Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglblem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihglblem5 39308
Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem5.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem5.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem5.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dihglblem5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) → 𝑥𝑇 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐻   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem dihglblem5
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6784 . . 3 (𝐼𝑥) ∈ V
21dfiin2 4969 . 2 𝑥𝑇 (𝐼𝑥) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)}
3 dihglblem5.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dihglblem5.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 simpl 483 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
63, 4, 5dvhlmod 39120 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) → 𝑈 ∈ LMod)
7 simpll 764 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8 simplrl 774 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑇𝐵)
9 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
108, 9sseldd 3927 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝐵)
11 dihglblem5.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
12 dihglblem5.i . . . . . . 7 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
13 dihglblem5.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
1411, 3, 12, 4, 13dihlss 39260 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
157, 10, 14syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑇) → (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
1615ralrimiva 3110 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) → ∀𝑥𝑇 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
17 uniiunlem 4024 . . . . 5 (∀𝑥𝑇 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆 → (∀𝑥𝑇 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆 ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)} ⊆ 𝑆))
1816, 17syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) → (∀𝑥𝑇 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆 ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)} ⊆ 𝑆))
1916, 18mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)} ⊆ 𝑆)
20 simprr 770 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) → 𝑇 ≠ ∅)
21 n0 4286 . . . . 5 (𝑇 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑇)
2220, 21sylib 217 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) → ∃𝑥 𝑥𝑇)
23 nfre1 3237 . . . . . . 7 𝑥𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)
2423nfab 2915 . . . . . 6 𝑥{𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)}
25 nfcv 2909 . . . . . 6 𝑥
2624, 25nfne 3047 . . . . 5 𝑥{𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)} ≠ ∅
271elabrex 7113 . . . . . 6 (𝑥𝑇 → (𝐼𝑥) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)})
2827ne0d 4275 . . . . 5 (𝑥𝑇 → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)} ≠ ∅)
2926, 28exlimi 2214 . . . 4 (∃𝑥 𝑥𝑇 → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)} ≠ ∅)
3022, 29syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)} ≠ ∅)
3113lssintcl 20224 . . 3 ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)} ⊆ 𝑆 ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)} ≠ ∅) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)} ∈ 𝑆)
326, 19, 30, 31syl3anc 1370 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝑇 𝑦 = (𝐼𝑥)} ∈ 𝑆)
332, 32eqeltrid 2845 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐵𝑇 ≠ ∅)) → 𝑥𝑇 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1542  wex 1786  wcel 2110  {cab 2717  wne 2945  wral 3066  wrex 3067  wss 3892  c0 4262   cint 4885   ciin 4931  cfv 6432  Basecbs 16910  glbcglb 18026  LModclmod 20121  LSubSpclss 20191  HLchlt 37360  LHypclh 37994  DVecHcdvh 39088  DIsoHcdih 39238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-riotaBAD 36963
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-tpos 8033  df-undef 8080  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-fz 13239  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-0g 17150  df-proset 18011  df-poset 18029  df-plt 18046  df-lub 18062  df-glb 18063  df-join 18064  df-meet 18065  df-p0 18141  df-p1 18142  df-lat 18148  df-clat 18215  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-subg 18750  df-cntz 18921  df-lsm 19239  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-oppr 19860  df-dvdsr 19881  df-unit 19882  df-invr 19912  df-dvr 19923  df-drng 19991  df-lmod 20123  df-lss 20192  df-lsp 20232  df-lvec 20363  df-oposet 37186  df-ol 37188  df-oml 37189  df-covers 37276  df-ats 37277  df-atl 37308  df-cvlat 37332  df-hlat 37361  df-llines 37508  df-lplanes 37509  df-lvols 37510  df-lines 37511  df-psubsp 37513  df-pmap 37514  df-padd 37806  df-lhyp 37998  df-laut 37999  df-ldil 38114  df-ltrn 38115  df-trl 38169  df-tendo 38765  df-edring 38767  df-disoa 39039  df-dvech 39089  df-dib 39149  df-dic 39183  df-dih 39239
This theorem is referenced by:  dihglblem6  39350
  Copyright terms: Public domain W3C validator