knoppndvlem17 - Mathbox for Asger C. Ipsen

	Mathbox for Asger C. Ipsen		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > knoppndvlem17		Structured version Visualization version GIF version

Theorem knoppndvlem17 36551

Description: Lemma for knoppndv 36557. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem17.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem17.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem17.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem17.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem17.b	⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
knoppndvlem17.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem17.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
knoppndvlem17.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem17.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem17.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem17	⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (𝐵 − 𝐴)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦 𝑥,𝐴,𝑖,𝑤 𝐵,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦 𝑥,𝐵 𝐶,𝑖,𝑛,𝑦 𝑖,𝐹,𝑤 𝑖,𝐽,𝑛,𝑦 𝑥,𝐽 𝑛,𝑀,𝑦 𝑥,𝑀 𝑖,𝑁,𝑛,𝑦 𝑥,𝑁 𝑇,𝑛,𝑦 𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥) 𝐶(𝑥,𝑤) 𝑇(𝑥,𝑤,𝑖) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑛) 𝐽(𝑤) 𝑀(𝑤,𝑖) 𝑁(𝑤) 𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

**Proof of Theorem knoppndvlem17**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem17.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
2	1	knoppndvlem3 36537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
3	2	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	4	abscld 15460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
6		knoppndvlem17.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
7	5, 6	reexpcld 14186	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℝ)
8		2re 12319	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
10		2ne0 12349	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
12	7, 9, 11	redivcld 12074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11268	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℂ)
14		1red 11241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
15		knoppndvlem17.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
16	15	nnred 12260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
17	9, 16	remulcld 11270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
18	17, 5	remulcld 11270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
19	18, 14	resubcld 11670	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ)
20		0red 11243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
21		0lt1 11764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
23		knoppndvlem17.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
24	1, 15, 23	knoppndvlem12 36546	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
25	24	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
26	20, 14, 19, 22, 25	lttrd 11401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
27	19, 26	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
28		gt0ne0 11707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
30	14, 19, 29	redivcld 12074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
31	14, 30	resubcld 11670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11268	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℂ)
33	13, 32	mulcomd 11261	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2)))
34	33	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2)) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
35		2rp 13018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
37	15	nnrpd 13054	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
38	36, 37	rpmulcld 13072	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
39	6	nn0zd 12619	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
40	39	znegcld 12704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
41	38, 40	rpexpcld 14270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ⁺)
42	41	rphalfcld 13068	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ⁺)
43	42	rpcnd 13058	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
44	42	rpne0d 13061	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ≠ 0)
45	32, 13, 43, 44	divassd 12057	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2)) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))))
46	13, 43, 44	divcld 12022	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℂ)
47	32, 46	mulcomd 11261	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) = (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
48	7	recnd 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℂ)
49	41	rpcnd 13058	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ)
50	9	recnd 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
51	41	rpne0d 13061	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ≠ 0)
52	48, 49, 50, 51, 11	divcan7d 12050	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / ((2 · 𝑁)↑-𝐽)))
53	17	recnd 11268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
54	38	rpne0d 13061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
55	53, 54, 39	expnegd 14176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
56	55	oveq2d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))))
57		1cnd 11235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
58	53, 6	expcld 14169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ∈ ℂ)
59	20, 22	gtned 11375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0)
60	53, 54, 39	expne0d 14175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ≠ 0)
61	48, 57, 58, 59, 60	divdiv2d 12054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))) = ((((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) / 1))
62	48, 58	mulcld 11260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) ∈ ℂ)
63	62	div1d 12014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) / 1) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
64	48, 58	mulcomd 11261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
65	53, 54	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0))
66	5	recnd 11268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
67	1, 15, 23	knoppndvlem13 36547	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
68	4, 67	absne0d 15471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ≠ 0)
69	66, 68	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0))
70	65, 69, 39	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0) ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
71		mulexpz 14125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
73	72	eqcomd 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
74	63, 64, 73	3eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) / 1) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
75	56, 61, 74	3eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
76	52, 75	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
77	76	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
78	47, 77	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
79	34, 45, 78	3eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
80	79	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
81	12, 31	remulcld 11270	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ∈ ℝ)
82		knoppndvlem17.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
83		knoppndvlem17.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
84		knoppndvlem17.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
85		knoppndvlem17.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
86	85	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)))
87		knoppndvlem17.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
88	87	peano2zd 12705	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
89	15, 39, 88	knoppndvlem1 36535	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
90	86, 89	eqeltrd 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
91	2	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
92	82, 83, 84, 90, 15, 3, 91	knoppcld 36528	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐵) ∈ ℂ)
93		knoppndvlem17.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
94	93	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
95	15, 39, 87	knoppndvlem1 36535	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
96	94, 95	eqeltrd 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
97	82, 83, 84, 96, 15, 3, 91	knoppcld 36528	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) ∈ ℂ)
98	92, 97	subcld 11599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴)) ∈ ℂ)
99	98	abscld 15460	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) ∈ ℝ)
100	82, 83, 84, 93, 85, 1, 6, 87, 15, 23	knoppndvlem15 36549	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ (abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))))
101	81, 99, 42, 100	lediv1dd 13114	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ≤ ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
102	80, 101	eqbrtrd 5146	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
103	93, 85, 6, 87, 15	knoppndvlem16 36550	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
104	103	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) = (𝐵 − 𝐴))
105	104	oveq2d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (𝐵 − 𝐴)))
106	102, 105	breqtrd 5150	1 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (𝐵 − 𝐴)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2933 class class class wbr 5124 ↦ cmpt 5206 ‘cfv 6536 (class class class)co 7410 ℂcc 11132 ℝcr 11133 0cc0 11134 1c1 11135 + caddc 11137 · cmul 11139 < clt 11274 ≤ cle 11275 − cmin 11471 -cneg 11472 / cdiv 11899 ℕcn 12245 2c2 12300 ℕ₀cn0 12506 ℤcz 12593 ℝ⁺crp 13013 (,)cioo 13367 ⌊cfl 13812 ↑cexp 14084 abscabs 15258 Σcsu 15707

