Theorem expgcd 16490

Description: Exponentiation distributes over GCD. sqgcd 16489 extended to nonnegative exponents. (Contributed by Steven Nguyen, 4-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
expgcd	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem expgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdnncl 16434	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
2	1	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
3		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2, 3	nnexpcld 14168	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℕ)
5	4	nncnd 12161	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℂ)
6	5	mulridd 11149	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) · 1) = ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁))
7		nnexpcl 13997	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
8	7	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12514	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
10		nnexpcl 13997	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ)
11	10	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12514	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ)
13		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12514	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
15		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
16	15	nnzd 12514	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
17		gcddvds 16430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
18	14, 16, 17	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
19	18	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
20	19	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
21	2	nnzd 12514	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
22		simp1 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ)
23	22	nnzd 12514	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
24		dvdsexpim 16482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁)))
25	21, 23, 3, 24	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁)))
26	20, 25	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁))
27	19	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
28		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ)
29	28	nnzd 12514	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
30		dvdsexpim 16482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
31	21, 29, 3, 30	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
32	27, 31	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))
33		gcddiv 16478	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℕ) ∧ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))) → (((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = (((𝐴↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) gcd ((𝐵↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁))))
34	9, 12, 4, 26, 32, 33	syl32anc 1380	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = (((𝐴↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) gcd ((𝐵↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁))))
35		nncn 12153	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
36	35	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
37	2	nncnd 12161	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
38	2	nnne0d 12195	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
39	36, 37, 38, 3	expdivd 14083	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)))
40		nncn 12153	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
41	40	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
42	41, 37, 38, 3	expdivd 14083	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) = ((𝐵↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)))
43	39, 42	oveq12d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) gcd ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁)) = (((𝐴↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) gcd ((𝐵↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁))))
44		gcddiv 16478	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
45	23, 29, 2, 19, 44	syl31anc 1375	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
46	37, 38	dividd 11915	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1)
47	45, 46	eqtr3d 2773	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)
48		divgcdnn 16442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
49	22, 29, 48	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
50	49	nnnn0d 12462	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ0)
51		divgcdnnr 16443	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
52	28, 23, 51	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
53	52	nnnn0d 12462	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ0)
54		nn0rppwr 16488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) gcd ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁)) = 1))
55	50, 53, 3, 54	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) gcd ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁)) = 1))
56	47, 55	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) gcd ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁)) = 1)
57	34, 43, 56	3eqtr2d 2777	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = 1)
58		gcdnncl 16434	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) ∈ ℕ)
59	58	nncnd 12161	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) ∈ ℂ)
60	8, 11, 59	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) ∈ ℂ)
61	4	nnne0d 12195	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ≠ 0)
62		ax-1cn 11084	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
63		divmul 11799	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ≠ 0)) → ((((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = 1 ↔ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) · 1) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁))))
64	62, 63	mp3an2 1451	. . . 4 ⊢ ((((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) ∈ ℂ ∧ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ≠ 0)) → ((((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = 1 ↔ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) · 1) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁))))
65	60, 5, 61, 64	syl12anc 836	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = 1 ↔ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) · 1) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁))))
66	57, 65	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) · 1) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))
67	6, 66	eqtr3d 2773	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   · cmul 11031   / cdiv 11794  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ↑cexp 13984   ∥ cdvds 16179   gcd cgcd 16421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-gcd 16422

This theorem is referenced by:  nn0expgcd  16491  dvdsexpnn  42588