MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chrrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chrrhm 20246
Description: The characteristic restriction on ring homomorphisms. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
chrrhm (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (chr‘𝑆) ∥ (chr‘𝑅))

Proof of Theorem chrrhm
StepHypRef Expression
1 rhmrcl1 19082 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2825 . . . . . . . 8 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
32zrhrhm 20227 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
41, 3syl 17 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
5 zringbas 20191 . . . . . . 7 ℤ = (Base‘ℤring)
6 eqid 2825 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
75, 6rhmf 19089 . . . . . 6 ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
8 ffn 6282 . . . . . 6 ((ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅) → (ℤRHom‘𝑅) Fn ℤ)
94, 7, 83syl 18 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (ℤRHom‘𝑅) Fn ℤ)
10 eqid 2825 . . . . . . 7 (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
1110chrcl 20241 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
12 nn0z 11735 . . . . . 6 ((chr‘𝑅) ∈ ℕ0 → (chr‘𝑅) ∈ ℤ)
131, 11, 123syl 18 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (chr‘𝑅) ∈ ℤ)
14 fvco2 6524 . . . . 5 (((ℤRHom‘𝑅) Fn ℤ ∧ (chr‘𝑅) ∈ ℤ) → ((𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅))‘(chr‘𝑅)) = (𝐹‘((ℤRHom‘𝑅)‘(chr‘𝑅))))
159, 13, 14syl2anc 579 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅))‘(chr‘𝑅)) = (𝐹‘((ℤRHom‘𝑅)‘(chr‘𝑅))))
16 eqid 2825 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
1710, 2, 16chrid 20242 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘(chr‘𝑅)) = (0g𝑅))
181, 17syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(chr‘𝑅)) = (0g𝑅))
1918fveq2d 6441 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘((ℤRHom‘𝑅)‘(chr‘𝑅))) = (𝐹‘(0g𝑅)))
2015, 19eqtrd 2861 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅))‘(chr‘𝑅)) = (𝐹‘(0g𝑅)))
21 rhmco 19100 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → (𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅)) ∈ (ℤring RingHom 𝑆))
224, 21mpdan 678 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅)) ∈ (ℤring RingHom 𝑆))
23 rhmrcl2 19083 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
24 eqid 2825 . . . . . . 7 (ℤRHom‘𝑆) = (ℤRHom‘𝑆)
2524zrhrhmb 20226 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Ring → ((𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅)) ∈ (ℤring RingHom 𝑆) ↔ (𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅)) = (ℤRHom‘𝑆)))
2623, 25syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅)) ∈ (ℤring RingHom 𝑆) ↔ (𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅)) = (ℤRHom‘𝑆)))
2722, 26mpbid 224 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅)) = (ℤRHom‘𝑆))
2827fveq1d 6439 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((𝐹 ∘ (ℤRHom‘𝑅))‘(chr‘𝑅)) = ((ℤRHom‘𝑆)‘(chr‘𝑅)))
29 rhmghm 19088 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
30 eqid 2825 . . . . 5 (0g𝑆) = (0g𝑆)
3116, 30ghmid 18024 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹‘(0g𝑅)) = (0g𝑆))
3229, 31syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(0g𝑅)) = (0g𝑆))
3320, 28, 323eqtr3d 2869 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((ℤRHom‘𝑆)‘(chr‘𝑅)) = (0g𝑆))
34 eqid 2825 . . . 4 (chr‘𝑆) = (chr‘𝑆)
3534, 24, 30chrdvds 20243 . . 3 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (chr‘𝑅) ∈ ℤ) → ((chr‘𝑆) ∥ (chr‘𝑅) ↔ ((ℤRHom‘𝑆)‘(chr‘𝑅)) = (0g𝑆)))
3623, 13, 35syl2anc 579 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((chr‘𝑆) ∥ (chr‘𝑅) ↔ ((ℤRHom‘𝑆)‘(chr‘𝑅)) = (0g𝑆)))
3733, 36mpbird 249 1 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (chr‘𝑆) ∥ (chr‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1656  wcel 2164   class class class wbr 4875  ccom 5350   Fn wfn 6122  wf 6123  cfv 6127  (class class class)co 6910  0cn0 11625  cz 11711  cdvds 15364  Basecbs 16229  0gc0g 16460   GrpHom cghm 18015  Ringcrg 18908   RingHom crh 19075  ringzring 20185  ℤRHomczrh 20215  chrcchr 20217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-inf 8624  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-rp 12120  df-fz 12627  df-fl 12895  df-mod 12971  df-seq 13103  df-exp 13162  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-dvds 15365  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-0g 16462  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-mulg 17902  df-subg 17949  df-ghm 18016  df-od 18306  df-cmn 18555  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-cring 18911  df-rnghom 19078  df-subrg 19141  df-cnfld 20114  df-zring 20186  df-zrh 20219  df-chr 20221
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator