Theorem sqgcd 16468

Description: Square distributes over gcd. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sqgcd	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)))

Proof of Theorem sqgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdnncl 16413	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
2	1	nnsqcld 14146	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∈ ℕ)
3	2	nncnd 12136	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∈ ℂ)
4	3	mulridd 11124	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) · 1) = ((𝑀 gcd 𝑁)↑2))
5		nnsqcl 14030	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑2) ∈ ℕ)
6	5	nnzd 12490	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
8		nnsqcl 14030	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12490	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
10	9	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
11		nnz 12484	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
12		nnz 12484	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
13		gcddvds 16409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
14	11, 12, 13	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
15	14	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀)
16	1	nnzd 12490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
17	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
18		dvdssqim 16460	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∥ (𝑀↑2)))
19	16, 17, 18	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∥ (𝑀↑2)))
20	15, 19	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∥ (𝑀↑2))
21	14	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
22	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
23		dvdssqim 16460	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
24	16, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
25	21, 24	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∥ (𝑁↑2))
26		gcddiv 16457	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∥ (𝑀↑2) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∥ (𝑁↑2))) → (((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)) = (((𝑀↑2) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)) gcd ((𝑁↑2) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2))))
27	7, 10, 2, 20, 25, 26	syl32anc 1380	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)) = (((𝑀↑2) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)) gcd ((𝑁↑2) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2))))
28		nncn 12128	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
30	1	nncnd 12136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
31	1	nnne0d 12170	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0)
32	29, 30, 31	sqdivd 14061	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2) = ((𝑀↑2) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)))
33		nncn 12128	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
34	33	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
35	34, 30, 31	sqdivd 14061	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2) = ((𝑁↑2) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)))
36	32, 35	oveq12d 7359	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2) gcd ((𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2)) = (((𝑀↑2) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)) gcd ((𝑁↑2) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2))))
37		gcddiv 16457	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)) → ((𝑀 gcd 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = ((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))))
38	17, 22, 1, 14, 37	syl31anc 1375	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = ((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))))
39	30, 31	dividd 11890	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = 1)
40	38, 39	eqtr3d 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))) = 1)
41		dvdsval2 16161	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
42	16, 31, 17, 41	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
43	15, 42	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
44		nnre 12127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
45	44	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
46	1	nnred 12135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
47		nngt0 12151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
48	47	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑀)
49	1	nngt0d 12169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝑀 gcd 𝑁))
50	45, 46, 48, 49	divgt0d 12052	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)))
51		elnnz 12473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ ↔ ((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))))
52	43, 50, 51	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
53		dvdsval2 16161	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
54	16, 31, 22, 53	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
55	21, 54	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
56		nnre 12127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
57	56	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
58		nngt0 12151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
59	58	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
60	57, 46, 59, 49	divgt0d 12052	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)))
61		elnnz 12473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))))
62	55, 60, 61	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
63		2nn 12193	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
64		rppwr 16466	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))) = 1 → (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2) gcd ((𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2)) = 1))
65	63, 64	mp3an3 1452	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ) → (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))) = 1 → (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2) gcd ((𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2)) = 1))
66	52, 62, 65	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))) = 1 → (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2) gcd ((𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2)) = 1))
67	40, 66	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2) gcd ((𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2)) = 1)
68	27, 36, 67	3eqtr2d 2772	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)) = 1)
69	6, 9	anim12i 613	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℤ))
70	5	nnne0d 12170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑2) ≠ 0)
71	70	neneqd 2933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ¬ (𝑀↑2) = 0)
72	71	intnanrd 489	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ¬ ((𝑀↑2) = 0 ∧ (𝑁↑2) = 0))
73	72	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ ((𝑀↑2) = 0 ∧ (𝑁↑2) = 0))
74		gcdn0cl 16408	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℤ) ∧ ¬ ((𝑀↑2) = 0 ∧ (𝑁↑2) = 0)) → ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) ∈ ℕ)
75	69, 73, 74	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) ∈ ℕ)
76	75	nncnd 12136	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
77	2	nnne0d 12170	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ≠ 0)
78		ax-1cn 11059	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
79		divmul 11774	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ≠ 0)) → ((((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)) = 1 ↔ (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) · 1) = ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2))))
80	78, 79	mp3an2 1451	. . . 4 ⊢ ((((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) ∈ ℂ ∧ (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ≠ 0)) → ((((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)) = 1 ↔ (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) · 1) = ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2))))
81	76, 3, 77, 80	syl12anc 836	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)) = 1 ↔ (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) · 1) = ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2))))
82	68, 81	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) · 1) = ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)))
83	4, 82	eqtr3d 2768	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5086  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  ℝcr 11000  0cc0 11001  1c1 11002   · cmul 11006   < clt 11141   / cdiv 11769  ℕcn 12120  2c2 12175  ℤcz 12463  ↑cexp 13963   ∥ cdvds 16158   gcd cgcd 16400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-fl 13691  df-mod 13769  df-seq 13904  df-exp 13964  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-dvds 16159  df-gcd 16401

This theorem is referenced by:  dvdssqlem  16472  nn0gcdsq  16658  pythagtriplem3  16725