Theorem idlmulssprm 33589

Description: Let 𝑃 be a prime ideal containing the product (𝐼 × 𝐽) of two ideals 𝐼 and 𝐽. Then 𝐼 ⊆ 𝑃 or 𝐽 ⊆ 𝑃. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlmulssprm.1	⊢ × = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
idlmulssprm.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
idlmulssprm.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
idlmulssprm.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
idlmulssprm.5	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
idlmulssprm.6	⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝐽) ⊆ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
idlmulssprm	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊆ 𝑃 ∨ 𝐽 ⊆ 𝑃))

Proof of Theorem idlmulssprm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlmulssprm.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		idlmulssprm.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
3		idlmulssprm.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
4		idlmulssprm.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
5	3, 4	jca 519	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)))
6		idlmulssprm.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝐽) ⊆ 𝑃)
7	6	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝐼 × 𝐽) ⊆ 𝑃)
8		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
11		idlmulssprm.1	. . . . . 6 ⊢ × = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
12		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
13	8, 12	lidlss 21262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
14	3, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
15	14	ad2antrr 736	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
16	8, 12	lidlss 21262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
17	4, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
18	17	ad2antrr 736	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
19		simplr 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐼)
20		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑦 ∈ 𝐽)
21	8, 9, 10, 11, 15, 18, 19, 20	elringlsmd 33541	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐼 × 𝐽))
22	7, 21	sseldd 3937	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃)
23	22	anasss 470	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃)
24	23	ralrimivva 3204	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃)
25	8, 9	prmidl 33587	. 2 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → (𝐼 ⊆ 𝑃 ∨ 𝐽 ⊆ 𝑃))
26	1, 2, 5, 24, 25	syl1111anc 851	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊆ 𝑃 ∨ 𝐽 ⊆ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  ._rcmulr 17270  LSSumclsm 19657  mulGrpcmgp 20169  Ringcrg 20262  LIdealclidl 21256  PrmIdealcprmidl 33582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17282  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-lsm 19659  df-mgp 20170  df-lss 20979  df-sra 21220  df-rgmod 21221  df-lidl 21258  df-prmidl 33583

This theorem is referenced by:  zarclsun  34128