knoppndvlem17 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem17 36502

Description: Lemma for knoppndv 36508. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem17.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem17.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem17.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem17.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem17.b	⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
knoppndvlem17.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem17.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
knoppndvlem17.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem17.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem17.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem17	⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (𝐵 − 𝐴)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦 𝑥,𝐴,𝑖,𝑤 𝐵,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦 𝑥,𝐵 𝐶,𝑖,𝑛,𝑦 𝑖,𝐹,𝑤 𝑖,𝐽,𝑛,𝑦 𝑥,𝐽 𝑛,𝑀,𝑦 𝑥,𝑀 𝑖,𝑁,𝑛,𝑦 𝑥,𝑁 𝑇,𝑛,𝑦 𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥) 𝐶(𝑥,𝑤) 𝑇(𝑥,𝑤,𝑖) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑛) 𝐽(𝑤) 𝑀(𝑤,𝑖) 𝑁(𝑤) 𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

**Proof of Theorem knoppndvlem17**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem17.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
2	1	knoppndvlem3 36488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
3	2	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	4	abscld 15346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
6		knoppndvlem17.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
7	5, 6	reexpcld 14070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℝ)
8		2re 12202	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
10		2ne0 12232	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
12	7, 9, 11	redivcld 11952	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℂ)
14		1red 11116	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
15		knoppndvlem17.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
16	15	nnred 12143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
17	9, 16	remulcld 11145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
18	17, 5	remulcld 11145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
19	18, 14	resubcld 11548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ)
20		0red 11118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
21		0lt1 11642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
23		knoppndvlem17.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
24	1, 15, 23	knoppndvlem12 36497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
25	24	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
26	20, 14, 19, 22, 25	lttrd 11277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
27	19, 26	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
28		gt0ne0 11585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
30	14, 19, 29	redivcld 11952	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
31	14, 30	resubcld 11548	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℂ)
33	13, 32	mulcomd 11136	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2)))
34	33	oveq1d 7364	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2)) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
35		2rp 12898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
37	15	nnrpd 12935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
38	36, 37	rpmulcld 12953	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
39	6	nn0zd 12497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
40	39	znegcld 12582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
41	38, 40	rpexpcld 14154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ⁺)
42	41	rphalfcld 12949	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ⁺)
43	42	rpcnd 12939	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
44	42	rpne0d 12942	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ≠ 0)
45	32, 13, 43, 44	divassd 11935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2)) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))))
46	13, 43, 44	divcld 11900	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℂ)
47	32, 46	mulcomd 11136	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) = (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
48	7	recnd 11143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℂ)
49	41	rpcnd 12939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ)
50	9	recnd 11143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
51	41	rpne0d 12942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ≠ 0)
52	48, 49, 50, 51, 11	divcan7d 11928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / ((2 · 𝑁)↑-𝐽)))
53	17	recnd 11143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
54	38	rpne0d 12942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
55	53, 54, 39	expnegd 14060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
56	55	oveq2d 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))))
57		1cnd 11110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
58	53, 6	expcld 14053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ∈ ℂ)
59	20, 22	gtned 11251	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0)
60	53, 54, 39	expne0d 14059	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ≠ 0)
61	48, 57, 58, 59, 60	divdiv2d 11932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))) = ((((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) / 1))
62	48, 58	mulcld 11135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) ∈ ℂ)
63	62	div1d 11892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) / 1) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
64	48, 58	mulcomd 11136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
65	53, 54	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0))
66	5	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
67	1, 15, 23	knoppndvlem13 36498	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
68	4, 67	absne0d 15357	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ≠ 0)
69	66, 68	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0))
70	65, 69, 39	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0) ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
71		mulexpz 14009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
73	72	eqcomd 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
74	63, 64, 73	3eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) / 1) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
75	56, 61, 74	3eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
76	52, 75	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
77	76	oveq1d 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
78	47, 77	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
79	34, 45, 78	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
80	79	eqcomd 2735	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
81	12, 31	remulcld 11145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ∈ ℝ)
82		knoppndvlem17.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
83		knoppndvlem17.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
84		knoppndvlem17.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
85		knoppndvlem17.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
86	85	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)))
87		knoppndvlem17.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
88	87	peano2zd 12583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
89	15, 39, 88	knoppndvlem1 36486	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
90	86, 89	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
91	2	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
92	82, 83, 84, 90, 15, 3, 91	knoppcld 36479	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐵) ∈ ℂ)
93		knoppndvlem17.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
94	93	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
95	15, 39, 87	knoppndvlem1 36486	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
96	94, 95	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
97	82, 83, 84, 96, 15, 3, 91	knoppcld 36479	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) ∈ ℂ)
98	92, 97	subcld 11475	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴)) ∈ ℂ)
99	98	abscld 15346	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) ∈ ℝ)
100	82, 83, 84, 93, 85, 1, 6, 87, 15, 23	knoppndvlem15 36500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ (abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))))
101	81, 99, 42, 100	lediv1dd 12995	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ≤ ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
102	80, 101	eqbrtrd 5114	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
103	93, 85, 6, 87, 15	knoppndvlem16 36501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
104	103	eqcomd 2735	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) = (𝐵 − 𝐴))
105	104	oveq2d 7365	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (𝐵 − 𝐴)))
106	102, 105	breqtrd 5118	1 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (𝐵 − 𝐴)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 class class class wbr 5092 ↦ cmpt 5173 ‘cfv 6482 (class class class)co 7349 ℂcc 11007 ℝcr 11008 0cc0 11009 1c1 11010 + caddc 11012 · cmul 11014 < clt 11149 ≤ cle 11150 − cmin 11347 -cneg 11348 / cdiv 11777 ℕcn 12128 2c2 12183 ℕ₀cn0 12384 ℤcz 12471 ℝ⁺crp 12893 (,)cioo 13248 ⌊cfl 13694 ↑cexp 13968 abscabs 15141 Σcsu 15593

