Theorem dihord2pre2 41788

Description: Part of proof after Lemma N of [Crawley] p. 122. Reverse ordering property. (Contributed by NM, 4-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihjust.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihjust.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihjust.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dihjust.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihjust.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihjust.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjust.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dihjust.J	⊢ 𝐽 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
dihjust.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjust.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihord2c.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihord2c.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dihord2c.o	⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dihord2.p	⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dihord2.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihord2.d	⊢ + = (+g‘𝑈)
dihord2.g	⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
dihord2pre2	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋 ∧ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = 𝑌 ∧ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))) ⊆ ((𝐽‘𝑁) ⊕ (𝐼‘(𝑌 ∧ 𝑊))))) → (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) ≤ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   𝑃,ℎ   𝐵,ℎ   ℎ,𝐻   ℎ,𝐾   ≤ ,ℎ   ℎ,𝑁   𝑇,ℎ   ℎ,𝑊

Allowed substitution hints:   + (ℎ)   ⊕ (ℎ)   𝑄(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑈(ℎ)   𝐸(ℎ)   𝐺(ℎ)   𝐼(ℎ)   𝐽(ℎ)   ∨ (ℎ)   ∧ (ℎ)   𝑂(ℎ)   𝑋(ℎ)   𝑌(ℎ)

