MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqgcd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqgcd 16527
Description: Square distributes over gcd. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sqgcd ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) = ((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)))

Proof of Theorem sqgcd
StepHypRef Expression
1 gcdnncl 16473 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„•)
21nnsqcld 14230 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„•)
32nncnd 12250 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
43mulridd 11253 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) ยท 1) = ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2))
5 nnsqcl 14116 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„•)
65nnzd 12607 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
76adantr 480 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
8 nnsqcl 14116 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„•)
98nnzd 12607 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
109adantl 481 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
11 nnz 12601 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
12 nnz 12601 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
13 gcddvds 16469 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘))
1411, 12, 13syl2an 595 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘))
1514simpld 494 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€)
161nnzd 12607 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค)
1711adantr 480 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
18 dvdssqim 16521 . . . . . . 7 (((๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€ โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โˆฅ (๐‘€โ†‘2)))
1916, 17, 18syl2anc 583 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€ โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โˆฅ (๐‘€โ†‘2)))
2015, 19mpd 15 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โˆฅ (๐‘€โ†‘2))
2114simprd 495 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘)
2212adantl 481 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
23 dvdssqim 16521 . . . . . . 7 (((๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘ โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โˆฅ (๐‘โ†‘2)))
2416, 22, 23syl2anc 583 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘ โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โˆฅ (๐‘โ†‘2)))
2521, 24mpd 15 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โˆฅ (๐‘โ†‘2))
26 gcddiv 16518 . . . . 5 ((((๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โˆฅ (๐‘€โ†‘2) โˆง ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โˆฅ (๐‘โ†‘2))) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)) / ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2)) = (((๐‘€โ†‘2) / ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2)) gcd ((๐‘โ†‘2) / ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2))))
277, 10, 2, 20, 25, 26syl32anc 1376 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)) / ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2)) = (((๐‘€โ†‘2) / ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2)) gcd ((๐‘โ†‘2) / ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2))))
28 nncn 12242 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2928adantr 480 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
301nncnd 12250 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„‚)
311nnne0d 12284 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โ‰  0)
3229, 30, 31sqdivd 14147 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘))โ†‘2) = ((๐‘€โ†‘2) / ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2)))
33 nncn 12242 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3433adantl 481 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3534, 30, 31sqdivd 14147 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))โ†‘2) = ((๐‘โ†‘2) / ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2)))
3632, 35oveq12d 7432 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘))โ†‘2) gcd ((๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))โ†‘2)) = (((๐‘€โ†‘2) / ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2)) gcd ((๐‘โ†‘2) / ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2))))
37 gcddiv 16518 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) = ((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) gcd (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))))
3817, 22, 1, 14, 37syl31anc 1371 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) = ((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) gcd (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))))
3930, 31dividd 12010 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) = 1)
4038, 39eqtr3d 2769 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) gcd (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))) = 1)
41 dvdsval2 16225 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) โ‰  0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€ โ†” (๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค))
4216, 31, 17, 41syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€ โ†” (๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค))
4315, 42mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
44 nnre 12241 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
4544adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
461nnred 12249 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„)
47 nngt0 12265 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘€)
4847adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐‘€)
491nngt0d 12283 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < (๐‘€ gcd ๐‘))
5045, 46, 48, 49divgt0d 12171 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < (๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)))
51 elnnz 12590 . . . . . . 7 ((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„• โ†” ((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘))))
5243, 50, 51sylanbrc 582 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„•)
53 dvdsval2 16225 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค))
5416, 31, 22, 53syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค))
5521, 54mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
56 nnre 12241 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
5756adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
58 nngt0 12265 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘)
5958adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐‘)
6057, 46, 59, 49divgt0d 12171 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘)))
61 elnnz 12590 . . . . . . 7 ((๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„• โ†” ((๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))))
6255, 60, 61sylanbrc 582 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„•)
63 2nn 12307 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„•
64 rppwr 16526 . . . . . . 7 (((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„• โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) gcd (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))) = 1 โ†’ (((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘))โ†‘2) gcd ((๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))โ†‘2)) = 1))
6563, 64mp3an3 1447 . . . . . 6 (((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) gcd (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))) = 1 โ†’ (((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘))โ†‘2) gcd ((๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))โ†‘2)) = 1))
6652, 62, 65syl2anc 583 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) gcd (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))) = 1 โ†’ (((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘))โ†‘2) gcd ((๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))โ†‘2)) = 1))
6740, 66mpd 15 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘))โ†‘2) gcd ((๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))โ†‘2)) = 1)
6827, 36, 673eqtr2d 2773 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)) / ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2)) = 1)
696, 9anim12i 612 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„ค))
705nnne0d 12284 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€โ†‘2) โ‰  0)
7170neneqd 2940 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ (๐‘€โ†‘2) = 0)
7271intnanrd 489 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ ((๐‘€โ†‘2) = 0 โˆง (๐‘โ†‘2) = 0))
7372adantr 480 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ ((๐‘€โ†‘2) = 0 โˆง (๐‘โ†‘2) = 0))
74 gcdn0cl 16468 . . . . . 6 ((((๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ((๐‘€โ†‘2) = 0 โˆง (๐‘โ†‘2) = 0)) โ†’ ((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)) โˆˆ โ„•)
7569, 73, 74syl2anc 583 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)) โˆˆ โ„•)
7675nncnd 12250 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
772nnne0d 12284 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โ‰  0)
78 ax-1cn 11188 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
79 divmul 11897 . . . . 5 ((((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โ‰  0)) โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)) / ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2)) = 1 โ†” (((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) ยท 1) = ((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2))))
8078, 79mp3an2 1446 . . . 4 ((((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)) โˆˆ โ„‚ โˆง (((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โ‰  0)) โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)) / ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2)) = 1 โ†” (((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) ยท 1) = ((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2))))
8176, 3, 77, 80syl12anc 836 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)) / ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2)) = 1 โ†” (((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) ยท 1) = ((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2))))
8268, 81mpbid 231 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) ยท 1) = ((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)))
834, 82eqtr3d 2769 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) = ((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  โ„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   ยท cmul 11135   < clt 11270   / cdiv 11893  โ„•cn 12234  2c2 12289  โ„คcz 12580  โ†‘cexp 14050   โˆฅ cdvds 16222   gcd cgcd 16460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-dvds 16223  df-gcd 16461
This theorem is referenced by:  dvdssqlem  16528  nn0gcdsq  16715  pythagtriplem3  16778
  Copyright terms: Public domain W3C validator