Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem17 35707
Description: Lemma for knoppndv 35713. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem17.t ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
knoppndvlem17.f ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
knoppndvlem17.w ๐‘Š = (๐‘ค โˆˆ โ„ โ†ฆ ฮฃ๐‘– โˆˆ โ„•0 ((๐นโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘–))
knoppndvlem17.a ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€)
knoppndvlem17.b ๐ต = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐‘€ + 1))
knoppndvlem17.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
knoppndvlem17.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
knoppndvlem17.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
knoppndvlem17.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
knoppndvlem17.1 (๐œ‘ โ†’ 1 < (๐‘ ยท (absโ€˜๐ถ)))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem17 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐ฝ) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))) โ‰ค ((absโ€˜((๐‘Šโ€˜๐ต) โˆ’ (๐‘Šโ€˜๐ด))) / (๐ต โˆ’ ๐ด)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘–,๐‘›,๐‘ค,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘–,๐‘ค   ๐ต,๐‘–,๐‘›,๐‘ค,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต   ๐ถ,๐‘–,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘–,๐น,๐‘ค   ๐‘–,๐ฝ,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ฝ   ๐‘›,๐‘€,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘–,๐‘,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘‡,๐‘›,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘–,๐‘›,๐‘ค,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘ค)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ค,๐‘–)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘›)   ๐ฝ(๐‘ค)   ๐‘€(๐‘ค,๐‘–)   ๐‘(๐‘ค)   ๐‘Š(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ค,๐‘–,๐‘›)

Proof of Theorem knoppndvlem17
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem17.c . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
21knoppndvlem3 35693 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ถ) < 1))
32simpld 493 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
43recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
54abscld 15387 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
6 knoppndvlem17.j . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
75, 6reexpcld 14132 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) โˆˆ โ„)
8 2re 12290 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„
98a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
10 2ne0 12320 . . . . . . . . . 10 2 โ‰  0
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
127, 9, 11redivcld 12046 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) โˆˆ โ„)
1312recnd 11246 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) โˆˆ โ„‚)
14 1red 11219 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
15 knoppndvlem17.n . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1615nnred 12231 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
179, 16remulcld 11248 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
1817, 5remulcld 11248 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆˆ โ„)
1918, 14resubcld 11646 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
20 0red 11221 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
21 0lt1 11740 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 < 1)
23 knoppndvlem17.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 1 < (๐‘ ยท (absโ€˜๐ถ)))
241, 15, 23knoppndvlem12 35702 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โ‰  1 โˆง 1 < (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))
2524simprd 494 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 1 < (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))
2620, 14, 19, 22, 25lttrd 11379 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 < (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))
2719, 26jca 510 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))
28 gt0ne0 11683 . . . . . . . . . . 11 (((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1) โ‰  0)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1) โ‰  0)
3014, 19, 29redivcld 12046 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
3114, 30resubcld 11646 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
3231recnd 11246 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
3313, 32mulcomd 11239 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))) = ((1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))) ยท (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2)))
3433oveq1d 7426 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) = (((1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))) ยท (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2)) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))
35 2rp 12983 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„+
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
3715nnrpd 13018 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
3836, 37rpmulcld 13036 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+)
396nn0zd 12588 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
4039znegcld 12672 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ -๐ฝ โˆˆ โ„ค)
4138, 40rpexpcld 14214 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) โˆˆ โ„+)
4241rphalfcld 13032 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) โˆˆ โ„+)
4342rpcnd 13022 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) โˆˆ โ„‚)
4442rpne0d 13025 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) โ‰  0)
4532, 13, 43, 44divassd 12029 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))) ยท (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2)) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) = ((1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))) ยท ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))))
4613, 43, 44divcld 11994 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) โˆˆ โ„‚)
4732, 46mulcomd 11239 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))) ยท ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) = (((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))))
487recnd 11246 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) โˆˆ โ„‚)
4941rpcnd 13022 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) โˆˆ โ„‚)
509recnd 11246 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
5141rpne0d 13025 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) โ‰  0)
5248, 49, 50, 51, 11divcan7d 12022 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) = (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ)))
5317recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
5438rpne0d 13025 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โ‰  0)
