Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglblem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihglblem5 40682
Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihglblem5.g 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
dihglblem5.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihglblem5.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglblem5.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglblem5.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dihglblem5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) β†’ ∩ π‘₯ ∈ 𝑇 (πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐻   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑇   π‘₯,π‘Š
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐼(π‘₯)

Proof of Theorem dihglblem5
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6898 . . 3 (πΌβ€˜π‘₯) ∈ V
21dfiin2 5030 . 2 ∩ π‘₯ ∈ 𝑇 (πΌβ€˜π‘₯) = ∩ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)}
3 dihglblem5.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 dihglblem5.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 simpl 482 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
63, 4, 5dvhlmod 40494 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
7 simpll 764 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
8 simplrl 774 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ 𝑇 βŠ† 𝐡)
9 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ π‘₯ ∈ 𝑇)
108, 9sseldd 3978 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
11 dihglblem5.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
12 dihglblem5.i . . . . . . 7 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
13 dihglblem5.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
1411, 3, 12, 4, 13dihlss 40634 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆)
157, 10, 14syl2anc 583 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆)
1615ralrimiva 3140 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 (πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆)
17 uniiunlem 4079 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 (πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 (πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆 ↔ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)} βŠ† 𝑆))
1816, 17syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 (πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆 ↔ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)} βŠ† 𝑆))
1916, 18mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)} βŠ† 𝑆)
20 simprr 770 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
21 n0 4341 . . . . 5 (𝑇 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑇)
2220, 21sylib 217 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑇)
23 nfre1 3276 . . . . . . 7 β„²π‘₯βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)
2423nfab 2903 . . . . . 6 β„²π‘₯{𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)}
25 nfcv 2897 . . . . . 6 β„²π‘₯βˆ…
2624, 25nfne 3037 . . . . 5 β„²π‘₯{𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)} β‰  βˆ…
271elabrex 7237 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑇 β†’ (πΌβ€˜π‘₯) ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)})
2827ne0d 4330 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑇 β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)} β‰  βˆ…)
2926, 28exlimi 2202 . . . 4 (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑇 β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)} β‰  βˆ…)
3022, 29syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)} β‰  βˆ…)
3113lssintcl 20811 . . 3 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)} βŠ† 𝑆 ∧ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)} β‰  βˆ…) β†’ ∩ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)} ∈ 𝑆)
326, 19, 30, 31syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) β†’ ∩ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 𝑦 = (πΌβ€˜π‘₯)} ∈ 𝑆)
332, 32eqeltrid 2831 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) β†’ ∩ π‘₯ ∈ 𝑇 (πΌβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  {cab 2703   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  βˆ© cint 4943  βˆ© ciin 4991  β€˜cfv 6537  Basecbs 17153  glbcglb 18275  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  HLchlt 38733  LHypclh 39368  DVecHcdvh 40462  DIsoHcdih 40612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-undef 8259  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-0g 17396  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543  df-tendo 40139  df-edring 40141  df-disoa 40413  df-dvech 40463  df-dib 40523  df-dic 40557  df-dih 40613
This theorem is referenced by:  dihglblem6  40724
  Copyright terms: Public domain W3C validator