MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzoss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzoss2 13069
Description: Subset relationship for half-open sequences of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoss2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑀..^𝐾) ⊆ (𝑀..^𝑁))

Proof of Theorem fzoss2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 12245 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
2 peano2zm 12022 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
4 1zzd 12010 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 1 ∈ ℤ)
5 id 22 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
61zcnd 12085 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
7 ax-1cn 10593 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
8 npcan 10893 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
96, 7, 8sylancl 589 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
109fveq2d 6665 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (ℤ‘((𝐾 − 1) + 1)) = (ℤ𝐾))
115, 10eleqtrrd 2919 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝐾 − 1) + 1)))
12 eluzsub 12271 . . . 4 (((𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝐾 − 1)))
133, 4, 11, 12syl3anc 1368 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝐾 − 1)))
14 fzss2 12951 . . 3 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝐾 − 1)) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
1513, 14syl 17 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
16 fzoval 13043 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀..^𝐾) = (𝑀...(𝐾 − 1)))
171, 16syl 17 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑀..^𝐾) = (𝑀...(𝐾 − 1)))
18 eluzelz 12250 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
19 fzoval 13043 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2018, 19syl 17 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
2115, 17, 203sstr4d 4000 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑀..^𝐾) ⊆ (𝑀..^𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3919  cfv 6343  (class class class)co 7149  cc 10533  1c1 10536   + caddc 10538  cmin 10868  cz 11978  cuz 12240  ...cfz 12894  ..^cfzo 13037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038
This theorem is referenced by:  fzossrbm1  13070  fzosplit  13074  elfzoext  13098  fzossfzop1  13119  uzindi  13354  ccatass  13942  ccatrn  13943  ccatalpha  13947  swrdval2  14008  pfxres  14041  pfxf  14042  pfxccat1  14064  pfxccatin12lem2a  14089  splfv1  14117  revccat  14128  repswpfx  14147  psgnunilem5  18622  efgsp1  18863  efgsres  18864  wlkres  27466  trlreslem  27495  crctcshwlkn0lem4  27605  wwlksm1edg  27673  wwlksnred  27684  clwwlkccatlem  27780  clwlkclwwlklem2fv1  27786  clwlkclwwlklem2  27791  clwwisshclwwslem  27805  clwwlkinwwlk  27831  clwwlkf  27838  wwlksubclwwlk  27849  trlsegvdeg  28018  iundisjfi  30533  fz1nntr  30541  wrdres  30627  pfxf1  30632  swrdrn2  30642  swrdrn3  30643  swrdf1  30644  swrdrndisj  30645  cycpmco2rn  30802  cycpmco2lem6  30808  cycpmco2lem7  30809  cycpmconjslem2  30832  measiuns  31536  signstfvp  31901  signstfvc  31904  signstres  31905  signsvfn  31912  prodfzo03  31934  breprexplemc  31963  pfxwlk  32430  iccpartres  43865  iccpartigtl  43870  iccelpart  43880
  Copyright terms: Public domain W3C validator