MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srng0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srng0 20829
Description: The conjugate of the ring zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srng0.i = (*𝑟𝑅)
srng0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
srng0 (𝑅 ∈ *-Ring → ( 0 ) = 0 )

Proof of Theorem srng0
StepHypRef Expression
1 srngring 20821 . . 3 (𝑅 ∈ *-Ring → 𝑅 ∈ Ring)
2 ringgrp 20217 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
3 eqid 2726 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 srng0.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
53, 4grpidcl 18955 . . 3 (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
6 srng0.i . . . 4 = (*𝑟𝑅)
7 eqid 2726 . . . 4 (*rf𝑅) = (*rf𝑅)
83, 6, 7stafval 20817 . . 3 ( 0 ∈ (Base‘𝑅) → ((*rf𝑅)‘ 0 ) = ( 0 ))
91, 2, 5, 84syl 19 . 2 (𝑅 ∈ *-Ring → ((*rf𝑅)‘ 0 ) = ( 0 ))
10 eqid 2726 . . . 4 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
1110, 7srngrhm 20820 . . 3 (𝑅 ∈ *-Ring → (*rf𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr𝑅)))
12 rhmghm 20462 . . 3 ((*rf𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr𝑅)) → (*rf𝑅) ∈ (𝑅 GrpHom (oppr𝑅)))
1310, 4oppr0 20327 . . . 4 0 = (0g‘(oppr𝑅))
144, 13ghmid 19212 . . 3 ((*rf𝑅) ∈ (𝑅 GrpHom (oppr𝑅)) → ((*rf𝑅)‘ 0 ) = 0 )
1511, 12, 143syl 18 . 2 (𝑅 ∈ *-Ring → ((*rf𝑅)‘ 0 ) = 0 )
169, 15eqtr3d 2768 1 (𝑅 ∈ *-Ring → ( 0 ) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6546  (class class class)co 7416  Basecbs 17208  *𝑟cstv 17263  0gc0g 17449  Grpcgrp 18923   GrpHom cghm 19202  Ringcrg 20212  opprcoppr 20311   RingHom crh 20447  *rfcstf 20812  *-Ringcsr 20813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8233  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-0g 17451  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-mhm 18768  df-grp 18926  df-ghm 19203  df-mgp 20114  df-ur 20161  df-ring 20214  df-oppr 20312  df-rhm 20450  df-staf 20814  df-srng 20815
This theorem is referenced by:  iporthcom  21627  ip0r  21629
  Copyright terms: Public domain W3C validator