crosspdotd - Mathbox for Jiamin Zhao

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Theorem crosspdotd 50934

Description: Value of the scalar triple product, expanded into the standard six-term Sarrus polynomial. (Contributed by Jiamin Zhao, 12-Aug-2026.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
crosspdotd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))
crosspdotd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))
crosspdotd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))

**Assertion**
Ref	Expression
crosspdotd	⊢ (𝜑 → (𝐵(tripp‘𝐴)𝐶) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))))

Proof of Theorem crosspdotd Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crosspdotd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))
2		crosspdotd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))
3		crosspdotd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))
4	1, 2, 3	crosspdot0lem 50932	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵(tripp‘𝐴)𝐶) = (ℝ_fld Σ_g (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))))
5	1, 2, 3	crosspdotsumlem 50933	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ_fld Σ_g (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))
6	2, 3	crosspv1d 50929	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵⊠𝐶)‘1) = (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2))))
7	6	oveq2d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) = ((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))))
8	2, 3	crosspv2d 50930	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵⊠𝐶)‘2) = (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3))))
9	8	oveq2d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) = ((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))))
10	2, 3	crosspv3d 50931	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵⊠𝐶)‘3) = (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))))
11	10	oveq2d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)) = ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))))
12	9, 11	oveq12d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3))) = (((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) + ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))))))
13	7, 12	oveq12d 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))) = (((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) + (((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) + ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))))))
14	1	rr3fv1cld 50916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘1) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11330	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘1) ∈ ℂ)
16	2	rr3fv2cld 50917	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘2) ∈ ℝ)
17	3	rr3fv3cld 50918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘3) ∈ ℝ)
18	16, 17	remulcld 11332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11330	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) ∈ ℂ)
20	2	rr3fv3cld 50918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘3) ∈ ℝ)
21	3	rr3fv2cld 50917	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘2) ∈ ℝ)
22	20, 21	remulcld 11332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11330	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)) ∈ ℂ)
24	15, 19, 23	subdid 11765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘3))) − ((𝐴‘1) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))))
25	16	recnd 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘2) ∈ ℂ)
26	17	recnd 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘3) ∈ ℂ)
27	15, 25, 26	mulassd 11325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) = ((𝐴‘1) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘3))))
28	27	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘1) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘3))) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)))
29	20	recnd 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘3) ∈ ℂ)
30	21	recnd 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘2) ∈ ℂ)
31	15, 29, 30	mulassd 11325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2)) = ((𝐴‘1) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘2))))
32	31	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘1) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘2))) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2)))
33	28, 32	oveq12d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘3))) − ((𝐴‘1) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) = ((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))))
34	24, 33	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) = ((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))))
35	1	rr3fv2cld 50917	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘2) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘2) ∈ ℂ)
37	3	rr3fv1cld 50916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘1) ∈ ℝ)
38	20, 37	remulcld 11332	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) ∈ ℂ)
40	2	rr3fv1cld 50916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘1) ∈ ℝ)
41	40, 17	remulcld 11332	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)) ∈ ℂ)
43	36, 39, 42	subdid 11765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) = (((𝐴‘2) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘1))) − ((𝐴‘2) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))))
44	37	recnd 11330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘1) ∈ ℂ)
45	36, 29, 44	mulassd 11325	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) = ((𝐴‘2) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘1))))
46	45	eqcomd 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘2) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘1))) = (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)))
47	40	recnd 11330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘1) ∈ ℂ)
48	36, 47, 26	mulassd 11325	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3)) = ((𝐴‘2) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘3))))
49	48	eqcomd 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘2) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘3))) = (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3)))
50	46, 49	oveq12d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘2) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘1))) − ((𝐴‘2) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) = ((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))))
51	43, 50	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) = ((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))))
52	1	rr3fv3cld 50918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘3) ∈ ℝ)
53	52	recnd 11330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘3) ∈ ℂ)
54	40, 21	remulcld 11332	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) ∈ ℝ)
55	54	recnd 11330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) ∈ ℂ)
56	16, 37	remulcld 11332	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)) ∈ ℝ)
57	56	recnd 11330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)) ∈ ℂ)
58	53, 55, 57	subdid 11765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))) = (((𝐴‘3) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘2))) − ((𝐴‘3) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))))
59	53, 47, 30	mulassd 11325	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) = ((𝐴‘3) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘2))))
60	59	eqcomd 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘3) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘2))) = (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)))
61	53, 25, 44	mulassd 11325	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1)) = ((𝐴‘3) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))))
62	61	eqcomd 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘3) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))) = (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1)))
63	60, 62	oveq12d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘3) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘2))) − ((𝐴‘3) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))) = ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))
64	58, 63	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))) = ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))
65	51, 64	oveq12d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) + ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))))) = (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1)))))
66	34, 65	oveq12d 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) + (((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) + ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))))) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))))
67	13, 66	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))))
68	5, 67	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ_fld Σ_g (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))))
69	4, 68	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵(tripp‘𝐴)𝐶) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ↦ cmpt 5186 ‘cfv 6537 (class class class)co 7418 ↑_m cmap 8840 ℝcr 11192 1c1 11194 + caddc 11196 · cmul 11198 − cmin 11534 2c2 12390 3c3 12391 ...cfz 13632 Σ_g cgsu 17604 ℝ_fldcrefld 21903 ⊠ccrossp 50919 trippctripp 50921

