crosspdotd - Mathbox for Jiamin Zhao

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Theorem crosspdotd 51393

Description: Value of the scalar triple product, expanded into the standard six-term Sarrus polynomial. (Contributed by Jiamin Zhao, 12-Aug-2026.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
crosspdotd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))
crosspdotd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))
crosspdotd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))

**Assertion**
Ref	Expression
crosspdotd	⊢ (𝜑 → (𝐵(tripp‘𝐴)𝐶) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))))

Proof of Theorem crosspdotd Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crosspdotd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))
2		crosspdotd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))
3		crosspdotd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))
4	1, 2, 3	crosspdot0lem 51391	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵(tripp‘𝐴)𝐶) = (ℝ_fld Σ_g (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))))
5	1, 2, 3	crosspdotsumlem 51392	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ_fld Σ_g (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))
6	2, 3	crosspv1d 51388	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵⊠𝐶)‘1) = (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2))))
7	6	oveq2d 7467	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) = ((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))))
8	2, 3	crosspv2d 51389	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵⊠𝐶)‘2) = (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3))))
9	8	oveq2d 7467	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) = ((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))))
10	2, 3	crosspv3d 51390	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵⊠𝐶)‘3) = (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))))
11	10	oveq2d 7467	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)) = ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))))
12	9, 11	oveq12d 7469	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3))) = (((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) + ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))))))
13	7, 12	oveq12d 7469	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))) = (((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) + (((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) + ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))))))
14	1	rr3fv1cld 51375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘1) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘1) ∈ ℂ)
16	2	rr3fv2cld 51376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘2) ∈ ℝ)
17	3	rr3fv3cld 51377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘3) ∈ ℝ)
18	16, 17	remulcld 11378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) ∈ ℂ)
20	2	rr3fv3cld 51377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘3) ∈ ℝ)
21	3	rr3fv2cld 51376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘2) ∈ ℝ)
22	20, 21	remulcld 11378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)) ∈ ℂ)
24	15, 19, 23	subdid 11811	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘3))) − ((𝐴‘1) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))))
25	16	recnd 11376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘2) ∈ ℂ)
26	17	recnd 11376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘3) ∈ ℂ)
27	15, 25, 26	mulassd 11371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) = ((𝐴‘1) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘3))))
28	27	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘1) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘3))) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)))
29	20	recnd 11376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘3) ∈ ℂ)
30	21	recnd 11376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘2) ∈ ℂ)
31	15, 29, 30	mulassd 11371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2)) = ((𝐴‘1) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘2))))
32	31	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘1) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘2))) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2)))
33	28, 32	oveq12d 7469	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘3))) − ((𝐴‘1) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) = ((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))))
34	24, 33	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) = ((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))))
35	1	rr3fv2cld 51376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘2) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘2) ∈ ℂ)
37	3	rr3fv1cld 51375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘1) ∈ ℝ)
38	20, 37	remulcld 11378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) ∈ ℂ)
40	2	rr3fv1cld 51375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘1) ∈ ℝ)
41	40, 17	remulcld 11378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)) ∈ ℂ)
43	36, 39, 42	subdid 11811	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) = (((𝐴‘2) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘1))) − ((𝐴‘2) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))))
44	37	recnd 11376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘1) ∈ ℂ)
45	36, 29, 44	mulassd 11371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) = ((𝐴‘2) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘1))))
46	45	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘2) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘1))) = (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)))
47	40	recnd 11376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘1) ∈ ℂ)
48	36, 47, 26	mulassd 11371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3)) = ((𝐴‘2) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘3))))
49	48	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘2) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘3))) = (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3)))
50	46, 49	oveq12d 7469	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘2) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘1))) − ((𝐴‘2) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) = ((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))))
51	43, 50	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) = ((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))))
52	1	rr3fv3cld 51377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘3) ∈ ℝ)
53	52	recnd 11376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘3) ∈ ℂ)
54	40, 21	remulcld 11378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) ∈ ℝ)
55	54	recnd 11376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) ∈ ℂ)
56	16, 37	remulcld 11378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)) ∈ ℝ)
57	56	recnd 11376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)) ∈ ℂ)
58	53, 55, 57	subdid 11811	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))) = (((𝐴‘3) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘2))) − ((𝐴‘3) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))))
59	53, 47, 30	mulassd 11371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) = ((𝐴‘3) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘2))))
60	59	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘3) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘2))) = (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)))
61	53, 25, 44	mulassd 11371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1)) = ((𝐴‘3) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))))
62	61	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘3) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))) = (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1)))
63	60, 62	oveq12d 7469	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘3) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘2))) − ((𝐴‘3) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))) = ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))
64	58, 63	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))) = ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))
65	51, 64	oveq12d 7469	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) + ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))))) = (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1)))))
66	34, 65	oveq12d 7469	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) + (((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) + ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))))) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))))
67	13, 66	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))))
68	5, 67	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ_fld Σ_g (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))))
69	4, 68	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵(tripp‘𝐴)𝐶) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 = wceq 1570 ∈ wcel 2147 ↦ cmpt 5192 ‘cfv 6566 (class class class)co 7451 ↑_m cmap 8885 ℝcr 11238 1c1 11240 + caddc 11242 · cmul 11244 − cmin 11580 2c2 12437 3c3 12438 ...cfz 13679 Σ_g cgsu 17661 ℝ_fldcrefld 21965 ⊠ccrossp 51378 trippctripp 51380

