Theorem psgnid 33117

Description: Permutation sign of the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
psgnid.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnid	⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝑆‘( I ↾ 𝐷)) = 1)

Proof of Theorem psgnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (SymGrp‘𝐷) = (SymGrp‘𝐷)
2	1	symgid 19419	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → ( I ↾ 𝐷) = (0g‘(SymGrp‘𝐷)))
3	2	fveq2d 6910	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝑆‘( I ↾ 𝐷)) = (𝑆‘(0g‘(SymGrp‘𝐷))))
4		psgnid.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝐷)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
6	1, 4, 5	psgnghm2 21599	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝐷) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘(SymGrp‘𝐷)) = (0g‘(SymGrp‘𝐷))
8		cnring 21403	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ Ring
9		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
10	9	ringmgp 20236	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
12		1ex 11257	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
13	12	prid1 4762	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {1, -1}
14		ax-1cn 11213	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		neg1cn 12380	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
16		prssi 4821	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → {1, -1} ⊆ ℂ)
17	14, 15, 16	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ {1, -1} ⊆ ℂ
18		cnfldbas 21368	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
19	9, 18	mgpbas 20142	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
20		cnfld1 21406	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
21	9, 20	ringidval 20180	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
22	5, 19, 21	ress0g 18775	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 1 ∈ {1, -1} ∧ {1, -1} ⊆ ℂ) → 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
23	11, 13, 17, 22	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
24	7, 23	ghmid 19240	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝐷) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → (𝑆‘(0g‘(SymGrp‘𝐷))) = 1)
25	6, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝑆‘(0g‘(SymGrp‘𝐷))) = 1)
26	3, 25	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝑆‘( I ↾ 𝐷)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  {cpr 4628   I cid 5577   ↾ cres 5687  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  ℂcc 11153  1c1 11156  -cneg 11493   ↾_s cress 17274  0_gc0g 17484  Mndcmnd 18747   GrpHom cghm 19230  SymGrpcsymg 19386  pmSgncpsgn 19507  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230  ℂ_fldccnfld 21364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14788  df-reverse 14797  df-s2 14887  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-efmnd 18882  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-gim 19277  df-oppg 19364  df-symg 19387  df-pmtr 19460  df-psgn 19509  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-drng 20731  df-cnfld 21365

This theorem is referenced by:  psgnfzto1st  33125  evpmid  33168