Theorem crosspaltd 50705

Description: Antisymmetry of the cross product: swapping the two vectors negates the result. (Contributed by Jiamin Zhao, 12-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
crosspaltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
crosspaltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))

Assertion

Ref	Expression
crosspaltd	⊢ (𝜑 → (𝐴⊠𝐵) = (𝑘 ∈ (1...3) ↦ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem crosspaltd

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crosspaltd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
2		crosspaltd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
3	1, 2	crosspcld 50698	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴⊠𝐵) ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
4		elmapfn 8868	. . 3 ⊢ ((𝐴⊠𝐵) ∈ (ℝ ↑m (1...3)) → (𝐴⊠𝐵) Fn (1...3))
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴⊠𝐵) Fn (1...3))
6		negex 11470	. . . 4 ⊢ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘) ∈ V
7		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (1...3) ↦ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (1...3) ↦ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘))
8	6, 7	fnmpti 6682	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (1...3) ↦ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘)) Fn (1...3)
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...3) ↦ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘)) Fn (1...3))
10		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → 𝑡 = 1)
11	10	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → ((𝐴⊠𝐵)‘𝑡) = ((𝐴⊠𝐵)‘1))
12	1, 2	crosspv1d 50699	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴⊠𝐵)‘1) = (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))))
13	12	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → ((𝐴⊠𝐵)‘1) = (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))))
14	2	rr3fv2cld 50687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘2) ∈ ℝ)
15	1	rr3fv3cld 50688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘3) ∈ ℝ)
16	14, 15	remulcld 11254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐴‘3)) ∈ ℝ)
17	16	recnd 11252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐴‘3)) ∈ ℂ)
18	2	rr3fv3cld 50688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘3) ∈ ℝ)
19	1	rr3fv2cld 50687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘2) ∈ ℝ)
20	18, 19	remulcld 11254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐴‘2)) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐴‘2)) ∈ ℂ)
22	17, 21	negsubdi2d 11600	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(((𝐵‘2) · (𝐴‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐴‘2))) = (((𝐵‘3) · (𝐴‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐴‘3))))
23	22	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → -(((𝐵‘2) · (𝐴‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐴‘2))) = (((𝐵‘3) · (𝐴‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐴‘3))))
24	10	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → ((𝐵⊠𝐴)‘𝑡) = ((𝐵⊠𝐴)‘1))
25	2, 1	crosspv1d 50699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵⊠𝐴)‘1) = (((𝐵‘2) · (𝐴‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐴‘2))))
26	25	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → ((𝐵⊠𝐴)‘1) = (((𝐵‘2) · (𝐴‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐴‘2))))
27	24, 26	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → ((𝐵⊠𝐴)‘𝑡) = (((𝐵‘2) · (𝐴‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐴‘2))))
28	27	negeqd 11466	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡) = -(((𝐵‘2) · (𝐴‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐴‘2))))
29	19	recnd 11252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘2) ∈ ℂ)
30	18	recnd 11252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘3) ∈ ℂ)
31	29, 30	mulcomd 11245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) = ((𝐵‘3) · (𝐴‘2)))
32	31	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → ((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) = ((𝐵‘3) · (𝐴‘2)))
33	15	recnd 11252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘3) ∈ ℂ)
34	14	recnd 11252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘2) ∈ ℂ)
35	33, 34	mulcomd 11245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) = ((𝐵‘2) · (𝐴‘3)))
36	35	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → ((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) = ((𝐵‘2) · (𝐴‘3)))
37	32, 36	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))) = (((𝐵‘3) · (𝐴‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐴‘3))))