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-rep 5232 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7749 ax-inf2 9635 ax-cnex 11249 ax-resscn 11250 ax-1cn 11251 ax-icn 11252 ax-addcl 11253 ax-addrcl 11254 ax-mulcl 11255 ax-mulrcl 11256 ax-mulcom 11257 ax-addass 11258 ax-mulass 11259 ax-distr 11260 ax-i2m1 11261 ax-1ne0 11262 ax-1rid 11263 ax-rnegex 11264 ax-rrecex 11265 ax-cnre 11266 ax-pre-lttri 11267 ax-pre-lttrn 11268 ax-pre-ltadd 11269 ax-pre-mulgt0 11270 ax-pre-sup 11271 ax-addf 11272

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-tp 4589 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-se 5605 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6303 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6493 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-isom 6546 df-riota 7375 df-ov 7421 df-oprab 7422 df-mpo 7423 df-om 7876 df-1st 7999 df-2nd 8000 df-supp 8171 df-frecs 8292 df-wrecs 8323 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8469 df-2o 8470 df-er 8710 df-map 8842 df-en 8967 df-dom 8968 df-sdom 8969 df-fin 8970 df-sup 9427 df-oi 9497 df-card 10013 df-pnf 11338 df-mnf 11339 df-xr 11340 df-ltxr 11341 df-le 11342 df-sub 11536 df-neg 11537 df-div 11967 df-nn 12329 df-2 12398 df-3 12399 df-4 12400 df-5 12401 df-6 12402 df-7 12403 df-8 12404 df-9 12405 df-n0 12600 df-z 12687 df-dec 12808 df-uz 12959 df-rp 13114 df-fz 13633 df-fzo 13782 df-seq 14138 df-exp 14198 df-hash 14468 df-cj 15259 df-re 15260 df-im 15261 df-sqrt 15395 df-abs 15396 df-clim 15648 df-sum 15847 df-struct 17318 df-sets 17335 df-slot 17353 df-ndx 17365 df-base 17381 df-ress 17402 df-plusg 17434 df-mulr 17435 df-starv 17436 df-tset 17440 df-ple 17441 df-ds 17443 df-unif 17444 df-0g 17605 df-gsum 17606 df-mgm 18809 df-sgrp 18901 df-mnd 18917 df-grp 19140 df-minusg 19141 df-cntz 19524 df-cmn 19989 df-abl 19990 df-mgp 20354 df-ur 20401 df-ring 20454 df-cring 20455 df-cnfld 21672 df-refld 21904 df-crossp 50920 df-tripp 50922

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