crosspdotd - Mathbox for Jiamin Zhao

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Theorem crosspdotd 50798

Description: Value of the scalar triple product, expanded into the standard six-term Sarrus polynomial. (Contributed by Jiamin Zhao, 12-Aug-2026.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
crosspdotd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))
crosspdotd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))
crosspdotd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))

**Assertion**
Ref	Expression
crosspdotd	⊢ (𝜑 → (𝐵(tripp‘𝐴)𝐶) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))))

Proof of Theorem crosspdotd Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crosspdotd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))
2		crosspdotd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))
3		crosspdotd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))
4	1, 2, 3	crosspdot0lem 50796	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵(tripp‘𝐴)𝐶) = (ℝ_fld Σ_g (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))))
5	1, 2, 3	crosspdotsumlem 50797	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ_fld Σ_g (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))
6	2, 3	crosspv1d 50793	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵⊠𝐶)‘1) = (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2))))
7	6	oveq2d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) = ((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))))
8	2, 3	crosspv2d 50794	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵⊠𝐶)‘2) = (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3))))
9	8	oveq2d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) = ((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))))
10	2, 3	crosspv3d 50795	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵⊠𝐶)‘3) = (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))))
11	10	oveq2d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)) = ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))))
12	9, 11	oveq12d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3))) = (((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) + ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))))))
13	7, 12	oveq12d 7431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))) = (((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) + (((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) + ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))))))
14	1	rr3fv1cld 50780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘1) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11261	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘1) ∈ ℂ)
16	2	rr3fv2cld 50781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘2) ∈ ℝ)
17	3	rr3fv3cld 50782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘3) ∈ ℝ)
18	16, 17	remulcld 11263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11261	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) ∈ ℂ)
20	2	rr3fv3cld 50782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘3) ∈ ℝ)
21	3	rr3fv2cld 50781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘2) ∈ ℝ)
22	20, 21	remulcld 11263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11261	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)) ∈ ℂ)
24	15, 19, 23	subdid 11694	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘3))) − ((𝐴‘1) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))))
25	16	recnd 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘2) ∈ ℂ)
26	17	recnd 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘3) ∈ ℂ)
27	15, 25, 26	mulassd 11256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) = ((𝐴‘1) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘3))))
28	27	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘1) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘3))) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)))
29	20	recnd 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘3) ∈ ℂ)
30	21	recnd 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘2) ∈ ℂ)
31	15, 29, 30	mulassd 11256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2)) = ((𝐴‘1) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘2))))
32	31	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘1) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘2))) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2)))
33	28, 32	oveq12d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘3))) − ((𝐴‘1) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) = ((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))))
34	24, 33	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) = ((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))))
35	1	rr3fv2cld 50781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘2) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘2) ∈ ℂ)
37	3	rr3fv1cld 50780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘1) ∈ ℝ)
38	20, 37	remulcld 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) ∈ ℂ)
40	2	rr3fv1cld 50780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘1) ∈ ℝ)
41	40, 17	remulcld 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)) ∈ ℂ)
43	36, 39, 42	subdid 11694	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) = (((𝐴‘2) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘1))) − ((𝐴‘2) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))))
44	37	recnd 11261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘1) ∈ ℂ)
45	36, 29, 44	mulassd 11256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) = ((𝐴‘2) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘1))))
46	45	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘2) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘1))) = (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)))
47	40	recnd 11261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘1) ∈ ℂ)
48	36, 47, 26	mulassd 11256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3)) = ((𝐴‘2) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘3))))
49	48	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘2) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘3))) = (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3)))
50	46, 49	oveq12d 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘2) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘1))) − ((𝐴‘2) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) = ((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))))
51	43, 50	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) = ((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))))
52	1	rr3fv3cld 50782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘3) ∈ ℝ)
53	52	recnd 11261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘3) ∈ ℂ)
54	40, 21	remulcld 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) ∈ ℝ)
55	54	recnd 11261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) ∈ ℂ)
56	16, 37	remulcld 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)) ∈ ℝ)
57	56	recnd 11261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)) ∈ ℂ)
58	53, 55, 57	subdid 11694	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))) = (((𝐴‘3) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘2))) − ((𝐴‘3) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))))
59	53, 47, 30	mulassd 11256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) = ((𝐴‘3) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘2))))
60	59	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘3) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘2))) = (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)))
61	53, 25, 44	mulassd 11256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1)) = ((𝐴‘3) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))))
62	61	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘3) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))) = (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1)))
63	60, 62	oveq12d 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘3) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘2))) − ((𝐴‘3) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))) = ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))
64	58, 63	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))) = ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))
65	51, 64	oveq12d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) + ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))))) = (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1)))))
66	34, 65	oveq12d 7431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) + (((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) + ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))))) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))))
67	13, 66	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))))
68	5, 67	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ_fld Σ_g (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))))
69	4, 68	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵(tripp‘𝐴)𝐶) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ↦ cmpt 5186 ‘cfv 6533 (class class class)co 7413 ↑_m cmap 8826 ℝcr 11123 1c1 11125 + caddc 11127 · cmul 11129 − cmin 11465 2c2 12319 3c3 12320 ...cfz 13561 Σ_g cgsu 17525 ℝ_fldcrefld 21817 ⊠ccrossp 50783 trippctripp 50785

