knoppndvlem17 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem17 36494

Description: Lemma for knoppndv 36500. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem17.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem17.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem17.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem17.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem17.b	⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
knoppndvlem17.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem17.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
knoppndvlem17.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem17.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem17.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem17	⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (𝐵 − 𝐴)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦 𝑥,𝐴,𝑖,𝑤 𝐵,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦 𝑥,𝐵 𝐶,𝑖,𝑛,𝑦 𝑖,𝐹,𝑤 𝑖,𝐽,𝑛,𝑦 𝑥,𝐽 𝑛,𝑀,𝑦 𝑥,𝑀 𝑖,𝑁,𝑛,𝑦 𝑥,𝑁 𝑇,𝑛,𝑦 𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥) 𝐶(𝑥,𝑤) 𝑇(𝑥,𝑤,𝑖) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑛) 𝐽(𝑤) 𝑀(𝑤,𝑖) 𝑁(𝑤) 𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

**Proof of Theorem knoppndvlem17**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem17.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
2	1	knoppndvlem3 36480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
3	2	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	4	abscld 15485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
6		knoppndvlem17.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
7	5, 6	reexpcld 14213	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℝ)
8		2re 12367	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
10		2ne0 12397	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
12	7, 9, 11	redivcld 12122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11318	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℂ)
14		1red 11291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
15		knoppndvlem17.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
16	15	nnred 12308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
17	9, 16	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
18	17, 5	remulcld 11320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
19	18, 14	resubcld 11718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ)
20		0red 11293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
21		0lt1 11812	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
23		knoppndvlem17.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
24	1, 15, 23	knoppndvlem12 36489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
25	24	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
26	20, 14, 19, 22, 25	lttrd 11451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
27	19, 26	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
28		gt0ne0 11755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
30	14, 19, 29	redivcld 12122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
31	14, 30	resubcld 11718	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11318	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℂ)
33	13, 32	mulcomd 11311	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2)))
34	33	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2)) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
35		2rp 13062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
37	15	nnrpd 13097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
38	36, 37	rpmulcld 13115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
39	6	nn0zd 12665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
40	39	znegcld 12749	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
41	38, 40	rpexpcld 14296	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ⁺)
42	41	rphalfcld 13111	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ⁺)
43	42	rpcnd 13101	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
44	42	rpne0d 13104	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ≠ 0)
45	32, 13, 43, 44	divassd 12105	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2)) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))))
46	13, 43, 44	divcld 12070	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℂ)
47	32, 46	mulcomd 11311	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) = (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
48	7	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℂ)
49	41	rpcnd 13101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ)
50	9	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
51	41	rpne0d 13104	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ≠ 0)
52	48, 49, 50, 51, 11	divcan7d 12098	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / ((2 · 𝑁)↑-𝐽)))
53	17	recnd 11318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
54	38	rpne0d 13104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
55	53, 54, 39	expnegd 14203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
56	55	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))))
57		1cnd 11285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
58	53, 6	expcld 14196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ∈ ℂ)
59	20, 22	gtned 11425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0)
60	53, 54, 39	expne0d 14202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ≠ 0)
61	48, 57, 58, 59, 60	divdiv2d 12102	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))) = ((((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) / 1))
62	48, 58	mulcld 11310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) ∈ ℂ)
63	62	div1d 12062	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) / 1) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
64	48, 58	mulcomd 11311	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
65	53, 54	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0))
66	5	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
67	1, 15, 23	knoppndvlem13 36490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
68	4, 67	absne0d 15496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ≠ 0)
69	66, 68	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0))
70	65, 69, 39	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0) ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
71		mulexpz 14153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
73	72	eqcomd 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
74	63, 64, 73	3eqtrd 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) / 1) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
75	56, 61, 74	3eqtrd 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
76	52, 75	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
77	76	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
78	47, 77	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) · ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
79	34, 45, 78	3eqtrd 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
80	79	eqcomd 2746	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
81	12, 31	remulcld 11320	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ∈ ℝ)
82		knoppndvlem17.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
83		knoppndvlem17.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
84		knoppndvlem17.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
85		knoppndvlem17.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
86	85	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)))
87		knoppndvlem17.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
88	87	peano2zd 12750	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
89	15, 39, 88	knoppndvlem1 36478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
90	86, 89	eqeltrd 2844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
91	2	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
92	82, 83, 84, 90, 15, 3, 91	knoppcld 36471	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐵) ∈ ℂ)
93		knoppndvlem17.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
94	93	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
95	15, 39, 87	knoppndvlem1 36478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
96	94, 95	eqeltrd 2844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
97	82, 83, 84, 96, 15, 3, 91	knoppcld 36471	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) ∈ ℂ)
98	92, 97	subcld 11647	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴)) ∈ ℂ)
99	98	abscld 15485	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) ∈ ℝ)
100	82, 83, 84, 93, 85, 1, 6, 87, 15, 23	knoppndvlem15 36492	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ (abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))))
101	81, 99, 42, 100	lediv1dd 13157	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ≤ ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
102	80, 101	eqbrtrd 5188	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
103	93, 85, 6, 87, 15	knoppndvlem16 36493	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
104	103	eqcomd 2746	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) = (𝐵 − 𝐴))
105	104	oveq2d 7464	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (𝐵 − 𝐴)))
106	102, 105	breqtrd 5192	1 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊‘𝐵) − (𝑊‘𝐴))) / (𝐵 − 𝐴)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1537 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2946 class class class wbr 5166 ↦ cmpt 5249 ‘cfv 6573 (class class class)co 7448 ℂcc 11182 ℝcr 11183 0cc0 11184 1c1 11185 + caddc 11187 · cmul 11189 < clt 11324 ≤ cle 11325 − cmin 11520 -cneg 11521 / cdiv 11947 ℕcn 12293 2c2 12348 ℕ₀cn0 12553 ℤcz 12639 ℝ⁺crp 13057 (,)cioo 13407 ⌊cfl 13841 ↑cexp 14112 abscabs 15283 Σcsu 15734

