Theorem crosspaltd 51148

Description: Antisymmetry of the cross product: swapping the two vectors negates the result. (Contributed by Jiamin Zhao, 12-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
crosspaltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
crosspaltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))

Assertion

Ref	Expression
crosspaltd	⊢ (𝜑 → (𝐴⊠𝐵) = (𝑘 ∈ (1...3) ↦ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem crosspaltd

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crosspaltd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
2		crosspaltd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
3	1, 2	crosspcld 51141	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴⊠𝐵) ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
4		elmapfn 8892	. . 3 ⊢ ((𝐴⊠𝐵) ∈ (ℝ ↑m (1...3)) → (𝐴⊠𝐵) Fn (1...3))
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴⊠𝐵) Fn (1...3))
6		negex 11560	. . . 4 ⊢ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘) ∈ V
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (1...3) ↦ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (1...3) ↦ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘))
8	6, 7	fnmpti 6685	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (1...3) ↦ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘)) Fn (1...3)
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...3) ↦ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘)) Fn (1...3))
10		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → 𝑡 = 1)
11	10	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → ((𝐴⊠𝐵)‘𝑡) = ((𝐴⊠𝐵)‘1))
12	1, 2	crosspv1d 51142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴⊠𝐵)‘1) = (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))))
13	12	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → ((𝐴⊠𝐵)‘1) = (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))))
14	2	rr3fv2cld 51130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘2) ∈ ℝ)
15	1	rr3fv3cld 51131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘3) ∈ ℝ)
16	14, 15	remulcld 11344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐴‘3)) ∈ ℝ)
17	16	recnd 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐴‘3)) ∈ ℂ)
18	2	rr3fv3cld 51131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘3) ∈ ℝ)
19	1	rr3fv2cld 51130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘2) ∈ ℝ)
20	18, 19	remulcld 11344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐴‘2)) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐴‘2)) ∈ ℂ)
22	17, 21	negsubdi2d 11690	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(((𝐵‘2) · (𝐴‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐴‘2))) = (((𝐵‘3) · (𝐴‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐴‘3))))
23	22	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → -(((𝐵‘2) · (𝐴‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐴‘2))) = (((𝐵‘3) · (𝐴‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐴‘3))))
24	10	fveq2d 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → ((𝐵⊠𝐴)‘𝑡) = ((𝐵⊠𝐴)‘1))
25	2, 1	crosspv1d 51142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵⊠𝐴)‘1) = (((𝐵‘2) · (𝐴‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐴‘2))))
26	25	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → ((𝐵⊠𝐴)‘1) = (((𝐵‘2) · (𝐴‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐴‘2))))
27	24, 26	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → ((𝐵⊠𝐴)‘𝑡) = (((𝐵‘2) · (𝐴‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐴‘2))))
28	27	negeqd 11556	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡) = -(((𝐵‘2) · (𝐴‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐴‘2))))
29	19	recnd 11342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘2) ∈ ℂ)
30	18	recnd 11342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘3) ∈ ℂ)
31	29, 30	mulcomd 11335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) = ((𝐵‘3) · (𝐴‘2)))
32	31	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → ((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) = ((𝐵‘3) · (𝐴‘2)))
33	15	recnd 11342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘3) ∈ ℂ)
34	14	recnd 11342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘2) ∈ ℂ)
35	33, 34	mulcomd 11335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) = ((𝐵‘2) · (𝐴‘3)))
36	35	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → ((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) = ((𝐵‘2) · (𝐴‘3)))
37	32, 36	oveq12d 7440	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))) = (((𝐵‘3) · (𝐴‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐴‘3))))
38	23, 28, 37	3eqtr4rd 2806	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))) = -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡))