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2732 ax-rep 5232 ax-sep 5251 ax-nul 5263 ax-pow 5330 ax-pr 5398 ax-un 7736 ax-inf2 9620 ax-cnex 11180 ax-resscn 11181 ax-1cn 11182 ax-icn 11183 ax-addcl 11184 ax-addrcl 11185 ax-mulcl 11186 ax-mulrcl 11187 ax-mulcom 11188 ax-addass 11189 ax-mulass 11190 ax-distr 11191 ax-i2m1 11192 ax-1ne0 11193 ax-1rid 11194 ax-rnegex 11195 ax-rrecex 11196 ax-cnre 11197 ax-pre-lttri 11198 ax-pre-lttrn 11199 ax-pre-ltadd 11200 ax-pre-mulgt0 11201 ax-pre-sup 11202 ax-addf 11203

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-tp 4589 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5550 df-eprel 5555 df-po 5563 df-so 5564 df-fr 5608 df-se 5609 df-we 5610 df-xp 5661 df-rel 5662 df-cnv 5663 df-co 5664 df-dm 5665 df-rn 5666 df-res 5667 df-ima 5668 df-pred 6299 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6489 df-fun 6535 df-fn 6536 df-f 6537 df-f1 6538 df-fo 6539 df-f1o 6540 df-fv 6541 df-isom 6542 df-riota 7370 df-ov 7416 df-oprab 7417 df-mpo 7418 df-om 7863 df-1st 7986 df-2nd 7987 df-supp 8159 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8360 df-rdg 8399 df-1o 8455 df-2o 8456 df-er 8696 df-map 8828 df-en 8953 df-dom 8954 df-sdom 8955 df-fin 8956 df-sup 9412 df-oi 9482 df-card 9944 df-pnf 11269 df-mnf 11270 df-xr 11271 df-ltxr 11272 df-le 11273 df-sub 11467 df-neg 11468 df-div 11896 df-nn 12258 df-2 12327 df-3 12328 df-4 12329 df-5 12330 df-6 12331 df-7 12332 df-8 12333 df-9 12334 df-n0 12529 df-z 12616 df-dec 12737 df-uz 12888 df-rp 13043 df-fz 13562 df-fzo 13710 df-seq 14066 df-exp 14126 df-hash 14395 df-cj 15186 df-re 15187 df-im 15188 df-sqrt 15322 df-abs 15323 df-clim 15575 df-sum 15774 df-struct 17239 df-sets 17256 df-slot 17274 df-ndx 17286 df-base 17302 df-ress 17323 df-plusg 17355 df-mulr 17356 df-starv 17357 df-tset 17361 df-ple 17362 df-ds 17364 df-unif 17365 df-0g 17526 df-gsum 17527 df-mgm 18730 df-sgrp 18821 df-mnd 18837 df-grp 19060 df-minusg 19061 df-cntz 19444 df-cmn 19909 df-abl 19910 df-mgp 20274 df-ur 20321 df-ring 20374 df-cring 20375 df-cnfld 21586 df-refld 21818 df-crossp 50784 df-tripp 50786

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