Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lighneallem4b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lighneallem4b 47008
Description: Lemma 2 for lighneallem4 47009. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
lighneallem4b ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘€

Proof of Theorem lighneallem4b
StepHypRef Expression
1 2z 12619 . . 3 2 โˆˆ โ„ค
21a1i 11 . 2 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
3 fzfid 13965 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
4 neg1z 12623 . . . . . . 7 -1 โˆˆ โ„ค
5 elfznn0 13621 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
6 zexpcl 14068 . . . . . . 7 ((-1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
74, 5, 6sylancr 585 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
87adantl 480 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
9 eluzge2nn0 12896 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
109adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
1110adantr 479 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
125adantl 480 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
1311, 12nn0expcld 14235 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
1413nn0zd 12609 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
158, 14zmulcld 12697 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค)
163, 15fsumzcl 15708 . . 3 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค)
17163adant3 1129 . 2 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค)
18 simp1 1133 . . 3 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
19 3z 12620 . . . . 5 3 โˆˆ โ„ค
2019a1i 11 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ 3 โˆˆ โ„ค)
21 eluzelz 12857 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
22213ad2ant2 1131 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
23 eluz2 12853 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘€))
24 2re 12311 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„)
26 zre 12587 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
2725, 26leloed 11382 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โ‰ค ๐‘€ โ†” (2 < ๐‘€ โˆจ 2 = ๐‘€)))
28 zltp1le 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 < ๐‘€ โ†” (2 + 1) โ‰ค ๐‘€))
291, 28mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 < ๐‘€ โ†” (2 + 1) โ‰ค ๐‘€))
3029biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 < ๐‘€ โ†’ (2 + 1) โ‰ค ๐‘€))
31 df-3 12301 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (2 + 1)
3231breq1i 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 โ‰ค ๐‘€ โ†” (2 + 1) โ‰ค ๐‘€)
3330, 32imbitrrdi 251 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 < ๐‘€ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘€))
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 < ๐‘€ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘€)))
3534com13 88 . . . . . . . . . . . 12 (2 < ๐‘€ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘€)))
36 z2even 16341 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 โˆฅ 2
37 breq2 5148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 = ๐‘€ โ†’ (2 โˆฅ 2 โ†” 2 โˆฅ ๐‘€))
3836, 37mpbii 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 = ๐‘€ โ†’ 2 โˆฅ ๐‘€)
3938pm2.24d 151 . . . . . . . . . . . . 13 (2 = ๐‘€ โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘€))
4039a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 (2 = ๐‘€ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘€)))
4135, 40jaoi 855 . . . . . . . . . . 11 ((2 < ๐‘€ โˆจ 2 = ๐‘€) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘€)))
4241com12 32 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 < ๐‘€ โˆจ 2 = ๐‘€) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘€)))
4327, 42sylbid 239 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โ‰ค ๐‘€ โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘€)))
4443imp 405 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘€) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘€))
45443adant1 1127 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘€) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘€))
4623, 45sylbi 216 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘€))
4746imp 405 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ 3 โ‰ค ๐‘€)
48473adant1 1127 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ 3 โ‰ค ๐‘€)
49 eluz2 12853 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†” (3 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง 3 โ‰ค ๐‘€))
5020, 22, 48, 49syl3anbrc 1340 . . 3 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
51 eluzelcn 12859 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
52513ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
53 eluz2nn 12893 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
54533ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
55 simp3 1135 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)
5652, 54, 55oddpwp1fsum 16363 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) + 1) = ((๐ด + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))))
5756eqcomd 2731 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((๐ด + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = ((๐ดโ†‘๐‘€) + 1))
58 eluzge2nn0 12896 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
5958adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
6010, 59nn0expcld 14235 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„•0)
6160nn0cnd 12559 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
62 peano2cn 11411 . . . . . . . 8 ((๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) + 1) โˆˆ โ„‚)
6361, 62syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) + 1) โˆˆ โ„‚)
64633adant3 1129 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) + 1) โˆˆ โ„‚)
6517zcnd 12692 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
66 eluz2nn 12893 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
6766peano2nnd 12254 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„•)
6867nncnd 12253 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„‚)
6967nnne0d 12287 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐ด + 1) โ‰  0)
7068, 69jca 510 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐ด + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด + 1) โ‰  0))
71703ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((๐ด + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด + 1) โ‰  0))
72 divmul 11900 . . . . . 6 ((((๐ดโ†‘๐‘€) + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด + 1) โ‰  0)) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘€) + 1) / (๐ด + 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โ†” ((๐ด + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = ((๐ดโ†‘๐‘€) + 1)))
7364, 65, 71, 72syl3anc 1368 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘€) + 1) / (๐ด + 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โ†” ((๐ด + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = ((๐ดโ†‘๐‘€) + 1)))
7457, 73mpbird 256 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘€) + 1) / (๐ด + 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
7574eqcomd 2731 . . 3 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) = (((๐ดโ†‘๐‘€) + 1) / (๐ด + 1)))
76 lighneallem4a 47007 . . 3 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) = (((๐ดโ†‘๐‘€) + 1) / (๐ด + 1))) โ†’ 2 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
7718, 50, 75, 76syl3anc 1368 . 2 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ 2 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
78 eluz2 12853 . 2 (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (2 โˆˆ โ„ค โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))))
792, 17, 77, 78syl3anbrc 1340 1 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930   class class class wbr 5144  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11131  โ„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   ยท cmul 11138   < clt 11273   โ‰ค cle 11274   โˆ’ cmin 11469  -cneg 11470   / cdiv 11896  โ„•cn 12237  2c2 12292  3c3 12293  โ„•0cn0 12497  โ„คcz 12583  โ„คโ‰ฅcuz 12847  ...cfz 13511  โ†‘cexp 14053  ฮฃcsu 15659   โˆฅ cdvds 16225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-sum 15660  df-dvds 16226
This theorem is referenced by:  lighneallem4  47009
  Copyright terms: Public domain W3C validator