Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem17 35404
Description: Lemma for knoppndv 35410. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem17.t ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
knoppndvlem17.f ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
knoppndvlem17.w ๐‘Š = (๐‘ค โˆˆ โ„ โ†ฆ ฮฃ๐‘– โˆˆ โ„•0 ((๐นโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘–))
knoppndvlem17.a ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€)
knoppndvlem17.b ๐ต = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐‘€ + 1))
knoppndvlem17.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
knoppndvlem17.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
knoppndvlem17.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
knoppndvlem17.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
knoppndvlem17.1 (๐œ‘ โ†’ 1 < (๐‘ ยท (absโ€˜๐ถ)))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem17 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐ฝ) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))) โ‰ค ((absโ€˜((๐‘Šโ€˜๐ต) โˆ’ (๐‘Šโ€˜๐ด))) / (๐ต โˆ’ ๐ด)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘–,๐‘›,๐‘ค,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘–,๐‘ค   ๐ต,๐‘–,๐‘›,๐‘ค,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต   ๐ถ,๐‘–,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘–,๐น,๐‘ค   ๐‘–,๐ฝ,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ฝ   ๐‘›,๐‘€,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘–,๐‘,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘‡,๐‘›,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘–,๐‘›,๐‘ค,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘ค)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ค,๐‘–)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘›)   ๐ฝ(๐‘ค)   ๐‘€(๐‘ค,๐‘–)   ๐‘(๐‘ค)   ๐‘Š(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ค,๐‘–,๐‘›)

Proof of Theorem knoppndvlem17
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem17.c . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
21knoppndvlem3 35390 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ถ) < 1))
32simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
43recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
54abscld 15383 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
6 knoppndvlem17.j . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
75, 6reexpcld 14128 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) โˆˆ โ„)
8 2re 12286 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„
98a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
10 2ne0 12316 . . . . . . . . . 10 2 โ‰  0
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
127, 9, 11redivcld 12042 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) โˆˆ โ„)
1312recnd 11242 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) โˆˆ โ„‚)
14 1red 11215 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
15 knoppndvlem17.n . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1615nnred 12227 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
179, 16remulcld 11244 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
1817, 5remulcld 11244 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆˆ โ„)
1918, 14resubcld 11642 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
20 0red 11217 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
21 0lt1 11736 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 < 1)
23 knoppndvlem17.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 1 < (๐‘ ยท (absโ€˜๐ถ)))
241, 15, 23knoppndvlem12 35399 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โ‰  1 โˆง 1 < (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))
2524simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 1 < (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))
2620, 14, 19, 22, 25lttrd 11375 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 < (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))
2719, 26jca 513 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))
28 gt0ne0 11679 . . . . . . . . . . 11 (((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1) โ‰  0)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1) โ‰  0)
3014, 19, 29redivcld 12042 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
3114, 30resubcld 11642 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
3231recnd 11242 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
3313, 32mulcomd 11235 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))) = ((1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))) ยท (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2)))
3433oveq1d 7424 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) = (((1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))) ยท (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2)) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))
35 2rp 12979 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„+
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
3715nnrpd 13014 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
3836, 37rpmulcld 13032 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+)
396nn0zd 12584 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
4039znegcld 12668 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ -๐ฝ โˆˆ โ„ค)
4138, 40rpexpcld 14210 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) โˆˆ โ„+)
4241rphalfcld 13028 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) โˆˆ โ„+)
4342rpcnd 13018 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) โˆˆ โ„‚)
4442rpne0d 13021 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) โ‰  0)
4532, 13, 43, 44divassd 12025 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))) ยท (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2)) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) = ((1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))) ยท ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))))
4613, 43, 44divcld 11990 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) โˆˆ โ„‚)
4732, 46mulcomd 11235 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))) ยท ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) = (((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))))
487recnd 11242 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) โˆˆ โ„‚)
4941rpcnd 13018 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) โˆˆ โ„‚)
509recnd 11242 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
5141rpne0d 13021 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) โ‰  0)
5248, 49, 50, 51, 11divcan7d 12018 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) = (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ)))
5317recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
5438rpne0d 13021 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โ‰  0)
5553, 54, 39expnegd 14118 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) = (1 / ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ)))
