knoppndvlem17 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem17 36511

Description: Lemma for knoppndv 36517. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem17.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem17.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem17.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem17.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem17.b	⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
knoppndvlem17.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem17.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
knoppndvlem17.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem17.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem17.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem17	⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (𝐵 − 𝐴)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦 𝑥,𝐴,𝑖,𝑤 𝐵,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦 𝑥,𝐵 𝐶,𝑖,𝑛,𝑦 𝑖,𝐹,𝑤 𝑖,𝐽,𝑛,𝑦 𝑥,𝐽 𝑛,𝑀,𝑦 𝑥,𝑀 𝑖,𝑁,𝑛,𝑦 𝑥,𝑁 𝑇,𝑛,𝑦 𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥) 𝐶(𝑥,𝑤) 𝑇(𝑥,𝑤,𝑖) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑛) 𝐽(𝑤) 𝑀(𝑤,𝑖) 𝑁(𝑤) 𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

**Proof of Theorem knoppndvlem17**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem17.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
2	1	knoppndvlem3 36497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
3	2	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	4	abscld 15472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
6		knoppndvlem17.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
7	5, 6	reexpcld 14200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℝ)
8		2re 12338	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
10		2ne0 12368	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
12	7, 9, 11	redivcld 12093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11287	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℂ)
14		1red 11260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
15		knoppndvlem17.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
16	15	nnred 12279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
17	9, 16	remulcld 11289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
18	17, 5	remulcld 11289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
19	18, 14	resubcld 11689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ)
20		0red 11262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
21		0lt1 11783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
23		knoppndvlem17.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
24	1, 15, 23	knoppndvlem12 36506	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
25	24	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
26	20, 14, 19, 22, 25	lttrd 11420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
27	19, 26	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
28		gt0ne0 11726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
30	14, 19, 29	redivcld 12093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
31	14, 30	resubcld 11689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11287	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℂ)
33	13, 32	mulcomd 11280	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2)))
34	33	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2)) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
35		2rp 13037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
37	15	nnrpd 13073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
38	36, 37	rpmulcld 13091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
39	6	nn0zd 12637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
40	39	znegcld 12722	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
41	38, 40	rpexpcld 14283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ⁺)
42	41	rphalfcld 13087	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ⁺)
43	42	rpcnd 13077	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
44	42	rpne0d 13080	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ≠ 0)
45	32, 13, 43, 44	divassd 12076	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2)) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))))
46	13, 43, 44	divcld 12041	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℂ)
47	32, 46	mulcomd 11280	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) = (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
48	7	recnd 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℂ)
49	41	rpcnd 13077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ)
50	9	recnd 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
51	41	rpne0d 13080	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ≠ 0)
52	48, 49, 50, 51, 11	divcan7d 12069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / ((2 · 𝑁)↑-𝐽)))
53	17	recnd 11287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
54	38	rpne0d 13080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
55	53, 54, 39	expnegd 14190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
56	55	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))))
57		1cnd 11254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
58	53, 6	expcld 14183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ∈ ℂ)
59	20, 22	gtned 11394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0)
60	53, 54, 39	expne0d 14189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ≠ 0)
61	48, 57, 58, 59, 60	divdiv2d 12073	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))) = ((((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) / 1))
62	48, 58	mulcld 11279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) ∈ ℂ)
63	62	div1d 12033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) / 1) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
64	48, 58	mulcomd 11280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
65	53, 54	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0))
66	5	recnd 11287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
67	1, 15, 23	knoppndvlem13 36507	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
68	4, 67	absne0d 15483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ≠ 0)
69	66, 68	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0))
70	65, 69, 39	3jca 1127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0) ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
71		mulexpz 14140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
73	72	eqcomd 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
74	63, 64, 73	3eqtrd 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) / 1) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
75	56, 61, 74	3eqtrd 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
76	52, 75	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
77	76	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
78	47, 77	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
79	34, 45, 78	3eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
80	79	eqcomd 2741	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
81	12, 31	remulcld 11289	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ∈ ℝ)
82		knoppndvlem17.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
83		knoppndvlem17.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
84		knoppndvlem17.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
85		knoppndvlem17.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
86	85	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)))
87		knoppndvlem17.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
88	87	peano2zd 12723	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
89	15, 39, 88	knoppndvlem1 36495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
90	86, 89	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
91	2	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
92	82, 83, 84, 90, 15, 3, 91	knoppcld 36488	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐵) ∈ ℂ)
93		knoppndvlem17.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
94	93	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
95	15, 39, 87	knoppndvlem1 36495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
96	94, 95	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
97	82, 83, 84, 96, 15, 3, 91	knoppcld 36488	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) ∈ ℂ)
98	92, 97	subcld 11618	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴)) ∈ ℂ)
99	98	abscld 15472	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) ∈ ℝ)
100	82, 83, 84, 93, 85, 1, 6, 87, 15, 23	knoppndvlem15 36509	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ (abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))))
101	81, 99, 42, 100	lediv1dd 13133	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ≤ ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
102	80, 101	eqbrtrd 5170	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
103	93, 85, 6, 87, 15	knoppndvlem16 36510	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
104	103	eqcomd 2741	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) = (𝐵 − 𝐴))
105	104	oveq2d 7447	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (𝐵 − 𝐴)))
106	102, 105	breqtrd 5174	1 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (𝐵 − 𝐴)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1537 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2938 class class class wbr 5148 ↦ cmpt 5231 ‘cfv 6563 (class class class)co 7431 ℂcc 11151 ℝcr 11152 0cc0 11153 1c1 11154 + caddc 11156 · cmul 11158 < clt 11293 ≤ cle 11294 − cmin 11490 -cneg 11491 / cdiv 11918 ℕcn 12264 2c2 12319 ℕ₀cn0 12524 ℤcz 12611 ℝ⁺crp 13032 (,)cioo 13384 ⌊cfl 13827 ↑cexp 14099 abscabs 15270 Σcsu 15719

