Theorem constrext2chn 34502

Description: If a constructible number generates some subfield 𝐿 of ℂ, then the degree of the extension of 𝐿 over ℚ is a power of two. Theorem 7.12 of [Stewart] p. 98. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrext2chn.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
constrext2chn.l	⊢ 𝐿 = (ℂfld ↾s 𝑆)
constrext2chn.s	⊢ 𝑆 = (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴}))
constrext2chn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constrext2chn	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝐿[:]𝑄) = (2↑𝑛))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝐿   𝑄,𝑛   𝑆,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem constrext2chn

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 𝑚 𝑜 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrcbvlem 34498	. 2 ⊢ rec((𝑧 ∈ V ↦ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (∃𝑖 ∈ 𝑧 ∃𝑗 ∈ 𝑧 ∃𝑘 ∈ 𝑧 ∃𝑙 ∈ 𝑧 ∃𝑜 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑖 + (𝑜 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ 𝑦 = (𝑘 + (𝑝 · (𝑙 − 𝑘))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑗 − 𝑖)) · (𝑙 − 𝑘))) ≠ 0) ∨ ∃𝑖 ∈ 𝑧 ∃𝑗 ∈ 𝑧 ∃𝑘 ∈ 𝑧 ∃𝑚 ∈ 𝑧 ∃𝑞 ∈ 𝑧 ∃𝑜 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑖 + (𝑜 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑘)) = (abs‘(𝑚 − 𝑞))) ∨ ∃𝑖 ∈ 𝑧 ∃𝑗 ∈ 𝑧 ∃𝑘 ∈ 𝑧 ∃𝑙 ∈ 𝑧 ∃𝑚 ∈ 𝑧 ∃𝑞 ∈ 𝑧 (𝑖 ≠ 𝑙 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑖)) = (abs‘(𝑗 − 𝑘)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑙)) = (abs‘(𝑚 − 𝑞))))}), {0, 1}) = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
2		eqid 2763	. 2 ⊢ (ℂfld ↾s 𝑒) = (ℂfld ↾s 𝑒)
3		eqid 2763	. 2 ⊢ (ℂfld ↾s 𝑓) = (ℂfld ↾s 𝑓)
4		oveq2 7459	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑒 → (ℂfld ↾s ℎ) = (ℂfld ↾s 𝑒))
5	4	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒) → (ℂfld ↾s ℎ) = (ℂfld ↾s 𝑒))
6		oveq2 7459	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (ℂfld ↾s 𝑔) = (ℂfld ↾s 𝑓))
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒) → (ℂfld ↾s 𝑔) = (ℂfld ↾s 𝑓))
8	5, 7	breq12d 5121	. . . 4 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒) → ((ℂfld ↾s ℎ)/FldExt(ℂfld ↾s 𝑔) ↔ (ℂfld ↾s 𝑒)/FldExt(ℂfld ↾s 𝑓)))
9	5, 7	oveq12d 7469	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒) → ((ℂfld ↾s ℎ)[:](ℂfld ↾s 𝑔)) = ((ℂfld ↾s 𝑒)[:](ℂfld ↾s 𝑓)))
10	9	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒) → (((ℂfld ↾s ℎ)[:](ℂfld ↾s 𝑔)) = 2 ↔ ((ℂfld ↾s 𝑒)[:](ℂfld ↾s 𝑓)) = 2))
11	8, 10	anbi12d 644	. . 3 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ ℎ = 𝑒) → (((ℂfld ↾s ℎ)/FldExt(ℂfld ↾s 𝑔) ∧ ((ℂfld ↾s ℎ)[:](ℂfld ↾s 𝑔)) = 2) ↔ ((ℂfld ↾s 𝑒)/FldExt(ℂfld ↾s 𝑓) ∧ ((ℂfld ↾s 𝑒)[:](ℂfld ↾s 𝑓)) = 2)))
12	11	cbvopabv 5184	. 2 ⊢ {⟨𝑔, ℎ⟩ ∣ ((ℂfld ↾s ℎ)/FldExt(ℂfld ↾s 𝑔) ∧ ((ℂfld ↾s ℎ)[:](ℂfld ↾s 𝑔)) = 2)} = {⟨𝑓, 𝑒⟩ ∣ ((ℂfld ↾s 𝑒)/FldExt(ℂfld ↾s 𝑓) ∧ ((ℂfld ↾s 𝑒)[:](ℂfld ↾s 𝑓)) = 2)}
13		peano1 7934	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ ω)
15		constrext2chn.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
16		constrext2chn.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℂfld ↾s 𝑆)
17		constrext2chn.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴}))
18	17	oveq2i 7462	. . 3 ⊢ (ℂfld ↾s 𝑆) = (ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))
19	16, 18	eqtri 2786	. 2 ⊢ 𝐿 = (ℂfld ↾s (ℂfld fldGen (ℚ ∪ {𝐴})))
20		constrext2chn.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Constr)
21	1, 2, 3, 12, 14, 15, 19, 20	constrext2chnlem 34493	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝐿[:]𝑄) = (2↑𝑛))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  {crab 3416  Vcvv 3454   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {csn 4588  {cpr 4590   class class class wbr 5108  {copab 5173   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ωcom 7911  reccrdg 8455  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   − cmin 11580  2c2 12437  ℕ₀cn0 12646  ℚcq 13115  ↑cexp 14244  ∗ccj 15306  ℑcim 15308  abscabs 15444   ↾_s cress 17452  ℂ_fldccnfld 21729   fldGen cfldgen 33976  /_FldExtcfldext 34381  [:]cextdg 34383  Constrcconstr 34472

