MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzoss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzoss2 13053
Description: Subset relationship for half-open sequences of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoss2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑀..^𝐾) ⊆ (𝑀..^𝑁))

Proof of Theorem fzoss2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 12236 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
2 peano2zm 12013 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
4 1zzd 12001 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 1 ∈ ℤ)
5 id 22 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
61zcnd 12076 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
7 ax-1cn 10583 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
8 npcan 10883 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
96, 7, 8sylancl 586 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
109fveq2d 6667 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (ℤ‘((𝐾 − 1) + 1)) = (ℤ𝐾))
115, 10eleqtrrd 2913 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝐾 − 1) + 1)))
12 eluzsub 12262 . . . 4 (((𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝐾 − 1)))
133, 4, 11, 12syl3anc 1363 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝐾 − 1)))
14 fzss2 12935 . . 3 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝐾 − 1)) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
1513, 14syl 17 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
16 fzoval 13027 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀..^𝐾) = (𝑀...(𝐾 − 1)))
171, 16syl 17 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑀..^𝐾) = (𝑀...(𝐾 − 1)))
18 eluzelz 12241 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
19 fzoval 13027 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2018, 19syl 17 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2115, 17, 203sstr4d 4011 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑀..^𝐾) ⊆ (𝑀..^𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  1c1 10526   + caddc 10528  cmin 10858  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12880  ..^cfzo 13021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022
This theorem is referenced by:  fzossrbm1  13054  fzosplit  13058  elfzoext  13082  fzossfzop1  13103  uzindi  13338  ccatass  13930  ccatrn  13931  ccatalpha  13935  swrdval2  13996  pfxres  14029  pfxf  14030  pfxccat1  14052  pfxccatin12lem2a  14077  splfv1  14105  revccat  14116  repswpfx  14135  psgnunilem5  18551  efgsp1  18792  efgsres  18793  wlkres  27379  trlreslem  27408  crctcshwlkn0lem4  27518  wwlksm1edg  27586  wwlksnred  27597  clwwlkccatlem  27694  clwlkclwwlklem2fv1  27700  clwlkclwwlklem2  27705  clwwisshclwwslem  27719  clwwlkinwwlk  27745  clwwlkf  27753  wwlksubclwwlk  27764  trlsegvdeg  27933  iundisjfi  30445  fz1nntr  30453  wrdres  30540  pfxf1  30545  swrdrn2  30555  swrdrn3  30556  swrdf1  30557  swrdrndisj  30558  cycpmco2rn  30694  cycpmco2lem6  30700  cycpmco2lem7  30701  cycpmconjslem2  30724  measiuns  31375  signstfvp  31740  signstfvc  31743  signstres  31744  signsvfn  31751  prodfzo03  31773  breprexplemc  31802  pfxwlk  32267  iccpartres  43455  iccpartigtl  43460  iccelpart  43470
  Copyright terms: Public domain W3C validator