MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqgcd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqgcd 16502
Description: Square distributes over gcd. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sqgcd ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) = ((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)))

Proof of Theorem sqgcd
StepHypRef Expression
1 gcdnncl 16448 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„•)
21nnsqcld 14207 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„•)
32nncnd 12228 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
43mulridd 11231 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) ยท 1) = ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2))
5 nnsqcl 14093 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„•)
65nnzd 12585 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
76adantr 482 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
8 nnsqcl 14093 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„•)
98nnzd 12585 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
109adantl 483 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
11 nnz 12579 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
12 nnz 12579 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
13 gcddvds 16444 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘))
1411, 12, 13syl2an 597 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘))
1514simpld 496 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€)
161nnzd 12585 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค)
1711adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
18 dvdssqim 16496 . . . . . . 7 (((๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€ โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โˆฅ (๐‘€โ†‘2)))
1916, 17, 18syl2anc 585 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€ โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โˆฅ (๐‘€โ†‘2)))
2015, 19mpd 15 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โˆฅ (๐‘€โ†‘2))
2114simprd 497 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘)
2212adantl 483 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
23 dvdssqim 16496 . . . . . . 7 (((๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘ โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โˆฅ (๐‘โ†‘2)))
2416, 22, 23syl2anc 585 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘ โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โˆฅ (๐‘โ†‘2)))
2521, 24mpd 15 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โˆฅ (๐‘โ†‘2))
26 gcddiv 16493 . . . . 5 ((((๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โˆฅ (๐‘€โ†‘2) โˆง ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โˆฅ (๐‘โ†‘2))) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)) / ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2)) = (((๐‘€โ†‘2) / ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2)) gcd ((๐‘โ†‘2) / ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2))))
277, 10, 2, 20, 25, 26syl32anc 1379 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)) / ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2)) = (((๐‘€โ†‘2) / ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2)) gcd ((๐‘โ†‘2) / ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2))))
28 nncn 12220 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2928adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
301nncnd 12228 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„‚)
311nnne0d 12262 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โ‰  0)
3229, 30, 31sqdivd 14124 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘))โ†‘2) = ((๐‘€โ†‘2) / ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2)))
33 nncn 12220 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3433adantl 483 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3534, 30, 31sqdivd 14124 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))โ†‘2) = ((๐‘โ†‘2) / ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2)))
3632, 35oveq12d 7427 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘))โ†‘2) gcd ((๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))โ†‘2)) = (((๐‘€โ†‘2) / ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2)) gcd ((๐‘โ†‘2) / ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2))))
37 gcddiv 16493 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) = ((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) gcd (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))))
3817, 22, 1, 14, 37syl31anc 1374 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) = ((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) gcd (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))))
3930, 31dividd 11988 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) / (๐‘€ gcd ๐‘)) = 1)
4038, 39eqtr3d 2775 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) gcd (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))) = 1)
41 dvdsval2 16200 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) โ‰  0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€ โ†” (๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค))
4216, 31, 17, 41syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€ โ†” (๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค))
4315, 42mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
44 nnre 12219 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
4544adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
461nnred 12227 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„)
47 nngt0 12243 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘€)
4847adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐‘€)
491nngt0d 12261 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < (๐‘€ gcd ๐‘))
5045, 46, 48, 49divgt0d 12149 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < (๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)))
51 elnnz 12568 . . . . . . 7 ((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„• โ†” ((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘))))
5243, 50, 51sylanbrc 584 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„•)
53 dvdsval2 16200 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค))
5416, 31, 22, 53syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค))
5521, 54mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
56 nnre 12219 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
5756adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
58 nngt0 12243 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘)
5958adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐‘)
6057, 46, 59, 49divgt0d 12149 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘)))
61 elnnz 12568 . . . . . . 7 ((๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„• โ†” ((๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))))
6255, 60, 61sylanbrc 584 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„•)
63 2nn 12285 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„•
64 rppwr 16501 . . . . . . 7 (((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„• โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) gcd (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))) = 1 โ†’ (((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘))โ†‘2) gcd ((๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))โ†‘2)) = 1))
6563, 64mp3an3 1451 . . . . . 6 (((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) gcd (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))) = 1 โ†’ (((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘))โ†‘2) gcd ((๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))โ†‘2)) = 1))
6652, 62, 65syl2anc 585 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)) gcd (๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))) = 1 โ†’ (((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘))โ†‘2) gcd ((๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))โ†‘2)) = 1))
6740, 66mpd 15 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘))โ†‘2) gcd ((๐‘ / (๐‘€ gcd ๐‘))โ†‘2)) = 1)
6827, 36, 673eqtr2d 2779 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)) / ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2)) = 1)
696, 9anim12i 614 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„ค))
705nnne0d 12262 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€โ†‘2) โ‰  0)
7170neneqd 2946 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ (๐‘€โ†‘2) = 0)
7271intnanrd 491 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ ((๐‘€โ†‘2) = 0 โˆง (๐‘โ†‘2) = 0))
7372adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ ((๐‘€โ†‘2) = 0 โˆง (๐‘โ†‘2) = 0))
74 gcdn0cl 16443 . . . . . 6 ((((๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ((๐‘€โ†‘2) = 0 โˆง (๐‘โ†‘2) = 0)) โ†’ ((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)) โˆˆ โ„•)
7569, 73, 74syl2anc 585 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)) โˆˆ โ„•)
7675nncnd 12228 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
772nnne0d 12262 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โ‰  0)
78 ax-1cn 11168 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
79 divmul 11875 . . . . 5 ((((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โ‰  0)) โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)) / ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2)) = 1 โ†” (((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) ยท 1) = ((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2))))
8078, 79mp3an2 1450 . . . 4 ((((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)) โˆˆ โ„‚ โˆง (((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) โ‰  0)) โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)) / ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2)) = 1 โ†” (((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) ยท 1) = ((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2))))
8176, 3, 77, 80syl12anc 836 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)) / ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2)) = 1 โ†” (((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) ยท 1) = ((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2))))
8268, 81mpbid 231 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) ยท 1) = ((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)))
834, 82eqtr3d 2775 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) = ((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   < clt 11248   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„คcz 12558  โ†‘cexp 14027   โˆฅ cdvds 16197   gcd cgcd 16435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436
This theorem is referenced by:  dvdssqlem  16503  nn0gcdsq  16688  pythagtriplem3  16751
  Copyright terms: Public domain W3C validator