Theorem srng0 19634

Description: The conjugate of the ring zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
srng0.i	⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
srng0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srng0	⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → ( ∗ ‘ 0 ) = 0 )

Proof of Theorem srng0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srngring 19626	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringgrp 19305	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
3		eqid 2824	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		srng0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5	3, 4	grpidcl 18134	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
6		srng0.i	. . . 4 ⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
7		eqid 2824	. . . 4 ⊢ (*rf‘𝑅) = (*rf‘𝑅)
8	3, 6, 7	stafval 19622	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑅) → ((*rf‘𝑅)‘ 0 ) = ( ∗ ‘ 0 ))
9	1, 2, 5, 8	4syl 19	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → ((*rf‘𝑅)‘ 0 ) = ( ∗ ‘ 0 ))
10		eqid 2824	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
11	10, 7	srngrhm 19625	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → (*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr‘𝑅)))
12		rhmghm 19480	. . 3 ⊢ ((*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr‘𝑅)) → (*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 GrpHom (oppr‘𝑅)))
13	10, 4	oppr0 19386	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘(oppr‘𝑅))
14	4, 13	ghmid 18367	. . 3 ⊢ ((*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 GrpHom (oppr‘𝑅)) → ((*rf‘𝑅)‘ 0 ) = 0 )
15	11, 12, 14	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → ((*rf‘𝑅)‘ 0 ) = 0 )
16	9, 15	eqtr3d 2861	1 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → ( ∗ ‘ 0 ) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  Basecbs 16486  *_𝑟cstv 16570  0_gc0g 16716  Grpcgrp 18106   GrpHom cghm 18358  Ringcrg 19300  opp_rcoppr 19375   RingHom crh 19467  *_rfcstf 19617  *-Ringcsr 19618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-tpos 7895  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-0g 16718  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-mhm 17959  df-grp 18109  df-ghm 18359  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-oppr 19376  df-rnghom 19470  df-staf 19619  df-srng 19620

This theorem is referenced by:  iporthcom  20782  ip0r  20784