Theorem fzoss2 13716

Description: Subset relationship for half-open sequences of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoss2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀..^𝐾) ⊆ (𝑀..^𝑁))

Proof of Theorem fzoss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12867	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		peano2zm 12637	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
4		1zzd 12625	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 1 ∈ ℤ)
5		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
6	1	zcnd 12701	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
7		ax-1cn 11158	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		npcan 11466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
9	6, 7, 8	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
10	9	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝐾))
11	5, 10	eleqtrrd 2872	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1)))
12		eluzsub 12892	. . . 4 ⊢ (((𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1)))
13	3, 4, 11, 12	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1)))
14		fzss2 13592	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1)) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
15	13, 14	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
16		fzoval 13688	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀..^𝐾) = (𝑀...(𝐾 − 1)))
17	1, 16	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀..^𝐾) = (𝑀...(𝐾 − 1)))
18		eluzelz 12872	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
19		fzoval 13688	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
20	18, 19	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
21	15, 17, 20	3sstr4d 4000	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀..^𝐾) ⊆ (𝑀..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  1c1 11101   + caddc 11103   − cmin 11441  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12862  ...cfz 13535  ..^cfzo 13682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683

This theorem is referenced by:  fzossrbm1  13717  fzosplit  13721  elfzoextl  13750  fzossfzop1  13772  uzindi  14018  ccatdmss  14619  ccatass  14626  ccatrn  14627  ccatalpha  14631  swrdval2  14684  pfxres  14717  pfxf  14718  pfxccat1  14739  pfxccatin12lem2a  14764  splfv1  14792  revccat  14803  repswpfx  14822  pfxchn  18666  chnub  18678  psgnunilem5  19564  efgsp1  19807  efgsres  19808  wlkres  29959  trlreslem  29988  crctcshwlkn0lem4  30103  wwlksm1edg  30171  wwlksnred  30182  clwwlkccatlem  30281  clwlkclwwlklem2fv1  30287  clwlkclwwlklem2  30292  clwwisshclwwslem  30306  clwwlkinwwlk  30332  clwwlkf  30339  wwlksubclwwlk  30350  trlsegvdeg  30519  iundisjfi  33082  fz1nntr  33088  wrdres  33196  pfxf1  33203  swrdrn2  33215  swrdrn3  33216  swrdf1  33217  swrdrndisj  33218  cycpmco2rn  33386  cycpmco2lem6  33392  cycpmco2lem7  33393  cycpmconjslem2  33416  measiuns  34552  signstfvp  34903  signstfvc  34906  signstres  34907  signsvfn  34914  prodfzo03  34935  breprexplemc  34964  pfxwlk  35515  ceilhalfelfzo1  47960  iccpartres  48056  iccpartigtl  48061  iccelpart  48071  gpgedgvtx1  48716