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2708 ax-rep 5254 ax-sep 5271 ax-nul 5281 ax-pow 5340 ax-pr 5407 ax-un 7734 ax-inf2 9660 ax-cnex 11190 ax-resscn 11191 ax-1cn 11192 ax-icn 11193 ax-addcl 11194 ax-addrcl 11195 ax-mulcl 11196 ax-mulrcl 11197 ax-mulcom 11198 ax-addass 11199 ax-mulass 11200 ax-distr 11201 ax-i2m1 11202 ax-1ne0 11203 ax-1rid 11204 ax-rnegex 11205 ax-rrecex 11206 ax-cnre 11207 ax-pre-lttri 11208 ax-pre-lttrn 11209 ax-pre-ltadd 11210 ax-pre-mulgt0 11211 ax-pre-sup 11212 ax-addf 11213

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2810 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3062 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3421 df-v 3466 df-sbc 3771 df-csb 3880 df-dif 3934 df-un 3936 df-in 3938 df-ss 3948 df-pss 3951 df-nul 4314 df-if 4506 df-pw 4582 df-sn 4607 df-pr 4609 df-tp 4611 df-op 4613 df-uni 4889 df-int 4928 df-iun 4974 df-iin 4975 df-br 5125 df-opab 5187 df-mpt 5207 df-tr 5235 df-id 5553 df-eprel 5558 df-po 5566 df-so 5567 df-fr 5611 df-se 5612 df-we 5613 df-xp 5665 df-rel 5666 df-cnv 5667 df-co 5668 df-dm 5669 df-rn 5670 df-res 5671 df-ima 5672 df-pred 6295 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6489 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-isom 6545 df-riota 7367 df-ov 7413 df-oprab 7414 df-mpo 7415 df-of 7676 df-om 7867 df-1st 7993 df-2nd 7994 df-supp 8165 df-frecs 8285 df-wrecs 8316 df-recs 8390 df-rdg 8429 df-1o 8485 df-2o 8486 df-er 8724 df-map 8847 df-pm 8848 df-ixp 8917 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-fin 8968 df-fsupp 9379 df-fi 9428 df-sup 9459 df-inf 9460 df-oi 9529 df-card 9958 df-pnf 11276 df-mnf 11277 df-xr 11278 df-ltxr 11279 df-le 11280 df-sub 11473 df-neg 11474 df-div 11900 df-nn 12246 df-2 12308 df-3 12309 df-4 12310 df-5 12311 df-6 12312 df-7 12313 df-8 12314 df-9 12315 df-n0 12507 df-z 12594 df-dec 12714 df-uz 12858 df-q 12970 df-rp 13014 df-xneg 13133 df-xadd 13134 df-xmul 13135 df-ioo 13371 df-ico 13373 df-icc 13374 df-fz 13530 df-fzo 13677 df-fl 13814 df-seq 14025 df-exp 14085 df-hash 14354 df-cj 15123 df-re 15124 df-im 15125 df-sqrt 15259 df-abs 15260 df-limsup 15492 df-clim 15509 df-rlim 15510 df-sum 15708 df-dvds 16278 df-struct 17171 df-sets 17188 df-slot 17206 df-ndx 17218 df-base 17234 df-ress 17257 df-plusg 17289 df-mulr 17290 df-starv 17291 df-sca 17292 df-vsca 17293 df-ip 17294 df-tset 17295 df-ple 17296 df-ds 17298 df-unif 17299 df-hom 17300 df-cco 17301 df-rest 17441 df-topn 17442 df-0g 17460 df-gsum 17461 df-topgen 17462 df-pt 17463 df-prds 17466 df-xrs 17521 df-qtop 17526 df-imas 17527 df-xps 17529 df-mre 17603 df-mrc 17604 df-acs 17606 df-mgm 18623 df-sgrp 18702 df-mnd 18718 df-submnd 18767 df-mulg 19056 df-cntz 19305 df-cmn 19768 df-psmet 21312 df-xmet 21313 df-met 21314 df-bl 21315 df-mopn 21316 df-cnfld 21321 df-top 22837 df-topon 22854 df-topsp 22876 df-bases 22889 df-cn 23170 df-cnp 23171 df-tx 23505 df-hmeo 23698 df-xms 24264 df-ms 24265 df-tms 24266 df-cncf 24827 df-ulm 26343

This theorem is referenced by: knoppndvlem21 36555

W3C validator