MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddprmdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddprmdvds 16845
Description: Every positive integer which is not a power of two is divisible by an odd prime number. (Contributed by AV, 6-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
oddprmdvds ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ)
Distinct variable group:   ๐‘›,๐พ,๐‘

Proof of Theorem oddprmdvds
Dummy variables ๐‘š ๐‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2prm 16636 . . . 4 2 โˆˆ โ„™
2 pcndvds2 16810 . . . 4 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))))
31, 2mpan 687 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))))
4 pcdvds 16806 . . . 4 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆฅ ๐พ)
51, 4mpan 687 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆฅ ๐พ)
6 2nn 12289 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„•
76a1i 11 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
81a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„™)
9 id 22 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
108, 9pccld 16792 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (2 pCnt ๐พ) โˆˆ โ„•0)
117, 10nnexpcld 14213 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆˆ โ„•)
12 nndivdvds 16213 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆฅ ๐พ โ†” (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โˆˆ โ„•))
1311, 12mpdan 684 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆฅ ๐พ โ†” (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โˆˆ โ„•))
1413adantr 480 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)))) โ†’ ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆฅ ๐พ โ†” (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โˆˆ โ„•))
15 elnn1uz2 12913 . . . . . . 7 ((๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โˆˆ โ„• โ†” ((๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) = 1 โˆจ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
16 nncn 12224 . . . . . . . . . . . . 13 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
17 nncn 12224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆˆ โ„‚)
18 nnne0 12250 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โ‰  0)
1917, 18jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โ‰  0))
2011, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โ‰  0))
21 3anass 1092 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โ‰  0) โ†” (๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โ‰  0)))
2216, 20, 21sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โ‰  0))
2322adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)))) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โ‰  0))
24 diveq1 11909 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โ‰  0) โ†’ ((๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) = 1 โ†” ๐พ = (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)))) โ†’ ((๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) = 1 โ†” ๐พ = (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))))
2610adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ = (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โ†’ (2 pCnt ๐พ) โˆˆ โ„•0)
27 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› = (2 pCnt ๐พ) โ†’ (2โ†‘๐‘›) = (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)))
2827eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› = (2 pCnt ๐พ) โ†’ (๐พ = (2โ†‘๐‘›) โ†” ๐พ = (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))))
2928adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ = (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โˆง ๐‘› = (2 pCnt ๐พ)) โ†’ (๐พ = (2โ†‘๐‘›) โ†” ๐พ = (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))))
30 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ = (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โ†’ ๐พ = (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)))
3126, 29, 30rspcedvd 3608 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ = (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›))
3231ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พ = (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)))
33 pm2.24 124 . . . . . . . . . . . 12 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›) โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ))
3432, 33syl6 35 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พ = (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ)))
3534adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)))) โ†’ (๐พ = (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ)))
3625, 35sylbid 239 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)))) โ†’ ((๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) = 1 โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ)))
3736com12 32 . . . . . . . 8 ((๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) = 1 โ†’ ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)))) โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ)))
38 exprmfct 16648 . . . . . . . . 9 ((๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„™ ๐‘ž โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))))
39 breq1 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ž = 2 โ†’ (๐‘ž โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โ†” 2 โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)))))
4039biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ž โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โ†’ (๐‘ž = 2 โ†’ 2 โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)))))
4140adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ž โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)))) โ†’ (๐‘ž = 2 โ†’ 2 โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)))))
4241necon3bd 2948 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘ž โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)))) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โ†’ ๐‘ž โ‰  2))
4342ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ž โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โ†’ ๐‘ž โ‰  2)))
44 prmnn 16618 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ž โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„•)
455, 13mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โˆˆ โ„•)
46 nndivides 16214 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ž โˆˆ โ„• โˆง (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ž โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘š ยท ๐‘ž) = (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)))))
4744, 45, 46syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ž โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘š ยท ๐‘ž) = (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)))))
48 eqcom 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘š ยท ๐‘ž) = (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โ†” (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) = (๐‘š ยท ๐‘ž))
4916ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
50 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
5144ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„•)
5250, 51nnmulcld 12269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ž) โˆˆ โ„•)
5352nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ž) โˆˆ โ„‚)
5411ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆˆ โ„•)
5554, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โ‰  0))
56 divmul 11879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘š ยท ๐‘ž) โˆˆ โ„‚ โˆง ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โ‰  0)) โ†’ ((๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) = (๐‘š ยท ๐‘ž) โ†” ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) ยท (๐‘š ยท ๐‘ž)) = ๐พ))
5749, 53, 55, 56syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) = (๐‘š ยท ๐‘ž) โ†” ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) ยท (๐‘š ยท ๐‘ž)) = ๐พ))
5848, 57bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘ž) = (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โ†” ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) ยท (๐‘š ยท ๐‘ž)) = ๐พ))
