Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lighneallem4b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lighneallem4b 45791
Description: Lemma 2 for lighneallem4 45792. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
lighneallem4b ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ (ℤ‘2))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem lighneallem4b
StepHypRef Expression
1 2z 12535 . . 3 2 ∈ ℤ
21a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∈ ℤ)
3 fzfid 13878 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → (0...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
4 neg1z 12539 . . . . . . 7 -1 ∈ ℤ
5 elfznn0 13534 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6 zexpcl 13982 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℤ)
74, 5, 6sylancr 587 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → (-1↑𝑘) ∈ ℤ)
87adantl 482 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (-1↑𝑘) ∈ ℤ)
9 eluzge2nn0 12812 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
109adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
1110adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝐴 ∈ ℕ0)
125adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1311, 12nn0expcld 14149 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝐴𝑘) ∈ ℕ0)
1413nn0zd 12525 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝐴𝑘) ∈ ℤ)
158, 14zmulcld 12613 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → ((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℤ)
163, 15fsumzcl 15620 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℤ)
17163adant3 1132 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℤ)
18 simp1 1136 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
19 3z 12536 . . . . 5 3 ∈ ℤ
2019a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 3 ∈ ℤ)
21 eluzelz 12773 . . . . 5 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) → 𝑀 ∈ ℤ)
22213ad2ant2 1134 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
23 eluz2 12769 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑀))
24 2re 12227 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
26 zre 12503 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2725, 26leloed 11298 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑀 ↔ (2 < 𝑀 ∨ 2 = 𝑀)))
28 zltp1le 12553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 < 𝑀 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑀))
291, 28mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℤ → (2 < 𝑀 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑀))
3029biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℤ → (2 < 𝑀 → (2 + 1) ≤ 𝑀))
31 df-3 12217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (2 + 1)
3231breq1i 5112 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 ≤ 𝑀 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑀)
3330, 32syl6ibr 251 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → (2 < 𝑀 → 3 ≤ 𝑀))
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 2 ∥ 𝑀 → (𝑀 ∈ ℤ → (2 < 𝑀 → 3 ≤ 𝑀)))
3534com13 88 . . . . . . . . . . . 12 (2 < 𝑀 → (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → 3 ≤ 𝑀)))
36 z2even 16252 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∥ 2
37 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 = 𝑀 → (2 ∥ 2 ↔ 2 ∥ 𝑀))
3836, 37mpbii 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 = 𝑀 → 2 ∥ 𝑀)
3938pm2.24d 151 . . . . . . . . . . . . 13 (2 = 𝑀 → (¬ 2 ∥ 𝑀 → 3 ≤ 𝑀))
4039a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 (2 = 𝑀 → (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → 3 ≤ 𝑀)))
4135, 40jaoi 855 . . . . . . . . . . 11 ((2 < 𝑀 ∨ 2 = 𝑀) → (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → 3 ≤ 𝑀)))
4241com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → ((2 < 𝑀 ∨ 2 = 𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑀 → 3 ≤ 𝑀)))
4327, 42sylbid 239 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑀 → (¬ 2 ∥ 𝑀 → 3 ≤ 𝑀)))
4443imp 407 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑀 → 3 ≤ 𝑀))
45443adant1 1130 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑀 → 3 ≤ 𝑀))
4623, 45sylbi 216 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑀 → 3 ≤ 𝑀))
4746imp 407 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 3 ≤ 𝑀)
48473adant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 3 ≤ 𝑀)
49 eluz2 12769 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑀))
5020, 22, 48, 49syl3anbrc 1343 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ‘3))
51 eluzelcn 12775 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
52513ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝐴 ∈ ℂ)
53 eluz2nn 12809 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) → 𝑀 ∈ ℕ)
54533ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
55 simp3 1138 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
5652, 54, 55oddpwp1fsum 16274 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ((𝐴𝑀) + 1) = ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘))))
5756eqcomd 2742 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘))) = ((𝐴𝑀) + 1))
58 eluzge2nn0 12812 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5958adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
6010, 59nn0expcld 14149 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝑀) ∈ ℕ0)
6160nn0cnd 12475 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
62 peano2cn 11327 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑀) ∈ ℂ → ((𝐴𝑀) + 1) ∈ ℂ)
6361, 62syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴𝑀) + 1) ∈ ℂ)
64633adant3 1132 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ((𝐴𝑀) + 1) ∈ ℂ)
6517zcnd 12608 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
66 eluz2nn 12809 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
6766peano2nnd 12170 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
6867nncnd 12169 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
6967nnne0d 12203 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + 1) ≠ 0)
7068, 69jca 512 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 1) ≠ 0))
71703ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ((𝐴 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 1) ≠ 0))
72 divmul 11816 . . . . . 6 ((((𝐴𝑀) + 1) ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 1) ≠ 0)) → ((((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ↔ ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘))) = ((𝐴𝑀) + 1)))
7364, 65, 71, 72syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ↔ ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘))) = ((𝐴𝑀) + 1)))
7457, 73mpbird 256 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)))
7574eqcomd 2742 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) = (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)))
76 lighneallem4a 45790 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3) ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) = (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)))
7718, 50, 75, 76syl3anc 1371 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 2 ≤ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)))
78 eluz2 12769 . 2 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘))))
792, 17, 77, 78syl3anbrc 1343 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ (ℤ‘2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  3c3 12209  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424  cexp 13967  Σcsu 15570  cdvds 16136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-dvds 16137
This theorem is referenced by:  lighneallem4  45792
  Copyright terms: Public domain W3C validator