Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idlmulssprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idlmulssprm 31150
 Description: Let 𝑃 be a prime ideal containing the product (𝐼 × 𝐽) of two ideals 𝐼 and 𝐽. Then 𝐼 ⊆ 𝑃 or 𝐽 ⊆ 𝑃. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
idlmulssprm.1 × = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
idlmulssprm.2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
idlmulssprm.3 (𝜑𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
idlmulssprm.4 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
idlmulssprm.5 (𝜑𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
idlmulssprm.6 (𝜑 → (𝐼 × 𝐽) ⊆ 𝑃)
Assertion
Ref Expression
idlmulssprm (𝜑 → (𝐼𝑃𝐽𝑃))

Proof of Theorem idlmulssprm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idlmulssprm.2 . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 idlmulssprm.3 . 2 (𝜑𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
3 idlmulssprm.4 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
4 idlmulssprm.5 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
53, 4jca 515 . 2 (𝜑 → (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)))
6 idlmulssprm.6 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼 × 𝐽) ⊆ 𝑃)
76ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → (𝐼 × 𝐽) ⊆ 𝑃)
8 eqid 2758 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9 eqid 2758 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
10 eqid 2758 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
11 idlmulssprm.1 . . . . . 6 × = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
12 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
138, 12lidlss 20064 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
143, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
1514ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
168, 12lidlss 20064 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
174, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
1817ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
19 simplr 768 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑥𝐼)
20 simpr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑦𝐽)
218, 9, 10, 11, 15, 18, 19, 20elringlsmd 31115 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ (𝐼 × 𝐽))
227, 21sseldd 3895 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑃)
2322anasss 470 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐽)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑃)
2423ralrimivva 3120 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐼𝑦𝐽 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑃)
258, 9prmidl 31148 . 2 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥𝐼𝑦𝐽 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → (𝐼𝑃𝐽𝑃))
261, 2, 5, 24, 25syl1111anc 838 1 (𝜑 → (𝐼𝑃𝐽𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070   ⊆ wss 3860  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  Basecbs 16554  .rcmulr 16637  LSSumclsm 18839  mulGrpcmgp 19320  Ringcrg 19378  LIdealclidl 20023  PrmIdealcprmidl 31143 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-plusg 16649  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-lsm 18841  df-mgp 19321  df-lss 19785  df-sra 20025  df-rgmod 20026  df-lidl 20027  df-prmidl 31144 This theorem is referenced by:  zarclsun  31353
 Copyright terms: Public domain W3C validator