38	23, 28, 37	3eqtr4rd 2811	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))) = -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡))
39	11, 13, 38	3eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → ((𝐴⊠𝐵)‘𝑡) = -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡))
40	2, 1	crosspv2d 50700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵⊠𝐴)‘2) = (((𝐵‘3) · (𝐴‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐴‘3))))
41	40	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → ((𝐵⊠𝐴)‘2) = (((𝐵‘3) · (𝐴‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐴‘3))))
42	41	negeqd 11466	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → -((𝐵⊠𝐴)‘2) = -(((𝐵‘3) · (𝐴‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐴‘3))))
43	1	rr3fv1cld 50686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘1) ∈ ℝ)
44	18, 43	remulcld 11254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐴‘1)) ∈ ℝ)
45	44	recnd 11252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐴‘1)) ∈ ℂ)
46	2	rr3fv1cld 50686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘1) ∈ ℝ)
47		remulcl 11200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐴‘3) ∈ ℝ) → ((𝐵‘1) · (𝐴‘3)) ∈ ℝ)
48	47	recnd 11252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐴‘3) ∈ ℝ) → ((𝐵‘1) · (𝐴‘3)) ∈ ℂ)
49	46, 15, 48	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐴‘3)) ∈ ℂ)
50	45, 49	negsubdi2d 11600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(((𝐵‘3) · (𝐴‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐴‘3))) = (((𝐵‘1) · (𝐴‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐴‘1))))
51	50	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → -(((𝐵‘3) · (𝐴‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐴‘3))) = (((𝐵‘1) · (𝐴‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐴‘1))))
52	46	recnd 11252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘1) ∈ ℂ)
53	52, 33	mulcomd 11245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐴‘3)) = ((𝐴‘3) · (𝐵‘1)))
54	53	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → ((𝐵‘1) · (𝐴‘3)) = ((𝐴‘3) · (𝐵‘1)))
55	43	recnd 11252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘1) ∈ ℂ)
56	30, 55	mulcomd 11245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐴‘1)) = ((𝐴‘1) · (𝐵‘3)))
57	56	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → ((𝐵‘3) · (𝐴‘1)) = ((𝐴‘1) · (𝐵‘3)))
58	54, 57	oveq12d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → (((𝐵‘1) · (𝐴‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐴‘1))) = (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))))
59	42, 51, 58	3eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → -((𝐵⊠𝐴)‘2) = (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))))
60	1, 2	crosspv2d 50700	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴⊠𝐵)‘2) = (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))))
61	60	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → ((𝐴⊠𝐵)‘2) = (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))))
62	59, 61	eqtr4d 2803	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → -((𝐵⊠𝐴)‘2) = ((𝐴⊠𝐵)‘2))
63		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → 𝑡 = (1 + 1))
64		1p1e2 12379	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
65	63, 64	eqtrdi 2816	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → 𝑡 = 2)
66	65	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → ((𝐵⊠𝐴)‘𝑡) = ((𝐵⊠𝐴)‘2))
67	66	negeqd 11466	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡) = -((𝐵⊠𝐴)‘2))
68	65	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → ((𝐴⊠𝐵)‘𝑡) = ((𝐴⊠𝐵)‘2))
69	62, 67, 68	3eqtr4rd 2811	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → ((𝐴⊠𝐵)‘𝑡) = -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡))
70	2, 1	crosspv3d 50701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵⊠𝐴)‘3) = (((𝐵‘1) · (𝐴‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐴‘1))))
71	70	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → ((𝐵⊠𝐴)‘3) = (((𝐵‘1) · (𝐴‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐴‘1))))
72	71	negeqd 11466	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → -((𝐵⊠𝐴)‘3) = -(((𝐵‘1) · (𝐴‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐴‘1))))
73	46, 19	remulcld 11254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐴‘2)) ∈ ℝ)
74	73	recnd 11252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐴‘2)) ∈ ℂ)
75		remulcl 11200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵‘2) ∈ ℝ ∧ (𝐴‘1) ∈ ℝ) → ((𝐵‘2) · (𝐴‘1)) ∈ ℝ)
76	75	recnd 11252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵‘2) ∈ ℝ ∧ (𝐴‘1) ∈ ℝ) → ((𝐵‘2) · (𝐴‘1)) ∈ ℂ)
77	14, 43, 76	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐴‘1)) ∈ ℂ)
