Theorem crosspdoti 50666

Description: Value of the scalar triple product, expanded into the standard six-term Sarrus polynomial. (Contributed by Jiamin Zhao, 1-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
crosspdoti.1	⊢ 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3))
crosspdoti.2	⊢ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3))
crosspdoti.3	⊢ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))

Assertion

Ref	Expression
crosspdoti	⊢ (𝐵(tripp‘𝐴)𝐶) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1)))))

Proof of Theorem crosspdoti

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crosspdoti.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3))
2		crosspdoti.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3))
3		crosspdoti.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))
4	1, 2, 3	crosspdot0i 50664	. 2 ⊢ (𝐵(tripp‘𝐴)𝐶) = (ℝfld Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘))))
5	1, 2, 3	crosspdotsumi 50665	. . 3 ⊢ (ℝfld Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3))))
6	2, 3	crosspv1i 50661	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵⊠𝐶)‘1) = (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))
7	6	oveq2i 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) = ((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2))))
8	2, 3	crosspv2i 50662	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵⊠𝐶)‘2) = (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))
9	8	oveq2i 7421	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) = ((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3))))
10	2, 3	crosspv3i 50663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵⊠𝐶)‘3) = (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))
11	10	oveq2i 7421	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)) = ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))))
12	9, 11	oveq12i 7422	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3))) = (((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) + ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))))
13	7, 12	oveq12i 7422	. . . 4 ⊢ (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))) = (((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) + (((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) + ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))))))
14	1	rr3fv1cli 50648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴‘1) ∈ ℝ
15	14	recni 11218	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴‘1) ∈ ℂ
16	2	rr3fv2cli 50649	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵‘2) ∈ ℝ
17	3	rr3fv3cli 50650	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶‘3) ∈ ℝ
18	16, 17	remulcli 11220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) ∈ ℝ
19	18	recni 11218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) ∈ ℂ
20	2	rr3fv3cli 50650	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵‘3) ∈ ℝ
21	3	rr3fv2cli 50649	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶‘2) ∈ ℝ
22	20, 21	remulcli 11220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)) ∈ ℝ
23	22	recni 11218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)) ∈ ℂ
24	15, 19, 23	subdii 11658	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘3))) − ((𝐴‘1) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘2))))
25	16	recni 11218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵‘2) ∈ ℂ
26	17	recni 11218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶‘3) ∈ ℂ
27	15, 25, 26	mulassi 11215	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) = ((𝐴‘1) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘3)))
28	27	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘1) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘3))) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3))
29	20	recni 11218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵‘3) ∈ ℂ
30	21	recni 11218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶‘2) ∈ ℂ
31	15, 29, 30	mulassi 11215	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2)) = ((𝐴‘1) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))
32	31	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘1) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘2))) = (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))
33	28, 32	oveq12i 7422	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴‘1) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘3))) − ((𝐴‘1) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) = ((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2)))
34	24, 33	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) = ((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2)))
35	1	rr3fv2cli 50649	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴‘2) ∈ ℝ
36	35	recni 11218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴‘2) ∈ ℂ
37	3	rr3fv1cli 50648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶‘1) ∈ ℝ
38	20, 37	remulcli 11220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) ∈ ℝ
39	38	recni 11218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) ∈ ℂ
40	2	rr3fv1cli 50648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵‘1) ∈ ℝ
41	40, 17	remulcli 11220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)) ∈ ℝ
42	41	recni 11218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)) ∈ ℂ
43	36, 39, 42	subdii 11658	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) = (((𝐴‘2) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘1))) − ((𝐴‘2) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘3))))
44	37	recni 11218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶‘1) ∈ ℂ
45	36, 29, 44	mulassi 11215	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) = ((𝐴‘2) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘1)))
46	45	eqcomi 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘2) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘1))) = (((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1))
47	40	recni 11218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵‘1) ∈ ℂ
48	36, 47, 26	mulassi 11215	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3)) = ((𝐴‘2) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))
49	48	eqcomi 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘2) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘3))) = (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))
50	46, 49	oveq12i 7422	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴‘2) · ((𝐵‘3) · (𝐶‘1))) − ((𝐴‘2) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) = ((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3)))
51	43, 50	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) = ((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3)))
52	1	rr3fv3cli 50650	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴‘3) ∈ ℝ
53	52	recni 11218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴‘3) ∈ ℂ
54	40, 21	remulcli 11220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) ∈ ℝ
55	54	recni 11218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) ∈ ℂ
56	16, 37	remulcli 11220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)) ∈ ℝ
57	56	recni 11218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)) ∈ ℂ
58	53, 55, 57	subdii 11658	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))) = (((𝐴‘3) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘2))) − ((𝐴‘3) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))))
59	53, 47, 30	mulassi 11215	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) = ((𝐴‘3) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘2)))
60	59	eqcomi 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘3) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘2))) = (((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2))
61	53, 25, 44	mulassi 11215	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1)) = ((𝐴‘3) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))
62	61	eqcomi 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘3) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))) = (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))
63	60, 62	oveq12i 7422	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴‘3) · ((𝐵‘1) · (𝐶‘2))) − ((𝐴‘3) · ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))) = ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1)))
64	58, 63	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))) = ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1)))
65	51, 64	oveq12i 7422	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) + ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1))))) = (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1))))
66	34, 65	oveq12i 7422	. . . 4 ⊢ (((𝐴‘1) · (((𝐵‘2) · (𝐶‘3)) − ((𝐵‘3) · (𝐶‘2)))) + (((𝐴‘2) · (((𝐵‘3) · (𝐶‘1)) − ((𝐵‘1) · (𝐶‘3)))) + ((𝐴‘3) · (((𝐵‘1) · (𝐶‘2)) − ((𝐵‘2) · (𝐶‘1)))))) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1)))))
67	13, 66	eqtri 2786	. . 3 ⊢ (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1)))))
68	5, 67	eqtri 2786	. 2 ⊢ (ℝfld Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1)))))
69	4, 68	eqtri 2786	1 ⊢ (𝐵(tripp‘𝐴)𝐶) = (((((𝐴‘1) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘3)) − (((𝐴‘1) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘2))) + (((((𝐴‘2) · (𝐵‘3)) · (𝐶‘1)) − (((𝐴‘2) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘3))) + ((((𝐴‘3) · (𝐵‘1)) · (𝐶‘2)) − (((𝐴‘3) · (𝐵‘2)) · (𝐶‘1)))))

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820  ℝcr 11094  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100   − cmin 11436  2c2 12290  3c3 12291  ...cfz 13530   Σ_g cgsu 17488  ℝ_fldcrefld 21754  ⊠ccrossp 50651  trippctripp 50653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-sum 15734  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-ur 20259  df-ring 20312  df-cring 20313  df-cnfld 21523  df-refld 21755  df-crossp 50652  df-tripp 50654

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