Theorem elmgplsmd 20353

Description: Membership in a product of two subsets of a multiplication group, one direction. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmgplsm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elmgplsm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
elmgplsm.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
elmgplsm.m	⊢ × = (LSSum‘𝐺)
elmgplsm.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
elmgplsm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
elmgplsmd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
elmgplsmd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
elmgplsmd	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐸 × 𝐹))

Proof of Theorem elmgplsmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmgplsmd.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
2		elmgplsmd.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐹)
3		eqidd 2762	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
4		rspceov 7461	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌)) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝑋 · 𝑌) = (𝑥 · 𝑦))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝑋 · 𝑌) = (𝑥 · 𝑦))
6		elmgplsm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		elmgplsm.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		elmgplsm.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
9		elmgplsm.m	. . 3 ⊢ × = (LSSum‘𝐺)
10		elmgplsm.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
11		elmgplsm.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
12	6, 7, 8, 9, 10, 11	elmgplsm 20352	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐸 × 𝐹) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝑋 · 𝑌) = (𝑥 · 𝑦)))
13	5, 12	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐸 × 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  ._rcmulr 17409  LSSumclsm 19828  mulGrpcmgp 20340

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-plusg 17421  df-lsm 19830  df-mgp 20341

This theorem is used by:  idlmulssprm  21603