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-ac2 10580  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318  ax-mulf 11319

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-ofr 7726  df-rpss 7771  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-er 8755  df-ec 8757  df-qs 8761  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-dju 10019  df-card 10057  df-acn 10060  df-ac 10234  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xmul 13283  df-ico 13522  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-word 14700  df-lsw 14749  df-concat 14757  df-s1 14784  df-substr 14831  df-pfx 14863  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-dvds 16467  df-gcd 16709  df-prm 16891  df-pc 17059  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ocomp 17494  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-prds 17668  df-pws 17670  df-imas 17730  df-qus 17731  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-mri 17808  df-acs 17809  df-proset 18518  df-drs 18519  df-poset 18537  df-ipo 18752  df-chn 18830  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-nsg 19384  df-eqg 19385  df-ghm 19478  df-gim 19523  df-cntz 19582  df-oppg 19611  df-lsm 19901  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-srg 20464  df-ring 20512  df-cring 20513  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-irred 20640  df-invr 20669  df-dvr 20682  df-rhm 20753  df-nzr 20814  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-rlreg 20997  df-domn 20998  df-idom 20999  df-drng 21033  df-field 21034  df-sdrg 21095  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-lmhm 21348  df-lmim 21349  df-lmic 21350  df-lbs 21401  df-lvec 21429  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-lidl 21537  df-rsp 21538  df-2idl 21594  df-lpidl 21697  df-lpir 21698  df-pid 21712  df-cnfld 21730  df-dsmm 22093  df-frlm 22108  df-uvc 22144  df-lindf 22167  df-linds 22168  df-assa 22216  df-asp 22217  df-ascl 22218  df-psr 22272  df-mvr 22273  df-mpl 22274  df-opsr 22276  df-evls 22438  df-evl 22439  df-psr1 22553  df-vr1 22554  df-ply1 22555  df-coe1 22556  df-evls1 22688  df-evl1 22689  df-mdeg 26428  df-deg1 26429  df-mon1 26504  df-uc1p 26505  df-q1p 26506  df-r1p 26507  df-ig1p 26508  df-fldgen 33977  df-mxidl 34089  df-dim 34343  df-fldext 34384  df-extdg 34385  df-irng 34427  df-minply 34443  df-constr 34473

This theorem is used by:  constrcon  34517