Theorem fzoss2 13648

Description: Subset relationship for half-open sequences of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoss2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀..^𝐾) ⊆ (𝑀..^𝑁))

Proof of Theorem fzoss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12798	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		peano2zm 12576	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
4		1zzd 12564	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 1 ∈ ℤ)
5		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
6	1	zcnd 12639	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
7		ax-1cn 11126	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		npcan 11430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
9	6, 7, 8	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
10	9	fveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝐾))
11	5, 10	eleqtrrd 2831	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1)))
12		eluzsub 12823	. . . 4 ⊢ (((𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1)))
13	3, 4, 11, 12	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1)))
14		fzss2 13525	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1)) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
16		fzoval 13621	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀..^𝐾) = (𝑀...(𝐾 − 1)))
17	1, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀..^𝐾) = (𝑀...(𝐾 − 1)))
18		eluzelz 12803	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
19		fzoval 13621	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
21	15, 17, 20	3sstr4d 4002	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀..^𝐾) ⊆ (𝑀..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  1c1 11069   + caddc 11071   − cmin 11405  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ...cfz 13468  ..^cfzo 13615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616

This theorem is referenced by:  fzossrbm1  13649  fzosplit  13653  elfzoextl  13682  fzossfzop1  13704  uzindi  13947  ccatass  14553  ccatrn  14554  ccatalpha  14558  swrdval2  14611  pfxres  14644  pfxf  14645  pfxccat1  14667  pfxccatin12lem2a  14692  splfv1  14720  revccat  14731  repswpfx  14750  psgnunilem5  19424  efgsp1  19667  efgsres  19668  wlkres  29598  trlreslem  29627  crctcshwlkn0lem4  29743  wwlksm1edg  29811  wwlksnred  29822  clwwlkccatlem  29918  clwlkclwwlklem2fv1  29924  clwlkclwwlklem2  29929  clwwisshclwwslem  29943  clwwlkinwwlk  29969  clwwlkf  29976  wwlksubclwwlk  29987  trlsegvdeg  30156  iundisjfi  32719  fz1nntr  32727  wrdres  32856  pfxf1  32863  ccatdmss  32871  swrdrn2  32876  swrdrn3  32877  swrdf1  32878  swrdrndisj  32879  pfxchn  32935  chnub  32938  cycpmco2rn  33082  cycpmco2lem6  33088  cycpmco2lem7  33089  cycpmconjslem2  33112  measiuns  34207  signstfvp  34562  signstfvc  34565  signstres  34566  signsvfn  34573  prodfzo03  34594  breprexplemc  34623  pfxwlk  35111  ceilhalfelfzo1  47331  iccpartres  47419  iccpartigtl  47424  iccelpart  47434  gpgedgvtx1  48053