Theorem idlmulssprm 33389

Description: Let 𝑃 be a prime ideal containing the product (𝐼 × 𝐽) of two ideals 𝐼 and 𝐽. Then 𝐼 ⊆ 𝑃 or 𝐽 ⊆ 𝑃. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlmulssprm.1	⊢ × = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
idlmulssprm.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
idlmulssprm.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
idlmulssprm.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
idlmulssprm.5	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
idlmulssprm.6	⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝐽) ⊆ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
idlmulssprm	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊆ 𝑃 ∨ 𝐽 ⊆ 𝑃))

Proof of Theorem idlmulssprm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlmulssprm.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		idlmulssprm.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
3		idlmulssprm.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
4		idlmulssprm.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
5	3, 4	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)))
6		idlmulssprm.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝐽) ⊆ 𝑃)
7	6	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝐼 × 𝐽) ⊆ 𝑃)
8		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
11		idlmulssprm.1	. . . . . 6 ⊢ × = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
12		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
13	8, 12	lidlss 21137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
14	3, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
15	14	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
16	8, 12	lidlss 21137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
17	4, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
18	17	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
19		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐼)
20		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑦 ∈ 𝐽)
21	8, 9, 10, 11, 15, 18, 19, 20	elringlsmd 33341	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐼 × 𝐽))
22	7, 21	sseldd 3938	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃)
23	22	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃)
24	23	ralrimivva 3172	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃)
25	8, 9	prmidl 33387	. 2 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → (𝐼 ⊆ 𝑃 ∨ 𝐽 ⊆ 𝑃))
26	1, 2, 5, 24, 25	syl1111anc 840	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊆ 𝑃 ∨ 𝐽 ⊆ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3905  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  ._rcmulr 17180  LSSumclsm 19531  mulGrpcmgp 20043  Ringcrg 20136  LIdealclidl 21131  PrmIdealcprmidl 33382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-lsm 19533  df-mgp 20044  df-lss 20853  df-sra 21095  df-rgmod 21096  df-lidl 21133  df-prmidl 33383

This theorem is referenced by:  zarclsun  33836