Theorem expgcd 16778

Description: Exponentiation distributes over gcd. sqgcd 16777 extended to nonnegative exponents. (Contributed by Steven Nguyen, 4-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
expgcd	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem expgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdnncl 16718	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
2	1	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
3		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2, 3	nnexpcld 14428	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℕ)
5	4	nncnd 12389	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℂ)
6	5	mulridd 11363	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) · 1) = ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁))
7		nnexpcl 14255	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
8	7	3adant2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12757	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
10		nnexpcl 14255	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ)
11	10	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12757	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ)
13		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12757	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
15		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
16	15	nnzd 12757	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
17		gcddvds 16714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
18	14, 16, 17	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
19	18	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
20	19	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
21	2	nnzd 12757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
22		simp1 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ)
23	22	nnzd 12757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
24		dvdsexpim 16769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁)))
25	21, 23, 3, 24	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁)))
26	20, 25	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁))
27	19	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
28		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ)
29	28	nnzd 12757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
30		dvdsexpim 16769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
31	21, 29, 3, 30	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
32	27, 31	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))
33		gcddiv 16765	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℕ) ∧ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))) → (((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = (((𝐴↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) gcd ((𝐵↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁))))
34	9, 12, 4, 26, 32, 33	syl32anc 1406	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = (((𝐴↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) gcd ((𝐵↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁))))
35		nncn 12381	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
36	35	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
37	2	nncnd 12389	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
38	2	nnne0d 12426	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
39	36, 37, 38, 3	expdivd 14341	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)))
40		nncn 12381	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
41	40	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
42	41, 37, 38, 3	expdivd 14341	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) = ((𝐵↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)))
43	39, 42	oveq12d 7467	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) gcd ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁)) = (((𝐴↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) gcd ((𝐵↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁))))
44		gcddiv 16765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
45	23, 29, 2, 19, 44	syl31anc 1401	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
46	37, 38	dividd 12129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1)
47	45, 46	eqtr3d 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)
48		divgcdnn 16728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
49	22, 29, 48	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
50	49	nnnn0d 12705	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ0)
51		divgcdnnr 16729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
52	28, 23, 51	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
53	52	nnnn0d 12705	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ0)
54		nn0rppwr 16776	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) gcd ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁)) = 1))
55	50, 53, 3, 54	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) gcd ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁)) = 1))
56	47, 55	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) gcd ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁)) = 1)
57	34, 43, 56	3eqtr2d 2804	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = 1)
58		gcdnncl 16718	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) ∈ ℕ)
59	58	nncnd 12389	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) ∈ ℂ)
60	8, 11, 59	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) ∈ ℂ)
61	4	nnne0d 12426	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ≠ 0)
62		ax-1cn 11295	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
63		divmul 12015	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ≠ 0)) → ((((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = 1 ↔ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) · 1) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁))))
64	62, 63	mp3an2 1479	. . . 4 ⊢ ((((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) ∈ ℂ ∧ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ≠ 0)) → ((((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = 1 ↔ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) · 1) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁))))
65	60, 5, 61, 64	syl12anc 850	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = 1 ↔ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) · 1) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁))))
66	57, 65	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) · 1) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))
67	6, 66	eqtr3d 2800	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  (class class class)co 7449  ℂcc 11235  0cc0 11237  1c1 11238   · cmul 11242   / cdiv 12011  ℕcn 12373  ℕ₀cn0 12644  ℤcz 12731  ↑cexp 14242   ∥ cdvds 16463   gcd cgcd 16705

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-sup 9469  df-inf 9470  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-rp 13159  df-fl 13970  df-mod 14048  df-seq 14183  df-exp 14243  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-dvds 16464  df-gcd 16706

This theorem is used by:  nn0expgcd  16779  dvdsexpnn  16781