Theorem zrh0 20713

Description: Interpretation of 0 in a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrh0.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrh0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrh0	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘0) = 0 )

Proof of Theorem zrh0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrh0.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
2	1	zrhrhm 20711	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
3		rhmghm 19967	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
4		zring0 20678	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
5		zrh0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	4, 5	ghmid 18838	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅) → (𝐿‘0) = 0 )
7	2, 3, 6	3syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘0) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  0cc0 10872  0_gc0g 17148   GrpHom cghm 18829  Ringcrg 19781   RingHom crh 19954  ℤ_ringczring 20668  ℤRHomczrh 20699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-addf 10951  ax-mulf 10952

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-fz 13239  df-seq 13720  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-0g 17150  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-mhm 18428  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-mulg 18699  df-subg 18750  df-ghm 18830  df-cmn 19386  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-cring 19784  df-rnghom 19957  df-subrg 20020  df-cnfld 20596  df-zring 20669  df-zrh 20703

This theorem is referenced by:  qqh0  31930