crosspdotd - Mathbox for Jiamin Zhao

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Theorem crosspdotd 50704

Description: Value of the scalar triple product, expanded into the standard six-term Sarrus polynomial. (Contributed by Jiamin Zhao, 12-Aug-2026.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
crosspdotd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))
crosspdotd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))
crosspdotd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))

**Assertion**
Ref	Expression
crosspdotd	⊢ (𝜑 → (𝐵(tripp‘𝐴)𝐶) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))))

Proof of Theorem crosspdotd Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crosspdotd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))
2		crosspdotd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))
3		crosspdotd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))
4	1, 2, 3	crosspdot0lem 50702	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵(tripp‘𝐴)𝐶) = (ℝ_fld Σ_g (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))))
5	1, 2, 3	crosspdotsumlem 50703	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ_fld Σ_g (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))
6	2, 3	crosspv1d 50699	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵⊠𝐶)‘1) = (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2))))
7	6	oveq2d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) = ((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))))
8	2, 3	crosspv2d 50700	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵⊠𝐶)‘2) = (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3))))
9	8	oveq2d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) = ((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))))
10	2, 3	crosspv3d 50701	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵⊠𝐶)‘3) = (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))))
11	10	oveq2d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)) = ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))))
12	9, 11	oveq12d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3))) = (((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) + ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))))))
13	7, 12	oveq12d 7437	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))) = (((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) + (((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) + ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))))))
14	1	rr3fv1cld 50686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘1) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11252	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘1) ∈ ℂ)
16	2	rr3fv2cld 50687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘2) ∈ ℝ)
17	3	rr3fv3cld 50688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘3) ∈ ℝ)
18	16, 17	remulcld 11254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11252	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) ∈ ℂ)
20	2	rr3fv3cld 50688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘3) ∈ ℝ)
21	3	rr3fv2cld 50687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘2) ∈ ℝ)
22	20, 21	remulcld 11254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11252	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)) ∈ ℂ)
24	15, 19, 23	subdid 11685	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘3))) − ((𝐴‘1) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))))
25	16	recnd 11252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘2) ∈ ℂ)
26	17	recnd 11252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘3) ∈ ℂ)
27	15, 25, 26	mulassd 11247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) = ((𝐴‘1) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘3))))
28	27	eqcomd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘1) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘3))) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)))
29	20	recnd 11252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘3) ∈ ℂ)
30	21	recnd 11252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘2) ∈ ℂ)
31	15, 29, 30	mulassd 11247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2)) = ((𝐴‘1) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘2))))
32	31	eqcomd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘1) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘2))) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2)))
33	28, 32	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘3))) − ((𝐴‘1) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) = ((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))))
34	24, 33	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) = ((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))))
35	1	rr3fv2cld 50687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘2) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘2) ∈ ℂ)
37	3	rr3fv1cld 50686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘1) ∈ ℝ)
38	20, 37	remulcld 11254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) ∈ ℂ)
40	2	rr3fv1cld 50686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘1) ∈ ℝ)
41	40, 17	remulcld 11254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)) ∈ ℂ)
43	36, 39, 42	subdid 11685	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) = (((𝐴‘2) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘1))) − ((𝐴‘2) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))))
44	37	recnd 11252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘1) ∈ ℂ)
45	36, 29, 44	mulassd 11247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) = ((𝐴‘2) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘1))))
46	45	eqcomd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘2) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘1))) = (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)))
47	40	recnd 11252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘1) ∈ ℂ)
48	36, 47, 26	mulassd 11247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3)) = ((𝐴‘2) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘3))))
49	48	eqcomd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘2) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘3))) = (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3)))
50	46, 49	oveq12d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘2) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘1))) − ((𝐴‘2) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) = ((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))))
51	43, 50	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) = ((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))))
52	1	rr3fv3cld 50688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘3) ∈ ℝ)
53	52	recnd 11252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘3) ∈ ℂ)
54	40, 21	remulcld 11254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) ∈ ℝ)
55	54	recnd 11252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) ∈ ℂ)
56	16, 37	remulcld 11254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)) ∈ ℝ)
57	56	recnd 11252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)) ∈ ℂ)
58	53, 55, 57	subdid 11685	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))) = (((𝐴‘3) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘2))) − ((𝐴‘3) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))))
59	53, 47, 30	mulassd 11247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) = ((𝐴‘3) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘2))))
60	59	eqcomd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘3) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘2))) = (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)))
61	53, 25, 44	mulassd 11247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1)) = ((𝐴‘3) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))))
62	61	eqcomd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘3) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))) = (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1)))
63	60, 62	oveq12d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘3) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘2))) − ((𝐴‘3) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))) = ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))
64	58, 63	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))) = ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))
65	51, 64	oveq12d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) + ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))))) = (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1)))))
66	34, 65	oveq12d 7437	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) + (((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) + ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))))) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))))
67	13, 66	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))))
68	5, 67	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ_fld Σ_g (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))))
69	4, 68	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵(tripp‘𝐴)𝐶) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 = wceq 1570 ∈ wcel 2146 ↦ cmpt 5194 ‘cfv 6540 (class class class)co 7419 ↑_m cmap 8830 ℝcr 11114 1c1 11116 + caddc 11118 · cmul 11120 − cmin 11456 2c2 12310 3c3 12311 ...cfz 13551 Σ_g cgsu 17515 ℝ_fldcrefld 21804 ⊠ccrossp 50689 trippctripp 50691

