Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincellss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincellss 47382
Description: A linear combination of a subset of a linear subspace is also contained in the linear subspace. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
lincellss ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ ((𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) ∈ 𝑆))

Proof of Theorem lincellss
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
2 simprl 768 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))) β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
3 ssexg 5316 . . . . . . . 8 ((𝑉 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€)) β†’ 𝑉 ∈ V)
43ancoms 458 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑉 ∈ V)
5 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
6 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (LSubSpβ€˜π‘€) = (LSubSpβ€˜π‘€)
75, 6lssss 20783 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
8 sstr 3985 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
9 elpwg 4600 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 ∈ V β†’ (𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
108, 9syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑉 ∈ V β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
1110expcom 413 . . . . . . . . 9 (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑉 βŠ† 𝑆 β†’ (𝑉 ∈ V β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))))
127, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) β†’ (𝑉 βŠ† 𝑆 β†’ (𝑉 ∈ V β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))))
1312imp 406 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ (𝑉 ∈ V β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
144, 13mpd 15 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
15143adant1 1127 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
1615adantr 480 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
17 lincval 47365 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))))
181, 2, 16, 17syl3anc 1368 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))))
19 eqid 2726 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€)
20 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
216, 19, 20gsumlsscl 47335 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ ((𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))) ∈ 𝑆))
2221imp 406 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))) ∈ 𝑆)
2318, 22eqeltrd 2827 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) ∈ 𝑆)
2423ex 412 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑆) β†’ ((𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) ∈ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394   Ξ£g cgsu 17395  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778   linC clinc 47360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-linc 47362
This theorem is referenced by:  ellcoellss  47391
  Copyright terms: Public domain W3C validator