Theorem lincellss 49359

Description: A linear combination of a subset of a linear subspace is also contained in the linear subspace. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lincellss	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → ((𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝑆))

Proof of Theorem lincellss

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → 𝑀 ∈ LMod)
2		simprl 783	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
3		ssexg 5284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → 𝑉 ∈ V)
4	3	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → 𝑉 ∈ V)
5		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
6		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
7	5, 6	lssss 21123	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀))
8		sstr 3939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀)) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
9		elpwg 4560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
10	8, 9	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀)) → (𝑉 ∈ V → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
11	10	expcom 419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑉 ⊆ 𝑆 → (𝑉 ∈ V → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))))
12	7, 11	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) → (𝑉 ⊆ 𝑆 → (𝑉 ∈ V → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))))
13	12	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → (𝑉 ∈ V → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
14	4, 13	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
15	14	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
16	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
17		lincval 49342	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
18	1, 2, 16, 17	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
19		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
20		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
21	6, 19, 20	gsumlsscl 49313	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → ((𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝑆))
22	21	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝑆)
23	18, 22	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝑆)
24	23	ex 418	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑆) → ((𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8829   finSupp cfsupp 9334  Basecbs 17304  Scalarcsca 17348   ·_𝑠 cvsca 17349  0_gc0g 17527   Σ_g cgsu 17528  LModclmod 21047  LSubSpclss 21118   linC clinc 49337

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-seq 14069  df-hash 14398  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-submnd 18895  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-subg 19249  df-cntz 19447  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-ur 20324  df-ring 20377  df-lmod 21049  df-lss 21119  df-linc 49339

This theorem is used by:  ellcoellss  49368