓) = (ℂfld ↾s 𝑓)
4		oveq2 7360	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑒 → (ℂfld ↾s ℎ) = (ℂfld ↾s 𝑒))
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒) → (ℂfld ↾s ℎ) = (ℂfld ↾s 𝑒))
6		oveq2 7360	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (ℂfld ↾s 𝑔) = (ℂfld ↾s 𝑓))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒) → (ℂfld ↾s 𝑔) = (ℂfld ↾s 𝑓))
8	5, 7	breq12d 5106	. . . 4 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒) → ((ℂfld ↾s ℎ)/FldExt(ℂfld ↾s 𝑔) ↔ (ℂfld ↾s 𝑒)/FldExt(ℂfld ↾s 𝑓)))
9	5, 7	oveq12d 7370	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒) → ((ℂfld ↾s ℎ)[:](ℂfld ↾s 𝑔)) = ((ℂfld ↾s 𝑒)[:](ℂfld ↾s 𝑓)))
10	9	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒) → (((ℂfld ↾s ℎ)[:](ℂfld ↾s 𝑔)) = 2 ↔ ((ℂfld ↾s 𝑒)[:](ℂfld ↾s 𝑓)) = 2))
11	8, 10	anbi12d 632	. . 3 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒) → (((ℂfld ↾s ℎ)/FldExt(ℂfld ↾s 𝑔) ∧ ((ℂfld ↾s ℎ)[:](ℂfld ↾s 𝑔)) = 2) ↔ ((ℂfld ↾s 𝑒)/FldExt(ℂfld ↾s 𝑓) ∧ ((ℂfld ↾s 𝑒)[:](ℂfld ↾s 𝑓)) = 2)))
12	11	cbvopabv 5166	. 2 ⊢ {⟨𝑔, ℎ⟩ ∣ ((ℂfld ↾s ℎ)/FldExt(ℂfld ↾s 𝑔) ∧ ((ℂfld ↾s ℎ)[:](ℂfld ↾s 𝑔)) = 2)} = {⟨𝑓, 𝑒⟩ ∣ ((ℂfld ↾s 𝑒)/FldExt(ℂfld ↾s 𝑓) ∧ ((ℂfld ↾s 𝑒)[:](ℂfld ↾s 𝑓)) = 2)}
13		peano1 7825	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ ω)
15		constrext2chn.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
16		constrext2chn.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℂfld ↾s 𝑆)
17		constrext2chn.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴}))
18	17	oveq2i 7363	. . 3 ⊢ (ℂfld ↾s 𝑆) = (ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))
19	16, 18	eqtri 2756	. 2 ⊢ 𝐿 = (ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))
20		constrext2chn.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Constr)
21	1, 2, 3, 12, 14, 15, 19, 20	constrext2chnlem 33784	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝐿[:]𝑄) = (2↑𝑛))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057  {crab 3396  Vcvv 3437   ∪ cun 3896  ∅c0 4282  {csn 4575  {cpr 4577   class class class wbr 5093  {copab 5155   ↦ cmpt 5174  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ωcom 7802  reccrdg 8334  ℂcc 11011  ℝcr 11012  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   · cmul 11018   − cmin 11351  2c2 12187  ℕ₀cn0 12388  ℚcq 12848  ↑cexp 13970  ∗ccj 15005  ℑcim 15007  abscabs 15143   ↾_s cress 17143  ℂ_fldccnfld 21293   fldGen cfldgen 33283  /_FldExtcfldext 33672  [:]cextdg 33674  Constrcconstr 33763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-reg 9485  ax-inf2 9538  ax-ac2 10361  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092  ax-mulf 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-ofr 7617  df-rpss 7662  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-er 8628  df-ec 8630  df-qs 8634  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-r1 9664  df-rank 9665  df-dju 9801  df-card 9839  df-acn 9842  df-ac 10014  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-xnn0 12462  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xmul 13015  df-ico 13253  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-word 14423  df-lsw 14472  df-concat 14480  df-s1 14506  df-substr 14551  df-pfx 14581  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-dvds 16166  df-gcd 16408  df-prm 16585  df-pc 16751  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ocomp 17184  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-prds 17353  df-pws 17355  df-imas 17414  df-qus 17415  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-mri 17492  df-acs 17493  df-proset 18202  df-drs 18203  df-poset 18221  df-ipo 18436  df-chn 18514  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-mulg 18983  df-subg 19038  df-nsg 19039  df-eqg 19040  df-ghm 19127  df-gim 19173  df-cntz 19231  df-oppg 19260  df-lsm 19550  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-srg 20107  df-ring 20155  df-cring 20156  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-irred 20279  df-invr 20308  df-dvr 20321  df-rhm 20392  df-nzr 20430  df-subrng 20463  df-subrg 20487  df-rlreg 20611  df-domn 20612  df-idom 20613  df-drng 20648  df-field 20649  df-sdrg 20704  df-lmod 20797  df-lss 20867  df-lsp 20907  df-lmhm 20958  df-lmim 20959  df-lmic 20960  df-lbs 21011  df-lvec 21039  df-sra 21109  df-rgmod 21110  df-lidl 21147  df-rsp 21148  df-2idl 21189  df-lpidl 21261  df-lpir 21262  df-pid 21276  df-cnfld 21294  df-dsmm 21671  df-frlm 21686  df-uvc 21722  df-lindf 21745  df-linds 21746  df-assa 21792  df-asp 21793  df-ascl 21794  df-psr 21848  df-mvr 21849  df-mpl 21850  df-opsr 21852  df-evls 22010  df-evl 22011  df-psr1 22093  df-vr1 22094  df-ply1 22095  df-coe1 22096  df-evls1 22231  df-evl1 22232  df-mdeg 25988  df-deg1 25989  df-mon1 26064  df-uc1p 26065  df-q1p 26066  df-r1p 26067  df-ig1p 26068  df-fldgen 33284  df-mxidl 33432  df-dim 33633  df-fldext 33675  df-extdg 33676  df-irng 33718  df-minply 33734  df-constr 33764

This theorem is referenced by:  constrcon  33808