Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idlmulssprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idlmulssprm 33203
Description: Let 𝑃 be a prime ideal containing the product (𝐼 Γ— 𝐽) of two ideals 𝐼 and 𝐽. Then 𝐼 βŠ† 𝑃 or 𝐽 βŠ† 𝑃. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
idlmulssprm.1 Γ— = (LSSumβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
idlmulssprm.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
idlmulssprm.3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…))
idlmulssprm.4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
idlmulssprm.5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
idlmulssprm.6 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— 𝐽) βŠ† 𝑃)
Assertion
Ref Expression
idlmulssprm (πœ‘ β†’ (𝐼 βŠ† 𝑃 ∨ 𝐽 βŠ† 𝑃))

Proof of Theorem idlmulssprm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idlmulssprm.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 idlmulssprm.3 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…))
3 idlmulssprm.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
4 idlmulssprm.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
53, 4jca 510 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝐽 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)))
6 idlmulssprm.6 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— 𝐽) βŠ† 𝑃)
76ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (𝐼 Γ— 𝐽) βŠ† 𝑃)
8 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
9 eqid 2725 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
10 eqid 2725 . . . . . 6 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
11 idlmulssprm.1 . . . . . 6 Γ— = (LSSumβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
12 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
138, 12lidlss 21107 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
143, 13syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
1514ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
168, 12lidlss 21107 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) β†’ 𝐽 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
174, 16syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
1817ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ 𝐽 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
19 simplr 767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
20 simpr 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ 𝑦 ∈ 𝐽)
218, 9, 10, 11, 15, 18, 19, 20elringlsmd 33148 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ (𝐼 Γ— 𝐽))
227, 21sseldd 3974 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑃)
2322anasss 465 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑃)
2423ralrimivva 3191 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑃)
258, 9prmidl 33201 . 2 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) ∧ (𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝐽 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑃) β†’ (𝐼 βŠ† 𝑃 ∨ 𝐽 βŠ† 𝑃))
261, 2, 5, 24, 25syl1111anc 838 1 (πœ‘ β†’ (𝐼 βŠ† 𝑃 ∨ 𝐽 βŠ† 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051   βŠ† wss 3941  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174  .rcmulr 17228  LSSumclsm 19588  mulGrpcmgp 20073  Ringcrg 20172  LIdealclidl 21101  PrmIdealcprmidl 33196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-lsm 19590  df-mgp 20074  df-lss 20815  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-lidl 21103  df-prmidl 33197
This theorem is referenced by:  zarclsun  33524
  Copyright terms: Public domain W3C validator