Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincellss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincellss 47606
Description: A linear combination of a subset of a linear subspace is also contained in the linear subspace. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
lincellss ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ ((𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) ∈ 𝑆))

Proof of Theorem lincellss
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
2 simprl 769 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))) β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
3 ssexg 5318 . . . . . . . 8 ((𝑉 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€)) β†’ 𝑉 ∈ V)
43ancoms 457 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑉 ∈ V)
5 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
6 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (LSubSpβ€˜π‘€) = (LSubSpβ€˜π‘€)
75, 6lssss 20824 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
8 sstr 3981 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
9 elpwg 4601 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 ∈ V β†’ (𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
108, 9syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑉 ∈ V β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
1110expcom 412 . . . . . . . . 9 (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑉 βŠ† 𝑆 β†’ (𝑉 ∈ V β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))))
127, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) β†’ (𝑉 βŠ† 𝑆 β†’ (𝑉 ∈ V β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))))
1312imp 405 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ (𝑉 ∈ V β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
144, 13mpd 15 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
15143adant1 1127 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
1615adantr 479 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
17 lincval 47589 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))))
181, 2, 16, 17syl3anc 1368 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))))
19 eqid 2725 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€)
20 eqid 2725 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
216, 19, 20gsumlsscl 47559 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ ((𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))) ∈ 𝑆))
2221imp 405 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))) ∈ 𝑆)
2318, 22eqeltrd 2825 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) ∈ 𝑆)
2423ex 411 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ ((𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) ∈ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   βŠ† wss 3939  π’« cpw 4598   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ↑m cmap 8843   finSupp cfsupp 9385  Basecbs 17179  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  0gc0g 17420   Ξ£g cgsu 17421  LModclmod 20747  LSubSpclss 20819   linC clinc 47584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-linc 47586
This theorem is referenced by:  ellcoellss  47615
  Copyright terms: Public domain W3C validator