Proof of Theorem dihord2pre2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihjust.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dihjust.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		dihjust.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		dihjust.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
5		dihjust.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		dihjust.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		dihjust.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
8		dihjust.J	. . 3 ⊢ 𝐽 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
9		dihjust.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		dihjust.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	dihord2a 41781	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋 ∧ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = 𝑌 ∧ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))) ⊆ ((𝐽‘𝑁) ⊕ (𝐼‘(𝑌 ∧ 𝑊))))) → 𝑄 ≤ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)))
12		simp11l 1294	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋 ∧ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = 𝑌 ∧ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))) ⊆ ((𝐽‘𝑁) ⊕ (𝐼‘(𝑌 ∧ 𝑊))))) → 𝐾 ∈ HL)
13	12	hllatd 39926	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋 ∧ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = 𝑌 ∧ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))) ⊆ ((𝐽‘𝑁) ⊕ (𝐼‘(𝑌 ∧ 𝑊))))) → 𝐾 ∈ Lat)
14		simp2l 1209	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋 ∧ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = 𝑌 ∧ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))) ⊆ ((𝐽‘𝑁) ⊕ (𝐼‘(𝑌 ∧ 𝑊))))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		simp11r 1295	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋 ∧ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = 𝑌 ∧ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))) ⊆ ((𝐽‘𝑁) ⊕ (𝐼‘(𝑌 ∧ 𝑊))))) → 𝑊 ∈ 𝐻)
16	1, 6	lhpbase 40560	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋 ∧ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = 𝑌 ∧ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))) ⊆ ((𝐽‘𝑁) ⊕ (𝐼‘(𝑌 ∧ 𝑊))))) → 𝑊 ∈ 𝐵)
18	1, 4	latmcl 18444	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
19	13, 14, 17, 18	syl3anc 1382	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋 ∧ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = 𝑌 ∧ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))) ⊆ ((𝐽‘𝑁) ⊕ (𝐼‘(𝑌 ∧ 𝑊))))) → (𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
20		simp2r 1210	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋 ∧ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = 𝑌 ∧ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))) ⊆ ((𝐽‘𝑁) ⊕ (𝐼‘(𝑌 ∧ 𝑊))))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
21	1, 4	latmcl 18444	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
22	13, 20, 17, 21	syl3anc 1382	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋 ∧ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = 𝑌 ∧ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))) ⊆ ((𝐽‘𝑁) ⊕ (𝐼‘(𝑌 ∧ 𝑊))))) → (𝑌 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
23		simp13l 1298	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋 ∧ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = 𝑌 ∧ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))) ⊆ ((𝐽‘𝑁) ⊕ (𝐼‘(𝑌 ∧ 𝑊))))) → 𝑁 ∈ 𝐴)
24	1, 5	atbase 39851	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝐴 → 𝑁 ∈ 𝐵)
25	23, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋 ∧ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = 𝑌 ∧ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))) ⊆ ((𝐽‘𝑁) ⊕ (𝐼‘(𝑌 ∧ 𝑊))))) → 𝑁 ∈ 𝐵)
26	1, 3	latjcl 18443	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵) → (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) ∈ 𝐵)
27	13, 25, 22, 26	syl3anc 1382	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋 ∧ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = 𝑌 ∧ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))) ⊆ ((𝐽‘𝑁) ⊕ (𝐼‘(𝑌 ∧ 𝑊))))) → (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) ∈ 𝐵)
28		simp33 1221	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋 ∧ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = 𝑌 ∧ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))) ⊆ ((𝐽‘𝑁) ⊕ (𝐼‘(𝑌 ∧ 𝑊))))) → ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))) ⊆ ((𝐽‘𝑁) ⊕ (𝐼‘(𝑌 ∧ 𝑊))))
29		dihord2c.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
30		dihord2c.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
31		dihord2c.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
32		dihord2.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
33		dihord2.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
34		dihord2.d	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑈)
35		dihord2.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = 𝑁)
36	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35	dihord2pre 41787	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))) ⊆ ((𝐽‘𝑁) ⊕ (𝐼‘(𝑌 ∧ 𝑊)))) → (𝑋 ∧ 𝑊) ≤ (𝑌 ∧ 𝑊))
37	28, 36	syld3an3 1420	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋 ∧ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = 𝑌 ∧ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))) ⊆ ((𝐽‘𝑁) ⊕ (𝐼‘(𝑌 ∧ 𝑊))))) → (𝑋 ∧ 𝑊) ≤ (𝑌 ∧ 𝑊))
38	1, 2, 3	latlej2 18453	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑁 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑊) ≤ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)))
39	13, 25, 22, 38	syl3anc 1382	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋 ∧ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = 𝑌 ∧ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))) ⊆ ((𝐽‘𝑁) ⊕ (𝐼‘(𝑌 ∧ 𝑊))))) → (𝑌 ∧ 𝑊) ≤ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)))
40	1, 2, 13, 19, 22, 27, 37, 39	lattrd 18450	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋 ∧ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = 𝑌 ∧ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))) ⊆ ((𝐽‘𝑁) ⊕ (𝐼‘(𝑌 ∧ 𝑊))))) → (𝑋 ∧ 𝑊) ≤ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)))
41		simp12l 1296	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋 ∧ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = 𝑌 ∧ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))) ⊆ ((𝐽‘𝑁) ⊕ (𝐼‘(𝑌 ∧ 𝑊))))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
42	1, 5	atbase 39851	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵)
43	41, 42	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋 ∧ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = 𝑌 ∧ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))) ⊆ ((𝐽‘𝑁) ⊕ (𝐼‘(𝑌 ∧ 𝑊))))) → 𝑄 ∈ 𝐵)
44	1, 2, 3	latjle12 18454	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) ∈ 𝐵)) → ((𝑄 ≤ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) ≤ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊))) ↔ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) ≤ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊))))
45	13, 43, 19, 27, 44	syl13anc 1383	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋 ∧ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = 𝑌 ∧ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))) ⊆ ((𝐽‘𝑁) ⊕ (𝐼‘(𝑌 ∧ 𝑊))))) → ((𝑄 ≤ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) ≤ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊))) ↔ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) ≤ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊))))
46	11, 40, 45	mpbi2and 720	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋 ∧ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)) = 𝑌 ∧ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊))) ⊆ ((𝐽‘𝑁) ⊕ (𝐼‘(𝑌 ∧ 𝑊))))) → (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) ≤ (𝑁 ∨ (𝑌 ∧ 𝑊)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5090   ↦ cmpt 5171   I cid 5530   ↾ cres 5638  ‘cfv 6506  ℩crio 7337  (class class class)co 7381  Basecbs 17217  +_gcplusg 17258  lecple 17265  occoc 17266  joincjn 18315  meetcmee 18316  Latclat 18435  LSSumclsm 19646  Atomscatm 39825  HLchlt 39912  LHypclh 40546  LTrncltrn 40663  trLctrl 40720  TEndoctendo 41314  DVecHcdvh 41640  DIsoBcdib 41700  DIsoCcdic 41734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-riotaBAD 39515

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-tpos 8190  df-undef 8237  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-er 8662  df-map 8794  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-fz 13499  df-struct 17155  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-0g 17442  df-proset 18298  df-poset 18317  df-plt 18332  df-lub 18348  df-glb 18349  df-join 18350  df-meet 18351  df-p0 18427  df-p1 18428  df-lat 18436  df-clat 18503  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-submnd 18790  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-sbg 18952  df-subg 19137  df-cntz 19329  df-lsm 19648  df-cmn 19794  df-abl 19795  df-mgp 20159  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20354  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-drng 20749  df-lmod 20898  df-lss 20968  df-lsp 21008  df-lvec 21139  df-oposet 39738  df-ol 39740  df-oml 39741  df-covers 39828  df-ats 39829  df-atl 39860  df-cvlat 39884  df-hlat 39913  df-llines 40060  df-lplanes 40061  df-lvols 40062  df-lines 40063  df-psubsp 40065  df-pmap 40066  df-padd 40358  df-lhyp 40550  df-laut 40551  df-ldil 40666  df-ltrn 40667  df-trl 40721  df-tendo 41317  df-edring 41319  df-disoa 41591  df-dvech 41641  df-dib 41701  df-dic 41735

This theorem is referenced by:  dihord2  41789