MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0flblem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0flblem2 25550
Description: Lemma for dchrisum0flb 25551. Induction over relatively prime factors, with the prime power case handled in dchrisum0flblem1 . (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.) Replace reference to OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 8-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
dchrisum0f.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum0flb.r (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
dchrisum0flb.1 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
dchrisum0flb.2 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
dchrisum0flb.3 (𝜑𝑃𝐴)
dchrisum0flb.4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1..^𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flblem2 (𝜑 → if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝐴))
Distinct variable groups:   𝑦, 1   𝑦,𝐹   𝑞,𝑏,𝑣,𝑦,𝐴   𝑁,𝑞,𝑦   𝑃,𝑏,𝑞,𝑣,𝑦   𝑦,𝑍   𝑦,𝐷   𝐿,𝑏,𝑣,𝑦   𝑋,𝑏,𝑣,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑣,𝑞,𝑏)   𝐷(𝑣,𝑞,𝑏)   1 (𝑣,𝑞,𝑏)   𝐹(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐺(𝑦,𝑣,𝑞,𝑏)   𝐿(𝑞)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(𝑞)   𝑍(𝑣,𝑞,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0flblem2
StepHypRef Expression
1 breq1 4846 . . 3 (1 = if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) → (1 ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) ↔ if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))))
2 breq1 4846 . . 3 (0 = if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) ↔ if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))))
3 1t1e1 11482 . . . 4 (1 · 1) = 1
4 dchrisum0flb.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
54adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
6 nnq 12046 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((√‘𝐴) ∈ ℕ → (√‘𝐴) ∈ ℚ)
76adantl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘𝐴) ∈ ℚ)
8 nnne0 11348 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((√‘𝐴) ∈ ℕ → (√‘𝐴) ≠ 0)
98adantl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘𝐴) ≠ 0)
10 2z 11699 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
12 pcexp 15897 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((√‘𝐴) ∈ ℚ ∧ (√‘𝐴) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt ((√‘𝐴)↑2)) = (2 · (𝑃 pCnt (√‘𝐴))))
135, 7, 9, 11, 12syl121anc 1495 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((√‘𝐴)↑2)) = (2 · (𝑃 pCnt (√‘𝐴))))
14 dchrisum0flb.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
15 eluz2nn 11970 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
1716nncnd 11330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1817adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1918sqsqrtd 14519 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
2019oveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((√‘𝐴)↑2)) = (𝑃 pCnt 𝐴))
21 2cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
22 simpr 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘𝐴) ∈ ℕ)
235, 22pccld 15888 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (√‘𝐴)) ∈ ℕ0)
2423nn0cnd 11642 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (√‘𝐴)) ∈ ℂ)
2521, 24mulcomd 10350 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (2 · (𝑃 pCnt (√‘𝐴))) = ((𝑃 pCnt (√‘𝐴)) · 2))
2613, 20, 253eqtr3rd 2842 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt (√‘𝐴)) · 2) = (𝑃 pCnt 𝐴))
2726oveq2d 6894 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑((𝑃 pCnt (√‘𝐴)) · 2)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
28 prmnn 15722 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
295, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
3029nncnd 11330 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
31 2nn0 11599 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ0)
3330, 32, 23expmuld 13265 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑((𝑃 pCnt (√‘𝐴)) · 2)) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))↑2))
3427, 33eqtr3d 2835 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))↑2))
3534fveq2d 6415 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) = (√‘((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))↑2)))
3629, 23nnexpcld 13286 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))) ∈ ℕ)
3736nnrpd 12115 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))) ∈ ℝ+)
3837rprege0d 12124 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))))
39 sqrtsq 14351 . . . . . . . . . 10 (((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))) → (√‘((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))↑2)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))↑2)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))))
4135, 40eqtrd 2833 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))))
4241, 36eqeltrd 2878 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ)
4342iftrued 4285 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) = 1)
44 rpvmasum.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
45 rpvmasum.l . . . . . . . 8 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
46 rpvmasum.a . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
47 rpvmasum2.g . . . . . . . 8 𝐺 = (DChr‘𝑁)
48 rpvmasum2.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Base‘𝐺)
49 rpvmasum2.1 . . . . . . . 8 1 = (0g𝐺)
50 dchrisum0f.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
51 dchrisum0f.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐷)
52 dchrisum0flb.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
534, 16pccld 15888 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
5444, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 4, 53dchrisum0flblem1 25549 . . . . . . 7 (𝜑 → if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
5554adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
5643, 55eqbrtrrd 4867 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
57 pcdvds 15901 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
584, 16, 57syl2anc 580 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
594, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
6059, 53nnexpcld 13286 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
61 nndivdvds 15328 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ))
6216, 60, 61syl2anc 580 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ))
6358, 62mpbid 224 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ)
6463nnzd 11771 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ)
6564adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ)
