Theorem elmgplsm 20285

Description: Membership in a product of two subsets of a multiplication group. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmgplsm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elmgplsm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
elmgplsm.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
elmgplsm.m	⊢ × = (LSSum‘𝐺)
elmgplsm.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
elmgplsm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elmgplsm	⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝐸 × 𝐹) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐹 𝑍 = (𝑥 · 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥, · ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝑅(𝑥, 𝑦)   × (𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem elmgplsm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmgplsm.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
2	1	fvexi 6892	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ V
3		elmgplsm.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
4		elmgplsm.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
5		elmgplsm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	1, 5	mgpbas 20278	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		elmgplsm.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8	1, 7	mgpplusg 20277	. . 3 ⊢ · = (+g‘𝐺)
9		elmgplsm.m	. . 3 ⊢ × = (LSSum‘𝐺)
10	6, 8, 9	lsmelvalx 19767	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐸 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (𝑍 ∈ (𝐸 × 𝐹) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐹 𝑍 = (𝑥 · 𝑦)))
11	2, 3, 4, 10	mp3an2i 1495	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝐸 × 𝐹) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐹 𝑍 = (𝑥 · 𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  ._rcmulr 17343  LSSumclsm 19761  mulGrpcmgp 20273

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-plusg 17355  df-lsm 19763  df-mgp 20274

This theorem is used by:  elmgplsmd  20286  ringlsmss1  33827  ringlsmss2  33828