5655oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ)) = (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / (1 / ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ))))
57 1cnd 11209 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
5853, 6expcld 14111 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) โˆˆ โ„‚)
5920, 22gtned 11349 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  0)
6053, 54, 39expne0d 14117 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) โ‰  0)
6148, 57, 58, 59, 60divdiv2d 12022 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / (1 / ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ))) = ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ)) / 1))
6248, 58mulcld 11234 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ)) โˆˆ โ„‚)
6362div1d 11982 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ)) / 1) = (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ)))
6448, 58mulcomd 11235 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ)) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ)))
6553, 54jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐‘) โ‰  0))
665recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
671, 15, 23knoppndvlem13 35400 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
684, 67absne0d 15394 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โ‰  0)
6966, 68jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ถ) โ‰  0))
7065, 69, 393jca 1129 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐‘) โ‰  0) โˆง ((absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ถ) โ‰  0) โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค))
71 mulexpz 14068 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐‘) โ‰  0) โˆง ((absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ถ) โ‰  0) โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐ฝ) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ)))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐ฝ) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ)))
7372eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ) ยท ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ)) = (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐ฝ))
7463, 64, 733eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) ยท ((2 ยท ๐‘)โ†‘๐ฝ)) / 1) = (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐ฝ))
7556, 61, 743eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ)) = (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐ฝ))
7652, 75eqtrd 2773 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) = (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐ฝ))
7776oveq1d 7424 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))) = ((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐ฝ) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))))
7847, 77eqtrd 2773 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))) ยท ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) = ((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐ฝ) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))))
7934, 45, 783eqtrd 2777 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) = ((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐ฝ) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))))
8079eqcomd 2739 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐ฝ) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))) = (((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))
8112, 31remulcld 11244 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„)
82 knoppndvlem17.t . . . . . . 7 ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
83 knoppndvlem17.f . . . . . . 7 ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
84 knoppndvlem17.w . . . . . . 7 ๐‘Š = (๐‘ค โˆˆ โ„ โ†ฆ ฮฃ๐‘– โˆˆ โ„•0 ((๐นโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘–))
85 knoppndvlem17.b . . . . . . . . 9 ๐ต = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐‘€ + 1))
8685a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐‘€ + 1)))
87 knoppndvlem17.m . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
8887peano2zd 12669 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค)
8915, 39, 88knoppndvlem1 35388 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐‘€ + 1)) โˆˆ โ„)
9086, 89eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
912simprd 497 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) < 1)
9282, 83, 84, 90, 15, 3, 91knoppcld 35381 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Šโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
93 knoppndvlem17.a . . . . . . . . 9 ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€)
9493a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€))
9515, 39, 87knoppndvlem1 35388 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€) โˆˆ โ„)
9694, 95eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
9782, 83, 84, 96, 15, 3, 91knoppcld 35381 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Šโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
9892, 97subcld 11571 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Šโ€˜๐ต) โˆ’ (๐‘Šโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
9998abscld 15383 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐‘Šโ€˜๐ต) โˆ’ (๐‘Šโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
10082, 83, 84, 93, 85, 1, 6, 87, 15, 23knoppndvlem15 35402 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))) โ‰ค (absโ€˜((๐‘Šโ€˜๐ต) โˆ’ (๐‘Šโ€˜๐ด))))
10181, 99, 42, 100lediv1dd 13074 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) โ‰ค ((absโ€˜((๐‘Šโ€˜๐ต) โˆ’ (๐‘Šโ€˜๐ด))) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))
10280, 101eqbrtrd 5171 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐ฝ) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))) โ‰ค ((absโ€˜((๐‘Šโ€˜๐ต) โˆ’ (๐‘Šโ€˜๐ด))) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))
10393, 85, 6, 87, 15knoppndvlem16 35403 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))
104103eqcomd 2739 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) = (๐ต โˆ’ ๐ด))
105104oveq2d 7425 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐‘Šโ€˜๐ต) โˆ’ (๐‘Šโ€˜๐ด))) / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) = ((absโ€˜((๐‘Šโ€˜๐ต) โˆ’ (๐‘Šโ€˜๐ด))) / (๐ต โˆ’ ๐ด)))
106102, 105breqtrd 5175 1 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))โ†‘๐ฝ) ยท (1 โˆ’ (1 / (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))) โ‰ค ((absโ€˜((๐‘Šโ€˜๐ต) โˆ’ (๐‘Šโ€˜๐ด))) / (๐ต โˆ’ ๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„+crp 12974  (,)cioo 13324  โŒŠcfl 13755  โ†‘cexp 14027  abscabs 15181  ฮฃcsu 15632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-dvds 16198  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-ulm 25889
This theorem is referenced by:  knoppndvlem21  35408
  Copyright terms: Public domain W3C validator