Theorem lincellss 49680

Description: A linear combination of a subset of a linear subspace is also contained in the linear subspace. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lincellss	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → ((𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝑆))

Proof of Theorem lincellss

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → 𝑀 ∈ LMod)
2		simprl 783	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
3		ssexg 5285	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → 𝑉 ∈ V)
4	3	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → 𝑉 ∈ V)
5		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
6		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
7	5, 6	lssss 21226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀))
8		sstr 3921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀)) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
9		elpwg 4563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
10	8, 9	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀)) → (𝑉 ∈ V → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
11	10	expcom 419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑉 ⊆ 𝑆 → (𝑉 ∈ V → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))))
12	7, 11	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) → (𝑉 ⊆ 𝑆 → (𝑉 ∈ V → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))))
13	12	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → (𝑉 ∈ V → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
14	4, 13	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
15	14	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
16	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
17		lincval 49663	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
18	1, 2, 16, 17	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
19		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
20		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
21	6, 19, 20	gsumlsscl 49634	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → ((𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝑆))
22	21	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝑆)
23	18, 22	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝑆)
24	23	ex 418	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → ((𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430   ↑_m cmap 8861   finSupp cfsupp 9367  Basecbs 17402  Scalarcsca 17446   ·_𝑠 cvsca 17447  0_gc0g 17625   Σ_g cgsu 17626  LModclmod 21150  LSubSpclss 21221   linC clinc 49658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-supp 8191  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-fsupp 9368  df-oi 9517  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-seq 14158  df-hash 14488  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-0g 17627  df-gsum 17628  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-submnd 18994  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-sbg 19164  df-subg 19348  df-cntz 19546  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-ur 20423  df-ring 20476  df-lmod 21152  df-lss 21222  df-linc 49660

This theorem is used by:  ellcoellss  49689