Theorem nndivlub 36913

Description: A factor of a positive integer cannot exceed it. (Contributed by Jeff Hoffman, 17-Jun-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivlub	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ → 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem nndivlub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12239	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
2		nngt0 12266	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
3	1, 2	jca 520	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
4		nnre 12239	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
5		nngt0 12266	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
6	4, 5	jca 520	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
7		nnge1 12263	. . 3 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝐴 / 𝐵))
8		lediv2 12104	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐴) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
9	8	3anidm23 1446	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐴) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
10		recn 11189	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
12		gt0ne0 11678	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
13		divid 11901	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
14	13	breq1d 5118	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐴) ≤ (𝐴 / 𝐵) ↔ 1 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
15	11, 12, 14	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 / 𝐴) ≤ (𝐴 / 𝐵) ↔ 1 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
16	15	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐴 / 𝐴) ≤ (𝐴 / 𝐵) ↔ 1 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
17	9, 16	bitrd 282	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ 1 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
18	7, 17	imbitrrid 249	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ → 𝐵 ≤ 𝐴))
19	3, 6, 18	syl2anr 608	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ → 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5108  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   < clt 11242   ≤ cle 11243   / cdiv 11870  ℕcn 12232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233

This theorem is referenced by: (None)