Theorem idlmulssprm 33462

Description: Let 𝑃 be a prime ideal containing the product (𝐼 × 𝐽) of two ideals 𝐼 and 𝐽. Then 𝐼 ⊆ 𝑃 or 𝐽 ⊆ 𝑃. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlmulssprm.1	⊢ × = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
idlmulssprm.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
idlmulssprm.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
idlmulssprm.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
idlmulssprm.5	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
idlmulssprm.6	⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝐽) ⊆ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
idlmulssprm	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊆ 𝑃 ∨ 𝐽 ⊆ 𝑃))

Proof of Theorem idlmulssprm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlmulssprm.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		idlmulssprm.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
3		idlmulssprm.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
4		idlmulssprm.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
5	3, 4	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅)))
6		idlmulssprm.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝐽) ⊆ 𝑃)
7	6	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝐼 × 𝐽) ⊆ 𝑃)
8		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
11		idlmulssprm.1	. . . . . 6 ⊢ × = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
12		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
13	8, 12	lidlss 21178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
14	3, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
15	14	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
16	8, 12	lidlss 21178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
17	4, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
18	17	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
19		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐼)
20		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑦 ∈ 𝐽)
21	8, 9, 10, 11, 15, 18, 19, 20	elringlsmd 33414	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐼 × 𝐽))
22	7, 21	sseldd 3964	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃)
23	22	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃)
24	23	ralrimivva 3188	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃)
25	8, 9	prmidl 33460	. 2 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑃) → (𝐼 ⊆ 𝑃 ∨ 𝐽 ⊆ 𝑃))
26	1, 2, 5, 24, 25	syl1111anc 840	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊆ 𝑃 ∨ 𝐽 ⊆ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052   ⊆ wss 3931  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  ._rcmulr 17277  LSSumclsm 19620  mulGrpcmgp 20105  Ringcrg 20198  LIdealclidl 21172  PrmIdealcprmidl 33455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-lsm 19622  df-mgp 20106  df-lss 20894  df-sra 21136  df-rgmod 21137  df-lidl 21174  df-prmidl 33456

This theorem is referenced by:  zarclsun  33906