Theorem dihmeetbN 38901

Description: Isomorphism H of a lattice meet when one element is under the fiducial hyperplane 𝑊. (Contributed by NM, 26-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihmeetc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihmeetc.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihmeetc.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihmeetc.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihmeetc.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihmeetbN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)))

Proof of Theorem dihmeetbN

Dummy variables 𝑔 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1188	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simpl2 1189	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simpr 488	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → 𝑋 ≤ 𝑊)
4		simpl3 1190	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊))
5		dihmeetc.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		dihmeetc.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
7		dihmeetc.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		dihmeetc.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
9		dihmeetc.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
11		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
12		eqid 2758	. . . 4 ⊢ ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
13		eqid 2758	. . . 4 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2758	. . . 4 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
15		eqid 2758	. . . 4 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
16		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑞) = (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑞)
17		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) = (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))
18	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	dihmeetlem2N 38897	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)))
19	1, 2, 3, 4, 18	syl121anc 1372	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)))
20		simpl1 1188	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
21		simpl2 1189	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22		simpr 488	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)
23		simpl3 1190	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) → (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊))
24	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	dihmeetlem1N 38888	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)))
25	20, 21, 22, 23, 24	syl121anc 1372	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)))
26	19, 25	pm2.61dan 812	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3857   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112   I cid 5429   ↾ cres 5526  ‘cfv 6335  ℩crio 7107  (class class class)co 7150  Basecbs 16541  lecple 16630  occoc 16631  joincjn 17620  meetcmee 17621  Atomscatm 36861  HLchlt 36948  LHypclh 37582  LTrncltrn 37699  trLctrl 37756  TEndoctendo 38350  DIsoHcdih 38826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-riotaBAD 36551

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-tpos 7902  df-undef 7949  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-0g 16773  df-proset 17604  df-poset 17622  df-plt 17634  df-lub 17650  df-glb 17651  df-join 17652  df-meet 17653  df-p0 17715  df-p1 17716  df-lat 17722  df-clat 17784  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-submnd 18023  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-subg 18343  df-cntz 18514  df-lsm 18828  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-oppr 19444  df-dvdsr 19462  df-unit 19463  df-invr 19493  df-dvr 19504  df-drng 19572  df-lmod 19704  df-lss 19772  df-lsp 19812  df-lvec 19943  df-oposet 36774  df-ol 36776  df-oml 36777  df-covers 36864  df-ats 36865  df-atl 36896  df-cvlat 36920  df-hlat 36949  df-llines 37096  df-lplanes 37097  df-lvols 37098  df-lines 37099  df-psubsp 37101  df-pmap 37102  df-padd 37394  df-lhyp 37586  df-laut 37587  df-ldil 37702  df-ltrn 37703  df-trl 37757  df-tendo 38353  df-edring 38355  df-disoa 38627  df-dvech 38677  df-dib 38737  df-dic 38771  df-dih 38827

This theorem is referenced by:  dihmeetbclemN  38902  dihmeetALTN  38925