6616adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ)
6766nnrpd 12115 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
6867rprege0d 12124 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
6960adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
7069nnrpd 12115 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ+)
71 sqrtdiv 14347 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ+) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = ((√‘𝐴) / (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
7268, 70, 71syl2anc 580 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = ((√‘𝐴) / (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
73 nnz 11689 . . . . . . . . . . . 12 ((√‘𝐴) ∈ ℕ → (√‘𝐴) ∈ ℤ)
7473adantl 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘𝐴) ∈ ℤ)
75 znq 12037 . . . . . . . . . . 11 (((√‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ) → ((√‘𝐴) / (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℚ)
7674, 42, 75syl2anc 580 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → ((√‘𝐴) / (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℚ)
7772, 76eqeltrd 2878 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℚ)
78 zsqrtelqelz 15799 . . . . . . . . 9 (((𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ ∧ (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℚ) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℤ)
7965, 77, 78syl2anc 580 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℤ)
8063adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ)
8180nnrpd 12115 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ+)
8281sqrtgt0d 14492 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 0 < (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
83 elnnz 11676 . . . . . . . 8 ((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ ↔ ((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℤ ∧ 0 < (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
8479, 82, 83sylanbrc 579 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ)
8584iftrued 4285 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) = 1)
86 fveq2 6411 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → (√‘𝑦) = (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
8786eleq1d 2863 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → ((√‘𝑦) ∈ ℕ ↔ (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ))
8887ifbid 4299 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) = if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0))
89 fveq2 6411 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
9088, 89breq12d 4856 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → (if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
91 dchrisum0flb.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1..^𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))
92 nnuz 11967 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
9363, 92syl6eleq 2888 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ (ℤ‘1))
9416nnzd 11771 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
9559nnred 11329 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
96 dchrisum0flb.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃𝐴)
97 pcelnn 15907 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝑃𝐴))
984, 16, 97syl2anc 580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝑃𝐴))
9996, 98mpbird 249 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
100 prmuz2 15742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
101 eluz2b2 12006 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
102101simprbi 491 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
1034, 100, 1023syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 < 𝑃)
104 expgt1 13152 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃) → 1 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
10595, 99, 103, 104syl3anc 1491 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
106 1red 10329 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
107 0lt1 10842 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 1)
10960nnred 11329 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ)
11060nngt0d 11362 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
11116nnred 11329 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
11216nngt0d 11362 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐴)
113 ltdiv2 11201 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < (𝐴 / 1)))
114106, 108, 109, 110, 111, 112, 113syl222anc 1506 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < (𝐴 / 1)))
115105, 114mpbid 224 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < (𝐴 / 1))
11617div1d 11085 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)
117115, 116breqtrd 4869 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < 𝐴)
118 elfzo2 12728 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ (1..^𝐴) ↔ ((𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < 𝐴))
11993, 94, 117, 118syl3anbrc 1444 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ (1..^𝐴))
12090, 91, 119rspcdva 3503 . . . . . . 7 (𝜑 → if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
121120adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
12285, 121eqbrtrrd 4867 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
123 1re 10328 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
124 0le1 10843 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
125123, 124pm3.2i 463 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)
126125a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1))
12744, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52dchrisum0ff 25548 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
128127, 60ffvelrnd 6586 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ)
129128adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ)
130127, 63ffvelrnd 6586 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℝ)
131130adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℝ)
132 lemul12a 11173 . . . . . 6 ((((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ) ∧ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℝ)) → ((1 ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∧ 1 ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) → (1 · 1) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))))
133126, 129, 126, 131, 132syl22anc 868 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → ((1 ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∧ 1 ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) → (1 · 1) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))))
