Theorem sqgcd 16532

Description: Square distributes over gcd. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sqgcd	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)))

Proof of Theorem sqgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdnncl 16477	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
2	1	nnsqcld 14209	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∈ ℕ)
3	2	nncnd 12202	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∈ ℂ)
4	3	mulridd 11191	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) · 1) = ((𝑀 gcd 𝑁)↑2))
5		nnsqcl 14093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑2) ∈ ℕ)
6	5	nnzd 12556	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
8		nnsqcl 14093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12556	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
10	9	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
11		nnz 12550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
12		nnz 12550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
13		gcddvds 16473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
14	11, 12, 13	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
15	14	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀)
16	1	nnzd 12556	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
17	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
18		dvdssqim 16524	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∥ (𝑀↑2)))
19	16, 17, 18	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∥ (𝑀↑2)))
20	15, 19	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∥ (𝑀↑2))
21	14	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
22	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
23		dvdssqim 16524	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
24	16, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
25	21, 24	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∥ (𝑁↑2))
26		gcddiv 16521	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∥ (𝑀↑2) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∥ (𝑁↑2))) → (((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)) = (((𝑀↑2) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)) gcd ((𝑁↑2) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2))))
27	7, 10, 2, 20, 25, 26	syl32anc 1380	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)) = (((𝑀↑2) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)) gcd ((𝑁↑2) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2))))
28		nncn 12194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
30	1	nncnd 12202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
31	1	nnne0d 12236	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0)
32	29, 30, 31	sqdivd 14124	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2) = ((𝑀↑2) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)))
33		nncn 12194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
34	33	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
35	34, 30, 31	sqdivd 14124	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2) = ((𝑁↑2) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)))
36	32, 35	oveq12d 7405	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2) gcd ((𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2)) = (((𝑀↑2) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)) gcd ((𝑁↑2) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2))))
37		gcddiv 16521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)) → ((𝑀 gcd 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = ((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))))
38	17, 22, 1, 14, 37	syl31anc 1375	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = ((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))))
39	30, 31	dividd 11956	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = 1)
40	38, 39	eqtr3d 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))) = 1)
41		dvdsval2 16225	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
42	16, 31, 17, 41	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
43	15, 42	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
44		nnre 12193	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
45	44	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
46	1	nnred 12201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
47		nngt0 12217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
48	47	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑀)
49	1	nngt0d 12235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝑀 gcd 𝑁))
50	45, 46, 48, 49	divgt0d 12118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)))
51		elnnz 12539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ ↔ ((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))))
52	43, 50, 51	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
53		dvdsval2 16225	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
54	16, 31, 22, 53	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
55	21, 54	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
56		nnre 12193	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
57	56	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
58		nngt0 12217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
59	58	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
60	57, 46, 59, 49	divgt0d 12118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)))
61		elnnz 12539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))))
62	55, 60, 61	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
63		2nn 12259	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
64		rppwr 16530	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))) = 1 → (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2) gcd ((𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2)) = 1))
65	63, 64	mp3an3 1452	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ) → (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))) = 1 → (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2) gcd ((𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2)) = 1))
66	52, 62, 65	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))) = 1 → (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2) gcd ((𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2)) = 1))
67	40, 66	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2) gcd ((𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2)) = 1)
68	27, 36, 67	3eqtr2d 2770	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)) = 1)
69	6, 9	anim12i 613	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℤ))
70	5	nnne0d 12236	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑2) ≠ 0)
71	70	neneqd 2930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ¬ (𝑀↑2) = 0)
72	71	intnanrd 489	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ¬ ((𝑀↑2) = 0 ∧ (𝑁↑2) = 0))
73	72	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ ((𝑀↑2) = 0 ∧ (𝑁↑2) = 0))
74		gcdn0cl 16472	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℤ) ∧ ¬ ((𝑀↑2) = 0 ∧ (𝑁↑2) = 0)) → ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) ∈ ℕ)
75	69, 73, 74	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) ∈ ℕ)
76	75	nncnd 12202	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
77	2	nnne0d 12236	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ≠ 0)
78		ax-1cn 11126	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
79		divmul 11840	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ≠ 0)) → ((((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)) = 1 ↔ (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) · 1) = ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2))))
80	78, 79	mp3an2 1451	. . . 4 ⊢ ((((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) ∈ ℂ ∧ (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ≠ 0)) → ((((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)) = 1 ↔ (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) · 1) = ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2))))
81	76, 3, 77, 80	syl12anc 836	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)) = 1 ↔ (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) · 1) = ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2))))
82	68, 81	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) · 1) = ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)))
83	4, 82	eqtr3d 2766	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073   < clt 11208   / cdiv 11835  ℕcn 12186  2c2 12241  ℤcz 12529  ↑cexp 14026   ∥ cdvds 16222   gcd cgcd 16464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-gcd 16465

This theorem is referenced by:  dvdssqlem  16536  nn0gcdsq  16722  pythagtriplem3  16789