Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  constrext2chn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem constrext2chn 34066
Description: If a constructible number generates some subfield 𝐿 of , then the degree of the extension of 𝐿 over is a power of two. Theorem 7.12 of [Stewart] p. 98. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
constrext2chn.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
constrext2chn.l 𝐿 = (ℂflds 𝑆)
constrext2chn.s 𝑆 = (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴}))
constrext2chn.a (𝜑𝐴 ∈ Constr)
Assertion
Ref Expression
constrext2chn (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝐿[:]𝑄) = (2↑𝑛))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝐿   𝑄,𝑛   𝑆,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem constrext2chn
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 𝑚 𝑜 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 constrcbvlem 34062 . 2 rec((𝑧 ∈ V ↦ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (∃𝑖𝑧𝑗𝑧𝑘𝑧𝑙𝑧𝑜 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑖 + (𝑜 · (𝑗𝑖))) ∧ 𝑦 = (𝑘 + (𝑝 · (𝑙𝑘))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑗𝑖)) · (𝑙𝑘))) ≠ 0) ∨ ∃𝑖𝑧𝑗𝑧𝑘𝑧𝑚𝑧𝑞𝑧𝑜 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑖 + (𝑜 · (𝑗𝑖))) ∧ (abs‘(𝑦𝑘)) = (abs‘(𝑚𝑞))) ∨ ∃𝑖𝑧𝑗𝑧𝑘𝑧𝑙𝑧𝑚𝑧𝑞𝑧 (𝑖𝑙 ∧ (abs‘(𝑦𝑖)) = (abs‘(𝑗𝑘)) ∧ (abs‘(𝑦𝑙)) = (abs‘(𝑚𝑞))))}), {0, 1}) = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎𝑠𝑏𝑠𝑐𝑠𝑑𝑠𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎𝑠𝑏𝑠𝑐𝑠𝑒𝑠𝑓𝑠𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓))) ∨ ∃𝑎𝑠𝑏𝑠𝑐𝑠𝑑𝑠𝑒𝑠𝑓𝑠 (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑥𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓))))}), {0, 1})
2 eqid 2765 . 2 (ℂflds 𝑒) = (ℂflds 𝑒)
3 eqid 2765 . 2 (ℂflds 𝑓) = (ℂflds 𝑓)
4 oveq2 7408 . . . . . 6 ( = 𝑒 → (ℂflds ) = (ℂflds 𝑒))
54adantl 486 . . . . 5 ((𝑔 = 𝑓 = 𝑒) → (ℂflds ) = (ℂflds 𝑒))
6 oveq2 7408 . . . . . 6 (𝑔 = 𝑓 → (ℂflds 𝑔) = (ℂflds 𝑓))
76adantr 485 . . . . 5 ((𝑔 = 𝑓 = 𝑒) → (ℂflds 𝑔) = (ℂflds 𝑓))
85, 7breq12d 5118 . . . 4 ((𝑔 = 𝑓 = 𝑒) → ((ℂflds )/FldExt(ℂflds 𝑔) ↔ (ℂflds 𝑒)/FldExt(ℂflds 𝑓)))
95, 7oveq12d 7418 . . . . 5 ((𝑔 = 𝑓 = 𝑒) → ((ℂflds )[:](ℂflds 𝑔)) = ((ℂflds 𝑒)[:](ℂflds 𝑓)))
109eqeq1d 2767 . . . 4 ((𝑔 = 𝑓 = 𝑒) → (((ℂflds )[:](ℂflds 𝑔)) = 2 ↔ ((ℂflds 𝑒)[:](ℂflds 𝑓)) = 2))
118, 10anbi12d 643 . . 3 ((𝑔 = 𝑓 = 𝑒) → (((ℂflds )/FldExt(ℂflds 𝑔) ∧ ((ℂflds )[:](ℂflds 𝑔)) = 2) ↔ ((ℂflds 𝑒)/FldExt(ℂflds 𝑓) ∧ ((ℂflds 𝑒)[:](ℂflds 𝑓)) = 2)))
1211cbvopabv 5178 . 2 {⟨𝑔, ⟩ ∣ ((ℂflds )/FldExt(ℂflds 𝑔) ∧ ((ℂflds )[:](ℂflds 𝑔)) = 2)} = {⟨𝑓, 𝑒⟩ ∣ ((ℂflds 𝑒)/FldExt(ℂflds 𝑓) ∧ ((ℂflds 𝑒)[:](ℂflds 𝑓)) = 2)}
13 peano1 7873 . . 3 ∅ ∈ ω
1413a1i 11 . 2 (𝜑 → ∅ ∈ ω)
15 constrext2chn.q . 2 𝑄 = (ℂflds ℚ)
16 constrext2chn.l . . 3 𝐿 = (ℂflds 𝑆)
17 constrext2chn.s . . . 4 𝑆 = (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴}))
1817oveq2i 7411 . . 3 (ℂflds 𝑆) = (ℂflds (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))
1916, 18eqtri 2788 . 2 𝐿 = (ℂflds (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))
20 constrext2chn.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ Constr)
