Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  psgnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnid 32839
Description: Permutation sign of the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
psgnid.s 𝑆 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnid (𝐷 ∈ Fin → (𝑆‘( I ↾ 𝐷)) = 1)

Proof of Theorem psgnid
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . 4 (SymGrp‘𝐷) = (SymGrp‘𝐷)
21symgid 19363 . . 3 (𝐷 ∈ Fin → ( I ↾ 𝐷) = (0g‘(SymGrp‘𝐷)))
32fveq2d 6906 . 2 (𝐷 ∈ Fin → (𝑆‘( I ↾ 𝐷)) = (𝑆‘(0g‘(SymGrp‘𝐷))))
4 psgnid.s . . . 4 𝑆 = (pmSgn‘𝐷)
5 eqid 2728 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
61, 4, 5psgnghm2 21520 . . 3 (𝐷 ∈ Fin → 𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝐷) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
7 eqid 2728 . . . 4 (0g‘(SymGrp‘𝐷)) = (0g‘(SymGrp‘𝐷))
8 cnring 21325 . . . . . 6 fld ∈ Ring
9 eqid 2728 . . . . . . 7 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
109ringmgp 20186 . . . . . 6 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
118, 10ax-mp 5 . . . . 5 (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
12 1ex 11248 . . . . . 6 1 ∈ V
1312prid1 4771 . . . . 5 1 ∈ {1, -1}
14 ax-1cn 11204 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
15 neg1cn 12364 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
16 prssi 4829 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → {1, -1} ⊆ ℂ)
1714, 15, 16mp2an 690 . . . . 5 {1, -1} ⊆ ℂ
18 cnfldbas 21290 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
199, 18mgpbas 20087 . . . . . 6 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
20 cnfld1 21328 . . . . . . 7 1 = (1r‘ℂfld)
219, 20ringidval 20130 . . . . . 6 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
225, 19, 21ress0g 18729 . . . . 5 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 1 ∈ {1, -1} ∧ {1, -1} ⊆ ℂ) → 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
2311, 13, 17, 22mp3an 1457 . . . 4 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
247, 23ghmid 19183 . . 3 (𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝐷) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → (𝑆‘(0g‘(SymGrp‘𝐷))) = 1)
256, 24syl 17 . 2 (𝐷 ∈ Fin → (𝑆‘(0g‘(SymGrp‘𝐷))) = 1)
263, 25eqtrd 2768 1 (𝐷 ∈ Fin → (𝑆‘( I ↾ 𝐷)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3949  {cpr 4634   I cid 5579  cres 5684  cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  cc 11144  1c1 11147  -cneg 11483  s cress 17216  0gc0g 17428  Mndcmnd 18701   GrpHom cghm 19174  SymGrpcsymg 19328  pmSgncpsgn 19451  mulGrpcmgp 20081  Ringcrg 20180  fldccnfld 21286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-word 14505  df-lsw 14553  df-concat 14561  df-s1 14586  df-substr 14631  df-pfx 14661  df-splice 14740  df-reverse 14749  df-s2 14839  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-efmnd 18828  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-gim 19220  df-oppg 19304  df-symg 19329  df-pmtr 19404  df-psgn 19453  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-drng 20633  df-cnfld 21287
This theorem is referenced by:  psgnfzto1st  32847  evpmid  32890
  Copyright terms: Public domain W3C validator