Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem17 34804
Description: Lemma for knoppndv 34810. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem17.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem17.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem17.w 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem17.a 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem17.b 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
knoppndvlem17.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem17.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem17.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem17.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem17.1 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem17 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))) / (𝐵𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝐴,𝑖,𝑤   𝐵,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝐵   𝐶,𝑖,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑖,𝐽,𝑛,𝑦   𝑥,𝐽   𝑛,𝑀,𝑦   𝑥,𝑀   𝑖,𝑁,𝑛,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑤)   𝑀(𝑤,𝑖)   𝑁(𝑤)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem17
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem17.c . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
21knoppndvlem3 34790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
32simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
43recnd 11104 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
54abscld 15247 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
6 knoppndvlem17.j . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
75, 6reexpcld 13982 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℝ)
8 2re 12148 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
10 2ne0 12178 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ≠ 0)
127, 9, 11redivcld 11904 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ)
1312recnd 11104 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℂ)
14 1red 11077 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
15 knoppndvlem17.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1615nnred 12089 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
179, 16remulcld 11106 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
1817, 5remulcld 11106 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
1918, 14resubcld 11504 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ)
20 0red 11079 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
21 0lt1 11598 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 1)
23 knoppndvlem17.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
241, 15, 23knoppndvlem12 34799 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
2524simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
2620, 14, 19, 22, 25lttrd 11237 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
2719, 26jca 512 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
28 gt0ne0 11541 . . . . . . . . . . 11 (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
3014, 19, 29redivcld 11904 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
3114, 30resubcld 11504 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
3231recnd 11104 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℂ)
3313, 32mulcomd 11097 . . . . . 6 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2)))
3433oveq1d 7352 . . . . 5 (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2)) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
35 2rp 12836 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ+
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
3715nnrpd 12871 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
3836, 37rpmulcld 12889 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
396nn0zd 12525 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
4039znegcld 12529 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
4138, 40rpexpcld 14063 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ+)
4241rphalfcld 12885 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ+)
4342rpcnd 12875 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
4442rpne0d 12878 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ≠ 0)
4532, 13, 43, 44divassd 11887 . . . . 5 (𝜑 → (((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2)) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))))
4613, 43, 44divcld 11852 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℂ)
4732, 46mulcomd 11097 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) = (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
487recnd 11104 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℂ)
4941rpcnd 12875 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ)
509recnd 11104 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
5141rpne0d 12878 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ≠ 0)
5248, 49, 50, 51, 11divcan7d 11880 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / ((2 · 𝑁)↑-𝐽)))
5317recnd 11104 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
5438rpne0d 12878 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
5553, 54, 39expnegd 13972 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
5655oveq2d 7353 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))))
57 1cnd 11071 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
5853, 6expcld 13965 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ∈ ℂ)
5920, 22gtned 11211 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ≠ 0)
6053, 54, 39expne0d 13971 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ≠ 0)
6148, 57, 58, 59, 60divdiv2d 11884 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))) = ((((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) / 1))
6248, 58mulcld 11096 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) ∈ ℂ)
6362div1d 11844 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) / 1) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
6448, 58mulcomd 11097 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
6553, 54jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0))
665recnd 11104 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
671, 15, 23knoppndvlem13 34800 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ≠ 0)
684, 67absne0d 15258 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘𝐶) ≠ 0)
6966, 68jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0))
7065, 69, 393jca 1127 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0) ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
71 mulexpz 13924 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
7372eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
7463, 64, 733eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) / 1) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
7556, 61, 743eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
7652, 75eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
7776oveq1d 7352 . . . . . 6 (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
7847, 77eqtrd 2776 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
7934, 45, 783eqtrd 2780 . . . 4 (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
8079eqcomd 2742 . . 3 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
8112, 31remulcld 11106 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ∈ ℝ)
82 knoppndvlem17.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
83 knoppndvlem17.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
84 knoppndvlem17.w . . . . . . 7 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
85 knoppndvlem17.b . . . . . . . . 9 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
8685a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)))
87 knoppndvlem17.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8887peano2zd 12530 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
8915, 39, 88knoppndvlem1 34788 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
9086, 89eqeltrd 2837 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
912simprd 496 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
9282, 83, 84, 90, 15, 3, 91knoppcld 34781 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝐵) ∈ ℂ)
93 knoppndvlem17.a . . . . . . . . 9 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
9493a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
9515, 39, 87knoppndvlem1 34788 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
9694, 95eqeltrd 2837 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
9782, 83, 84, 96, 15, 3, 91knoppcld 34781 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝐴) ∈ ℂ)
9892, 97subcld 11433 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴)) ∈ ℂ)
9998abscld 15247 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))) ∈ ℝ)
10082, 83, 84, 93, 85, 1, 6, 87, 15, 23knoppndvlem15 34802 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ (abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))))
10181, 99, 42, 100lediv1dd 12931 . . 3 (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ≤ ((abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
10280, 101eqbrtrd 5114 . 2 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
10393, 85, 6, 87, 15knoppndvlem16 34803 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
104103eqcomd 2742 . . 3 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) = (𝐵𝐴))
105104oveq2d 7353 . 2 (𝜑 → ((abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))) / (𝐵𝐴)))
106102, 105breqtrd 5118 1 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))) / (𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940   class class class wbr 5092  cmpt 5175  cfv 6479  (class class class)co 7337  cc 10970  cr 10971  0cc0 10972  1c1 10973   + caddc 10975   · cmul 10977   < clt 11110  cle 11111  cmin 11306  -cneg 11307   / cdiv 11733  cn 12074  2c2 12129  0cn0 12334  cz 12420  +crp 12831  (,)cioo 13180  cfl 13611  cexp 13883  abscabs 15044  Σcsu 15496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050  ax-addf 11051  ax-mulf 11052
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-supp 8048  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-2o 8368  df-er 8569  df-map 8688  df-pm 8689  df-ixp 8757  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-fsupp 9227  df-fi 9268  df-sup 9299  df-inf 9300  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-q 12790  df-rp 12832  df-xneg 12949  df-xadd 12950  df-xmul 12951  df-ioo 13184  df-ico 13186  df-icc 13187  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-fl 13613  df-seq 13823  df-exp 13884  df-hash 14146  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-limsup 15279  df-clim 15296  df-rlim 15297  df-sum 15497  df-dvds 16063  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-starv 17074  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-unif 17082  df-hom 17083  df-cco 17084  df-rest 17230  df-topn 17231  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-topgen 17251  df-pt 17252  df-prds 17255  df-xrs 17310  df-qtop 17315  df-imas 17316  df-xps 17318  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-mulg 18797  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-met 20697  df-bl 20698  df-mopn 20699  df-cnfld 20704  df-top 22149  df-topon 22166  df-topsp 22188  df-bases 22202  df-cn 22484  df-cnp 22485  df-tx 22819  df-hmeo 23012  df-xms 23579  df-ms 23580  df-tms 23581  df-cncf 24147  df-ulm 25642
This theorem is referenced by:  knoppndvlem21  34808
  Copyright terms: Public domain W3C validator