Theorem dfac16 35803

Description: Axiom of Choice equivalent: for every pair of sets, one is dominated by the other (see also entri3 10644). (Contributed by BTernaryTau, 17-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dfac16	⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem dfac16

Dummy variables 𝑣 𝑟 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac10c 10218	. . . 4 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑤 ∈ On 𝑤 ≈ 𝑥)
2		dfac10c 10218	. . . . . . . 8 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑦∃𝑧 ∈ On 𝑧 ≈ 𝑦)
3		domtriord 9143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ On) → (𝑤 ≼ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ≺ 𝑤))
4		xor3 385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (𝑤 ≼ 𝑧 ↔ 𝑧 ≺ 𝑤) ↔ (𝑤 ≼ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ≺ 𝑤))
5		nbior 901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (𝑤 ≼ 𝑧 ↔ 𝑧 ≺ 𝑤) → (𝑤 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ≺ 𝑤))
6	4, 5	sylbir 238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ≼ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ≺ 𝑤) → (𝑤 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ≺ 𝑤))
7	3, 6	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ On) → (𝑤 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ≺ 𝑤))
8		ensym 9031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ≈ 𝑥 → 𝑥 ≈ 𝑤)
9		endomtr 9040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ≈ 𝑤 ∧ 𝑤 ≼ 𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
10	8, 9	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ≈ 𝑥 ∧ 𝑤 ≼ 𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
11	10	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ≈ 𝑥 → (𝑤 ≼ 𝑧 → 𝑥 ≼ 𝑧))
12		domentr 9041	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝑧 ∧ 𝑧 ≈ 𝑦) → 𝑥 ≼ 𝑦)
13	12	expcom 419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ≈ 𝑦 → (𝑥 ≼ 𝑧 → 𝑥 ≼ 𝑦))
14	11, 13	sylan9 517	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ≈ 𝑥 ∧ 𝑧 ≈ 𝑦) → (𝑤 ≼ 𝑧 → 𝑥 ≼ 𝑦))
15		ensym 9031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ≈ 𝑦 → 𝑦 ≈ 𝑧)
16		sdomdom 9008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ≺ 𝑤 → 𝑧 ≼ 𝑤)
17		endomtr 9040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ≈ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ 𝑤) → 𝑦 ≼ 𝑤)
18	15, 16, 17	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ≈ 𝑦 ∧ 𝑧 ≺ 𝑤) → 𝑦 ≼ 𝑤)
19	18	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ≈ 𝑦 → (𝑧 ≺ 𝑤 → 𝑦 ≼ 𝑤))
20		domentr 9041	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ≼ 𝑤 ∧ 𝑤 ≈ 𝑥) → 𝑦 ≼ 𝑥)
21	20	expcom 419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ≈ 𝑥 → (𝑦 ≼ 𝑤 → 𝑦 ≼ 𝑥))
22	19, 21	sylan9r 518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ≈ 𝑥 ∧ 𝑧 ≈ 𝑦) → (𝑧 ≺ 𝑤 → 𝑦 ≼ 𝑥))
23	14, 22	orim12d 979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ≈ 𝑥 ∧ 𝑧 ≈ 𝑦) → ((𝑤 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ≺ 𝑤) → (𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥)))
24	7, 23	mpan9 516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑤 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ On) ∧ (𝑤 ≈ 𝑥 ∧ 𝑧 ≈ 𝑦)) → (𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥))
25	24	an4s 673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑤 ∈ On ∧ 𝑤 ≈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ On ∧ 𝑧 ≈ 𝑦)) → (𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥))
26	25	rexlimdvaa 3164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ On ∧ 𝑤 ≈ 𝑥) → (∃𝑧 ∈ On 𝑧 ≈ 𝑦 → (𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥)))
27	26	alimdv 1948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ On ∧ 𝑤 ≈ 𝑥) → (∀𝑦∃𝑧 ∈ On 𝑧 ≈ 𝑦 → ∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥)))
28	2, 27	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ On ∧ 𝑤 ≈ 𝑥) → (CHOICE → ∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥)))
29	28	rexlimiva 3155	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑤 ∈ On 𝑤 ≈ 𝑥 → (CHOICE → ∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥)))
30	29	com12 33	. . . . 5 ⊢ (CHOICE → (∃𝑤 ∈ On 𝑤 ≈ 𝑥 → ∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥)))
31	30	alimdv 1948	. . . 4 ⊢ (CHOICE → (∀𝑥∃𝑤 ∈ On 𝑤 ≈ 𝑥 → ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥)))
32	1, 31	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (CHOICE → (CHOICE → ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥)))
33	32	pm2.43i 53	. 2 ⊢ (CHOICE → ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥))
34		breq2 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = (har‘𝑥) → (𝑥 ≼ 𝑣 ↔ 𝑥 ≼ (har‘𝑥)))
35		harcl 9554	. . . . . . 7 ⊢ (har‘𝑥) ∈ On
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥) → (har‘𝑥) ∈ On)
37		fvex 6898	. . . . . . . 8 ⊢ (har‘𝑥) ∈ V
38		breq2 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (har‘𝑥) → (𝑥 ≼ 𝑦 ↔ 𝑥 ≼ (har‘𝑥)))
39		breq1 5105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (har‘𝑥) → (𝑦 ≼ 𝑥 ↔ (har‘𝑥) ≼ 𝑥))
40	38, 39	orbi12d 932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (har‘𝑥) → ((𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥) ↔ (𝑥 ≼ (har‘𝑥) ∨ (har‘𝑥) ≼ 𝑥)))
41	37, 40	spcv 3559	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥) → (𝑥 ≼ (har‘𝑥) ∨ (har‘𝑥) ≼ 𝑥))
42		harndom 9557	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (har‘𝑥) ≼ 𝑥
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥) → ¬ (har‘𝑥) ≼ 𝑥)
44	41, 43	olcnd 891	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥) → 𝑥 ≼ (har‘𝑥))
45	34, 36, 44	rspcedvdw 3579	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑣 ∈ On 𝑥 ≼ 𝑣)
46		ac10ct 10114	. . . . 5 ⊢ (∃𝑣 ∈ On 𝑥 ≼ 𝑣 → ∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
47	45, 46	syl 18	. . . 4 ⊢ (∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
48	47	alimi 1843	. . 3 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
49		dfac8 10215	. . 3 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
50	48, 49	sylibr 237	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥) → CHOICE)
51	33, 50	impbii 212	1 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∀𝑦(𝑥 ≼ 𝑦 ∨ 𝑦 ≼ 𝑥))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861  ∀wal 1567   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102   We wwe 5602  Oncon0 6362  ‘cfv 6538   ≈ cen 8971   ≼ cdom 8972   ≺ csdm 8973  harchar 9551  CHOICEwac 10195

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-oi 9505  df-har 9552  df-card 10021  df-ac 10196

This theorem is used by:  onprcf1of1orbd  35966