Theorem idlmulssprm 21603

Description: Let 𝑃 be a prime ideal containing the product (𝐼 × 𝐽) of two ideals 𝐼 and 𝐽. Then 𝐼 ⊆ 𝑃 or 𝐽 ⊆ 𝑃. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlmulssprm.1	⊢ × = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
idlmulssprm.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
idlmulssprm.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
idlmulssprm.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
idlmulssprm.5	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
idlmulssprm.6	⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝐽) ⊆ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
idlmulssprm	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊆ 𝑃 ∨ 𝐽 ⊆ 𝑃))

Proof of Theorem idlmulssprm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlmulssprm.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		idlmulssprm.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
3		idlmulssprm.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
4		idlmulssprm.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
5	3, 4	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)))
6		idlmulssprm.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝐽) ⊆ 𝑃)
7	6	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝐼 × 𝐽) ⊆ 𝑃)
8		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
11		idlmulssprm.1	. . . . . 6 ⊢ × = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
12		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
13	8, 12	lidlss 21470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
14	3, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
15	14	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
16	8, 12	lidlss 21470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
17	4, 16	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
18	17	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
19		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐼)
20		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑦 ∈ 𝐽)
21	8, 9, 10, 11, 15, 18, 19, 20	elmgplsmd 20353	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐼 × 𝐽))
22	7, 21	sseldd 3932	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃)
23	22	anasss 472	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃)
24	23	ralrimivva 3206	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃)
25	8, 9	prmidl 21601	. 2 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → (𝐼 ⊆ 𝑃 ∨ 𝐽 ⊆ 𝑃))
26	1, 2, 5, 24, 25	syl1111anc 854	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊆ 𝑃 ∨ 𝐽 ⊆ 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  ._rcmulr 17409  LSSumclsm 19828  mulGrpcmgp 20340  Ringcrg 20439  LIdealclidl 21464  PrmIdealcprmidl 21596

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-plusg 17421  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-lsm 19830  df-mgp 20341  df-lss 21187  df-sra 21428  df-rgmod 21429  df-lidl 21466  df-prmidl 21597

This theorem is used by:  zarclsun  34484