Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem15 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem15 36240
Description: Lemma for knoppndv 36248. (Contributed by Asger C. Ipsen, 6-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem15.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem15.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem15.w 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem15.a 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem15.b 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
knoppndvlem15.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem15.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem15.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem15.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem15.1 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem15 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ (abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝐴,𝑖,𝑤   𝐵,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝐵   𝐶,𝑖,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑖,𝐽,𝑛,𝑦   𝑥,𝐽   𝑛,𝑀,𝑦   𝑥,𝑀   𝑖,𝑁,𝑛,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑤)   𝑀(𝑤,𝑖)   𝑁(𝑤)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem15
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem15.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
21knoppndvlem3 36228 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
32simpld 493 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
43recnd 11281 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
54abscld 15434 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
6 knoppndvlem15.j . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
75, 6reexpcld 14174 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℝ)
8 2re 12330 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
10 2ne0 12360 . . . . . . 7 2 ≠ 0
1110a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ≠ 0)
127, 9, 11redivcld 12085 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ)
13 1red 11254 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14 knoppndvlem15.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1514nnred 12271 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
169, 15remulcld 11283 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
1716, 5remulcld 11283 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
1817, 13resubcld 11681 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ)
19 0red 11256 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
20 0lt1 11775 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 1)
22 knoppndvlem15.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
231, 14, 22knoppndvlem12 36237 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
2423simprd 494 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
2519, 13, 18, 21, 24lttrd 11414 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
2618, 25jca 510 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
27 gt0ne0 11718 . . . . . . . 8 (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
2913, 18, 28redivcld 12085 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
3013, 29resubcld 11681 . . . . 5 (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
3112, 30remulcld 11283 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ∈ ℝ)
32 knoppndvlem15.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
33 knoppndvlem15.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
34 knoppndvlem15.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
366nn0zd 12628 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
37 knoppndvlem15.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3814, 36, 37knoppndvlem1 36226 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
3935, 38eqeltrd 2826 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4032, 33, 14, 3, 39, 6knoppcnlem3 36209 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) ∈ ℝ)
4140recnd 11281 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) ∈ ℂ)
42 knoppndvlem15.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)))
4437peano2zd 12713 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
4514, 36, 44knoppndvlem1 36226 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
4643, 45eqeltrd 2826 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4732, 33, 14, 3, 46, 6knoppcnlem3 36209 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝐵)‘𝐽) ∈ ℝ)
4847recnd 11281 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐵)‘𝐽) ∈ ℂ)
4941, 48subcld 11610 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) ∈ ℂ)
5049abscld 15434 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) ∈ ℝ)
5132, 33, 46, 3, 14knoppndvlem5 36230 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) ∈ ℝ)
5251recnd 11281 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ)
5332, 33, 39, 3, 14knoppndvlem5 36230 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
5453recnd 11281 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
5552, 54subcld 11610 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) ∈ ℂ)
5655abscld 15434 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖))) ∈ ℝ)
5750, 56resubcld 11681 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) − (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))) ∈ ℝ)
5849, 55subcld 11610 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖))) ∈ ℂ)
5958abscld 15434 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))) ∈ ℝ)
6012, 29jca 510 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ))
61 remulcl 11232 . . . . . . . 8 (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ) → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
6260, 61syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
6312, 62jca 510 . . . . . 6 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ))
64 resubcl 11563 . . . . . 6 (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ) → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ∈ ℝ)
6563, 64syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ∈ ℝ)
6612recnd 11281 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℂ)
67 1cnd 11248 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
6829recnd 11281 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℂ)
6966, 67, 68subdid 11709 . . . . . 6 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · 1) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
7066mulridd 11270 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · 1) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
7170oveq1d 7429 . . . . . . 7 (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · 1) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
7265leidd 11819 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
7371, 72eqbrtrd 5166 . . . . . 6 (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · 1) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