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2737 ax-rep 5240 ax-sep 5259 ax-nul 5271 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7742 ax-inf2 9617 ax-cnex 11171 ax-resscn 11172 ax-1cn 11173 ax-icn 11174 ax-addcl 11175 ax-addrcl 11176 ax-mulcl 11177 ax-mulrcl 11178 ax-mulcom 11179 ax-addass 11180 ax-mulass 11181 ax-distr 11182 ax-i2m1 11183 ax-1ne0 11184 ax-1rid 11185 ax-rnegex 11186 ax-rrecex 11187 ax-cnre 11188 ax-pre-lttri 11189 ax-pre-lttrn 11190 ax-pre-ltadd 11191 ax-pre-mulgt0 11192 ax-pre-sup 11193 ax-addf 11194

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2569 df-eu 2599 df-clab 2744 df-cleq 2757 df-clel 2840 df-nfc 2914 df-ne 2961 df-nel 3067 df-ral 3082 df-rex 3092 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3419 df-v 3459 df-sbc 3747 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4287 df-if 4490 df-pw 4566 df-sn 4592 df-pr 4594 df-tp 4596 df-op 4598 df-uni 4875 df-int 4915 df-iun 4960 df-br 5112 df-opab 5176 df-mpt 5195 df-tr 5221 df-id 5558 df-eprel 5563 df-po 5571 df-so 5572 df-fr 5616 df-se 5617 df-we 5618 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-pred 6306 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6496 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-isom 6549 df-riota 7376 df-ov 7422 df-oprab 7423 df-mpo 7424 df-om 7869 df-1st 7992 df-2nd 7993 df-supp 8163 df-frecs 8284 df-wrecs 8315 df-recs 8364 df-rdg 8403 df-1o 8459 df-2o 8460 df-er 8700 df-map 8832 df-en 8950 df-dom 8951 df-sdom 8952 df-fin 8953 df-sup 9409 df-oi 9479 df-card 9941 df-pnf 11260 df-mnf 11261 df-xr 11262 df-ltxr 11263 df-le 11264 df-sub 11458 df-neg 11459 df-div 11887 df-nn 12249 df-2 12318 df-3 12319 df-4 12320 df-5 12321 df-6 12322 df-7 12323 df-8 12324 df-9 12325 df-n0 12520 df-z 12607 df-dec 12728 df-uz 12879 df-rp 13033 df-fz 13552 df-fzo 13700 df-seq 14056 df-exp 14116 df-hash 14385 df-cj 15174 df-re 15175 df-im 15176 df-sqrt 15310 df-abs 15311 df-clim 15563 df-sum 15762 df-struct 17229 df-sets 17246 df-slot 17264 df-ndx 17276 df-base 17292 df-ress 17313 df-plusg 17345 df-mulr 17346 df-starv 17347 df-tset 17351 df-ple 17352 df-ds 17354 df-unif 17355 df-0g 17516 df-gsum 17517 df-mgm 18720 df-sgrp 18809 df-mnd 18825 df-grp 19047 df-minusg 19048 df-cntz 19431 df-cmn 19896 df-abl 19897 df-mgp 20261 df-ur 20308 df-ring 20361 df-cring 20362 df-cnfld 21573 df-refld 21805 df-crossp 50690 df-tripp 50692

This theorem is used by: (None)

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