59 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„™)
6059adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„™)
6160anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ž โ‰  2) โ†’ (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โ‰  2))
62 eldifsn 4785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ž โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†” (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โ‰  2))
6361, 62sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ž โ‰  2) โ†’ ๐‘ž โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ž โ‰  2) โˆง ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) ยท (๐‘š ยท ๐‘ž)) = ๐พ) โ†’ ๐‘ž โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
65 breq1 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ = ๐‘ž โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” ๐‘ž โˆฅ ๐พ))
6665adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ž โ‰  2) โˆง ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) ยท (๐‘š ยท ๐‘ž)) = ๐พ) โˆง ๐‘ = ๐‘ž) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” ๐‘ž โˆฅ ๐พ))
6754, 50nnmulcld 12269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) ยท ๐‘š) โˆˆ โ„•)
6867nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) ยท ๐‘š) โˆˆ โ„ค)
6944nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐‘ž โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„ค)
7069ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„ค)
7168, 70jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) ยท ๐‘š) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„ค))
7271adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ž โ‰  2) โ†’ (((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) ยท ๐‘š) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„ค))
73 dvdsmul2 16229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) ยท ๐‘š) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ž โˆฅ (((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) ยท ๐‘š) ยท ๐‘ž))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ž โ‰  2) โ†’ ๐‘ž โˆฅ (((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) ยท ๐‘š) ยท ๐‘ž))
75 2nn0 12493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 โˆˆ โ„•0
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
7776, 10nn0expcld 14214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆˆ โ„•0)
7877ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆˆ โ„•0)
7978nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆˆ โ„‚)
80 nncn 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
8180adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
8244nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐‘ž โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„‚)
8382ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„‚)
8479, 81, 833jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„‚))
8584adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ž โ‰  2) โ†’ ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„‚))
86 mulass 11200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) ยท ๐‘š) ยท ๐‘ž) = ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) ยท (๐‘š ยท ๐‘ž)))
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ž โ‰  2) โ†’ (((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) ยท ๐‘š) ยท ๐‘ž) = ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) ยท (๐‘š ยท ๐‘ž)))
8874, 87breqtrd 5167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ž โ‰  2) โ†’ ๐‘ž โˆฅ ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) ยท (๐‘š ยท ๐‘ž)))
8988adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ž โ‰  2) โˆง ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) ยท (๐‘š ยท ๐‘ž)) = ๐พ) โ†’ ๐‘ž โˆฅ ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) ยท (๐‘š ยท ๐‘ž)))
90 breq2 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) ยท (๐‘š ยท ๐‘ž)) = ๐พ โ†’ (๐‘ž โˆฅ ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) ยท (๐‘š ยท ๐‘ž)) โ†” ๐‘ž โˆฅ ๐พ))
9190adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ž โ‰  2) โˆง ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) ยท (๐‘š ยท ๐‘ž)) = ๐พ) โ†’ (๐‘ž โˆฅ ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) ยท (๐‘š ยท ๐‘ž)) โ†” ๐‘ž โˆฅ ๐พ))
9289, 91mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ž โ‰  2) โˆง ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) ยท (๐‘š ยท ๐‘ž)) = ๐พ) โ†’ ๐‘ž โˆฅ ๐พ)
9364, 66, 92rspcedvd 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ž โ‰  2) โˆง ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) ยท (๐‘š ยท ๐‘ž)) = ๐พ) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ)
9493a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ž โ‰  2) โˆง ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) ยท (๐‘š ยท ๐‘ž)) = ๐พ) โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ))
9594exp31 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ž โ‰  2 โ†’ (((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) ยท (๐‘š ยท ๐‘ž)) = ๐พ โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ))))
9695com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) ยท (๐‘š ยท ๐‘ž)) = ๐พ โ†’ (๐‘ž โ‰  2 โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ))))
9758, 96sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘ž) = (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โ†’ (๐‘ž โ‰  2 โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ))))
9897rexlimdva 3149 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘š ยท ๐‘ž) = (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โ†’ (๐‘ž โ‰  2 โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ))))
9947, 98sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ž โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โ†’ (๐‘ž โ‰  2 โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ))))
10043, 99syldd 72 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ž โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ))))
101100rexlimdva 3149 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„™ ๐‘ž โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ))))
102101com12 32 . . . . . . . . . 10 (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„™ ๐‘ž โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ))))
103102impd 410 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„™ ๐‘ž โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โ†’ ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)))) โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ)))
10438, 103syl 17 . . . . . . . 8 ((๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)))) โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ)))
10537, 104jaoi 854 . . . . . . 7 (((๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) = 1 โˆจ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)))) โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ)))
10615, 105sylbi 216 . . . . . 6 ((๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)))) โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ)))
107106com12 32 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)))) โ†’ ((๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โˆˆ โ„• โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ)))
10814, 107sylbid 239 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ)))) โ†’ ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆฅ ๐พ โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ)))
109108ex 412 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ (๐พ / (2โ†‘(2 pCnt ๐พ))) โ†’ ((2โ†‘(2 pCnt ๐พ)) โˆฅ ๐พ โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ))))
1103, 5, 109mp2d 49 . 2 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ))
111110imp 406 1 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ๐พ = (2โ†‘๐‘›)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})๐‘ โˆฅ ๐พ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆƒwrex 3064   โˆ– cdif 3940  {csn 4623   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ†‘cexp 14032   โˆฅ cdvds 16204  โ„™cprime 16615   pCnt cpc 16778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-pc 16779
This theorem is referenced by:  2pwp1prm  46834
  Copyright terms: Public domain W3C validator