211, 2, 3, 12, 14, 15, 19, 20constrext2chnlem 34057 1 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝐿[:]𝑄) = (2↑𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 400  w3o 1100  w3a 1101   = wceq 1563  wcel 2145  wne 2960  wrex 3089  {crab 3417  Vcvv 3457  cun 3905  c0 4288  {csn 4585  {cpr 4587   class class class wbr 5105  {copab 5167  cmpt 5186  cfv 6525  (class class class)co 7400  ωcom 7850  reccrdg 8384  cc 11086  cr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093  cmin 11429  2c2 12286  0cn0 12495  cq 12963  cexp 14088  ccj 15137  cim 15139  abscabs 15275  s cress 17280  fldccnfld 21482   fldGen cfldgen 33546  /FldExtcfldext 33945  [:]cextdg 33947  Constrcconstr 34036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-reg 9542  ax-inf2 9598  ax-ac2 10435  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167  ax-mulf 11168
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-ofr 7665  df-rpss 7710  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-er 8682  df-ec 8684  df-qs 8688  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-r1 9724  df-rank 9725  df-dju 9875  df-card 9913  df-acn 9916  df-ac 10088  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xmul 13130  df-ico 13369  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-mod 13894  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-word 14541  df-lsw 14590  df-concat 14598  df-s1 14624  df-substr 14669  df-pfx 14699  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-dvds 16301  df-gcd 16543  df-prm 16720  df-pc 16887  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ocomp 17321  df-ds 17322  df-unif 17323  df-hom 17324  df-cco 17325  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-prds 17490  df-pws 17492  df-imas 17552  df-qus 17553  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-mri 17630  df-acs 17631  df-proset 18340  df-drs 18341  df-poset 18359  df-ipo 18574  df-chn 18652  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-mhm 18831  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-mulg 19125  df-subg 19180  df-nsg 19181  df-eqg 19182  df-ghm 19275  df-gim 19320  df-cntz 19378  df-oppg 19407  df-lsm 19697  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-srg 20260  df-ring 20308  df-cring 20309  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-irred 20432  df-invr 20461  df-dvr 20474  df-rhm 20545  df-nzr 20587  df-subrng 20622  df-subrg 20646  df-rlreg 20770  df-domn 20771  df-idom 20772  df-drng 20806  df-field 20807  df-sdrg 20859  df-lmod 20952  df-lss 21022  df-lsp 21062  df-lmhm 21112  df-lmim 21113  df-lmic 21114  df-lbs 21165  df-lvec 21193  df-sra 21263  df-rgmod 21264  df-lidl 21301  df-rsp 21302  df-2idl 21351  df-lpidl 21450  df-lpir 21451  df-pid 21465  df-cnfld 21483  df-dsmm 21842  df-frlm 21857  df-uvc 21893  df-lindf 21916  df-linds 21917  df-assa 21963  df-asp 21964  df-ascl 21965  df-psr 22019  df-mvr 22020  df-mpl 22021  df-opsr 22023  df-evls 22185  df-evl 22186  df-psr1 22300  df-vr1 22301  df-ply1 22302  df-coe1 22303  df-evls1 22436  df-evl1 22437  df-mdeg 26173  df-deg1 26174  df-mon1 26249  df-uc1p 26250  df-q1p 26251  df-r1p 26252  df-ig1p 26253  df-fldgen 33547  df-mxidl 33660  df-dim 33907  df-fldext 33948  df-extdg 33949  df-irng 33991  df-minply 34007  df-constr 34037
This theorem is referenced by:  constrcon  34081
  Copyright terms: Public domain W3C validator