Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lighneallem4b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lighneallem4b 42134
Description: Lemma 2 for lighneallem4 42135. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
lighneallem4b ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ (ℤ‘2))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem lighneallem4b
StepHypRef Expression
1 2z 11656 . . 3 2 ∈ ℤ
21a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∈ ℤ)
3 fzfid 12980 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → (0...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
4 neg1z 11660 . . . . . . 7 -1 ∈ ℤ
5 elfznn0 12640 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6 zexpcl 13082 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℤ)
74, 5, 6sylancr 581 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → (-1↑𝑘) ∈ ℤ)
87adantl 473 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (-1↑𝑘) ∈ ℤ)
9 eluzge2nn0 11927 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
109adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
1110adantr 472 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝐴 ∈ ℕ0)
125adantl 473 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1311, 12nn0expcld 13238 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝐴𝑘) ∈ ℕ0)
1413nn0zd 11727 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝐴𝑘) ∈ ℤ)
158, 14zmulcld 11735 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → ((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℤ)
163, 15fsumzcl 14753 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℤ)
17163adant3 1162 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℤ)
18 simp1 1166 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
19 3z 11657 . . . . 5 3 ∈ ℤ
2019a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 3 ∈ ℤ)
21 eluzelz 11896 . . . . 5 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) → 𝑀 ∈ ℤ)
22213ad2ant2 1164 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
23 eluz2 11892 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑀))
24 2re 11346 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
26 zre 11628 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2725, 26leloed 10434 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑀 ↔ (2 < 𝑀 ∨ 2 = 𝑀)))
28 zltp1le 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 < 𝑀 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑀))
291, 28mpan 681 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℤ → (2 < 𝑀 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑀))
3029biimpd 220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℤ → (2 < 𝑀 → (2 + 1) ≤ 𝑀))
31 df-3 11336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (2 + 1)
3231breq1i 4816 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 ≤ 𝑀 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑀)
3330, 32syl6ibr 243 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → (2 < 𝑀 → 3 ≤ 𝑀))
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 2 ∥ 𝑀 → (𝑀 ∈ ℤ → (2 < 𝑀 → 3 ≤ 𝑀)))
3534com13 88 . . . . . . . . . . . 12 (2 < 𝑀 → (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → 3 ≤ 𝑀)))
36 z2even 15390 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∥ 2
37 breq2 4813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 = 𝑀 → (2 ∥ 2 ↔ 2 ∥ 𝑀))
3836, 37mpbii 224 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 = 𝑀 → 2 ∥ 𝑀)
3938pm2.24d 148 . . . . . . . . . . . . 13 (2 = 𝑀 → (¬ 2 ∥ 𝑀 → 3 ≤ 𝑀))
4039a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 (2 = 𝑀 → (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → 3 ≤ 𝑀)))
4135, 40jaoi 883 . . . . . . . . . . 11 ((2 < 𝑀 ∨ 2 = 𝑀) → (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → 3 ≤ 𝑀)))
4241com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → ((2 < 𝑀 ∨ 2 = 𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑀 → 3 ≤ 𝑀)))
4327, 42sylbid 231 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑀 → (¬ 2 ∥ 𝑀 → 3 ≤ 𝑀)))
4443imp 395 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑀 → 3 ≤ 𝑀))
45443adant1 1160 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑀 → 3 ≤ 𝑀))
4623, 45sylbi 208 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑀 → 3 ≤ 𝑀))
4746imp 395 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 3 ≤ 𝑀)
48473adant1 1160 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 3 ≤ 𝑀)
49 eluz2 11892 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑀))
5020, 22, 48, 49syl3anbrc 1443 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ‘3))
51 eluzelcn 11898 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
52513ad2ant1 1163 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝐴 ∈ ℂ)
53 eluz2nn 11926 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) → 𝑀 ∈ ℕ)
54533ad2ant2 1164 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
55 simp3 1168 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
5652, 54, 55oddpwp1fsum 15399 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ((𝐴𝑀) + 1) = ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘))))
5756eqcomd 2771 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘))) = ((𝐴𝑀) + 1))
58 eluzge2nn0 11927 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5958adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
6010, 59nn0expcld 13238 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝑀) ∈ ℕ0)
6160nn0cnd 11600 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
62 peano2cn 10462 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑀) ∈ ℂ → ((𝐴𝑀) + 1) ∈ ℂ)
6361, 62syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴𝑀) + 1) ∈ ℂ)
64633adant3 1162 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ((𝐴𝑀) + 1) ∈ ℂ)
6517zcnd 11730 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
66 eluz2nn 11926 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
6766peano2nnd 11293 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
6867nncnd 11292 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
6967nnne0d 11322 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + 1) ≠ 0)
7068, 69jca 507 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 1) ≠ 0))
71703ad2ant1 1163 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ((𝐴 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 1) ≠ 0))
72 divmul 10942 . . . . . 6 ((((𝐴𝑀) + 1) ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 1) ≠ 0)) → ((((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ↔ ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘))) = ((𝐴𝑀) + 1)))
7364, 65, 71, 72syl3anc 1490 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ↔ ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘))) = ((𝐴𝑀) + 1)))
7457, 73mpbird 248 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)))
7574eqcomd 2771 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) = (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)))
76 lighneallem4a 42133 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3) ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) = (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)))
7718, 50, 75, 76syl3anc 1490 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 2 ≤ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)))
78 eluz2 11892 . 2 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘))))
792, 17, 77, 78syl3anbrc 1443 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘2) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘)) ∈ (ℤ‘2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  3c3 11328  0cn0 11538  cz 11624  cuz 11886  ...cfz 12533  cexp 13067  Σcsu 14703  cdvds 15267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-sum 14704  df-dvds 15268
This theorem is referenced by:  lighneallem4  42135
  Copyright terms: Public domain W3C validator