knoppndvlem17 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem17 34804

Description: Lemma for knoppndv 34810. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem17.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem17.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem17.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem17.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem17.b	⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
knoppndvlem17.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem17.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
knoppndvlem17.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem17.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem17.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem17	⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (𝐵 − 𝐴)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦 𝑥,𝐴,𝑖,𝑤 𝐵,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦 𝑥,𝐵 𝐶,𝑖,𝑛,𝑦 𝑖,𝐹,𝑤 𝑖,𝐽,𝑛,𝑦 𝑥,𝐽 𝑛,𝑀,𝑦 𝑥,𝑀 𝑖,𝑁,𝑛,𝑦 𝑥,𝑁 𝑇,𝑛,𝑦 𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥) 𝐶(𝑥,𝑤) 𝑇(𝑥,𝑤,𝑖) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑛) 𝐽(𝑤) 𝑀(𝑤,𝑖) 𝑁(𝑤) 𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

**Proof of Theorem knoppndvlem17**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem17.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
2	1	knoppndvlem3 34790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
3	2	simpld 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	4	abscld 15247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
6		knoppndvlem17.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
7	5, 6	reexpcld 13982	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℝ)
8		2re 12148	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
10		2ne0 12178	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
12	7, 9, 11	redivcld 11904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11104	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℂ)
14		1red 11077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
15		knoppndvlem17.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
16	15	nnred 12089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
17	9, 16	remulcld 11106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
18	17, 5	remulcld 11106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
19	18, 14	resubcld 11504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ)
20		0red 11079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
21		0lt1 11598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
23		knoppndvlem17.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
24	1, 15, 23	knoppndvlem12 34799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
25	24	simprd 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
26	20, 14, 19, 22, 25	lttrd 11237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
27	19, 26	jca 512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
28		gt0ne0 11541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
30	14, 19, 29	redivcld 11904	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
31	14, 30	resubcld 11504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11104	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℂ)
33	13, 32	mulcomd 11097	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2)))
34	33	oveq1d 7352	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2)) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
35		2rp 12836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
37	15	nnrpd 12871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
38	36, 37	rpmulcld 12889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
39	6	nn0zd 12525	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
40	39	znegcld 12529	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
41	38, 40	rpexpcld 14063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ⁺)
42	41	rphalfcld 12885	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ⁺)
43	42	rpcnd 12875	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
44	42	rpne0d 12878	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ≠ 0)
45	32, 13, 43, 44	divassd 11887	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2)) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))))
46	13, 43, 44	divcld 11852	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℂ)
47	32, 46	mulcomd 11097	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) = (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
48	7	recnd 11104	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℂ)
49	41	rpcnd 12875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ)
50	9	recnd 11104	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
51	41	rpne0d 12878	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ≠ 0)
52	48, 49, 50, 51, 11	divcan7d 11880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / ((2 · 𝑁)↑-𝐽)))
53	17	recnd 11104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
54	38	rpne0d 12878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
55	53, 54, 39	expnegd 13972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
56	55	oveq2d 7353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))))
57		1cnd 11071	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
58	53, 6	expcld 13965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ∈ ℂ)
59	20, 22	gtned 11211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0)
60	53, 54, 39	expne0d 13971	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ≠ 0)
61	48, 57, 58, 59, 60	divdiv2d 11884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))) = ((((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) / 1))
62	48, 58	mulcld 11096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) ∈ ℂ)
63	62	div1d 11844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) / 1) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
64	48, 58	mulcomd 11097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
65	53, 54	jca 512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0))
66	5	recnd 11104	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
67	1, 15, 23	knoppndvlem13 34800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
68	4, 67	absne0d 15258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ≠ 0)
69	66, 68	jca 512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0))
70	65, 69, 39	3jca 1127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0) ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
71		mulexpz 13924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
73	72	eqcomd 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
74	63, 64, 73	3eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) / 1) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
75	56, 61, 74	3eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
76	52, 75	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
77	76	oveq1d 7352	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
78	47, 77	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
79	34, 45, 78	3eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
80	79	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
81	12, 31	remulcld 11106	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ∈ ℝ)
82		knoppndvlem17.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
83		knoppndvlem17.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
84		knoppndvlem17.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
85		knoppndvlem17.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
86	85	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)))
87		knoppndvlem17.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
88	87	peano2zd 12530	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
89	15, 39, 88	knoppndvlem1 34788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
90	86, 89	eqeltrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
91	2	simprd 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
92	82, 83, 84, 90, 15, 3, 91	knoppcld 34781	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐵) ∈ ℂ)
93		knoppndvlem17.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
94	93	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
95	15, 39, 87	knoppndvlem1 34788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
96	94, 95	eqeltrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
97	82, 83, 84, 96, 15, 3, 91	knoppcld 34781	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) ∈ ℂ)
98	92, 97	subcld 11433	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴)) ∈ ℂ)
99	98	abscld 15247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) ∈ ℝ)
100	82, 83, 84, 93, 85, 1, 6, 87, 15, 23	knoppndvlem15 34802	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ (abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))))
101	81, 99, 42, 100	lediv1dd 12931	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ≤ ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
102	80, 101	eqbrtrd 5114	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
103	93, 85, 6, 87, 15	knoppndvlem16 34803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
104	103	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) = (𝐵 − 𝐴))
105	104	oveq2d 7353	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (𝐵 − 𝐴)))
106	102, 105	breqtrd 5118	1 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (𝐵 − 𝐴)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 396 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2105 ≠ wne 2940 class class class wbr 5092 ↦ cmpt 5175 ‘cfv 6479 (class class class)co 7337 ℂcc 10970 ℝcr 10971 0cc0 10972 1c1 10973 + caddc 10975 · cmul 10977 < clt 11110 ≤ cle 11111 − cmin 11306 -cneg 11307 / cdiv 11733 ℕcn 12074 2c2 12129 ℕ₀cn0 12334 ℤcz 12420 ℝ⁺crp 12831 (,)cioo 13180 ⌊cfl 13611 ↑cexp 13883 abscabs 15044 Σcsu 15496

