Theorem fz1nntr 32509

Description: NN and integer ranges starting from 1 are a transitive family of set. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fz1nntr	⊢ (((𝐴 = ℕ ∨ 𝐴 = (1..^𝑀)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) → (1..^𝑁) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem fz1nntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzossnn 13682	. . . 4 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ ℕ
2		sseq2 4001	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ℕ → ((1..^𝑁) ⊆ 𝐴 ↔ (1..^𝑁) ⊆ ℕ))
3	1, 2	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝐴 = ℕ → (1..^𝑁) ⊆ 𝐴)
4	3	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 = ℕ ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) → (1..^𝑁) ⊆ 𝐴)
5		elfzouz2 13648	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
6		fzoss2 13661	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (1..^𝑁) ⊆ (1..^𝑀))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑀) → (1..^𝑁) ⊆ (1..^𝑀))
8		eleq2 2814	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (1..^𝑀) → (𝑁 ∈ 𝐴 ↔ 𝑁 ∈ (1..^𝑀)))
9		sseq2 4001	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (1..^𝑀) → ((1..^𝑁) ⊆ 𝐴 ↔ (1..^𝑁) ⊆ (1..^𝑀)))
10	8, 9	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (1..^𝑀) → ((𝑁 ∈ 𝐴 → (1..^𝑁) ⊆ 𝐴) ↔ (𝑁 ∈ (1..^𝑀) → (1..^𝑁) ⊆ (1..^𝑀))))
11	7, 10	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝐴 = (1..^𝑀) → (𝑁 ∈ 𝐴 → (1..^𝑁) ⊆ 𝐴))
12	11	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐴 = (1..^𝑀) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) → (1..^𝑁) ⊆ 𝐴)
13	4, 12	jaoian 953	1 ⊢ (((𝐴 = ℕ ∨ 𝐴 = (1..^𝑀)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) → (1..^𝑁) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3941  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  1c1 11108  ℕcn 12211  ℤ_≥cuz 12821  ..^cfzo 13628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629

This theorem is referenced by: (None)