Mathbox for Jeff Hoffman < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nndivlub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nndivlub 33833
 Description: A factor of a positive integer cannot exceed it. (Contributed by Jeff Hoffman, 17-Jun-2008.)
Assertion
Ref Expression
nndivlub ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ → 𝐵𝐴))

Proof of Theorem nndivlub
StepHypRef Expression
1 nnre 11639 . . 3 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
2 nngt0 11663 . . 3 (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
31, 2jca 515 . 2 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
4 nnre 11639 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
5 nngt0 11663 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
64, 5jca 515 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
7 nnge1 11660 . . 3 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝐴 / 𝐵))
8 lediv2 11524 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐴) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
983anidm23 1418 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐴) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
10 recn 10621 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
1110adantr 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
12 gt0ne0 11099 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
13 divid 11321 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
1413breq1d 5063 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐴) ≤ (𝐴 / 𝐵) ↔ 1 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
1511, 12, 14syl2anc 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 / 𝐴) ≤ (𝐴 / 𝐵) ↔ 1 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
1615adantl 485 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐴 / 𝐴) ≤ (𝐴 / 𝐵) ↔ 1 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
179, 16bitrd 282 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐵𝐴 ↔ 1 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
187, 17syl5ibr 249 . 2 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ → 𝐵𝐴))
193, 6, 18syl2anr 599 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ → 𝐵𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014   class class class wbr 5053  (class class class)co 7146  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   < clt 10669   ≤ cle 10670   / cdiv 11291  ℕcn 11632 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator