Theorem crosspv3i 50663

Description: Value of the third component of the cross product. (Contributed by Jiamin Zhao, 31-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
crossp.1	⊢ 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3))
crossp.2	⊢ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3))

Assertion

Ref	Expression
crosspv3i	⊢ ((𝐴⊠𝐵)‘3) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))

Proof of Theorem crosspv3i

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crossp.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3))
2		crossp.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3))
3		crosspval 50655	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐴⊠𝐵) = (𝑘 ∈ (1...3) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))))))
4	1, 2, 3	mp2an 704	. . 3 ⊢ (𝐴⊠𝐵) = (𝑘 ∈ (1...3) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))))
5	4	fveq1i 6882	. 2 ⊢ ((𝐴⊠𝐵)‘3) = ((𝑘 ∈ (1...3) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))))‘3)
6		3elfz13 50646	. . 3 ⊢ 3 ∈ (1...3)
7	1, 2	crosspcle3i 50658	. . 3 ⊢ (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))) ∈ ℝ
8		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → 𝑘 = 1)
9		1ne3 50642	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 3
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → 1 ≠ 3)
11	8, 10	eqnetrd 3025	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → 𝑘 ≠ 3)
12	11	necon2bi 2988	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 3 → ¬ 𝑘 = 1)
13	12	iffalsed 4498	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 3 → if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))) = if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))))
14		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 2 → 𝑘 = 2)
15		2ne3 50643	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 3
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 2 → 2 ≠ 3)
17	14, 16	eqnetrd 3025	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → 𝑘 ≠ 3)
18	17	necon2bi 2988	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 3 → ¬ 𝑘 = 2)
19	18	iffalsed 4498	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 3 → if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))
20	13, 19	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 3 → if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))
21		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (1...3) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))))) = (𝑘 ∈ (1...3) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))))
22	20, 21	fvmptg 6987	. . 3 ⊢ ((3 ∈ (1...3) ∧ (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))) ∈ ℝ) → ((𝑘 ∈ (1...3) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))))‘3) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))
23	6, 7, 22	mp2an 704	. 2 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) − ((𝐴‘3) · (𝐵‘2))), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) − ((𝐴‘1) · (𝐵‘3))), (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1))))))‘3) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))
24	5, 23	eqtri 2786	1 ⊢ ((𝐴⊠𝐵)‘3) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) − ((𝐴‘2) · (𝐵‘1)))

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ifcif 4487   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820  ℝcr 11094  1c1 11096   · cmul 11100   − cmin 11436  2c2 12290  3c3 12291  ...cfz 13530  ⊠ccrossp 50651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-crossp 50652

This theorem is referenced by:  crosspdoti  50666  crosspalti  50667  crossp3i  50668