crosspdotd - Mathbox for Jiamin Zhao

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Theorem crosspdotd 51147

Description: Value of the scalar triple product, expanded into the standard six-term Sarrus polynomial. (Contributed by Jiamin Zhao, 12-Aug-2026.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
crosspdotd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))
crosspdotd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))
crosspdotd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))

**Assertion**
Ref	Expression
crosspdotd	⊢ (𝜑 → (𝐵(tripp‘𝐴)𝐶) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))))

Proof of Theorem crosspdotd Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crosspdotd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))
2		crosspdotd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))
3		crosspdotd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℝ ↑_m (1...3)))
4	1, 2, 3	crosspdot0lem 51145	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵(tripp‘𝐴)𝐶) = (ℝ_fld Σ_g (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))))
5	1, 2, 3	crosspdotsumlem 51146	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ_fld Σ_g (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))
6	2, 3	crosspv1d 51142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵⊠𝐶)‘1) = (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2))))
7	6	oveq2d 7438	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) = ((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))))
8	2, 3	crosspv2d 51143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵⊠𝐶)‘2) = (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3))))
9	8	oveq2d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) = ((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))))
10	2, 3	crosspv3d 51144	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵⊠𝐶)‘3) = (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))))
11	10	oveq2d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)) = ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))))
12	9, 11	oveq12d 7440	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3))) = (((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) + ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))))))
13	7, 12	oveq12d 7440	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))) = (((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) + (((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) + ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))))))
14	1	rr3fv1cld 51129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘1) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11342	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘1) ∈ ℂ)
16	2	rr3fv2cld 51130	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘2) ∈ ℝ)
17	3	rr3fv3cld 51131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘3) ∈ ℝ)
18	16, 17	remulcld 11344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11342	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) ∈ ℂ)
20	2	rr3fv3cld 51131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘3) ∈ ℝ)
21	3	rr3fv2cld 51130	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘2) ∈ ℝ)
22	20, 21	remulcld 11344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11342	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)) ∈ ℂ)
24	15, 19, 23	subdid 11777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘3))) − ((𝐴‘1) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))))
25	16	recnd 11342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘2) ∈ ℂ)
26	17	recnd 11342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘3) ∈ ℂ)
27	15, 25, 26	mulassd 11337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) = ((𝐴‘1) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘3))))
28	27	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘1) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘3))) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)))
29	20	recnd 11342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘3) ∈ ℂ)
30	21	recnd 11342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘2) ∈ ℂ)
31	15, 29, 30	mulassd 11337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2)) = ((𝐴‘1) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘2))))
32	31	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘1) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘2))) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2)))
33	28, 32	oveq12d 7440	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘3))) − ((𝐴‘1) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) = ((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))))
34	24, 33	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) = ((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))))
35	1	rr3fv2cld 51130	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘2) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘2) ∈ ℂ)
37	3	rr3fv1cld 51129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘1) ∈ ℝ)
38	20, 37	remulcld 11344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) ∈ ℂ)
40	2	rr3fv1cld 51129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘1) ∈ ℝ)
41	40, 17	remulcld 11344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)) ∈ ℂ)
43	36, 39, 42	subdid 11777	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) = (((𝐴‘2) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘1))) − ((𝐴‘2) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))))
44	37	recnd 11342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘1) ∈ ℂ)
45	36, 29, 44	mulassd 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) = ((𝐴‘2) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘1))))
46	45	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘2) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘1))) = (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)))
47	40	recnd 11342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘1) ∈ ℂ)
48	36, 47, 26	mulassd 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3)) = ((𝐴‘2) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘3))))
49	48	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘2) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘3))) = (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3)))
50	46, 49	oveq12d 7440	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘2) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘1))) − ((𝐴‘2) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) = ((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))))
51	43, 50	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) = ((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))))
52	1	rr3fv3cld 51131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘3) ∈ ℝ)
53	52	recnd 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘3) ∈ ℂ)
54	40, 21	remulcld 11344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) ∈ ℝ)
55	54	recnd 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) ∈ ℂ)
56	16, 37	remulcld 11344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)) ∈ ℝ)
57	56	recnd 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)) ∈ ℂ)
58	53, 55, 57	subdid 11777	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))) = (((𝐴‘3) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘2))) − ((𝐴‘3) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))))
59	53, 47, 30	mulassd 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) = ((𝐴‘3) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘2))))
60	59	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘3) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘2))) = (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)))
61	53, 25, 44	mulassd 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1)) = ((𝐴‘3) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))))
62	61	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘3) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))) = (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1)))
63	60, 62	oveq12d 7440	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘3) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘2))) − ((𝐴‘3) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))) = ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))
64	58, 63	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))) = ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))
65	51, 64	oveq12d 7440	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) + ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))))) = (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1)))))
66	34, 65	oveq12d 7440	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) + (((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) + ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))))) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))))
67	13, 66	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))))
68	5, 67	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ_fld Σ_g (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))))
69	4, 68	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵(tripp‘𝐴)𝐶) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 = wceq 1569 ∈ wcel 2144 ↦ cmpt 5185 ‘cfv 6541 (class class class)co 7422 ↑_m cmap 8852 ℝcr 11204 1c1 11206 + caddc 11208 · cmul 11210 − cmin 11546 2c2 12402 3c3 12403 ...cfz 13644 Σ_g cgsu 17618 ℝ_fldcrefld 21917 ⊠ccrossp 51132 trippctripp 51134

