Theorem elmgplsmd 20378

Description: Membership in a product of two subsets of a multiplication group, one direction. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmgplsm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elmgplsm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
elmgplsm.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
elmgplsm.m	⊢ × = (LSSum‘𝐺)
elmgplsm.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
elmgplsm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
elmgplsmd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
elmgplsmd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
elmgplsmd	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐸 × 𝐹))

Proof of Theorem elmgplsmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmgplsmd.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
2		elmgplsmd.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐹)
3		eqidd 2761	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
4		rspceov 7469	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌)) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝑋 · 𝑌) = (𝑥 · 𝑦))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝑋 · 𝑌) = (𝑥 · 𝑦))
6		elmgplsm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		elmgplsm.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		elmgplsm.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
9		elmgplsm.m	. . 3 ⊢ × = (LSSum‘𝐺)
10		elmgplsm.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
11		elmgplsm.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
12	6, 7, 8, 9, 10, 11	elmgplsm 20377	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐸 × 𝐹) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝑋 · 𝑌) = (𝑥 · 𝑦)))
13	5, 12	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐸 × 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  ._rcmulr 17434  LSSumclsm 19853  mulGrpcmgp 20365

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-plusg 17446  df-lsm 19855  df-mgp 20366

This theorem is used by:  idlmulssprm  21628