39	11, 13, 38	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = 1) → ((𝐴⊠𝐵)‘𝑡) = -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡))
40	2, 1	crosspv2d 51143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵⊠𝐴)‘2) = (((𝐵‘3) · (𝐴‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐴‘3))))
41	40	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → ((𝐵⊠𝐴)‘2) = (((𝐵‘3) · (𝐴‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐴‘3))))
42	41	negeqd 11556	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → -((𝐵⊠𝐴)‘2) = -(((𝐵‘3) · (𝐴‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐴‘3))))
43	1	rr3fv1cld 51129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘1) ∈ ℝ)
44	18, 43	remulcld 11344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐴‘1)) ∈ ℝ)
45	44	recnd 11342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐴‘1)) ∈ ℂ)
46	2	rr3fv1cld 51129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘1) ∈ ℝ)
47		remulcl 11290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐴‘3) ∈ ℝ) → ((𝐵‘1) · (𝐴‘3)) ∈ ℝ)
48	47	recnd 11342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵‘1) ∈ ℝ ∧ (𝐴‘3) ∈ ℝ) → ((𝐵‘1) · (𝐴‘3)) ∈ ℂ)
49	46, 15, 48	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐴‘3)) ∈ ℂ)
50	45, 49	negsubdi2d 11690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(((𝐵‘3) · (𝐴‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐴‘3))) = (((𝐵‘1) · (𝐴‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐴‘1))))
51	50	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → -(((𝐵‘3) · (𝐴‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐴‘3))) = (((𝐵‘1) · (𝐴‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐴‘1))))
52	46	recnd 11342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘1) ∈ ℂ)
53	52, 33	mulcomd 11335	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐴‘3)) = ((𝐴‘3) · (𝐵‘1)))
54	53	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → ((𝐵‘1) · (𝐴‘3)) = ((𝐴‘3) · (𝐵‘1)))
55	43	recnd 11342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘1) ∈ ℂ)
56	30, 55	mulcomd 11335	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐴‘1)) = ((𝐴‘1) · (𝐵‘3)))
57	56	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → ((𝐵‘3) · (𝐴‘1)) = ((𝐴‘1) · (𝐵‘3)))
58	54, 57	oveq12d 7440	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → (((𝐵‘1) · (𝐴‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐴‘1))) = (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))))
59	42, 51, 58	3eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → -((𝐵⊠𝐴)‘2) = (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))))
60	1, 2	crosspv2d 51143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴⊠𝐵)‘2) = (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))))
61	60	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → ((𝐴⊠𝐵)‘2) = (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))))
62	59, 61	eqtr4d 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → -((𝐵⊠𝐴)‘2) = ((𝐴⊠𝐵)‘2))
63		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → 𝑡 = (1 + 1))
64		1p1e2 12471	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
65	63, 64	eqtrdi 2811	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → 𝑡 = 2)
66	65	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → ((𝐵⊠𝐴)‘𝑡) = ((𝐵⊠𝐴)‘2))
67	66	negeqd 11556	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡) = -((𝐵⊠𝐴)‘2))
68	65	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → ((𝐴⊠𝐵)‘𝑡) = ((𝐴⊠𝐵)‘2))
69	62, 67, 68	3eqtr4rd 2806	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 1)) → ((𝐴⊠𝐵)‘𝑡) = -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡))
70	2, 1	crosspv3d 51144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵⊠𝐴)‘3) = (((𝐵‘1) · (𝐴‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐴‘1))))
71	70	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → ((𝐵⊠𝐴)‘3) = (((𝐵‘1) · (𝐴‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐴‘1))))
72	71	negeqd 11556	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → -((𝐵⊠𝐴)‘3) = -(((𝐵‘1) · (𝐴‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐴‘1))))
73	46, 19	remulcld 11344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐴‘2)) ∈ ℝ)
74	73	recnd 11342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐴‘2)) ∈ ℂ)
75		remulcl 11290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵‘2) ∈ ℝ ∧ (𝐴‘1) ∈ ℝ) → ((𝐵‘2) · (𝐴‘1)) ∈ ℝ)
76	75	recnd 11342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵‘2) ∈ ℝ ∧ (𝐴‘1) ∈ ℝ) → ((𝐵‘2) · (𝐴‘1)) ∈ ℂ)
77	14, 43, 76	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐴‘1)) ∈ ℂ)
