Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chrrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chrrhm 20221
 Description: The characteristic restriction on ring homomorphisms. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
chrrhm (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (chr‘𝑆) ∥ (chr‘𝑅))

Proof of Theorem chrrhm
StepHypRef Expression
1 rhmrcl1 19465 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2822 . . . . . . . 8 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
32zrhrhm 20203 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
41, 3syl 17 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
5 zringbas 20167 . . . . . . 7 ℤ = (Base‘ℤring)
6 eqid 2822 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
75, 6rhmf 19472 . . . . . 6 ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
8 ffn 6494 . . . . . 6 ((ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅) → (ℤRHom‘𝑅) Fn ℤ)
94, 7, 83syl 18 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (ℤRHom‘𝑅) Fn ℤ)
10 eqid 2822 . . . . . . 7 (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
1110chrcl 20216 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
12 nn0z 11993 . . . . . 6 ((chr‘𝑅) ∈ ℕ0 → (chr‘𝑅) ∈ ℤ)
131, 11, 123syl 18 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (chr‘𝑅) ∈ ℤ)
14 fvco2 6740 . . . . 5 (((ℤRHom‘𝑅) Fn ℤ ∧ (chr‘𝑅) ∈ ℤ) → ((𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅))‘(chr‘𝑅)) = (𝐹‘((ℤRHom‘𝑅)‘(chr‘𝑅))))
159, 13, 14syl2anc 587 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅))‘(chr‘𝑅)) = (𝐹‘((ℤRHom‘𝑅)‘(chr‘𝑅))))
16 eqid 2822 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
1710, 2, 16chrid 20217 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘(chr‘𝑅)) = (0g𝑅))
181, 17syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(chr‘𝑅)) = (0g𝑅))
1918fveq2d 6656 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘((ℤRHom‘𝑅)‘(chr‘𝑅))) = (𝐹‘(0g𝑅)))
2015, 19eqtrd 2857 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅))‘(chr‘𝑅)) = (𝐹‘(0g𝑅)))
21 rhmco 19483 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → (𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅)) ∈ (ℤring RingHom 𝑆))
224, 21mpdan 686 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅)) ∈ (ℤring RingHom 𝑆))
23 rhmrcl2 19466 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
24 eqid 2822 . . . . . . 7 (ℤRHom‘𝑆) = (ℤRHom‘𝑆)
2524zrhrhmb 20202 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Ring → ((𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅)) ∈ (ℤring RingHom 𝑆) ↔ (𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅)) = (ℤRHom‘𝑆)))
2623, 25syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅)) ∈ (ℤring RingHom 𝑆) ↔ (𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅)) = (ℤRHom‘𝑆)))
2722, 26mpbid 235 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅)) = (ℤRHom‘𝑆))
2827fveq1d 6654 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅))‘(chr‘𝑅)) = ((ℤRHom‘𝑆)‘(chr‘𝑅)))
29 rhmghm 19471 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
30 eqid 2822 . . . . 5 (0g𝑆) = (0g𝑆)
3116, 30ghmid 18355 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹‘(0g𝑅)) = (0g𝑆))
3229, 31syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(0g𝑅)) = (0g𝑆))
3320, 28, 323eqtr3d 2865 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((ℤRHom‘𝑆)‘(chr‘𝑅)) = (0g𝑆))
34 eqid 2822 . . . 4 (chr‘𝑆) = (chr‘𝑆)
3534, 24, 30chrdvds 20218 . . 3 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (chr‘𝑅) ∈ ℤ) → ((chr‘𝑆) ∥ (chr‘𝑅) ↔ ((ℤRHom‘𝑆)‘(chr‘𝑅)) = (0g𝑆)))
3623, 13, 35syl2anc 587 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((chr‘𝑆) ∥ (chr‘𝑅) ↔ ((ℤRHom‘𝑆)‘(chr‘𝑅)) = (0g𝑆)))
3733, 36mpbird 260 1 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (chr‘𝑆) ∥ (chr‘𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5042   ∘ ccom 5536   Fn wfn 6329  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  ℕ0cn0 11885  ℤcz 11969   ∥ cdvds 15598  Basecbs 16474  0gc0g 16704   GrpHom cghm 18346  Ringcrg 19288   RingHom crh 19458  ℤringzring 20161  ℤRHomczrh 20191  chrcchr 20193 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-dvds 15599  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-mulg 18216  df-subg 18267  df-ghm 18347  df-od 18647  df-cmn 18899  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-cring 19291  df-rnghom 19461  df-subrg 19524  df-cnfld 20090  df-zring 20162  df-zrh 20195  df-chr 20197 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator