Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  expgcd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expgcd 40042
Description: Exponentiation distributes over GCD. sqgcd 16122 extended to nonnegative exponents. (Contributed by Steven Nguyen, 4-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
expgcd ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) gcd (𝐵𝑁)))

Proof of Theorem expgcd
StepHypRef Expression
1 gcdnncl 16066 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
213adant3 1134 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
3 simp3 1140 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
42, 3nnexpcld 13812 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℕ)
54nncnd 11846 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℂ)
65mulid1d 10850 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) · 1) = ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁))
7 nnexpcl 13648 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)
873adant2 1133 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)
98nnzd 12281 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
10 nnexpcl 13648 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑁) ∈ ℕ)
11103adant1 1132 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑁) ∈ ℕ)
1211nnzd 12281 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑁) ∈ ℤ)
13 simpl 486 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ)
1413nnzd 12281 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
15 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
1615nnzd 12281 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
17 gcddvds 16062 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
1814, 16, 17syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
19183adant3 1134 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
2019simpld 498 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
212nnzd 12281 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
22 simp1 1138 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ)
2322nnzd 12281 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
24 dvdsexpim 40036 . . . . . . 7 (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐴𝑁)))
2521, 23, 3, 24syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐴𝑁)))
2620, 25mpd 15 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐴𝑁))
2719simprd 499 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
28 simp2 1139 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ)
2928nnzd 12281 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
30 dvdsexpim 40036 . . . . . . 7 (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐵𝑁)))
3121, 29, 3, 30syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐵𝑁)))
3227, 31mpd 15 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐵𝑁))
33 gcddiv 16111 . . . . 5 ((((𝐴𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐵𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℕ) ∧ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐴𝑁) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐵𝑁))) → (((𝐴𝑁) gcd (𝐵𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = (((𝐴𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) gcd ((𝐵𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁))))
349, 12, 4, 26, 32, 33syl32anc 1380 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑁) gcd (𝐵𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = (((𝐴𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) gcd ((𝐵𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁))))
35 nncn 11838 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
36353ad2ant1 1135 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
372nncnd 11846 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
382nnne0d 11880 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
3936, 37, 38, 3expdivd 13730 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) = ((𝐴𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)))
40 nncn 11838 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
41403ad2ant2 1136 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
4241, 37, 38, 3expdivd 13730 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) = ((𝐵𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)))
4339, 42oveq12d 7231 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) gcd ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁)) = (((𝐴𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) gcd ((𝐵𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁))))
44 gcddiv 16111 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
4523, 29, 2, 19, 44syl31anc 1375 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
4637, 38dividd 11606 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1)
4745, 46eqtr3d 2779 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)
48 divgcdnn 16074 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
4922, 29, 48syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
5049nnnn0d 12150 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ0)
51 divgcdnnr 16075 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
5228, 23, 51syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
5352nnnn0d 12150 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ0)
54 nn0rppwr 40041 . . . . . 6 (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) gcd ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁)) = 1))
5550, 53, 3, 54syl3anc 1373 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) gcd ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁)) = 1))
5647, 55mpd 15 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) gcd ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁)) = 1)
5734, 43, 563eqtr2d 2783 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑁) gcd (𝐵𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = 1)
58 gcdnncl 16066 . . . . . 6 (((𝐴𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝐵𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) gcd (𝐵𝑁)) ∈ ℕ)
5958nncnd 11846 . . . . 5 (((𝐴𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝐵𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) gcd (𝐵𝑁)) ∈ ℂ)
608, 11, 59syl2anc 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑁) gcd (𝐵𝑁)) ∈ ℂ)
614nnne0d 11880 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ≠ 0)
62 ax-1cn 10787 . . . . 5 1 ∈ ℂ
63 divmul 11493 . . . . 5 ((((𝐴𝑁) gcd (𝐵𝑁)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ≠ 0)) → ((((𝐴𝑁) gcd (𝐵𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = 1 ↔ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) · 1) = ((𝐴𝑁) gcd (𝐵𝑁))))
6462, 63mp3an2 1451 . . . 4 ((((𝐴𝑁) gcd (𝐵𝑁)) ∈ ℂ ∧ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ≠ 0)) → ((((𝐴𝑁) gcd (𝐵𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = 1 ↔ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) · 1) = ((𝐴𝑁) gcd (𝐵𝑁))))
6560, 5, 61, 64syl12anc 837 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((((𝐴𝑁) gcd (𝐵𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = 1 ↔ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) · 1) = ((𝐴𝑁) gcd (𝐵𝑁))))
6657, 65mpbid 235 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) · 1) = ((𝐴𝑁) gcd (𝐵𝑁)))
676, 66eqtr3d 2779 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) gcd (𝐵𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213  cc 10727  0cc0 10729  1c1 10730   · cmul 10734   / cdiv 11489  cn 11830  0cn0 12090  cz 12176  cexp 13635  cdvds 15815   gcd cgcd 16053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-dvds 15816  df-gcd 16054
This theorem is referenced by:  nn0expgcd  40043  dvdsexpnn  40048
  Copyright terms: Public domain W3C validator