78	74, 77	negsubdi2d 11690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(((𝐵‘1) · (𝐴‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐴‘1))) = (((𝐵‘2) · (𝐴‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐴‘2))))
79	78	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → -(((𝐵‘1) · (𝐴‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐴‘1))) = (((𝐵‘2) · (𝐴‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐴‘2))))
80	34, 55	mulcomd 11335	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐴‘1)) = ((𝐴‘1) · (𝐵‘2)))
81	80	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → ((𝐵‘2) · (𝐴‘1)) = ((𝐴‘1) · (𝐵‘2)))
82	52, 29	mulcomd 11335	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐴‘2)) = ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))
83	82	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → ((𝐵‘1) · (𝐴‘2)) = ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))
84	81, 83	oveq12d 7440	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → (((𝐵‘2) · (𝐴‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐴‘2))) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))
85	72, 79, 84	3eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → -((𝐵⊠𝐴)‘3) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))
86	1, 2	crosspv3d 51144	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴⊠𝐵)‘3) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))
87	86	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → ((𝐴⊠𝐵)‘3) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))
88	85, 87	eqtr4d 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → -((𝐵⊠𝐴)‘3) = ((𝐴⊠𝐵)‘3))
89		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → 𝑡 = (1 + 2))
90		1p2e3 12490	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 2) = 3
91	89, 90	eqtrdi 2811	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → 𝑡 = 3)
92	91	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → ((𝐵⊠𝐴)‘𝑡) = ((𝐵⊠𝐴)‘3))
93	92	negeqd 11556	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡) = -((𝐵⊠𝐴)‘3))
94	91	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → ((𝐴⊠𝐵)‘𝑡) = ((𝐴⊠𝐵)‘3))
95	88, 93, 94	3eqtr4rd 2806	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) ∧ 𝑡 = (1 + 2)) → ((𝐴⊠𝐵)‘𝑡) = -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡))
96		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) → 𝑡 ∈ (1...3))
97	90	eqcomi 2769	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (1 + 2)
98	97	oveq2i 7433	. . . . . . 7 ⊢ (1...3) = (1...(1 + 2))
99		1z 12731	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
100		fztp 13719	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
101	99, 100	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
102	98, 101	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ (1...3) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
103	96, 102	eleqtrdi 2870	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) → 𝑡 ∈ {1, (1 + 1), (1 + 2)})
104		eltpi 4645	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ {1, (1 + 1), (1 + 2)} → (𝑡 = 1 ∨ 𝑡 = (1 + 1) ∨ 𝑡 = (1 + 2)))
105	103, 104	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) → (𝑡 = 1 ∨ 𝑡 = (1 + 1) ∨ 𝑡 = (1 + 2)))
106	39, 69, 95, 105	mpjao3dan 1459	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) → ((𝐴⊠𝐵)‘𝑡) = -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡))
107		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑡 → ((𝐵⊠𝐴)‘𝑘) = ((𝐵⊠𝐴)‘𝑡))
108	107	negeqd 11556	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑡 → -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘) = -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡))
109		negex 11560	. . . . 5 ⊢ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡) ∈ V
110	109	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) → -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡) ∈ V)
111	7, 108, 96, 110	fvmptd3 7020	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) → ((𝑘 ∈ (1...3) ↦ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘))‘𝑡) = -((𝐵⊠𝐴)‘𝑡))
112	106, 111	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (1...3)) → ((𝐴⊠𝐵)‘𝑡) = ((𝑘 ∈ (1...3) ↦ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘))‘𝑡))
113	5, 9, 112	eqfnfvd 7035	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴⊠𝐵) = (𝑘 ∈ (1...3) ↦ -((𝐵⊠𝐴)‘𝑘)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  {ctp 4588   ↦ cmpt 5185   Fn wfn 6536  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422   ↑_m cmap 8852  ℂcc 11203  ℝcr 11204  1c1 11206   + caddc 11208   · cmul 11210   − cmin 11546   -cneg 11547  2c2 12402  3c3 12403  ℤcz 12698  ...cfz 13644  ⊠ccrossp 51132

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-map 8854  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-fz 13645  df-crossp 51133

This theorem is used by: (None)