MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zndvds0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zndvds0 21106
Description: Special case of zndvds 21105 when one argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zncyg.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
zndvds.2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
zndvds0.3 0 = (0g𝑌)
Assertion
Ref Expression
zndvds0 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) = 0𝑁𝐴))

Proof of Theorem zndvds0
StepHypRef Expression
1 0z 12569 . . 3 0 ∈ ℤ
2 zncyg.y . . . 4 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 zndvds.2 . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
42, 3zndvds 21105 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) = (𝐿‘0) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 0)))
51, 4mp3an3 1451 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) = (𝐿‘0) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 0)))
62zncrng 21100 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
76adantr 482 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ CRing)
8 crngring 20068 . . . . 5 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
93zrhrhm 21061 . . . . 5 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
107, 8, 93syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
11 rhmghm 20262 . . . 4 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑌))
12 zring0 21028 . . . . 5 0 = (0g‘ℤring)
13 zndvds0.3 . . . . 5 0 = (0g𝑌)
1412, 13ghmid 19098 . . . 4 (𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑌) → (𝐿‘0) = 0 )
1510, 11, 143syl 18 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘0) = 0 )
1615eqeq2d 2744 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) = (𝐿‘0) ↔ (𝐿𝐴) = 0 ))
17 simpr 486 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
1817zcnd 12667 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1918subid1d 11560 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
2019breq2d 5161 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝐴 − 0) ↔ 𝑁𝐴))
215, 16, 203bitr3d 309 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) = 0𝑁𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5149  cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  cmin 11444  0cn0 12472  cz 12558  cdvds 16197  0gc0g 17385   GrpHom cghm 19089  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057   RingHom crh 20248  ringczring 21017  ℤRHomczrh 21049  ℤ/nczn 21052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-dvds 16198  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-imas 17454  df-qus 17455  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-nsg 19004  df-eqg 19005  df-ghm 19090  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-rsp 20788  df-2idl 20857  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-zn 21056
This theorem is referenced by:  znfld  21116  znidomb  21117  znchr  21118  znrrg  21121  lgseisenlem3  26880  znfermltl  32479
  Copyright terms: Public domain W3C validator