Theorem dfac16 35846

Description: Axiom of Choice equivalent: for every pair of sets, one is dominated by the other (see also entri3 10670). (Contributed by BTernaryTau, 17-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dfac16	⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem dfac16

Dummy variables 𝑣 𝑟 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac10c 10244	. . . 4 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑤 ∈ On 𝑤 ≈ 𝑥)
2		dfac10c 10244	. . . . . . . 8 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑦∃𝑧 ∈ On 𝑧 ≈ 𝑦)
3		domtriord 9170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ On) → (𝑤 ≼ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ≺ 𝑤))
4		xor3 385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (𝑤 ≼ 𝑧 ↔ 𝑧 ≺ 𝑤) ↔ (𝑤 ≼ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ≺ 𝑤))
5		nbior 901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (𝑤 ≼ 𝑧 ↔ 𝑧 ≺ 𝑤) → (𝑤 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ≺ 𝑤))
6	4, 5	sylbir 238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ≼ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ≺ 𝑤) → (𝑤 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ≺ 𝑤))
7	3, 6	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ On) → (𝑤 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ≺ 𝑤))
8		ensym 9058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ≈ 𝑥 → 𝑥 ≈ 𝑤)
9		endomtr 9067	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝑤 ∧ 𝑤 ≼ 𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
10	8, 9	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ≈ 𝑥 ∧ 𝑤 ≼ 𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
11	10	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ≈ 𝑥 → (𝑤 ≼ 𝑧 → 𝑥 ≼ 𝑧))
12		domentr 9068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝑧 ∧ 𝑧 ≈ 𝑦) → 𝑥 ≼ 𝑦)
13	12	expcom 419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ≈ 𝑦 → (𝑥 ≼ 𝑧 → 𝑥 ≼ 𝑦))
14	11, 13	sylan9 517	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ≈ 𝑥 ∧ 𝑧 ≈ 𝑦) → (𝑤 ≼ 𝑧 → 𝑥 ≼ 𝑦))
15		ensym 9058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ≈ 𝑦 → 𝑦 ≈ 𝑧)
16		sdomdom 9035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ≺ 𝑤 → 𝑧 ≼ 𝑤)
17		endomtr 9067	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ≈ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ 𝑤) → 𝑦 ≼ 𝑤)
18	15, 16, 17	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ≈ 𝑦 ∧ 𝑧 ≺ 𝑤) → 𝑦 ≼ 𝑤)
19	18	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ≈ 𝑦 → (𝑧 ≺ 𝑤 → 𝑦 ≼ 𝑤))
20		domentr 9068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ≼ 𝑤 ∧ 𝑤 ≈ 𝑥) → 𝑦 ≼ 𝑥)
21	20	expcom 419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ≈ 𝑥 → (𝑦 ≼ 𝑤 → 𝑦 ≼ 𝑥))
22	19, 21	sylan9r 518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ≈ 𝑥 ∧ 𝑧 ≈ 𝑦) → (𝑧 ≺ 𝑤 → 𝑦 ≼ 𝑥))
23	14, 22	orim12d 979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ≈ 𝑥 ∧ 𝑧 ≈ 𝑦) → ((𝑤 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ≺ 𝑤) → (𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥)))
24	7, 23	mpan9 516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑤 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ On) ∧ (𝑤 ≈ 𝑥 ∧ 𝑧 ≈ 𝑦)) → (𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥))
25	24	an4s 673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑤 ∈ On ∧ 𝑤 ≈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ On ∧ 𝑧 ≈ 𝑦)) → (𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥))
26	25	rexlimdvaa 3168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ On ∧ 𝑤 ≈ 𝑥) → (∃𝑧 ∈ On 𝑧 ≈ 𝑦 → (𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥)))
27	26	alimdv 1951	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ On ∧ 𝑤 ≈ 𝑥) → (∀𝑦∃𝑧 ∈ On 𝑧 ≈ 𝑦 → ∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥)))
28	2, 27	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ On ∧ 𝑤 ≈ 𝑥) → (CHOICE → ∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥)))
29	28	rexlimiva 3159	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑤 ∈ On 𝑤 ≈ 𝑥 → (CHOICE → ∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥)))
30	29	com12 33	. . . . 5 ⊢ (CHOICE → (∃𝑤 ∈ On 𝑤 ≈ 𝑥 → ∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥)))
31	30	alimdv 1951	. . . 4 ⊢ (CHOICE → (∀𝑥∃𝑤 ∈ On 𝑤 ≈ 𝑥 → ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥)))
32	1, 31	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (CHOICE → (CHOICE → ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥)))
33	32	pm2.43i 53	. 2 ⊢ (CHOICE → ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥))
34		breq2 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = (har‘𝑥) → (𝑥 ≼ 𝑣 ↔ 𝑥 ≼ (har‘𝑥)))
35		harcl 9580	. . . . . . 7 ⊢ (har‘𝑥) ∈ On
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥) → (har‘𝑥) ∈ On)
37		fvex 6921	. . . . . . . 8 ⊢ (har‘𝑥) ∈ V
38		breq2 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (har‘𝑥) → (𝑥 ≼ 𝑦 ↔ 𝑥 ≼ (har‘𝑥)))
39		breq1 5109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (har‘𝑥) → (𝑦 ≼ 𝑥 ↔ (har‘𝑥) ≼ 𝑥))
40	38, 39	orbi12d 932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (har‘𝑥) → ((𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥) ↔ (𝑥 ≼ (har‘𝑥) ∨ (har‘𝑥) ≼ 𝑥)))
41	37, 40	spcv 3563	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥) → (𝑥 ≼ (har‘𝑥) ∨ (har‘𝑥) ≼ 𝑥))
42		harndom 9583	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (har‘𝑥) ≼ 𝑥
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥) → ¬ (har‘𝑥) ≼ 𝑥)
44	41, 43	olcnd 891	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑥 ≼ (har‘𝑥))
45	34, 36, 44	rspcedvdw 3583	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑣 ∈ On 𝑥 ≼ 𝑣)
46		ac10ct 10140	. . . . 5 ⊢ (∃𝑣 ∈ On 𝑥 ≼ 𝑣 → ∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
47	45, 46	syl 18	. . . 4 ⊢ (∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
48	47	alimi 1844	. . 3 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
49		dfac8 10241	. . 3 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
50	48, 49	sylibr 237	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥) → CHOICE)
51	33, 50	impbii 212	1 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106   We wwe 5607  Oncon0 6380  ‘cfv 6558   ≈ cen 8998   ≼ cdom 8999   ≺ csdm 9000  harchar 9577  CHOICEwac 10221

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-oi 9531  df-har 9578  df-card 10047  df-ac 10222

This theorem is used by:  onprcf1of1orbd  36054