Theorem constrext2chn 34061

Description: If a constructible number generates some subfield 𝐿 of ℂ, then the degree of the extension of 𝐿 over ℚ is a power of two. Theorem 7.12 of [Stewart] p. 98. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrext2chn.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
constrext2chn.l	⊢ 𝐿 = (ℂfld ↾s 𝑆)
constrext2chn.s	⊢ 𝑆 = (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴}))
constrext2chn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constrext2chn	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝐿[:]𝑄) = (2↑𝑛))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝐿   𝑄,𝑛   𝑆,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem constrext2chn

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 𝑚 𝑜 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrcbvlem 34057	. 2 ⊢ rec((𝑧 ∈ V ↦ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (∃𝑖 ∈ 𝑧 ∃𝑗 ∈ 𝑧 ∃𝑘 ∈ 𝑧 ∃𝑙 ∈ 𝑧 ∃𝑜 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑖 + (𝑜 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ 𝑦 = (𝑘 + (𝑝 · (𝑙 − 𝑘))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑗 − 𝑖)) · (𝑙 − 𝑘))) ≠ 0) ∨ ∃𝑖 ∈ 𝑧 ∃𝑗 ∈ 𝑧 ∃𝑘 ∈ 𝑧 ∃𝑚 ∈ 𝑧 ∃𝑞 ∈ 𝑧 ∃𝑜 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑖 + (𝑜 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑘)) = (abs‘(𝑚 − 𝑞))) ∨ ∃𝑖 ∈ 𝑧 ∃𝑗 ∈ 𝑧 ∃𝑘 ∈ 𝑧 ∃𝑙 ∈ 𝑧 ∃𝑚 ∈ 𝑧 ∃𝑞 ∈ 𝑧 (𝑖 ≠ 𝑙 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑖)) = (abs‘(𝑗 − 𝑘)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑙)) = (abs‘(𝑚 − 𝑞))))}), {0, 1}) = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
2		eqid 2765	. 2 ⊢ (ℂfld ↾s 𝑒) = (ℂfld ↾s 𝑒)
3		eqid 2765	. 2 ⊢ (ℂfld ↾s 𝑓) = (ℂfld ↾s 𝑓)
4		oveq2 7408	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑒 → (ℂfld ↾s ℎ) = (ℂfld ↾s 𝑒))
5	4	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒) → (ℂfld ↾s ℎ) = (ℂfld ↾s 𝑒))
6		oveq2 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (ℂfld ↾s 𝑔) = (ℂfld ↾s 𝑓))
7	6	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒) → (ℂfld ↾s 𝑔) = (ℂfld ↾s 𝑓))
8	5, 7	breq12d 5117	. . . 4 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒) → ((ℂfld ↾s ℎ)/FldExt(ℂfld ↾s 𝑔) ↔ (ℂfld ↾s 𝑒)/FldExt(ℂfld ↾s 𝑓)))
9	5, 7	oveq12d 7418	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒) → ((ℂfld ↾s ℎ)[:](ℂfld ↾s 𝑔)) = ((ℂfld ↾s 𝑒)[:](ℂfld ↾s 𝑓)))
10	9	eqeq1d 2767	. . . 4 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒) → (((ℂfld ↾s ℎ)[:](ℂfld ↾s 𝑔)) = 2 ↔ ((ℂfld ↾s 𝑒)[:](ℂfld ↾s 𝑓)) = 2))
11	8, 10	anbi12d 643	. . 3 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒) → (((ℂfld ↾s ℎ)/FldExt(ℂfld ↾s 𝑔) ∧ ((ℂfld ↾s ℎ)[:](ℂfld ↾s 𝑔)) = 2) ↔ ((ℂfld ↾s 𝑒)/FldExt(ℂfld ↾s 𝑓) ∧ ((ℂfld ↾s 𝑒)[:](ℂfld ↾s 𝑓)) = 2)))
12	11	cbvopabv 5177	. 2 ⊢ {⟨𝑔, ℎ⟩ ∣ ((ℂfld ↾s ℎ)/FldExt(ℂfld ↾s 𝑔) ∧ ((ℂfld ↾s ℎ)[:](ℂfld ↾s 𝑔)) = 2)} = {⟨𝑓, 𝑒⟩ ∣ ((ℂfld ↾s 𝑒)/FldExt(ℂfld ↾s 𝑓) ∧ ((ℂfld ↾s 𝑒)[:](ℂfld ↾s 𝑓)) = 2)}
13		peano1 7873	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ ω)
15		constrext2chn.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
16		constrext2chn.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℂfld ↾s 𝑆)
17		constrext2chn.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴}))
18	17	oveq2i 7411	. . 3 ⊢ (ℂfld ↾s 𝑆) = (ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))
19	16, 18	eqtri 2788	. 2 ⊢ 𝐿 = (ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))
20		constrext2chn.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Constr)