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1793 ax-4 1807 ax-5 1909 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2711 ax-rep 5303 ax-sep 5317 ax-nul 5324 ax-pow 5383 ax-pr 5447 ax-un 7770 ax-inf2 9710 ax-cnex 11240 ax-resscn 11241 ax-1cn 11242 ax-icn 11243 ax-addcl 11244 ax-addrcl 11245 ax-mulcl 11246 ax-mulrcl 11247 ax-mulcom 11248 ax-addass 11249 ax-mulass 11250 ax-distr 11251 ax-i2m1 11252 ax-1ne0 11253 ax-1rid 11254 ax-rnegex 11255 ax-rrecex 11256 ax-cnre 11257 ax-pre-lttri 11258 ax-pre-lttrn 11259 ax-pre-ltadd 11260 ax-pre-mulgt0 11261 ax-pre-sup 11262 ax-addf 11263

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 847 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1778 df-nf 1782 df-sb 2065 df-mo 2543 df-eu 2572 df-clab 2718 df-cleq 2732 df-clel 2819 df-nfc 2895 df-ne 2947 df-nel 3053 df-ral 3068 df-rex 3077 df-rmo 3388 df-reu 3389 df-rab 3444 df-v 3490 df-sbc 3805 df-csb 3922 df-dif 3979 df-un 3981 df-in 3983 df-ss 3993 df-pss 3996 df-nul 4353 df-if 4549 df-pw 4624 df-sn 4649 df-pr 4651 df-tp 4653 df-op 4655 df-uni 4932 df-int 4971 df-iun 5017 df-iin 5018 df-br 5167 df-opab 5229 df-mpt 5250 df-tr 5284 df-id 5593 df-eprel 5599 df-po 5607 df-so 5608 df-fr 5652 df-se 5653 df-we 5654 df-xp 5706 df-rel 5707 df-cnv 5708 df-co 5709 df-dm 5710 df-rn 5711 df-res 5712 df-ima 5713 df-pred 6332 df-ord 6398 df-on 6399 df-lim 6400 df-suc 6401 df-iota 6525 df-fun 6575 df-fn 6576 df-f 6577 df-f1 6578 df-fo 6579 df-f1o 6580 df-fv 6581 df-isom 6582 df-riota 7404 df-ov 7451 df-oprab 7452 df-mpo 7453 df-of 7714 df-om 7904 df-1st 8030 df-2nd 8031 df-supp 8202 df-frecs 8322 df-wrecs 8353 df-recs 8427 df-rdg 8466 df-1o 8522 df-2o 8523 df-er 8763 df-map 8886 df-pm 8887 df-ixp 8956 df-en 9004 df-dom 9005 df-sdom 9006 df-fin 9007 df-fsupp 9432 df-fi 9480 df-sup 9511 df-inf 9512 df-oi 9579 df-card 10008 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11522 df-neg 11523 df-div 11948 df-nn 12294 df-2 12356 df-3 12357 df-4 12358 df-5 12359 df-6 12360 df-7 12361 df-8 12362 df-9 12363 df-n0 12554 df-z 12640 df-dec 12759 df-uz 12904 df-q 13014 df-rp 13058 df-xneg 13175 df-xadd 13176 df-xmul 13177 df-ioo 13411 df-ico 13413 df-icc 13414 df-fz 13568 df-fzo 13712 df-fl 13843 df-seq 14053 df-exp 14113 df-hash 14380 df-cj 15148 df-re 15149 df-im 15150 df-sqrt 15284 df-abs 15285 df-limsup 15517 df-clim 15534 df-rlim 15535 df-sum 15735 df-dvds 16303 df-struct 17194 df-sets 17211 df-slot 17229 df-ndx 17241 df-base 17259 df-ress 17288 df-plusg 17324 df-mulr 17325 df-starv 17326 df-sca 17327 df-vsca 17328 df-ip 17329 df-tset 17330 df-ple 17331 df-ds 17333 df-unif 17334 df-hom 17335 df-cco 17336 df-rest 17482 df-topn 17483 df-0g 17501 df-gsum 17502 df-topgen 17503 df-pt 17504 df-prds 17507 df-xrs 17562 df-qtop 17567 df-imas 17568 df-xps 17570 df-mre 17644 df-mrc 17645 df-acs 17647 df-mgm 18678 df-sgrp 18757 df-mnd 18773 df-submnd 18819 df-mulg 19108 df-cntz 19357 df-cmn 19824 df-psmet 21379 df-xmet 21380 df-met 21381 df-bl 21382 df-mopn 21383 df-cnfld 21388 df-top 22921 df-topon 22938 df-topsp 22960 df-bases 22974 df-cn 23256 df-cnp 23257 df-tx 23591 df-hmeo 23784 df-xms 24351 df-ms 24352 df-tms 24353 df-cncf 24923 df-ulm 26438

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