5553, 54, 39expnegd 14122 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) = (1 / ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ)))
5655oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ)) = (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / (1 / ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ))))
57 1cnd 11213 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
5853, 6expcld 14115 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) โˆˆ โ„‚)
5920, 22gtned 11353 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  0)
6053, 54, 39expne0d 14121 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) โ‰  0)
6148, 57, 58, 59, 60divdiv2d 12026 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / (1 / ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ))) = ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ)) / 1))
6248, 58mulcld 11238 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ)) โˆˆ โ„‚)
6362div1d 11986 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ)) / 1) = (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ)))
6448, 58mulcomd 11239 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ)) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ)))
6553, 54jca 510 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐‘) โ‰  0))
665recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
671, 15, 23knoppndvlem13 35703 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
684, 67absne0d 15398 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โ‰  0)
6966, 68jca 510 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ถ) โ‰  0))
7065, 69, 393jca 1126 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐‘) โ‰  0) โˆง ((absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ถ) โ‰  0) โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค))
71 mulexpz 14072 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐‘) โ‰  0) โˆง ((absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ถ) โ‰  0) โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐ฝ) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ)))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐ฝ) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ)))
7372eqcomd 2736 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ)) = (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐ฝ))
7463, 64, 733eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ)) / 1) = (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐ฝ))
7556, 61, 743eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ)) = (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐ฝ))
7652, 75eqtrd 2770 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) = (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐ฝ))
7776oveq1d 7426 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))) = ((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐ฝ) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))))
7847, 77eqtrd 2770 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))) ยท ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) = ((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐ฝ) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))))
7934, 45, 783eqtrd 2774 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) = ((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐ฝ) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))))
8079eqcomd 2736 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐ฝ) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))) = (((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))
8112, 31remulcld 11248 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„)
82 knoppndvlem17.t . . . . . . 7 ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
83 knoppndvlem17.f . . . . . . 7 ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
84 knoppndvlem17.w . . . . . . 7 ๐‘Š = (๐‘ค โˆˆ โ„ โ†ฆ ฮฃ๐‘– โˆˆ โ„•0 ((๐นโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘–))
85 knoppndvlem17.b . . . . . . . . 9 ๐ต = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐‘€ + 1))
8685a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐‘€ + 1)))
87 knoppndvlem17.m . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
8887peano2zd 12673 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค)
8915, 39, 88knoppndvlem1 35691 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐‘€ + 1)) โˆˆ โ„)
9086, 89eqeltrd 2831 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
912simprd 494 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) < 1)
9282, 83, 84, 90, 15, 3, 91knoppcld 35684 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Šโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
93 knoppndvlem17.a . . . . . . . . 9 ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€)
9493a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€))
9515, 39, 87knoppndvlem1 35691 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€) โˆˆ โ„)
9694, 95eqeltrd 2831 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
9782, 83, 84, 96, 15, 3, 91knoppcld 35684 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Šโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
9892, 97subcld 11575 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Šโ€˜๐ต) โˆ’ (๐‘Šโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
9998abscld 15387 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐‘Šโ€˜๐ต) โˆ’ (๐‘Šโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
10082, 83, 84, 93, 85, 1, 6, 87, 15, 23knoppndvlem15 35705 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))) โ‰ค (absโ€˜((๐‘Šโ€˜๐ต) โˆ’ (๐‘Šโ€˜๐ด))))
10181, 99, 42, 100lediv1dd 13078 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) โ‰ค ((absโ€˜((๐‘Šโ€˜๐ต) โˆ’ (๐‘Šโ€˜๐ด))) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))
10280, 101eqbrtrd 5169 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐ฝ) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))) โ‰ค ((absโ€˜((๐‘Šโ€˜๐ต) โˆ’ (๐‘Šโ€˜๐ด))) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))
10393, 85, 6, 87, 15knoppndvlem16 35706 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))
104103eqcomd 2736 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) = (๐ต โˆ’ ๐ด))
105104oveq2d 7427 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐‘Šโ€˜๐ต) โˆ’ (๐‘Šโ€˜๐ด))) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) = ((absโ€˜((๐‘Šโ€˜๐ต) โˆ’ (๐‘Šโ€˜๐ด))) / (๐ต โˆ’ ๐ด)))
106102, 105breqtrd 5173 1 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐ฝ) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))) โ‰ค ((absโ€˜((๐‘Šโ€˜๐ต) โˆ’ (๐‘Šโ€˜๐ด))) / (๐ต โˆ’ ๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„+crp 12978  (,)cioo 13328  โŒŠcfl 13759  โ†‘cexp 14031  abscabs 15185  ฮฃcsu 15636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-dvds 16202  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-ulm 26125
This theorem is referenced by:  knoppndvlem21  35711
  Copyright terms: Public domain W3C validator