Theorem elmgplsmd 20254

Description: Membership in a product of two subsets of a multiplication group, one direction. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmgplsm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elmgplsm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
elmgplsm.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
elmgplsm.m	⊢ × = (LSSum‘𝐺)
elmgplsm.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
elmgplsm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
elmgplsmd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
elmgplsmd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
elmgplsmd	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐸 × 𝐹))

Proof of Theorem elmgplsmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmgplsmd.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
2		elmgplsmd.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐹)
3		eqidd 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
4		rspceov 7472	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌)) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝑋 · 𝑌) = (𝑥 · 𝑦))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝑋 · 𝑌) = (𝑥 · 𝑦))
6		elmgplsm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		elmgplsm.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		elmgplsm.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
9		elmgplsm.m	. . 3 ⊢ × = (LSSum‘𝐺)
10		elmgplsm.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
11		elmgplsm.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
12	6, 7, 8, 9, 10, 11	elmgplsm 20253	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐸 × 𝐹) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝑋 · 𝑌) = (𝑥 · 𝑦)))
13	5, 12	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐸 × 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3092   ⊆ wss 3908  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  ._rcmulr 17336  LSSumclsm 19729  mulGrpcmgp 20241

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-plusg 17348  df-lsm 19731  df-mgp 20242

This theorem is used by:  idlmulssprm  21497