Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem17 34127
 Description: Lemma for knoppndv 34133. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem17.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem17.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem17.w 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem17.a 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem17.b 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
knoppndvlem17.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem17.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem17.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem17.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem17.1 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem17 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))) / (𝐵𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝐴,𝑖,𝑤   𝐵,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝐵   𝐶,𝑖,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑖,𝐽,𝑛,𝑦   𝑥,𝐽   𝑛,𝑀,𝑦   𝑥,𝑀   𝑖,𝑁,𝑛,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑤)   𝑀(𝑤,𝑖)   𝑁(𝑤)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem17
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem17.c . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
21knoppndvlem3 34113 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
32simpld 498 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
43recnd 10676 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
54abscld 14808 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
6 knoppndvlem17.j . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
75, 6reexpcld 13543 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℝ)
8 2re 11717 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
10 2ne0 11747 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ≠ 0)
127, 9, 11redivcld 11475 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ)
1312recnd 10676 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℂ)
14 1red 10649 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
15 knoppndvlem17.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1615nnred 11658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
179, 16remulcld 10678 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
1817, 5remulcld 10678 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
1918, 14resubcld 11075 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ)
20 0red 10651 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
21 0lt1 11169 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 1)
23 knoppndvlem17.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
241, 15, 23knoppndvlem12 34122 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
2524simprd 499 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
2620, 14, 19, 22, 25lttrd 10808 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
2719, 26jca 515 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
28 gt0ne0 11112 . . . . . . . . . . 11 (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
3014, 19, 29redivcld 11475 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
3114, 30resubcld 11075 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
3231recnd 10676 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℂ)
3313, 32mulcomd 10669 . . . . . 6 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2)))
3433oveq1d 7160 . . . . 5 (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2)) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
35 2rp 12402 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ+
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
3715nnrpd 12437 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
3836, 37rpmulcld 12455 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
396nn0zd 12093 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
4039znegcld 12097 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
4138, 40rpexpcld 13624 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ+)
4241rphalfcld 12451 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ+)
4342rpcnd 12441 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
4442rpne0d 12444 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ≠ 0)
4532, 13, 43, 44divassd 11458 . . . . 5 (𝜑 → (((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2)) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))))
4613, 43, 44divcld 11423 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℂ)
4732, 46mulcomd 10669 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) = (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
487recnd 10676 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℂ)
4941rpcnd 12441 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ)
509recnd 10676 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
5141rpne0d 12444 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ≠ 0)
5248, 49, 50, 51, 11divcan7d 11451 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / ((2 · 𝑁)↑-𝐽)))
5317recnd 10676 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
5438rpne0d 12444 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
5553, 54, 39expnegd 13533 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
5655oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))))
57 1cnd 10643 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
5853, 6expcld 13526 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ∈ ℂ)
5920, 22gtned 10782 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ≠ 0)
6053, 54, 39expne0d 13532 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ≠ 0)
6148, 57, 58, 59, 60divdiv2d 11455 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))) = ((((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) / 1))
6248, 58mulcld 10668 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) ∈ ℂ)
6362div1d 11415 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) / 1) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
6448, 58mulcomd 10669 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
6553, 54jca 515 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0))
665recnd 10676 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
671, 15, 23knoppndvlem13 34123 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ≠ 0)
684, 67absne0d 14819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘𝐶) ≠ 0)
6966, 68jca 515 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0))
7065, 69, 393jca 1125 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0) ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
71 mulexpz 13485 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
7372eqcomd 2804 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
7463, 64, 733eqtrd 2837 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) / 1) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
7556, 61, 743eqtrd 2837 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
7652, 75eqtrd 2833 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
7776oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
7847, 77eqtrd 2833 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
7934, 45, 783eqtrd 2837 . . . 4 (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
8079eqcomd 2804 . . 3 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
8112, 31remulcld 10678 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ∈ ℝ)
82 knoppndvlem17.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
83 knoppndvlem17.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
84 knoppndvlem17.w . . . . . . 7 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
85 knoppndvlem17.b . . . . . . . . 9 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
8685a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)))
87 knoppndvlem17.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8887peano2zd 12098 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
8915, 39, 88knoppndvlem1 34111 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
9086, 89eqeltrd 2890 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
912simprd 499 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
9282, 83, 84, 90, 15, 3, 91knoppcld 34104 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝐵) ∈ ℂ)
93 knoppndvlem17.a . . . . . . . . 9 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
9493a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
9515, 39, 87knoppndvlem1 34111 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
9694, 95eqeltrd 2890 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
9782, 83, 84, 96, 15, 3, 91knoppcld 34104 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝐴) ∈ ℂ)
9892, 97subcld 11004 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴)) ∈ ℂ)
9998abscld 14808 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))) ∈ ℝ)
10082, 83, 84, 93, 85, 1, 6, 87, 15, 23knoppndvlem15 34125 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ (abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))))
10181, 99, 42, 100lediv1dd 12497 . . 3 (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ≤ ((abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
10280, 101eqbrtrd 5056 . 2 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
10393, 85, 6, 87, 15knoppndvlem16 34126 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
104103eqcomd 2804 . . 3 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) = (𝐵𝐴))
105104oveq2d 7161 . 2 (𝜑 → ((abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))) / (𝐵𝐴)))
106102, 105breqtrd 5060 1 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))) / (𝐵𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5034   ↦ cmpt 5114  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  ℂcc 10542  ℝcr 10543  0cc0 10544  1c1 10545   + caddc 10547   · cmul 10549   < clt 10682   ≤ cle 10683   − cmin 10877  -cneg 10878   / cdiv 11304  ℕcn 11643  2c2 11698  ℕ0cn0 11903  ℤcz 11989  ℝ+crp 12397  (,)cioo 12746  ⌊cfl 13175  ↑cexp 13445  abscabs 14605  Σcsu 15054 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-inf2 9106  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622  ax-addf 10623  ax-mulf 10624 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-iin 4888  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7400  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-2o 8104  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-pm 8410  df-ixp 8463  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-q 12357  df-rp 12398  df-xneg 12515  df-xadd 12516  df-xmul 12517  df-ioo 12750  df-ico 12752  df-icc 12753  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-fl 13177  df-seq 13385  df-exp 13446  df-hash 13707  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-limsup 14840  df-clim 14857  df-rlim 14858  df-sum 15055  df-dvds 15620  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-starv 16592  df-sca 16593  df-vsca 16594  df-ip 16595  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ds 16599  df-unif 16600  df-hom 16601  df-cco 16602  df-rest 16708  df-topn 16709  df-0g 16727  df-gsum 16728  df-topgen 16729  df-pt 16730  df-prds 16733  df-xrs 16787  df-qtop 16792  df-imas 16793  df-xps 16795  df-mre 16869  df-mrc 16870  df-acs 16872  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-submnd 17969  df-mulg 18238  df-cntz 18460  df-cmn 18921  df-psmet 20104  df-xmet 20105  df-met 20106  df-bl 20107  df-mopn 20108  df-cnfld 20113  df-top 21540  df-topon 21557  df-topsp 21579  df-bases 21592  df-cn 21873  df-cnp 21874  df-tx 22208  df-hmeo 22401  df-xms 22968  df-ms 22969  df-tms 22970  df-cncf 23524  df-ulm 25016 This theorem is referenced by:  knoppndvlem21  34131
 Copyright terms: Public domain W3C validator