13456, 122, 133mp2and 691 . . . 4 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (1 · 1) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
1353, 134syl5eqbrr 4879 . . 3 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 1 ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
136 0red 10332 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
137 0re 10330 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
138123, 137ifcli 4323 . . . . . . 7 if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ
139138a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ)
140 breq2 4847 . . . . . . . 8 (1 = if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ 1 ↔ 0 ≤ if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0)))
141 breq2 4847 . . . . . . . 8 (0 = if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0)))
142 0le0 11421 . . . . . . . 8 0 ≤ 0
143140, 141, 124, 142keephyp 4346 . . . . . . 7 0 ≤ if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0)
144143a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0))
145136, 139, 128, 144, 54letrd 10484 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
146123, 137ifcli 4323 . . . . . . 7 if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ
147146a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ)
148 breq2 4847 . . . . . . . 8 (1 = if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ 1 ↔ 0 ≤ if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0)))
149 breq2 4847 . . . . . . . 8 (0 = if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0)))
150148, 149, 124, 142keephyp 4346 . . . . . . 7 0 ≤ if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0)
151150a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0))
152136, 147, 130, 151, 120letrd 10484 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
153128, 130, 145, 152mulge0d 10896 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
154153adantr 473 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
1551, 2, 135, 154ifbothda 4314 . 2 (𝜑 → if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
15660nncnd 11330 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℂ)
15760nnne0d 11363 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ≠ 0)
15817, 156, 157divcan2d 11095 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) · (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 𝐴)
159158fveq2d 6415 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) · (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) = (𝐹𝐴))
160 pcndvds2 15905 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ¬ 𝑃 ∥ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
1614, 16, 160syl2anc 580 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
162 coprm 15756 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1))
1634, 64, 162syl2anc 580 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝑃 ∥ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1))
164161, 163mpbid 224 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1)
165 prmz 15723 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1664, 165syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
167 rpexp1i 15766 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0) → ((𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1))
168166, 64, 53, 167syl3anc 1491 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1))
169164, 168mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1)
17044, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 60, 63, 169dchrisum0fmul 25547 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) · (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) = ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
171159, 170eqtr3d 2835 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴) = ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
172155, 171breqtrrd 4871 1 (𝜑 → if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  wral 3089  {crab 3093  ifcif 4277   class class class wbr 4843  cmpt 4922  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225   · cmul 10229   < clt 10363  cle 10364   / cdiv 10976  cn 11312  2c2 11368  0cn0 11580  cz 11666  cuz 11930  cq 12033  +crp 12074  ..^cfzo 12720  cexp 13114  csqrt 14314  Σcsu 14757  cdvds 15319   gcd cgcd 15551  cprime 15719   pCnt cpc 15874  Basecbs 16184  0gc0g 16415  ℤRHomczrh 20170  ℤ/nczn 20173  DChrcdchr 25309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-disj 4812  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-tpos 7590  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-omul 7804  df-er 7982  df-ec 7984  df-qs 7988  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-acn 9054  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-ioo 12428  df-ioc 12429  df-ico 12430  df-icc 12431  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-mod 12924  df-seq 13056  df-exp 13115  df-fac 13314  df-bc 13343  df-hash 13371  df-shft 14148  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-limsup 14543  df-clim 14560  df-rlim 14561  df-sum 14758  df-ef 15134  df-sin 15136  df-cos 15137  df-pi 15139  df-dvds 15320  df-gcd 15552  df-prm 15720  df-numer 15776  df-denom 15777  df-pc 15875  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-hom 16291  df-cco 16292  df-rest 16398  df-topn 16399  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-topgen 16419  df-pt 16420  df-prds 16423  df-xrs 16477  df-qtop 16482  df-imas 16483  df-qus 16484  df-xps 16485  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mhm 17650  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-mulg 17857  df-subg 17904  df-nsg 17905  df-eqg 17906  df-ghm 17971  df-cntz 18062  df-od 18261  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-cring 18866  df-oppr 18939  df-dvdsr 18957  df-unit 18958  df-invr 18988  df-dvr 18999  df-rnghom 19033  df-drng 19067  df-subrg 19096  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-lsp 19293  df-sra 19495  df-rgmod 19496  df-lidl 19497  df-rsp 19498  df-2idl 19555  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-fbas 20065  df-fg 20066  df-cnfld 20069  df-zring 20141  df-zrh 20174  df-zn 20177  df-top 21027  df-topon 21044  df-topsp 21066  df-bases 21079  df-cld 21152  df-ntr 21153  df-cls 21154  df-nei 21231  df-lp 21269  df-perf 21270  df-cn 21360  df-cnp 21361  df-haus 21448  df-tx 21694  df-hmeo 21887  df-fil 21978  df-fm 22070  df-flim 22071  df-flf 22072  df-xms 22453  df-ms 22454  df-tms 22455  df-cncf 23009  df-limc 23971  df-dv 23972  df-log 24644  df-cxp 24645  df-dchr 25310
This theorem is referenced by:  dchrisum0flb  25551
  Copyright terms: Public domain W3C validator