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2707 ax-rep 5229 ax-sep 5243 ax-nul 5250 ax-pow 5308 ax-pr 5372 ax-un 7650 ax-inf2 9498 ax-cnex 11028 ax-resscn 11029 ax-1cn 11030 ax-icn 11031 ax-addcl 11032 ax-addrcl 11033 ax-mulcl 11034 ax-mulrcl 11035 ax-mulcom 11036 ax-addass 11037 ax-mulass 11038 ax-distr 11039 ax-i2m1 11040 ax-1ne0 11041 ax-1rid 11042 ax-rnegex 11043 ax-rrecex 11044 ax-cnre 11045 ax-pre-lttri 11046 ax-pre-lttrn 11047 ax-pre-ltadd 11048 ax-pre-mulgt0 11049 ax-pre-sup 11050 ax-addf 11051 ax-mulf 11052

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3349 df-reu 3350 df-rab 3404 df-v 3443 df-sbc 3728 df-csb 3844 df-dif 3901 df-un 3903 df-in 3905 df-ss 3915 df-pss 3917 df-nul 4270 df-if 4474 df-pw 4549 df-sn 4574 df-pr 4576 df-tp 4578 df-op 4580 df-uni 4853 df-int 4895 df-iun 4943 df-iin 4944 df-br 5093 df-opab 5155 df-mpt 5176 df-tr 5210 df-id 5518 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5575 df-se 5576 df-we 5577 df-xp 5626 df-rel 5627 df-cnv 5628 df-co 5629 df-dm 5630 df-rn 5631 df-res 5632 df-ima 5633 df-pred 6238 df-ord 6305 df-on 6306 df-lim 6307 df-suc 6308 df-iota 6431 df-fun 6481 df-fn 6482 df-f 6483 df-f1 6484 df-fo 6485 df-f1o 6486 df-fv 6487 df-isom 6488 df-riota 7293 df-ov 7340 df-oprab 7341 df-mpo 7342 df-of 7595 df-om 7781 df-1st 7899 df-2nd 7900 df-supp 8048 df-frecs 8167 df-wrecs 8198 df-recs 8272 df-rdg 8311 df-1o 8367 df-2o 8368 df-er 8569 df-map 8688 df-pm 8689 df-ixp 8757 df-en 8805 df-dom 8806 df-sdom 8807 df-fin 8808 df-fsupp 9227 df-fi 9268 df-sup 9299 df-inf 9300 df-oi 9367 df-card 9796 df-pnf 11112 df-mnf 11113 df-xr 11114 df-ltxr 11115 df-le 11116 df-sub 11308 df-neg 11309 df-div 11734 df-nn 12075 df-2 12137 df-3 12138 df-4 12139 df-5 12140 df-6 12141 df-7 12142 df-8 12143 df-9 12144 df-n0 12335 df-z 12421 df-dec 12539 df-uz 12684 df-q 12790 df-rp 12832 df-xneg 12949 df-xadd 12950 df-xmul 12951 df-ioo 13184 df-ico 13186 df-icc 13187 df-fz 13341 df-fzo 13484 df-fl 13613 df-seq 13823 df-exp 13884 df-hash 14146 df-cj 14909 df-re 14910 df-im 14911 df-sqrt 15045 df-abs 15046 df-limsup 15279 df-clim 15296 df-rlim 15297 df-sum 15497 df-dvds 16063 df-struct 16945 df-sets 16962 df-slot 16980 df-ndx 16992 df-base 17010 df-ress 17039 df-plusg 17072 df-mulr 17073 df-starv 17074 df-sca 17075 df-vsca 17076 df-ip 17077 df-tset 17078 df-ple 17079 df-ds 17081 df-unif 17082 df-hom 17083 df-cco 17084 df-rest 17230 df-topn 17231 df-0g 17249 df-gsum 17250 df-topgen 17251 df-pt 17252 df-prds 17255 df-xrs 17310 df-qtop 17315 df-imas 17316 df-xps 17318 df-mre 17392 df-mrc 17393 df-acs 17395 df-mgm 18423 df-sgrp 18472 df-mnd 18483 df-submnd 18528 df-mulg 18797 df-cntz 19019 df-cmn 19483 df-psmet 20695 df-xmet 20696 df-met 20697 df-bl 20698 df-mopn 20699 df-cnfld 20704 df-top 22149 df-topon 22166 df-topsp 22188 df-bases 22202 df-cn 22484 df-cnp 22485 df-tx 22819 df-hmeo 23012 df-xms 23579 df-ms 23580 df-tms 23581 df-cncf 24147 df-ulm 25642

This theorem is referenced by: knoppndvlem21 34808

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