Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglblem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihglblem5 39811
Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihglblem5.g 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
dihglblem5.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihglblem5.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglblem5.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglblem5.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dihglblem5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) β†’ ∩ π‘₯ ∈ 𝑇 (πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐻   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑇   π‘₯,π‘Š
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐼(π‘₯)

Proof of Theorem dihglblem5
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6859 . . 3 (πΌβ€˜π‘₯) ∈ V
21dfiin2 4998 . 2 ∩ π‘₯ ∈ 𝑇 (πΌβ€˜π‘₯) = ∩ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)}
3 dihglblem5.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 dihglblem5.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 simpl 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
63, 4, 5dvhlmod 39623 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
7 simpll 766 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
8 simplrl 776 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ 𝑇 βŠ† 𝐡)
9 simpr 486 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ π‘₯ ∈ 𝑇)
108, 9sseldd 3949 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
11 dihglblem5.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
12 dihglblem5.i . . . . . . 7 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
13 dihglblem5.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
1411, 3, 12, 4, 13dihlss 39763 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆)
157, 10, 14syl2anc 585 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆)
1615ralrimiva 3140 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 (πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆)
17 uniiunlem 4048 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 (πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 (πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆 ↔ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)} βŠ† 𝑆))
1816, 17syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 (πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆 ↔ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)} βŠ† 𝑆))
1916, 18mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)} βŠ† 𝑆)
20 simprr 772 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
21 n0 4310 . . . . 5 (𝑇 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑇)
2220, 21sylib 217 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑇)
23 nfre1 3267 . . . . . . 7 β„²π‘₯βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)
2423nfab 2910 . . . . . 6 β„²π‘₯{𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)}
25 nfcv 2904 . . . . . 6 β„²π‘₯βˆ…
2624, 25nfne 3042 . . . . 5 β„²π‘₯{𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)} β‰  βˆ…
271elabrex 7194 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑇 β†’ (πΌβ€˜π‘₯) ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)})
2827ne0d 4299 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑇 β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)} β‰  βˆ…)
2926, 28exlimi 2211 . . . 4 (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑇 β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)} β‰  βˆ…)
3022, 29syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)} β‰  βˆ…)
3113lssintcl 20469 . . 3 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)} βŠ† 𝑆 ∧ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)} β‰  βˆ…) β†’ ∩ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)} ∈ 𝑆)
326, 19, 30, 31syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) β†’ ∩ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)} ∈ 𝑆)
332, 32eqeltrid 2838 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) β†’ ∩ π‘₯ ∈ 𝑇 (πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  {cab 2710   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  βˆ© cint 4911  βˆ© ciin 4959  β€˜cfv 6500  Basecbs 17091  glbcglb 18207  LModclmod 20365  LSubSpclss 20436  HLchlt 37862  LHypclh 38497  DVecHcdvh 39591  DIsoHcdih 39741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-undef 8208  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-0g 17331  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-lsm 19426  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-lvec 20608  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-tendo 39268  df-edring 39270  df-disoa 39542  df-dvech 39592  df-dib 39652  df-dic 39686  df-dih 39742
This theorem is referenced by:  dihglblem6  39853
  Copyright terms: Public domain W3C validator