Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  psgnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnid 32243
Description: Permutation sign of the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
psgnid.s 𝑆 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnid (𝐷 ∈ Fin → (𝑆‘( I ↾ 𝐷)) = 1)

Proof of Theorem psgnid
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . 4 (SymGrp‘𝐷) = (SymGrp‘𝐷)
21symgid 19263 . . 3 (𝐷 ∈ Fin → ( I ↾ 𝐷) = (0g‘(SymGrp‘𝐷)))
32fveq2d 6892 . 2 (𝐷 ∈ Fin → (𝑆‘( I ↾ 𝐷)) = (𝑆‘(0g‘(SymGrp‘𝐷))))
4 psgnid.s . . . 4 𝑆 = (pmSgn‘𝐷)
5 eqid 2732 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
61, 4, 5psgnghm2 21125 . . 3 (𝐷 ∈ Fin → 𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝐷) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
7 eqid 2732 . . . 4 (0g‘(SymGrp‘𝐷)) = (0g‘(SymGrp‘𝐷))
8 cnring 20959 . . . . . 6 fld ∈ Ring
9 eqid 2732 . . . . . . 7 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
109ringmgp 20055 . . . . . 6 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
118, 10ax-mp 5 . . . . 5 (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
12 1ex 11206 . . . . . 6 1 ∈ V
1312prid1 4765 . . . . 5 1 ∈ {1, -1}
14 ax-1cn 11164 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
15 neg1cn 12322 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
16 prssi 4823 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → {1, -1} ⊆ ℂ)
1714, 15, 16mp2an 690 . . . . 5 {1, -1} ⊆ ℂ
18 cnfldbas 20940 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
199, 18mgpbas 19987 . . . . . 6 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
20 cnfld1 20962 . . . . . . 7 1 = (1r‘ℂfld)
219, 20ringidval 20000 . . . . . 6 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
225, 19, 21ress0g 18649 . . . . 5 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 1 ∈ {1, -1} ∧ {1, -1} ⊆ ℂ) → 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
2311, 13, 17, 22mp3an 1461 . . . 4 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
247, 23ghmid 19092 . . 3 (𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝐷) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → (𝑆‘(0g‘(SymGrp‘𝐷))) = 1)
256, 24syl 17 . 2 (𝐷 ∈ Fin → (𝑆‘(0g‘(SymGrp‘𝐷))) = 1)
263, 25eqtrd 2772 1 (𝐷 ∈ Fin → (𝑆‘( I ↾ 𝐷)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3947  {cpr 4629   I cid 5572  cres 5677  cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  cc 11104  1c1 11107  -cneg 11441  s cress 17169  0gc0g 17381  Mndcmnd 18621   GrpHom cghm 19083  SymGrpcsymg 19228  pmSgncpsgn 19351  mulGrpcmgp 19981  Ringcrg 20049  fldccnfld 20936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-word 14461  df-lsw 14509  df-concat 14517  df-s1 14542  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-splice 14696  df-reverse 14705  df-s2 14795  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-efmnd 18746  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-gim 19127  df-oppg 19204  df-symg 19229  df-pmtr 19304  df-psgn 19353  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-drng 20309  df-cnfld 20937
This theorem is referenced by:  psgnfzto1st  32251  evpmid  32294
  Copyright terms: Public domain W3C validator