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1827 ax-4 1841 ax-5 1942 ax-6 1999 ax-7 2040 ax-8 2146 ax-9 2154 ax-10 2177 ax-11 2193 ax-12 2212 ax-ext 2732 ax-rep 5231 ax-sep 5248 ax-nul 5259 ax-pow 5326 ax-pr 5390 ax-un 7753 ax-inf2 9647 ax-cnex 11261 ax-resscn 11262 ax-1cn 11263 ax-icn 11264 ax-addcl 11265 ax-addrcl 11266 ax-mulcl 11267 ax-mulrcl 11268 ax-mulcom 11269 ax-addass 11270 ax-mulass 11271 ax-distr 11272 ax-i2m1 11273 ax-1ne0 11274 ax-1rid 11275 ax-rnegex 11276 ax-rrecex 11277 ax-cnre 11278 ax-pre-lttri 11279 ax-pre-lttrn 11280 ax-pre-ltadd 11281 ax-pre-mulgt0 11282 ax-pre-sup 11283 ax-addf 11284

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1572 df-fal 1582 df-ex 1812 df-nf 1816 df-sb 2099 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3739 df-csb 3848 df-ss 3897 df-pss 4013 df-dif 4046 df-in 4090 df-un 4150 df-nul 4278 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4585 df-pr 4587 df-tp 4589 df-op 4835 df-uni 4867 df-int 4907 df-iun 4952 df-br 5103 df-opab 5167 df-mpt 5186 df-tr 5212 df-id 5545 df-eprel 5550 df-po 5558 df-so 5559 df-fr 5603 df-se 5604 df-we 5605 df-xp 5656 df-rel 5657 df-cnv 5658 df-co 5659 df-dm 5660 df-rn 5661 df-res 5662 df-ima 5663 df-pred 6306 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6496 df-fun 6543 df-fn 6544 df-f 6545 df-f1 6546 df-fo 6547 df-f1o 6548 df-fv 6549 df-isom 6550 df-riota 7379 df-ov 7425 df-oprab 7426 df-mpo 7427 df-om 7880 df-1st 8003 df-2nd 8004 df-supp 8182 df-frecs 8304 df-wrecs 8335 df-recs 8384 df-rdg 8423 df-1o 8481 df-2o 8482 df-er 8722 df-map 8854 df-en 8979 df-dom 8980 df-sdom 8981 df-fin 8982 df-sup 9439 df-oi 9509 df-card 10025 df-pnf 11350 df-mnf 11351 df-xr 11352 df-ltxr 11353 df-le 11354 df-sub 11548 df-neg 11549 df-div 11979 df-nn 12341 df-2 12410 df-3 12411 df-4 12412 df-5 12413 df-6 12414 df-7 12415 df-8 12416 df-9 12417 df-n0 12612 df-z 12699 df-dec 12820 df-uz 12971 df-rp 13126 df-fz 13645 df-fzo 13794 df-seq 14150 df-exp 14210 df-hash 14480 df-cj 15273 df-re 15274 df-im 15275 df-sqrt 15409 df-abs 15410 df-clim 15662 df-sum 15861 df-struct 17332 df-sets 17349 df-slot 17367 df-ndx 17379 df-base 17395 df-ress 17416 df-plusg 17448 df-mulr 17449 df-starv 17450 df-tset 17454 df-ple 17455 df-ds 17457 df-unif 17458 df-0g 17619 df-gsum 17620 df-mgm 18823 df-sgrp 18915 df-mnd 18931 df-grp 19154 df-minusg 19155 df-cntz 19538 df-cmn 20003 df-abl 20004 df-mgp 20368 df-ur 20415 df-ring 20468 df-cring 20469 df-cnfld 21686 df-refld 21918 df-crossp 51133 df-tripp 51135

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