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5218 ax-sep 5235 ax-nul 5245 ax-pow 5304 ax-pr 5371 ax-un 7671 ax-inf2 9537 ax-cnex 11065 ax-resscn 11066 ax-1cn 11067 ax-icn 11068 ax-addcl 11069 ax-addrcl 11070 ax-mulcl 11071 ax-mulrcl 11072 ax-mulcom 11073 ax-addass 11074 ax-mulass 11075 ax-distr 11076 ax-i2m1 11077 ax-1ne0 11078 ax-1rid 11079 ax-rnegex 11080 ax-rrecex 11081 ax-cnre 11082 ax-pre-lttri 11083 ax-pre-lttrn 11084 ax-pre-ltadd 11085 ax-pre-mulgt0 11086 ax-pre-sup 11087 ax-addf 11088

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3395 df-v 3438 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-pss 3923 df-nul 4285 df-if 4477 df-pw 4553 df-sn 4578 df-pr 4580 df-tp 4582 df-op 4584 df-uni 4859 df-int 4897 df-iun 4943 df-iin 4944 df-br 5093 df-opab 5155 df-mpt 5174 df-tr 5200 df-id 5514 df-eprel 5519 df-po 5527 df-so 5528 df-fr 5572 df-se 5573 df-we 5574 df-xp 5625 df-rel 5626 df-cnv 5627 df-co 5628 df-dm 5629 df-rn 5630 df-res 5631 df-ima 5632 df-pred 6249 df-ord 6310 df-on 6311 df-lim 6312 df-suc 6313 df-iota 6438 df-fun 6484 df-fn 6485 df-f 6486 df-f1 6487 df-fo 6488 df-f1o 6489 df-fv 6490 df-isom 6491 df-riota 7306 df-ov 7352 df-oprab 7353 df-mpo 7354 df-of 7613 df-om 7800 df-1st 7924 df-2nd 7925 df-supp 8094 df-frecs 8214 df-wrecs 8245 df-recs 8294 df-rdg 8332 df-1o 8388 df-2o 8389 df-er 8625 df-map 8755 df-pm 8756 df-ixp 8825 df-en 8873 df-dom 8874 df-sdom 8875 df-fin 8876 df-fsupp 9252 df-fi 9301 df-sup 9332 df-inf 9333 df-oi 9402 df-card 9835 df-pnf 11151 df-mnf 11152 df-xr 11153 df-ltxr 11154 df-le 11155 df-sub 11349 df-neg 11350 df-div 11778 df-nn 12129 df-2 12191 df-3 12192 df-4 12193 df-5 12194 df-6 12195 df-7 12196 df-8 12197 df-9 12198 df-n0 12385 df-z 12472 df-dec 12592 df-uz 12736 df-q 12850 df-rp 12894 df-xneg 13014 df-xadd 13015 df-xmul 13016 df-ioo 13252 df-ico 13254 df-icc 13255 df-fz 13411 df-fzo 13558 df-fl 13696 df-seq 13909 df-exp 13969 df-hash 14238 df-cj 15006 df-re 15007 df-im 15008 df-sqrt 15142 df-abs 15143 df-limsup 15378 df-clim 15395 df-rlim 15396 df-sum 15594 df-dvds 16164 df-struct 17058 df-sets 17075 df-slot 17093 df-ndx 17105 df-base 17121 df-ress 17142 df-plusg 17174 df-mulr 17175 df-starv 17176 df-sca 17177 df-vsca 17178 df-ip 17179 df-tset 17180 df-ple 17181 df-ds 17183 df-unif 17184 df-hom 17185 df-cco 17186 df-rest 17326 df-topn 17327 df-0g 17345 df-gsum 17346 df-topgen 17347 df-pt 17348 df-prds 17351 df-xrs 17406 df-qtop 17411 df-imas 17412 df-xps 17414 df-mre 17488 df-mrc 17489 df-acs 17491 df-mgm 18514 df-sgrp 18593 df-mnd 18609 df-submnd 18658 df-mulg 18947 df-cntz 19196 df-cmn 19661 df-psmet 21253 df-xmet 21254 df-met 21255 df-bl 21256 df-mopn 21257 df-cnfld 21262 df-top 22779 df-topon 22796 df-topsp 22818 df-bases 22831 df-cn 23112 df-cnp 23113 df-tx 23447 df-hmeo 23640 df-xms 24206 df-ms 24207 df-tms 24208 df-cncf 24769 df-ulm 26284

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