78	74, 77	negsubdi2d 11600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(((𝐵‘1) · (𝐴‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐴‘1))) = (((𝐵‘2) · (𝐴‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐴‘2))))
79	78	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → -(((𝐵‘1) · (𝐴‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐴‘1))) = (((𝐵‘2) · (𝐴‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐴‘2))))
80	34, 55	mulcomd 11245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐴‘1)) = ((𝐴‘1) · (𝐵‘2)))
81	80	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → ((𝐵‘2) · (𝐴‘1)) = ((𝐴‘1) · (𝐵‘2)))
82	52, 29	mulcomd 11245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐴‘2)) = ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))
83	82	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → ((𝐵‘1) · (𝐴‘2)) = ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))
84	81, 83	oveq12d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → (((𝐵‘2) · (𝐴‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐴‘2))) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))
85	72, 79, 84	3eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → -((𝐵⊠𝐴)‘3) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))
86	1, 2	crosspv3d 50701	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴⊠𝐵)‘3) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))
87	86	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → ((𝐴⊠𝐵)‘3) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))
88	85, 87	eqtr4d 2803	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → -((𝐵⊠𝐴)‘3) = ((𝐴⊠𝐵)‘3))
89		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → 𝑡 = (1 + 2))
90		1p2e3 12398	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 2) = 3
91	89, 90	eqtrdi 2816	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → 𝑡 = 3)
92	91	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → ((𝐵⊠𝐴)‘𝑡) = ((𝐵⊠𝐴)‘3))
93	92	negeqd 11466	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡) = -((𝐵⊠𝐴)‘3))
94	91	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → ((𝐴⊠𝐵)‘𝑡) = ((𝐴⊠𝐵)‘3))
95	88, 93, 94	3eqtr4rd 2811	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → ((𝐴⊠𝐵)‘𝑡) = -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡))
96		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) → 𝑡 ∈ (1...3))
97	90	eqcomi 2774	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (1 + 2)
98	97	oveq2i 7430	. . . . . . 7 ⊢ (1...3) = (1...(1 + 2))
99		1z 12639	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
100		fztp 13625	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
101	99, 100	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
102	98, 101	eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ (1...3) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
103	96, 102	eleqtrdi 2875	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) → 𝑡 ∈ {1, (1 + 1), (1 + 2)})
104		eltpi 4656	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ {1, (1 + 1), (1 + 2)} → (𝑡 = 1 ∨ 𝑡 = (1 + 1) ∨ 𝑡 = (1 + 2)))
105	103, 104	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) → (𝑡 = 1 ∨ 𝑡 = (1 + 1) ∨ 𝑡 = (1 + 2)))
106	39, 69, 95, 105	mpjao3dan 1459	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) → ((𝐴⊠𝐵)‘𝑡) = -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡))
107		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑡 → ((𝐵⊠𝐴)‘𝑘) = ((𝐵⊠𝐴)‘𝑡))
108	107	negeqd 11466	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑡 → -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘) = -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡))
109		negex 11470	. . . . 5 ⊢ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡) ∈ V
110	109	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) → -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡) ∈ V)
111	7, 108, 96, 110	fvmptd3 7017	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) → ((𝑘 ∈ (1...3) ↦ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘))‘𝑡) = -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡))
112	106, 111	eqtr4d 2803	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) → ((𝐴⊠𝐵)‘𝑡) = ((𝑘 ∈ (1...3) ↦ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘))‘𝑡))
113	5, 9, 112	eqfnfvd 7032	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴⊠𝐵) = (𝑘 ∈ (1...3) ↦ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  {ctp 4595   ↦ cmpt 5194   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8830  ℂcc 11113  ℝcr 11114  1c1 11116   + caddc 11118   · cmul 11120   − cmin 11456  -cneg 11457  2c2 12310  3c3 12311  ℤcz 12606  ...cfz 13551  ⊠ccrossp 50689

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-crossp 50690

This theorem is used by: (None)