Theorem constrext2chn 33916

Description: If a constructible number generates some subfield 𝐿 of ℂ, then the degree of the extension of 𝐿 over ℚ is a power of two. Theorem 7.12 of [Stewart] p. 98. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrext2chn.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
constrext2chn.l	⊢ 𝐿 = (ℂfld ↾s 𝑆)
constrext2chn.s	⊢ 𝑆 = (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴}))
constrext2chn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constrext2chn	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝐿[:]𝑄) = (2↑𝑛))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝐿   𝑄,𝑛   𝑆,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem constrext2chn

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 𝑚 𝑜 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrcbvlem 33912	. 2 ⊢ rec((𝑧 ∈ V ↦ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (∃𝑖 ∈ 𝑧 ∃𝑗 ∈ 𝑧 ∃𝑘 ∈ 𝑧 ∃𝑙 ∈ 𝑧 ∃𝑜 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑖 + (𝑜 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ 𝑦 = (𝑘 + (𝑝 · (𝑙 − 𝑘))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑗 − 𝑖)) · (𝑙 − 𝑘))) ≠ 0) ∨ ∃𝑖 ∈ 𝑧 ∃𝑗 ∈ 𝑧 ∃𝑘 ∈ 𝑧 ∃𝑚 ∈ 𝑧 ∃𝑞 ∈ 𝑧 ∃𝑜 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑖 + (𝑜 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑘)) = (abs‘(𝑚 − 𝑞))) ∨ ∃𝑖 ∈ 𝑧 ∃𝑗 ∈ 𝑧 ∃𝑘 ∈ 𝑧 ∃𝑙 ∈ 𝑧 ∃𝑚 ∈ 𝑧 ∃𝑞 ∈ 𝑧 (𝑖 ≠ 𝑙 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑖)) = (abs‘(𝑗 − 𝑘)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑙)) = (abs‘(𝑚 − 𝑞))))}), {0, 1}) = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
2		eqid 2736	. 2 ⊢ (ℂfld ↾s 𝑒) = (ℂfld ↾s 𝑒)
3		eqid 2736	. 2 ⊢ (ℂfld ↾s 𝑓) = (ℂfld ↾s 𝑓)
4		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑒 → (ℂfld ↾s ℎ) = (ℂfld ↾s 𝑒))
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒) → (ℂfld ↾s ℎ) = (ℂfld ↾s 𝑒))
6		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (ℂfld ↾s 𝑔) = (ℂfld ↾s 𝑓))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒) → (ℂfld ↾s 𝑔) = (ℂfld ↾s 𝑓))
8	5, 7	breq12d 5111	. . . 4 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒) → ((ℂfld ↾s ℎ)/FldExt(ℂfld ↾s 𝑔) ↔ (ℂfld ↾s 𝑒)/FldExt(ℂfld ↾s 𝑓)))
9	5, 7	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒) → ((ℂfld ↾s ℎ)[:](ℂfld ↾s 𝑔)) = ((ℂfld ↾s 𝑒)[:](ℂfld ↾s 𝑓)))
10	9	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒) → (((ℂfld ↾s ℎ)[:](ℂfld ↾s 𝑔)) = 2 ↔ ((ℂfld ↾s 𝑒)[:](ℂfld ↾s 𝑓)) = 2))
11	8, 10	anbi12d 632	. . 3 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒) → (((ℂfld ↾s ℎ)/FldExt(ℂfld ↾s 𝑔) ∧ ((ℂfld ↾s ℎ)[:](ℂfld ↾s 𝑔)) = 2) ↔ ((ℂfld ↾s 𝑒)/FldExt(ℂfld ↾s 𝑓) ∧ ((ℂfld ↾s 𝑒)[:](ℂfld ↾s 𝑓)) = 2)))
12	11	cbvopabv 5171	. 2 ⊢ {⟨𝑔, ℎ⟩ ∣ ((ℂfld ↾s ℎ)/FldExt(ℂfld ↾s 𝑔) ∧ ((ℂfld ↾s ℎ)[:](ℂfld ↾s 𝑔)) = 2)} = {⟨𝑓, 𝑒⟩ ∣ ((ℂfld ↾s 𝑒)/FldExt(ℂfld ↾s 𝑓) ∧ ((ℂfld ↾s 𝑒)[:](ℂfld ↾s 𝑓)) = 2)}
13		peano1 7831	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ ω)
15		constrext2chn.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
16		constrext2chn.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℂfld ↾s 𝑆)
17		constrext2chn.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴}))
18	17	oveq2i 7369	. . 3 ⊢ (ℂfld ↾s 𝑆) = (ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))
19	16, 18	eqtri 2759	. 2 ⊢ 𝐿 = (ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))
20		constrext2chn.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Constr)
21	1, 2, 3, 12, 14, 15, 19, 20	constrext2chnlem 33907	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝐿[:]𝑄) = (2↑𝑛))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  {crab 3399  Vcvv 3440   ∪ cun 3899  ∅c0 4285  {csn 4580  {cpr 4582   class class class wbr 5098  {copab 5160   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ωcom 7808  reccrdg 8340  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   − cmin 11364  2c2 12200  ℕ₀cn0 12401  ℚcq 12861  ↑cexp 13984  ∗ccj 15019  ℑcim 15021  abscabs 15157   ↾_s cress 17157  ℂ_fldccnfld 21309   fldGen cfldgen 33392  /_FldExtcfldext 33795  [:]cextdg 33797  Constrcconstr 33886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-reg 9497  ax-inf2 9550  ax-ac2 10373  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-rpss 7668  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-ec 8637  df-qs 8641  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-r1 9676  df-rank 9677  df-dju 9813  df-card 9851  df-acn 9854  df-ac 10026  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xmul 13028  df-ico 13267  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-word 14437  df-lsw 14486  df-concat 14494  df-s1 14520  df-substr 14565  df-pfx 14595  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-gcd 16422  df-prm 16599  df-pc 16765  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ocomp 17198  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-prds 17367  df-pws 17369  df-imas 17429  df-qus 17430  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-mri 17507  df-acs 17508  df-proset 18217  df-drs 18218  df-poset 18236  df-ipo 18451  df-chn 18529  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-nsg 19054  df-eqg 19055  df-ghm 19142  df-gim 19188  df-cntz 19246  df-oppg 19275  df-lsm 19565  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-srg 20122  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-irred 20295  df-invr 20324  df-dvr 20337  df-rhm 20408  df-nzr 20446  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-rlreg 20627  df-domn 20628  df-idom 20629  df-drng 20664  df-field 20665  df-sdrg 20720  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-lmhm 20974  df-lmim 20975  df-lmic 20976  df-lbs 21027  df-lvec 21055  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-lidl 21163  df-rsp 21164  df-2idl 21205  df-lpidl 21277  df-lpir 21278  df-pid 21292  df-cnfld 21310  df-dsmm 21687  df-frlm 21702  df-uvc 21738  df-lindf 21761  df-linds 21762  df-assa 21808  df-asp 21809  df-ascl 21810  df-psr 21865  df-mvr 21866  df-mpl 21867  df-opsr 21869  df-evls 22029  df-evl 22030  df-psr1 22120  df-vr1 22121  df-ply1 22122  df-coe1 22123  df-evls1 22259  df-evl1 22260  df-mdeg 26016  df-deg1 26017  df-mon1 26092  df-uc1p 26093  df-q1p 26094  df-r1p 26095  df-ig1p 26096  df-fldgen 33393  df-mxidl 33541  df-dim 33756  df-fldext 33798  df-extdg 33799  df-irng 33841  df-minply 33857  df-constr 33887

This theorem is referenced by:  constrcon  33931