Theorem lincellss 49048

Description: A linear combination of a subset of a linear subspace is also contained in the linear subspace. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lincellss	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → ((𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝑆))

Proof of Theorem lincellss

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1205	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → 𝑀 ∈ LMod)
2		simprl 780	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
3		ssexg 5279	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → 𝑉 ∈ V)
4	3	ancoms 462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → 𝑉 ∈ V)
5		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
6		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
7	5, 6	lssss 21003	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀))
8		sstr 3944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀)) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
9		elpwg 4558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
10	8, 9	syl5ibrcom 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀)) → (𝑉 ∈ V → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
11	10	expcom 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑉 ⊆ 𝑆 → (𝑉 ∈ V → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))))
12	7, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) → (𝑉 ⊆ 𝑆 → (𝑉 ∈ V → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))))
13	12	imp 410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → (𝑉 ∈ V → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
14	4, 13	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
15	14	3adant1 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
16	15	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
17		lincval 49031	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
18	1, 2, 16, 17	syl3anc 1390	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
19		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
20		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
21	6, 19, 20	gsumlsscl 49002	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → ((𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝑆))
22	21	imp 410	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝑆)
23	18, 22	eqeltrd 2862	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝑆)
24	23	ex 416	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → ((𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4555   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ↑_m cmap 8808   finSupp cfsupp 9307  Basecbs 17245  Scalarcsca 17289   ·_𝑠 cvsca 17290  0_gc0g 17468   Σ_g cgsu 17469  LModclmod 20927  LSubSpclss 20998   linC clinc 49026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-hash 14344  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-subg 19165  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-ur 20232  df-ring 20285  df-lmod 20929  df-lss 20999  df-linc 49028

This theorem is referenced by:  ellcoellss  49057