Theorem expgcd 16743

Description: Exponentiation distributes over gcd. sqgcd 16742 extended to nonnegative exponents. (Contributed by Steven Nguyen, 4-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
expgcd	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem expgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdnncl 16683	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
2	1	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
3		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2, 3	nnexpcld 14393	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℕ)
5	4	nncnd 12355	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℂ)
6	5	mulridd 11330	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) · 1) = ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁))
7		nnexpcl 14221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
8	7	3adant2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12723	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
10		nnexpcl 14221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ)
11	10	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12723	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ)
13		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12723	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
15		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
16	15	nnzd 12723	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
17		gcddvds 16679	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
18	14, 16, 17	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
19	18	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
20	19	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
21	2	nnzd 12723	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
22		simp1 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ)
23	22	nnzd 12723	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
24		dvdsexpim 16734	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁)))
25	21, 23, 3, 24	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁)))
26	20, 25	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁))
27	19	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
28		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ)
29	28	nnzd 12723	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
30		dvdsexpim 16734	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
31	21, 29, 3, 30	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
32	27, 31	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))
33		gcddiv 16730	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℕ) ∧ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))) → (((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = (((𝐴↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) gcd ((𝐵↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁))))
34	9, 12, 4, 26, 32, 33	syl32anc 1405	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = (((𝐴↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) gcd ((𝐵↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁))))
35		nncn 12347	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
36	35	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
37	2	nncnd 12355	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
38	2	nnne0d 12392	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
39	36, 37, 38, 3	expdivd 14307	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)))
40		nncn 12347	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
41	40	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
42	41, 37, 38, 3	expdivd 14307	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) = ((𝐵↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)))
43	39, 42	oveq12d 7439	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) gcd ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁)) = (((𝐴↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) gcd ((𝐵↑𝑁) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁))))
44		gcddiv 16730	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
45	23, 29, 2, 19, 44	syl31anc 1400	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
46	37, 38	dividd 12095	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1)
47	45, 46	eqtr3d 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)
48		divgcdnn 16693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
49	22, 29, 48	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
50	49	nnnn0d 12671	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ0)
51		divgcdnnr 16694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
52	28, 23, 51	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
53	52	nnnn0d 12671	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ0)
54		nn0rppwr 16741	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) gcd ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁)) = 1))
55	50, 53, 3, 54	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) gcd ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁)) = 1))
56	47, 55	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) gcd ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁)) = 1)
57	34, 43, 56	3eqtr2d 2801	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = 1)
58		gcdnncl 16683	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) ∈ ℕ)
59	58	nncnd 12355	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) ∈ ℂ)
60	8, 11, 59	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) ∈ ℂ)
61	4	nnne0d 12392	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ≠ 0)
62		ax-1cn 11262	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
63		divmul 11981	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ≠ 0)) → ((((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = 1 ↔ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) · 1) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁))))
64	62, 63	mp3an2 1478	. . . 4 ⊢ ((((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) ∈ ℂ ∧ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ≠ 0)) → ((((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = 1 ↔ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) · 1) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁))))
65	60, 5, 61, 64	syl12anc 850	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)) / ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁)) = 1 ↔ (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) · 1) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁))))
66	57, 65	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) · 1) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))
67	6, 66	eqtr3d 2797	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) gcd (𝐵↑𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  0cc0 11204  1c1 11205   · cmul 11209   / cdiv 11977  ℕcn 12339  ℕ₀cn0 12610  ℤcz 12697  ↑cexp 14208   ∥ cdvds 16428   gcd cgcd 16670

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fl 13936  df-mod 14014  df-seq 14149  df-exp 14209  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-dvds 16429  df-gcd 16671

This theorem is used by:  nn0expgcd  16744  dvdsexpnn  16746