Theorem crosspaltd 50935

Description: Antisymmetry of the cross product: swapping the two vectors negates the result. (Contributed by Jiamin Zhao, 12-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
crosspaltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
crosspaltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))

Assertion

Ref	Expression
crosspaltd	⊢ (𝜑 → (𝐴⊠𝐵) = (𝑘 ∈ (1...3) ↦ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem crosspaltd

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crosspaltd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
2		crosspaltd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
3	1, 2	crosspcld 50928	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴⊠𝐵) ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
4		elmapfn 8880	. . 3 ⊢ ((𝐴⊠𝐵) ∈ (ℝ ↑m (1...3)) → (𝐴⊠𝐵) Fn (1...3))
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴⊠𝐵) Fn (1...3))
6		negex 11548	. . . 4 ⊢ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘) ∈ V
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (1...3) ↦ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (1...3) ↦ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘))
8	6, 7	fnmpti 6680	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (1...3) ↦ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘)) Fn (1...3)
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...3) ↦ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘)) Fn (1...3))
10		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → 𝑡 = 1)
11	10	fveq2d 6887	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → ((𝐴⊠𝐵)‘𝑡) = ((𝐴⊠𝐵)‘1))
12	1, 2	crosspv1d 50929	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴⊠𝐵)‘1) = (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))))
13	12	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → ((𝐴⊠𝐵)‘1) = (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))))
14	2	rr3fv2cld 50917	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘2) ∈ ℝ)
15	1	rr3fv3cld 50918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘3) ∈ ℝ)
16	14, 15	remulcld 11332	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐴‘3)) ∈ ℝ)
17	16	recnd 11330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐴‘3)) ∈ ℂ)
18	2	rr3fv3cld 50918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘3) ∈ ℝ)
19	1	rr3fv2cld 50917	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘2) ∈ ℝ)
20	18, 19	remulcld 11332	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐴‘2)) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐴‘2)) ∈ ℂ)
22	17, 21	negsubdi2d 11678	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(((𝐵‘2) · (𝐴‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐴‘2))) = (((𝐵‘3) · (𝐴‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐴‘3))))
23	22	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → -(((𝐵‘2) · (𝐴‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐴‘2))) = (((𝐵‘3) · (𝐴‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐴‘3))))
24	10	fveq2d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → ((𝐵⊠𝐴)‘𝑡) = ((𝐵⊠𝐴)‘1))
25	2, 1	crosspv1d 50929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵⊠𝐴)‘1) = (((𝐵‘2) · (𝐴‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐴‘2))))
26	25	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → ((𝐵⊠𝐴)‘1) = (((𝐵‘2) · (𝐴‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐴‘2))))
27	24, 26	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → ((𝐵⊠𝐴)‘𝑡) = (((𝐵‘2) · (𝐴‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐴‘2))))
28	27	negeqd 11544	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡) = -(((𝐵‘2) · (𝐴‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐴‘2))))
29	19	recnd 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘2) ∈ ℂ)
30	18	recnd 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘3) ∈ ℂ)
31	29, 30	mulcomd 11323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) = ((𝐵‘3) · (𝐴‘2)))
32	31	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → ((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) = ((𝐵‘3) · (𝐴‘2)))
33	15	recnd 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘3) ∈ ℂ)
34	14	recnd 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘2) ∈ ℂ)
35	33, 34	mulcomd 11323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) = ((𝐵‘2) · (𝐴‘3)))
36	35	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → ((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) = ((𝐵‘2) · (𝐴‘3)))
37	32, 36	oveq12d 7436	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))) = (((𝐵‘3) · (𝐴‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐴‘3))))
