Theorem psgnid 33179

Description: Permutation sign of the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
psgnid.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnid	⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝑆‘( I ↾ 𝐷)) = 1)

Proof of Theorem psgnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (SymGrp‘𝐷) = (SymGrp‘𝐷)
2	1	symgid 19330	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → ( I ↾ 𝐷) = (0g‘(SymGrp‘𝐷)))
3	2	fveq2d 6838	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝑆‘( I ↾ 𝐷)) = (𝑆‘(0g‘(SymGrp‘𝐷))))
4		psgnid.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝐷)
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
6	1, 4, 5	psgnghm2 21536	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝐷) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘(SymGrp‘𝐷)) = (0g‘(SymGrp‘𝐷))
8		cnring 21345	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ Ring
9		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
10	9	ringmgp 20174	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
12		1ex 11128	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
13	12	prid1 4719	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {1, -1}
14		ax-1cn 11084	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		neg1cn 12130	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
16		prssi 4777	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → {1, -1} ⊆ ℂ)
17	14, 15, 16	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ {1, -1} ⊆ ℂ
18		cnfldbas 21313	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
19	9, 18	mgpbas 20080	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
20		cnfld1 21348	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
21	9, 20	ringidval 20118	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
22	5, 19, 21	ress0g 18687	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 1 ∈ {1, -1} ∧ {1, -1} ⊆ ℂ) → 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
23	11, 13, 17, 22	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
24	7, 23	ghmid 19151	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝐷) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → (𝑆‘(0g‘(SymGrp‘𝐷))) = 1)
25	6, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝑆‘(0g‘(SymGrp‘𝐷))) = 1)
26	3, 25	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝑆‘( I ↾ 𝐷)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  {cpr 4582   I cid 5518   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Fincfn 8883  ℂcc 11024  1c1 11027  -cneg 11365   ↾_s cress 17157  0_gc0g 17359  Mndcmnd 18659   GrpHom cghm 19141  SymGrpcsymg 19298  pmSgncpsgn 19418  mulGrpcmgp 20075  Ringcrg 20168  ℂ_fldccnfld 21309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1513  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-word 14437  df-lsw 14486  df-concat 14494  df-s1 14520  df-substr 14565  df-pfx 14595  df-splice 14673  df-reverse 14682  df-s2 14771  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-efmnd 18794  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-gim 19188  df-oppg 19275  df-symg 19299  df-pmtr 19371  df-psgn 19420  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-dvr 20337  df-drng 20664  df-cnfld 21310

This theorem is referenced by:  psgnfzto1st  33187  evpmid  33230