Theorem fzoss2 12880

Description: Subset relationship for half-open sequences of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoss2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀..^𝐾) ⊆ (𝑀..^𝑁))

Proof of Theorem fzoss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12063	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		peano2zm 11838	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
4		1zzd 11826	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 1 ∈ ℤ)
5		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
6	1	zcnd 11901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
7		ax-1cn 10393	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		npcan 10696	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
9	6, 7, 8	sylancl 577	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
10	9	fveq2d 6503	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝐾))
11	5, 10	eleqtrrd 2869	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1)))
12		eluzsub 12088	. . . 4 ⊢ (((𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1)))
13	3, 4, 11, 12	syl3anc 1351	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1)))
14		fzss2 12763	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1)) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
16		fzoval 12855	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀..^𝐾) = (𝑀...(𝐾 − 1)))
17	1, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀..^𝐾) = (𝑀...(𝐾 − 1)))
18		eluzelz 12068	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
19		fzoval 12855	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
21	15, 17, 20	3sstr4d 3904	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀..^𝐾) ⊆ (𝑀..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ⊆ wss 3829  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  ℂcc 10333  1c1 10336   + caddc 10338   − cmin 10670  ℤcz 11793  ℤ_≥cuz 12058  ...cfz 12708  ..^cfzo 12849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709  df-fzo 12850

This theorem is referenced by:  fzossrbm1  12881  fzosplit  12885  elfzoext  12909  fzossfzop1  12930  uzindi  13165  ccatass  13751  ccatrn  13752  ccatalpha  13756  swrdval2  13809  swrd0valOLD  13810  swrd0lenOLD  13811  swrdccat1OLD  13850  pfxres  13861  pfxf  13862  pfxccat1  13884  swrdccatin12lem2a  13926  splfv1  13971  splfv1OLD  13972  revccat  13985  repswpfx  14004  psgnunilem5  18383  psgnunilem5OLD  18384  efgsp1  18621  efgsres  18622  efgsresOLD  18623  wlkres  27156  wlkresOLD  27158  trlreslem  27187  trlreslemOLD  27189  crctcshwlkn0lem4  27299  wwlksm1edg  27367  wwlksm1edgOLD  27368  wwlksnred  27379  wwlksnredOLD  27380  clwwlkccatlem  27495  clwlkclwwlklem2fv1  27501  clwlkclwwlklem2  27506  clwwisshclwwslem  27529  clwwlkinwwlk  27555  clwwlkinwwlkOLD  27556  clwwlkfOLD  27564  clwwlkf  27569  wwlksubclwwlk  27581  wwlksubclwwlkOLD  27582  trlsegvdeg  27757  iundisjfi  30275  fz1nntr  30281  wrdres  30366  measiuns  31127  signstfvp  31494  signstfvc  31497  signstres  31498  signsvfn  31506  prodfzo03  31528  breprexplemc  31557  iccpartres  42956  iccpartigtl  42961  iccelpart  42971