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1792 ax-4 1806 ax-5 1908 ax-6 1965 ax-7 2005 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2139 ax-11 2155 ax-12 2175 ax-ext 2706 ax-rep 5285 ax-sep 5302 ax-nul 5312 ax-pow 5371 ax-pr 5438 ax-un 7754 ax-inf2 9679 ax-cnex 11209 ax-resscn 11210 ax-1cn 11211 ax-icn 11212 ax-addcl 11213 ax-addrcl 11214 ax-mulcl 11215 ax-mulrcl 11216 ax-mulcom 11217 ax-addass 11218 ax-mulass 11219 ax-distr 11220 ax-i2m1 11221 ax-1ne0 11222 ax-1rid 11223 ax-rnegex 11224 ax-rrecex 11225 ax-cnre 11226 ax-pre-lttri 11227 ax-pre-lttrn 11228 ax-pre-ltadd 11229 ax-pre-mulgt0 11230 ax-pre-sup 11231 ax-addf 11232

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1777 df-nf 1781 df-sb 2063 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2713 df-cleq 2727 df-clel 2814 df-nfc 2890 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3378 df-reu 3379 df-rab 3434 df-v 3480 df-sbc 3792 df-csb 3909 df-dif 3966 df-un 3968 df-in 3970 df-ss 3980 df-pss 3983 df-nul 4340 df-if 4532 df-pw 4607 df-sn 4632 df-pr 4634 df-tp 4636 df-op 4638 df-uni 4913 df-int 4952 df-iun 4998 df-iin 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5583 df-eprel 5589 df-po 5597 df-so 5598 df-fr 5641 df-se 5642 df-we 5643 df-xp 5695 df-rel 5696 df-cnv 5697 df-co 5698 df-dm 5699 df-rn 5700 df-res 5701 df-ima 5702 df-pred 6323 df-ord 6389 df-on 6390 df-lim 6391 df-suc 6392 df-iota 6516 df-fun 6565 df-fn 6566 df-f 6567 df-f1 6568 df-fo 6569 df-f1o 6570 df-fv 6571 df-isom 6572 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-of 7697 df-om 7888 df-1st 8013 df-2nd 8014 df-supp 8185 df-frecs 8305 df-wrecs 8336 df-recs 8410 df-rdg 8449 df-1o 8505 df-2o 8506 df-er 8744 df-map 8867 df-pm 8868 df-ixp 8937 df-en 8985 df-dom 8986 df-sdom 8987 df-fin 8988 df-fsupp 9400 df-fi 9449 df-sup 9480 df-inf 9481 df-oi 9548 df-card 9977 df-pnf 11295 df-mnf 11296 df-xr 11297 df-ltxr 11298 df-le 11299 df-sub 11492 df-neg 11493 df-div 11919 df-nn 12265 df-2 12327 df-3 12328 df-4 12329 df-5 12330 df-6 12331 df-7 12332 df-8 12333 df-9 12334 df-n0 12525 df-z 12612 df-dec 12732 df-uz 12877 df-q 12989 df-rp 13033 df-xneg 13152 df-xadd 13153 df-xmul 13154 df-ioo 13388 df-ico 13390 df-icc 13391 df-fz 13545 df-fzo 13692 df-fl 13829 df-seq 14040 df-exp 14100 df-hash 14367 df-cj 15135 df-re 15136 df-im 15137 df-sqrt 15271 df-abs 15272 df-limsup 15504 df-clim 15521 df-rlim 15522 df-sum 15720 df-dvds 16288 df-struct 17181 df-sets 17198 df-slot 17216 df-ndx 17228 df-base 17246 df-ress 17275 df-plusg 17311 df-mulr 17312 df-starv 17313 df-sca 17314 df-vsca 17315 df-ip 17316 df-tset 17317 df-ple 17318 df-ds 17320 df-unif 17321 df-hom 17322 df-cco 17323 df-rest 17469 df-topn 17470 df-0g 17488 df-gsum 17489 df-topgen 17490 df-pt 17491 df-prds 17494 df-xrs 17549 df-qtop 17554 df-imas 17555 df-xps 17557 df-mre 17631 df-mrc 17632 df-acs 17634 df-mgm 18666 df-sgrp 18745 df-mnd 18761 df-submnd 18810 df-mulg 19099 df-cntz 19348 df-cmn 19815 df-psmet 21374 df-xmet 21375 df-met 21376 df-bl 21377 df-mopn 21378 df-cnfld 21383 df-top 22916 df-topon 22933 df-topsp 22955 df-bases 22969 df-cn 23251 df-cnp 23252 df-tx 23586 df-hmeo 23779 df-xms 24346 df-ms 24347 df-tms 24348 df-cncf 24918 df-ulm 26435

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