Theorem fzoss2 13587

Description: Subset relationship for half-open sequences of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoss2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀..^𝐾) ⊆ (𝑀..^𝑁))

Proof of Theorem fzoss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12737	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		peano2zm 12515	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
4		1zzd 12503	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 1 ∈ ℤ)
5		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
6	1	zcnd 12578	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
7		ax-1cn 11064	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		npcan 11369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
9	6, 7, 8	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
10	9	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝐾))
11	5, 10	eleqtrrd 2834	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1)))
12		eluzsub 12762	. . . 4 ⊢ (((𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1)))
13	3, 4, 11, 12	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1)))
14		fzss2 13464	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1)) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
16		fzoval 13560	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀..^𝐾) = (𝑀...(𝐾 − 1)))
17	1, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀..^𝐾) = (𝑀...(𝐾 − 1)))
18		eluzelz 12742	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
19		fzoval 13560	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
21	15, 17, 20	3sstr4d 3985	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀..^𝐾) ⊆ (𝑀..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  1c1 11007   + caddc 11009   − cmin 11344  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ...cfz 13407  ..^cfzo 13554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555

This theorem is referenced by:  fzossrbm1  13588  fzosplit  13592  elfzoextl  13621  fzossfzop1  13643  uzindi  13889  ccatdmss  14489  ccatass  14496  ccatrn  14497  ccatalpha  14501  swrdval2  14554  pfxres  14587  pfxf  14588  pfxccat1  14609  pfxccatin12lem2a  14634  splfv1  14662  revccat  14673  repswpfx  14692  pfxchn  18516  chnub  18528  psgnunilem5  19406  efgsp1  19649  efgsres  19650  wlkres  29647  trlreslem  29676  crctcshwlkn0lem4  29791  wwlksm1edg  29859  wwlksnred  29870  clwwlkccatlem  29969  clwlkclwwlklem2fv1  29975  clwlkclwwlklem2  29980  clwwisshclwwslem  29994  clwwlkinwwlk  30020  clwwlkf  30027  wwlksubclwwlk  30038  trlsegvdeg  30207  iundisjfi  32778  fz1nntr  32784  wrdres  32916  pfxf1  32923  swrdrn2  32935  swrdrn3  32936  swrdf1  32937  swrdrndisj  32938  cycpmco2rn  33094  cycpmco2lem6  33100  cycpmco2lem7  33101  cycpmconjslem2  33124  measiuns  34230  signstfvp  34584  signstfvc  34587  signstres  34588  signsvfn  34595  prodfzo03  34616  breprexplemc  34645  pfxwlk  35168  ceilhalfelfzo1  47440  iccpartres  47528  iccpartigtl  47533  iccelpart  47543  gpgedgvtx1  48172