Theorem psgnid 33238

Description: Permutation sign of the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
psgnid.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnid	⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝑆‘( I ↾ 𝐷)) = 1)

Proof of Theorem psgnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (SymGrp‘𝐷) = (SymGrp‘𝐷)
2	1	symgid 19424	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → ( I ↾ 𝐷) = (0g‘(SymGrp‘𝐷)))
3	2	fveq2d 6867	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝑆‘( I ↾ 𝐷)) = (𝑆‘(0g‘(SymGrp‘𝐷))))
4		psgnid.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝐷)
5		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
6	1, 4, 5	psgnghm2 21613	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝐷) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘(SymGrp‘𝐷)) = (0g‘(SymGrp‘𝐷))
8		cnring 21426	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ Ring
9		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
10	9	ringmgp 20268	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
12		1ex 11173	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
13	12	prid1 4720	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {1, -1}
14		ax-1cn 11128	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		neg1cn 12177	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
16		prssi 4778	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → {1, -1} ⊆ ℂ)
17	14, 15, 16	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ {1, -1} ⊆ ℂ
18		cnfldbas 21408	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
19	9, 18	mgpbas 20174	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
20		cnfld1 21429	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
21	9, 20	ringidval 20212	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
22	5, 19, 21	ress0g 18779	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 1 ∈ {1, -1} ∧ {1, -1} ⊆ ℂ) → 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
23	11, 13, 17, 22	mp3an 1481	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
24	7, 23	ghmid 19245	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝐷) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → (𝑆‘(0g‘(SymGrp‘𝐷))) = 1)
25	6, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝑆‘(0g‘(SymGrp‘𝐷))) = 1)
26	3, 25	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝑆‘( I ↾ 𝐷)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904  {cpr 4583   I cid 5539   ↾ cres 5647  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Fincfn 8923  ℂcc 11068  1c1 11071  -cneg 11412   ↾_s cress 17249  0_gc0g 17451  Mndcmnd 18751   GrpHom cghm 19236  SymGrpcsymg 19392  pmSgncpsgn 19512  mulGrpcmgp 20169  Ringcrg 20262  ℂ_fldccnfld 21404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-addf 11149  ax-mulf 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-xor 1531  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-word 14524  df-lsw 14573  df-concat 14581  df-s1 14607  df-substr 14652  df-pfx 14682  df-splice 14760  df-reverse 14769  df-s2 14858  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-mhm 18800  df-submnd 18801  df-efmnd 18886  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-subg 19148  df-ghm 19237  df-gim 19282  df-oppg 19369  df-symg 19393  df-pmtr 19465  df-psgn 19514  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-cring 20265  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-dvr 20429  df-drng 20760  df-cnfld 21405

This theorem is referenced by:  psgnfzto1st  33246  evpmid  33289