Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem15 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem15 36509
Description: Lemma for knoppndv 36517. (Contributed by Asger C. Ipsen, 6-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem15.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem15.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem15.w 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem15.a 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem15.b 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
knoppndvlem15.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem15.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem15.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem15.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem15.1 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem15 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ (abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝐴,𝑖,𝑤   𝐵,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝐵   𝐶,𝑖,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑖,𝐽,𝑛,𝑦   𝑥,𝐽   𝑛,𝑀,𝑦   𝑥,𝑀   𝑖,𝑁,𝑛,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑤)   𝑀(𝑤,𝑖)   𝑁(𝑤)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem15
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem15.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
21knoppndvlem3 36497 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
32simpld 494 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
43recnd 11287 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
54abscld 15472 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
6 knoppndvlem15.j . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
75, 6reexpcld 14200 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℝ)
8 2re 12338 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
10 2ne0 12368 . . . . . . 7 2 ≠ 0
1110a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ≠ 0)
127, 9, 11redivcld 12093 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ)
13 1red 11260 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14 knoppndvlem15.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1514nnred 12279 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
169, 15remulcld 11289 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
1716, 5remulcld 11289 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
1817, 13resubcld 11689 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ)
19 0red 11262 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
20 0lt1 11783 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 1)
22 knoppndvlem15.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
231, 14, 22knoppndvlem12 36506 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
2423simprd 495 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
2519, 13, 18, 21, 24lttrd 11420 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
2618, 25jca 511 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
27 gt0ne0 11726 . . . . . . . 8 (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
2913, 18, 28redivcld 12093 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
3013, 29resubcld 11689 . . . . 5 (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
3112, 30remulcld 11289 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ∈ ℝ)
32 knoppndvlem15.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
33 knoppndvlem15.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
34 knoppndvlem15.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
366nn0zd 12637 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
37 knoppndvlem15.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3814, 36, 37knoppndvlem1 36495 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
3935, 38eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4032, 33, 14, 3, 39, 6knoppcnlem3 36478 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) ∈ ℝ)
4140recnd 11287 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) ∈ ℂ)
42 knoppndvlem15.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)))
4437peano2zd 12723 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
4514, 36, 44knoppndvlem1 36495 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
4643, 45eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4732, 33, 14, 3, 46, 6knoppcnlem3 36478 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝐵)‘𝐽) ∈ ℝ)
4847recnd 11287 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐵)‘𝐽) ∈ ℂ)
4941, 48subcld 11618 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) ∈ ℂ)
5049abscld 15472 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) ∈ ℝ)
5132, 33, 46, 3, 14knoppndvlem5 36499 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) ∈ ℝ)
5251recnd 11287 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ)
5332, 33, 39, 3, 14knoppndvlem5 36499 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
5453recnd 11287 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
5552, 54subcld 11618 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) ∈ ℂ)
5655abscld 15472 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖))) ∈ ℝ)
5750, 56resubcld 11689 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) − (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))) ∈ ℝ)
5849, 55subcld 11618 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖))) ∈ ℂ)
5958abscld 15472 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))) ∈ ℝ)
6012, 29jca 511 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ))
61 remulcl 11238 . . . . . . . 8 (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ) → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
6260, 61syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
6312, 62jca 511 . . . . . 6 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ))
64 resubcl 11571 . . . . . 6 (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ) → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ∈ ℝ)
6563, 64syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ∈ ℝ)
6612recnd 11287 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℂ)
67 1cnd 11254 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
6829recnd 11287 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℂ)
6966, 67, 68subdid 11717 . . . . . 6 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · 1) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
7066mulridd 11276 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · 1) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
7170oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · 1) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
7265leidd 11827 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
7371, 72eqbrtrd 5170 . . . . . 6 (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · 1) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
7469, 73eqbrtrd 5170 . . . . 5 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
7512, 29remulcld 11289 . . . . . 6 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
7612leidd 11827 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ≤ (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
7741, 48abssubd 15489 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) = (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))))
7832, 33, 34, 42, 1, 6, 37, 14knoppndvlem10 36504 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
7977, 78eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
8079eqcomd 2741 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) = (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))))
8176, 80breqtrd 5174 . . . . . 6 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ≤ (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))))
8232, 33, 34, 42, 1, 6, 37, 14, 22knoppndvlem14 36508 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
8312, 56, 50, 75, 81, 82le2subd 11881 . . . . 5 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) − (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))))
8431, 65, 57, 74, 83letrd 11416 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) − (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))))
8549, 55abs2difd 15493 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) − (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))) ≤ (abs‘((((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))))
8631, 57, 59, 84, 85letrd 11416 . . 3 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ (abs‘((((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))))
8749, 55abssubd 15489 . . 3 (𝜑 → (abs‘((((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))) = (abs‘((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) − (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)))))
8886, 87breqtrd 5174 . 2 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ (abs‘((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) − (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)))))
89 knoppndvlem15.w . . . . . . . 8 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
9032, 33, 89, 42, 1, 6, 44, 14knoppndvlem6 36500 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊𝐵) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐵)‘𝑖))
91 elnn0uz 12921 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ∈ (ℤ‘0))
926, 91sylib 218 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ‘0))
9314adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝑁 ∈ ℕ)
943adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝐶 ∈ ℝ)
9546adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝐵 ∈ ℝ)
96 elfznn0 13657 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (0...𝐽) → 𝑖 ∈ ℕ0)
9796adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
9832, 33, 93, 94, 95, 97knoppcnlem3 36478 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐹𝐵)‘𝑖) ∈ ℝ)
9998recnd 11287 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐹𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ)
100 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐽 → ((𝐹𝐵)‘𝑖) = ((𝐹𝐵)‘𝐽))
10192, 99, 100fsumm1 15784 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐵)‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) + ((𝐹𝐵)‘𝐽)))
10290, 101eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝐵) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) + ((𝐹𝐵)‘𝐽)))
10332, 33, 89, 34, 1, 6, 37, 14knoppndvlem6 36500 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊𝐴) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖))
10439adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝐴 ∈ ℝ)
10532, 33, 93, 94, 104, 97knoppcnlem3 36478 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
106105recnd 11287 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
107 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐽 → ((𝐹𝐴)‘𝑖) = ((𝐹𝐴)‘𝐽))
10892, 106, 107fsumm1 15784 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) + ((𝐹𝐴)‘𝐽)))
109103, 108eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝐴) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) + ((𝐹𝐴)‘𝐽)))
110102, 109oveq12d 7449 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴)) = ((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) + ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) + ((𝐹𝐴)‘𝐽))))
11152, 54, 41, 48subadd4d 11666 . . . . . 6 (𝜑 → ((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) − (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) = ((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) + ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) + ((𝐹𝐴)‘𝐽))))
112111eqcomd 2741 . . . . 5 (𝜑 → ((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) + ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) + ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = ((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) − (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))))
113110, 112eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → ((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴)) = ((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) − (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))))
114113fveq2d 6911 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))) = (abs‘((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) − (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)))))
115114eqcomd 2741 . 2 (𝜑 → (abs‘((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) − (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)))) = (abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))))
11688, 115breqtrd 5174 1 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ (abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  (,)cioo 13384  ...cfz 13544  cfl 13827  cexp 14099  abscabs 15270  Σcsu 15719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-dvds 16288  df-ulm 26435
This theorem is referenced by:  knoppndvlem17  36511
  Copyright terms: Public domain W3C validator