Theorem idlmulssprm 21623

Description: Let 𝑃 be a prime ideal containing the product (𝐼 × 𝐽) of two ideals 𝐼 and 𝐽. Then 𝐼 ⊆ 𝑃 or 𝐽 ⊆ 𝑃. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlmulssprm.1	⊢ × = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
idlmulssprm.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
idlmulssprm.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
idlmulssprm.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
idlmulssprm.5	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
idlmulssprm.6	⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝐽) ⊆ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
idlmulssprm	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊆ 𝑃 ∨ 𝐽 ⊆ 𝑃))

Proof of Theorem idlmulssprm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlmulssprm.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		idlmulssprm.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
3		idlmulssprm.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
4		idlmulssprm.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
5	3, 4	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)))
6		idlmulssprm.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝐽) ⊆ 𝑃)
7	6	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝐼 × 𝐽) ⊆ 𝑃)
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
11		idlmulssprm.1	. . . . . 6 ⊢ × = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
12		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
13	8, 12	lidlss 21490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
14	3, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
15	14	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
16	8, 12	lidlss 21490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
17	4, 16	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
18	17	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
19		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐼)
20		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑦 ∈ 𝐽)
21	8, 9, 10, 11, 15, 18, 19, 20	elmgplsmd 20373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐼 × 𝐽))
22	7, 21	sseldd 3929	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃)
23	22	anasss 472	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃)
24	23	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃)
25	8, 9	prmidl 21621	. 2 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → (𝐼 ⊆ 𝑃 ∨ 𝐽 ⊆ 𝑃))
26	1, 2, 5, 24, 25	syl1111anc 854	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊆ 𝑃 ∨ 𝐽 ⊆ 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  ._rcmulr 17429  LSSumclsm 19848  mulGrpcmgp 20360  Ringcrg 20459  LIdealclidl 21484  PrmIdealcprmidl 21616

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3914  df-pss 4034  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-lsm 19850  df-mgp 20361  df-lss 21207  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-lidl 21486  df-prmidl 21617

This theorem is used by:  zarclsun  34502