Theorem expgcd 39190

Description: Exponentiation distributes over GCD. sqgcd 15911 extended to nonnegative exponents. (Contributed by Steven Nguyen, 4-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
expgcd	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem expgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdnncl 15858	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
2	1	3adant3 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
3		simp3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2, 3	nnexpcld 13609	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℕ)
5	4	nncnd 11656	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℂ)
6	5	mulid1d 10660	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) · 1) = ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁))
7		nnexpcl 13445	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
8	7	3adant2 1127	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12089	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
10		nnexpcl 13445	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ)
11	10	3adant1 1126	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12089	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ)
13		simpl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
15		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
16	15	nnzd 12089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
17		gcddvds 15854	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
18	14, 16, 17	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
19	18	3adant3 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
20	19	simpld 497	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
21	2	nnzd 12089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
22		simp1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ)
23	22	nnzd 12089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
24		dvdsexpim 39188	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁)))
25	21, 23, 3, 24	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁)))
26	20, 25	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁))
27	19	simprd 498	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
28		simp2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ)
29	28	nnzd 12089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
30		dvdsexpim 39188	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
31	21, 29, 3, 30	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
32	27, 31	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))
33		gcddiv 15901	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℕ) ∧ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))) → (((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = (((𝐴↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) gcd ((𝐵↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁))))
34	9, 12, 4, 26, 32, 33	syl32anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = (((𝐴↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) gcd ((𝐵↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁))))
35		nncn 11648	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
36	35	3ad2ant1 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
37	2	nncnd 11656	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
38	2	nnne0d 11690	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
39	36, 37, 38, 3	expdivd 13527	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)))
40		nncn 11648	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
41	40	3ad2ant2 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
42	41, 37, 38, 3	expdivd 13527	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) = ((𝐵↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)))
43	39, 42	oveq12d 7176	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) gcd ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁)) = (((𝐴↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) gcd ((𝐵↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁))))
44		gcddiv 15901	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
45	23, 29, 2, 19, 44	syl31anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
46	37, 38	dividd 11416	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1)
47	45, 46	eqtr3d 2860	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)
48		divgcdnn 15865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
49	22, 29, 48	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
50	49	nnnn0d 11958	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ0)
51		divgcdnnr 15866	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
52	28, 23, 51	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
53	52	nnnn0d 11958	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ0)
54		nn0rppwr 39189	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) gcd ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁)) = 1))
55	50, 53, 3, 54	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) gcd ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁)) = 1))
56	47, 55	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) gcd ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁)) = 1)
57	34, 43, 56	3eqtr2d 2864	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = 1)
58		gcdnncl 15858	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) ∈ ℕ)
59	58	nncnd 11656	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) ∈ ℂ)
60	8, 11, 59	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) ∈ ℂ)
61	4	nnne0d 11690	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ≠ 0)
62		ax-1cn 10597	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
63		divmul 11303	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ≠ 0)) → ((((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = 1 ↔ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) · 1) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁))))
64	62, 63	mp3an2 1445	. . . 4 ⊢ ((((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) ∈ ℂ ∧ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ≠ 0)) → ((((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = 1 ↔ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) · 1) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁))))
65	60, 5, 61, 64	syl12anc 834	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = 1 ↔ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) · 1) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁))))
66	57, 65	mpbid 234	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) · 1) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))
67	6, 66	eqtr3d 2860	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   class class class wbr 5068  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  0cc0 10539  1c1 10540   · cmul 10544   / cdiv 11299  ℕcn 11640  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ↑cexp 13432   ∥ cdvds 15609   gcd cgcd 15845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-dvds 15610  df-gcd 15846

This theorem is referenced by:  nn0expgcd  39191