38	23, 28, 37	3eqtr4rd 2807	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))) = -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡))
39	11, 13, 38	3eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → ((𝐴⊠𝐵)‘𝑡) = -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡))
40	2, 1	crosspv2d 50930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵⊠𝐴)‘2) = (((𝐵‘3) · (𝐴‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐴‘3))))
41	40	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → ((𝐵⊠𝐴)‘2) = (((𝐵‘3) · (𝐴‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐴‘3))))
42	41	negeqd 11544	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → -((𝐵⊠𝐴)‘2) = -(((𝐵‘3) · (𝐴‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐴‘3))))
43	1	rr3fv1cld 50916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘1) ∈ ℝ)
44	18, 43	remulcld 11332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐴‘1)) ∈ ℝ)
45	44	recnd 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐴‘1)) ∈ ℂ)
46	2	rr3fv1cld 50916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘1) ∈ ℝ)
47		remulcl 11278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐴‘3) ∈ ℝ) → ((𝐵‘1) · (𝐴‘3)) ∈ ℝ)
48	47	recnd 11330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐴‘3) ∈ ℝ) → ((𝐵‘1) · (𝐴‘3)) ∈ ℂ)
49	46, 15, 48	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐴‘3)) ∈ ℂ)
50	45, 49	negsubdi2d 11678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(((𝐵‘3) · (𝐴‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐴‘3))) = (((𝐵‘1) · (𝐴‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐴‘1))))
51	50	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → -(((𝐵‘3) · (𝐴‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐴‘3))) = (((𝐵‘1) · (𝐴‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐴‘1))))
52	46	recnd 11330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘1) ∈ ℂ)
53	52, 33	mulcomd 11323	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐴‘3)) = ((𝐴‘3) · (𝐵‘1)))
54	53	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → ((𝐵‘1) · (𝐴‘3)) = ((𝐴‘3) · (𝐵‘1)))
55	43	recnd 11330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘1) ∈ ℂ)
56	30, 55	mulcomd 11323	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐴‘1)) = ((𝐴‘1) · (𝐵‘3)))
57	56	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → ((𝐵‘3) · (𝐴‘1)) = ((𝐴‘1) · (𝐵‘3)))
58	54, 57	oveq12d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → (((𝐵‘1) · (𝐴‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐴‘1))) = (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))))
59	42, 51, 58	3eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → -((𝐵⊠𝐴)‘2) = (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))))
60	1, 2	crosspv2d 50930	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴⊠𝐵)‘2) = (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))))
61	60	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → ((𝐴⊠𝐵)‘2) = (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))))
62	59, 61	eqtr4d 2799	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → -((𝐵⊠𝐴)‘2) = ((𝐴⊠𝐵)‘2))
63		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → 𝑡 = (1 + 1))
64		1p1e2 12459	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
65	63, 64	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → 𝑡 = 2)
66	65	fveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → ((𝐵⊠𝐴)‘𝑡) = ((𝐵⊠𝐴)‘2))
67	66	negeqd 11544	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡) = -((𝐵⊠𝐴)‘2))
68	65	fveq2d 6887	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → ((𝐴⊠𝐵)‘𝑡) = ((𝐴⊠𝐵)‘2))
69	62, 67, 68	3eqtr4rd 2807	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → ((𝐴⊠𝐵)‘𝑡) = -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡))
70	2, 1	crosspv3d 50931	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵⊠𝐴)‘3) = (((𝐵‘1) · (𝐴‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐴‘1))))
71	70	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → ((𝐵⊠𝐴)‘3) = (((𝐵‘1) · (𝐴‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐴‘1))))
72	71	negeqd 11544	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → -((𝐵⊠𝐴)‘3) = -(((𝐵‘1) · (𝐴‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐴‘1))))
73	46, 19	remulcld 11332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐴‘2)) ∈ ℝ)
74	73	recnd 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐴‘2)) ∈ ℂ)
75		remulcl 11278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵‘2) ∈ ℝ ∧ (𝐴‘1) ∈ ℝ) → ((𝐵‘2) · (𝐴‘1)) ∈ ℝ)
76	75	recnd 11330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵‘2) ∈ ℝ ∧ (𝐴‘1) ∈ ℝ) → ((𝐵‘2) · (𝐴‘1)) ∈ ℂ)
77	14, 43, 76	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐴‘1)) ∈ ℂ)
