Theorem nndivlub 36440

Description: A factor of a positive integer cannot exceed it. (Contributed by Jeff Hoffman, 17-Jun-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivlub	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ → 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem nndivlub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12171	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
2		nngt0 12195	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
4		nnre 12171	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
5		nngt0 12195	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
6	4, 5	jca 511	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
7		nnge1 12192	. . 3 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝐴 / 𝐵))
8		lediv2 12051	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐴) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
9	8	3anidm23 1423	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐴) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
10		recn 11136	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
12		gt0ne0 11621	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
13		divid 11846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
14	13	breq1d 5112	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐴) ≤ (𝐴 / 𝐵) ↔ 1 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
15	11, 12, 14	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 / 𝐴) ≤ (𝐴 / 𝐵) ↔ 1 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
16	15	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐴 / 𝐴) ≤ (𝐴 / 𝐵) ↔ 1 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
17	9, 16	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ 1 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
18	7, 17	imbitrrid 246	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ → 𝐵 ≤ 𝐴))
19	3, 6, 18	syl2anr 597	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ → 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℂcc 11044  ℝcr 11045  0cc0 11046  1c1 11047   < clt 11186   ≤ cle 11187   / cdiv 11813  ℕcn 12164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165

This theorem is referenced by: (None)