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1945 ax-6 2002 ax-7 2043 ax-8 2149 ax-9 2157 ax-10 2180 ax-11 2197 ax-12 2216 ax-ext 2735 ax-rep 5238 ax-sep 5255 ax-nul 5266 ax-pow 5334 ax-pr 5398 ax-un 7783 ax-inf2 9679 ax-cnex 11295 ax-resscn 11296 ax-1cn 11297 ax-icn 11298 ax-addcl 11299 ax-addrcl 11300 ax-mulcl 11301 ax-mulrcl 11302 ax-mulcom 11303 ax-addass 11304 ax-mulass 11305 ax-distr 11306 ax-i2m1 11307 ax-1ne0 11308 ax-1rid 11309 ax-rnegex 11310 ax-rrecex 11311 ax-cnre 11312 ax-pre-lttri 11313 ax-pre-lttrn 11314 ax-pre-ltadd 11315 ax-pre-mulgt0 11316 ax-pre-sup 11317 ax-addf 11318

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2102 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3066 df-ral 3081 df-rex 3091 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3456 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-ss 3901 df-pss 4017 df-dif 4050 df-in 4094 df-un 4154 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4589 df-pr 4591 df-tp 4593 df-op 4841 df-uni 4873 df-int 4913 df-iun 4958 df-br 5109 df-opab 5174 df-mpt 5193 df-tr 5219 df-id 5553 df-eprel 5558 df-po 5566 df-so 5567 df-fr 5611 df-se 5612 df-we 5613 df-xp 5664 df-rel 5665 df-cnv 5666 df-co 5667 df-dm 5668 df-rn 5669 df-res 5670 df-ima 5671 df-pred 6330 df-ord 6391 df-on 6392 df-lim 6393 df-suc 6394 df-iota 6520 df-fun 6568 df-fn 6569 df-f 6570 df-f1 6571 df-fo 6572 df-f1o 6573 df-fv 6574 df-isom 6575 df-riota 7408 df-ov 7454 df-oprab 7455 df-mpo 7456 df-om 7912 df-1st 8035 df-2nd 8036 df-supp 8215 df-frecs 8337 df-wrecs 8368 df-recs 8417 df-rdg 8456 df-1o 8514 df-2o 8515 df-er 8755 df-map 8887 df-en 9012 df-dom 9013 df-sdom 9014 df-fin 9015 df-sup 9471 df-oi 9541 df-card 10057 df-pnf 11384 df-mnf 11385 df-xr 11386 df-ltxr 11387 df-le 11388 df-sub 11582 df-neg 11583 df-div 12014 df-nn 12376 df-2 12445 df-3 12446 df-4 12447 df-5 12448 df-6 12449 df-7 12450 df-8 12451 df-9 12452 df-n0 12647 df-z 12734 df-dec 12855 df-uz 13006 df-rp 13161 df-fz 13680 df-fzo 13829 df-seq 14185 df-exp 14245 df-hash 14516 df-cj 15309 df-re 15310 df-im 15311 df-sqrt 15445 df-abs 15446 df-clim 15699 df-sum 15898 df-struct 17369 df-sets 17386 df-slot 17404 df-ndx 17416 df-base 17432 df-ress 17453 df-plusg 17486 df-mulr 17487 df-starv 17488 df-tset 17492 df-ple 17493 df-ds 17495 df-unif 17496 df-euf 17499 df-0g 17662 df-gsum 17663 df-mgm 18866 df-sgrp 18958 df-mnd 18974 df-grp 19197 df-minusg 19198 df-cntz 19582 df-cmn 20047 df-abl 20048 df-mgp 20412 df-ur 20459 df-ring 20512 df-cring 20513 df-cnfld 21730 df-refld 21966 df-crossp 51379 df-tripp 51381

This theorem is used by: (None)

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