7469, 73eqbrtrd 5166 . . . . 5 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
7512, 29remulcld 11283 . . . . . 6 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
7612leidd 11819 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ≤ (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
7741, 48abssubd 15451 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) = (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))))
7832, 33, 34, 42, 1, 6, 37, 14knoppndvlem10 36235 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
7977, 78eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
8079eqcomd 2732 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) = (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))))
8176, 80breqtrd 5170 . . . . . 6 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ≤ (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))))
8232, 33, 34, 42, 1, 6, 37, 14, 22knoppndvlem14 36239 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
8312, 56, 50, 75, 81, 82le2subd 11873 . . . . 5 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) − (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))))
8431, 65, 57, 74, 83letrd 11410 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) − (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))))
8549, 55abs2difd 15455 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) − (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))) ≤ (abs‘((((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))))
8631, 57, 59, 84, 85letrd 11410 . . 3 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ (abs‘((((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))))
8749, 55abssubd 15451 . . 3 (𝜑 → (abs‘((((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))) = (abs‘((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) − (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)))))
8886, 87breqtrd 5170 . 2 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ (abs‘((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) − (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)))))
89 knoppndvlem15.w . . . . . . . 8 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
9032, 33, 89, 42, 1, 6, 44, 14knoppndvlem6 36231 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊𝐵) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐵)‘𝑖))
91 elnn0uz 12911 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ∈ (ℤ‘0))
926, 91sylib 217 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ‘0))
9314adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝑁 ∈ ℕ)
943adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝐶 ∈ ℝ)
9546adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝐵 ∈ ℝ)
96 elfznn0 13640 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (0...𝐽) → 𝑖 ∈ ℕ0)
9796adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
9832, 33, 93, 94, 95, 97knoppcnlem3 36209 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐹𝐵)‘𝑖) ∈ ℝ)
9998recnd 11281 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐹𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ)
100 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐽 → ((𝐹𝐵)‘𝑖) = ((𝐹𝐵)‘𝐽))
10192, 99, 100fsumm1 15748 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐵)‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) + ((𝐹𝐵)‘𝐽)))
10290, 101eqtrd 2766 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝐵) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) + ((𝐹𝐵)‘𝐽)))
10332, 33, 89, 34, 1, 6, 37, 14knoppndvlem6 36231 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊𝐴) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖))
10439adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝐴 ∈ ℝ)
10532, 33, 93, 94, 104, 97knoppcnlem3 36209 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
106105recnd 11281 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
107 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐽 → ((𝐹𝐴)‘𝑖) = ((𝐹𝐴)‘𝐽))
10892, 106, 107fsumm1 15748 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) + ((𝐹𝐴)‘𝐽)))
109103, 108eqtrd 2766 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝐴) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) + ((𝐹𝐴)‘𝐽)))
110102, 109oveq12d 7432 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴)) = ((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) + ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) + ((𝐹𝐴)‘𝐽))))
11152, 54, 41, 48subadd4d 11658 . . . . . 6 (𝜑 → ((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) − (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) = ((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) + ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) + ((𝐹𝐴)‘𝐽))))
112111eqcomd 2732 . . . . 5 (𝜑 → ((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) + ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) + ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = ((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) − (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))))
113110, 112eqtrd 2766 . . . 4 (𝜑 → ((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴)) = ((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) − (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))))
114113fveq2d 6895 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))) = (abs‘((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) − (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)))))
115114eqcomd 2732 . 2 (𝜑 → (abs‘((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) − (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)))) = (abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))))
11688, 115breqtrd 5170 1 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ (abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930   class class class wbr 5144  cmpt 5227  cfv 6544  (class class class)co 7414  cr 11146  0cc0 11147  1c1 11148   + caddc 11150   · cmul 11152   < clt 11287  cle 11288  cmin 11483  -cneg 11484   / cdiv 11910  cn 12256  2c2 12311  0cn0 12516  cz 12602  cuz 12866  (,)cioo 13370  ...cfz 13530  cfl 13802  cexp 14073  abscabs 15232  Σcsu 15683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-inf2 9675  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-pre-sup 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9476  df-inf 9477  df-oi 9544  df-card 9973  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-n0 12517  df-z 12603  df-uz 12867  df-rp 13021  df-ioo 13374  df-ico 13376  df-fz 13531  df-fzo 13674  df-fl 13804  df-seq 14014  df-exp 14074  df-hash 14341  df-cj 15097  df-re 15098  df-im 15099  df-sqrt 15233  df-abs 15234  df-limsup 15466  df-clim 15483  df-rlim 15484  df-sum 15684  df-dvds 16250  df-ulm 26401
This theorem is referenced by:  knoppndvlem17  36242
  Copyright terms: Public domain W3C validator