21	1, 2, 3, 12, 14, 15, 19, 20	constrext2chnlem 34052	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝐿[:]𝑄) = (2↑𝑛))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ w3o 1100   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∃wrex 3089  {crab 3417  Vcvv 3457   ∪ cun 3905  ∅c0 4288  {csn 4585  {cpr 4587   class class class wbr 5104  {copab 5166   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ωcom 7850  reccrdg 8384  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   − cmin 11429  2c2 12283  ℕ₀cn0 12492  ℚcq 12960  ↑cexp 14085  ∗ccj 15135  ℑcim 15137  abscabs 15273   ↾_s cress 17278  ℂ_fldccnfld 21479   fldGen cfldgen 33541  /_FldExtcfldext 33940  [:]cextdg 33942  Constrcconstr 34031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-reg 9542  ax-inf2 9598  ax-ac2 10435  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167  ax-mulf 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-ofr 7665  df-rpss 7710  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-er 8682  df-ec 8684  df-qs 8688  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-r1 9724  df-rank 9725  df-dju 9875  df-card 9913  df-acn 9916  df-ac 10088  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-xnn0 12566  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13125  df-xmul 13127  df-ico 13366  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-fl 13813  df-mod 13891  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14355  df-word 14539  df-lsw 14588  df-concat 14596  df-s1 14622  df-substr 14667  df-pfx 14697  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16299  df-gcd 16541  df-prm 16718  df-pc 16885  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ocomp 17319  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-prds 17488  df-pws 17490  df-imas 17550  df-qus 17551  df-mre 17626  df-mrc 17627  df-mri 17628  df-acs 17629  df-proset 18338  df-drs 18339  df-poset 18357  df-ipo 18572  df-chn 18650  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-mhm 18829  df-submnd 18830  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-mulg 19122  df-subg 19177  df-nsg 19178  df-eqg 19179  df-ghm 19272  df-gim 19317  df-cntz 19375  df-oppg 19404  df-lsm 19694  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-srg 20257  df-ring 20305  df-cring 20306  df-oppr 20407  df-dvdsr 20427  df-unit 20428  df-irred 20429  df-invr 20458  df-dvr 20471  df-rhm 20542  df-nzr 20584  df-subrng 20619  df-subrg 20643  df-rlreg 20767  df-domn 20768  df-idom 20769  df-drng 20803  df-field 20804  df-sdrg 20856  df-lmod 20949  df-lss 21019  df-lsp 21059  df-lmhm 21109  df-lmim 21110  df-lmic 21111  df-lbs 21162  df-lvec 21190  df-sra 21260  df-rgmod 21261  df-lidl 21298  df-rsp 21299  df-2idl 21348  df-lpidl 21447  df-lpir 21448  df-pid 21462  df-cnfld 21480  df-dsmm 21839  df-frlm 21854  df-uvc 21890  df-lindf 21913  df-linds 21914  df-assa 21960  df-asp 21961  df-ascl 21962  df-psr 22016  df-mvr 22017  df-mpl 22018  df-opsr 22020  df-evls 22182  df-evl 22183  df-psr1 22297  df-vr1 22298  df-ply1 22299  df-coe1 22300  df-evls1 22432  df-evl1 22433  df-mdeg 26169  df-deg1 26170  df-mon1 26245  df-uc1p 26246  df-q1p 26247  df-r1p 26248  df-ig1p 26249  df-fldgen 33542  df-mxidl 33655  df-dim 33902  df-fldext 33943  df-extdg 33944  df-irng 33986  df-minply 34002  df-constr 34032

This theorem is referenced by:  constrcon  34076