78	74, 77	negsubdi2d 11678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(((𝐵‘1) · (𝐴‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐴‘1))) = (((𝐵‘2) · (𝐴‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐴‘2))))
79	78	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → -(((𝐵‘1) · (𝐴‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐴‘1))) = (((𝐵‘2) · (𝐴‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐴‘2))))
80	34, 55	mulcomd 11323	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐴‘1)) = ((𝐴‘1) · (𝐵‘2)))
81	80	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → ((𝐵‘2) · (𝐴‘1)) = ((𝐴‘1) · (𝐵‘2)))
82	52, 29	mulcomd 11323	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐴‘2)) = ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))
83	82	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → ((𝐵‘1) · (𝐴‘2)) = ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))
84	81, 83	oveq12d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → (((𝐵‘2) · (𝐴‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐴‘2))) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))
85	72, 79, 84	3eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → -((𝐵⊠𝐴)‘3) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))
86	1, 2	crosspv3d 50931	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴⊠𝐵)‘3) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))
87	86	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → ((𝐴⊠𝐵)‘3) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))
88	85, 87	eqtr4d 2799	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → -((𝐵⊠𝐴)‘3) = ((𝐴⊠𝐵)‘3))
89		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → 𝑡 = (1 + 2))
90		1p2e3 12478	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 2) = 3
91	89, 90	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → 𝑡 = 3)
92	91	fveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → ((𝐵⊠𝐴)‘𝑡) = ((𝐵⊠𝐴)‘3))
93	92	negeqd 11544	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡) = -((𝐵⊠𝐴)‘3))
94	91	fveq2d 6887	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → ((𝐴⊠𝐵)‘𝑡) = ((𝐴⊠𝐵)‘3))
95	88, 93, 94	3eqtr4rd 2807	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → ((𝐴⊠𝐵)‘𝑡) = -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡))
96		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) → 𝑡 ∈ (1...3))
97	90	eqcomi 2770	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (1 + 2)
98	97	oveq2i 7429	. . . . . . 7 ⊢ (1...3) = (1...(1 + 2))
99		1z 12719	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
100		fztp 13707	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
101	99, 100	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
102	98, 101	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ (1...3) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
103	96, 102	eleqtrdi 2871	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) → 𝑡 ∈ {1, (1 + 1), (1 + 2)})
104		eltpi 4649	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ {1, (1 + 1), (1 + 2)} → (𝑡 = 1 ∨ 𝑡 = (1 + 1) ∨ 𝑡 = (1 + 2)))
105	103, 104	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) → (𝑡 = 1 ∨ 𝑡 = (1 + 1) ∨ 𝑡 = (1 + 2)))
106	39, 69, 95, 105	mpjao3dan 1459	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) → ((𝐴⊠𝐵)‘𝑡) = -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡))
107		fveq2 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑡 → ((𝐵⊠𝐴)‘𝑘) = ((𝐵⊠𝐴)‘𝑡))
108	107	negeqd 11544	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑡 → -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘) = -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡))
109		negex 11548	. . . . 5 ⊢ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡) ∈ V
110	109	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) → -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡) ∈ V)
111	7, 108, 96, 110	fvmptd3 7015	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) → ((𝑘 ∈ (1...3) ↦ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘))‘𝑡) = -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡))
112	106, 111	eqtr4d 2799	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) → ((𝐴⊠𝐵)‘𝑡) = ((𝑘 ∈ (1...3) ↦ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘))‘𝑡))
113	5, 9, 112	eqfnfvd 7030	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴⊠𝐵) = (𝑘 ∈ (1...3) ↦ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  {ctp 4588   ↦ cmpt 5186   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ↑_m cmap 8840  ℂcc 11191  ℝcr 11192  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198   − cmin 11534  -cneg 11535  2c2 12390  3c3 12391  ℤcz 12686  ...cfz 13632  ⊠ccrossp 50919

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-crossp 50920

This theorem is used by: (None)