Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fz1nntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz1nntr 31702
Description: NN and integer ranges starting from 1 are a transitive family of set. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
fz1nntr (((𝐴 = ℕ ∨ 𝐴 = (1..^𝑀)) ∧ 𝑁𝐴) → (1..^𝑁) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem fz1nntr
StepHypRef Expression
1 fzossnn 13620 . . . 4 (1..^𝑁) ⊆ ℕ
2 sseq2 3970 . . . 4 (𝐴 = ℕ → ((1..^𝑁) ⊆ 𝐴 ↔ (1..^𝑁) ⊆ ℕ))
31, 2mpbiri 257 . . 3 (𝐴 = ℕ → (1..^𝑁) ⊆ 𝐴)
43adantr 481 . 2 ((𝐴 = ℕ ∧ 𝑁𝐴) → (1..^𝑁) ⊆ 𝐴)
5 elfzouz2 13586 . . . . 5 (𝑁 ∈ (1..^𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
6 fzoss2 13599 . . . . 5 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (1..^𝑁) ⊆ (1..^𝑀))
75, 6syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (1..^𝑀) → (1..^𝑁) ⊆ (1..^𝑀))
8 eleq2 2826 . . . . 5 (𝐴 = (1..^𝑀) → (𝑁𝐴𝑁 ∈ (1..^𝑀)))
9 sseq2 3970 . . . . 5 (𝐴 = (1..^𝑀) → ((1..^𝑁) ⊆ 𝐴 ↔ (1..^𝑁) ⊆ (1..^𝑀)))
108, 9imbi12d 344 . . . 4 (𝐴 = (1..^𝑀) → ((𝑁𝐴 → (1..^𝑁) ⊆ 𝐴) ↔ (𝑁 ∈ (1..^𝑀) → (1..^𝑁) ⊆ (1..^𝑀))))
117, 10mpbiri 257 . . 3 (𝐴 = (1..^𝑀) → (𝑁𝐴 → (1..^𝑁) ⊆ 𝐴))
1211imp 407 . 2 ((𝐴 = (1..^𝑀) ∧ 𝑁𝐴) → (1..^𝑁) ⊆ 𝐴)
134, 12jaoian 955 1 (((𝐴 = ℕ ∨ 𝐴 = (1..^𝑀)) ∧ 𝑁𝐴) → (1..^𝑁) ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3910  cfv 6496  (class class class)co 7356  1c1 11051  cn 12152  cuz 12762  ..^cfzo 13566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-n0 12413  df-z 12499  df-uz 12763  df-fz 13424  df-fzo 13567
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator