Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem17 34991
Description: Lemma for knoppndv 34997. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem17.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem17.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem17.w 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem17.a 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem17.b 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
knoppndvlem17.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem17.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem17.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem17.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem17.1 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem17 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))) / (𝐵𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝐴,𝑖,𝑤   𝐵,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝐵   𝐶,𝑖,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑖,𝐽,𝑛,𝑦   𝑥,𝐽   𝑛,𝑀,𝑦   𝑥,𝑀   𝑖,𝑁,𝑛,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑤)   𝑀(𝑤,𝑖)   𝑁(𝑤)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem17
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem17.c . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
21knoppndvlem3 34977 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
32simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
43recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
54abscld 15321 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
6 knoppndvlem17.j . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
75, 6reexpcld 14068 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℝ)
8 2re 12227 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
10 2ne0 12257 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ≠ 0)
127, 9, 11redivcld 11983 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ)
1312recnd 11183 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℂ)
14 1red 11156 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
15 knoppndvlem17.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1615nnred 12168 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
179, 16remulcld 11185 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
1817, 5remulcld 11185 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
1918, 14resubcld 11583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ)
20 0red 11158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
21 0lt1 11677 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 1)
23 knoppndvlem17.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
241, 15, 23knoppndvlem12 34986 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
2524simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
2620, 14, 19, 22, 25lttrd 11316 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
2719, 26jca 512 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
28 gt0ne0 11620 . . . . . . . . . . 11 (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
3014, 19, 29redivcld 11983 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
3114, 30resubcld 11583 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
3231recnd 11183 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℂ)
3313, 32mulcomd 11176 . . . . . 6 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2)))
3433oveq1d 7372 . . . . 5 (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2)) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
35 2rp 12920 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ+
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
3715nnrpd 12955 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
3836, 37rpmulcld 12973 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
396nn0zd 12525 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
4039znegcld 12609 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
4138, 40rpexpcld 14150 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ+)
4241rphalfcld 12969 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ+)
4342rpcnd 12959 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
4442rpne0d 12962 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ≠ 0)
4532, 13, 43, 44divassd 11966 . . . . 5 (𝜑 → (((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2)) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))))
4613, 43, 44divcld 11931 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℂ)
4732, 46mulcomd 11176 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) = (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
487recnd 11183 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℂ)
4941rpcnd 12959 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ)
509recnd 11183 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
5141rpne0d 12962 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ≠ 0)
5248, 49, 50, 51, 11divcan7d 11959 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / ((2 · 𝑁)↑-𝐽)))
5317recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
5438rpne0d 12962 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
5553, 54, 39expnegd 14058 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
5655oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))))
57 1cnd 11150 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
5853, 6expcld 14051 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ∈ ℂ)
5920, 22gtned 11290 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ≠ 0)
6053, 54, 39expne0d 14057 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ≠ 0)
6148, 57, 58, 59, 60divdiv2d 11963 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))) = ((((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) / 1))
6248, 58mulcld 11175 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) ∈ ℂ)
6362div1d 11923 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) / 1) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
6448, 58mulcomd 11176 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
6553, 54jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0))
665recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
671, 15, 23knoppndvlem13 34987 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ≠ 0)
684, 67absne0d 15332 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘𝐶) ≠ 0)
6966, 68jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0))
7065, 69, 393jca 1128 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0) ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
71 mulexpz 14008 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
7372eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
7463, 64, 733eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) / 1) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
7556, 61, 743eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
7652, 75eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
7776oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
7847, 77eqtrd 2776 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
7934, 45, 783eqtrd 2780 . . . 4 (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
8079eqcomd 2742 . . 3 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
8112, 31remulcld 11185 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ∈ ℝ)
82 knoppndvlem17.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
83 knoppndvlem17.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
84 knoppndvlem17.w . . . . . . 7 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
85 knoppndvlem17.b . . . . . . . . 9 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
8685a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)))
87 knoppndvlem17.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8887peano2zd 12610 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
8915, 39, 88knoppndvlem1 34975 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
9086, 89eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
912simprd 496 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
9282, 83, 84, 90, 15, 3, 91knoppcld 34968 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝐵) ∈ ℂ)
93 knoppndvlem17.a . . . . . . . . 9 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
9493a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
9515, 39, 87knoppndvlem1 34975 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
9694, 95eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
9782, 83, 84, 96, 15, 3, 91knoppcld 34968 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝐴) ∈ ℂ)
9892, 97subcld 11512 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴)) ∈ ℂ)
9998abscld 15321 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))) ∈ ℝ)
10082, 83, 84, 93, 85, 1, 6, 87, 15, 23knoppndvlem15 34989 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ (abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))))
10181, 99, 42, 100lediv1dd 13015 . . 3 (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ≤ ((abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
10280, 101eqbrtrd 5127 . 2 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
10393, 85, 6, 87, 15knoppndvlem16 34990 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
104103eqcomd 2742 . . 3 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) = (𝐵𝐴))
105104oveq2d 7373 . 2 (𝜑 → ((abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))) / (𝐵𝐴)))
106102, 105breqtrd 5131 1 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))) / (𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  +crp 12915  (,)cioo 13264  cfl 13695  cexp 13967  abscabs 15119  Σcsu 15570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-dvds 16137  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ulm 25736
This theorem is referenced by:  knoppndvlem21  34995
  Copyright terms: Public domain W3C validator