MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0flblem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0flblem2 27012
Description: Lemma for dchrisum0flb 27013. Induction over relatively prime factors, with the prime power case handled in dchrisum0flblem1 . (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.) Replace reference to OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 8-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum2.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ β„• ↦ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)))
dchrisum0f.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum0flb.r (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
dchrisum0flb.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
dchrisum0flb.2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
dchrisum0flb.3 (πœ‘ β†’ 𝑃 βˆ₯ 𝐴)
dchrisum0flb.4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1..^𝐴)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flblem2 (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π΄))
Distinct variable groups:   𝑦, 1   𝑦,𝐹   π‘ž,𝑏,𝑣,𝑦,𝐴   𝑁,π‘ž,𝑦   𝑃,𝑏,π‘ž,𝑣,𝑦   𝑦,𝑍   𝑦,𝐷   𝐿,𝑏,𝑣,𝑦   𝑋,𝑏,𝑣,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐷(𝑣,π‘ž,𝑏)   1 (𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐹(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐺(𝑦,𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐿(π‘ž)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(π‘ž)   𝑍(𝑣,π‘ž,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0flblem2
StepHypRef Expression
1 breq1 5152 . . 3 (1 = if((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•, 1, 0) β†’ (1 ≀ ((πΉβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) Β· (πΉβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) ↔ if((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•, 1, 0) ≀ ((πΉβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) Β· (πΉβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))))
2 breq1 5152 . . 3 (0 = if((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•, 1, 0) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) Β· (πΉβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) ↔ if((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•, 1, 0) ≀ ((πΉβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) Β· (πΉβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))))
3 1t1e1 12374 . . . 4 (1 Β· 1) = 1
4 dchrisum0flb.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
54adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ 𝑃 ∈ β„™)
6 nnq 12946 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„• β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š)
76adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š)
8 nnne0 12246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„• β†’ (βˆšβ€˜π΄) β‰  0)
98adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜π΄) β‰  0)
10 2z 12594 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ β„€
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„€)
12 pcexp 16792 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ ((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š ∧ (βˆšβ€˜π΄) β‰  0) ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (𝑃 pCnt ((βˆšβ€˜π΄)↑2)) = (2 Β· (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜π΄))))
135, 7, 9, 11, 12syl121anc 1376 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt ((βˆšβ€˜π΄)↑2)) = (2 Β· (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜π΄))))
14 dchrisum0flb.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
15 eluz2nn 12868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„•)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•)
1716nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1817adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1918sqsqrtd 15386 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ ((βˆšβ€˜π΄)↑2) = 𝐴)
2019oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt ((βˆšβ€˜π΄)↑2)) = (𝑃 pCnt 𝐴))
21 2cnd 12290 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„‚)
22 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•)
235, 22pccld 16783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜π΄)) ∈ β„•0)
2423nn0cnd 12534 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
2521, 24mulcomd 11235 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (2 Β· (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜π΄))) = ((𝑃 pCnt (βˆšβ€˜π΄)) Β· 2))
2613, 20, 253eqtr3rd 2782 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ ((𝑃 pCnt (βˆšβ€˜π΄)) Β· 2) = (𝑃 pCnt 𝐴))
2726oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝑃↑((𝑃 pCnt (βˆšβ€˜π΄)) Β· 2)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
28 prmnn 16611 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
295, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
3029nncnd 12228 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
31 2nn0 12489 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„•0
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„•0)
3330, 32, 23expmuld 14114 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝑃↑((𝑃 pCnt (βˆšβ€˜π΄)) Β· 2)) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜π΄)))↑2))
3427, 33eqtr3d 2775 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜π΄)))↑2))
3534fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) = (βˆšβ€˜((𝑃↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜π΄)))↑2)))
3629, 23nnexpcld 14208 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝑃↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜π΄))) ∈ β„•)
3736nnrpd 13014 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝑃↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜π΄))) ∈ ℝ+)
3837rprege0d 13023 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ ((𝑃↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜π΄))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑃↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜π΄)))))
39 sqrtsq 15216 . . . . . . . . . 10 (((𝑃↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜π΄))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑃↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜π΄)))) β†’ (βˆšβ€˜((𝑃↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜π΄)))↑2)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜π΄))))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜((𝑃↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜π΄)))↑2)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜π΄))))
4135, 40eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜π΄))))
4241, 36eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ β„•)
4342iftrued 4537 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ β„•, 1, 0) = 1)
44 rpvmasum.z . . . . . . . 8 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
45 rpvmasum.l . . . . . . . 8 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
46 rpvmasum.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
47 rpvmasum2.g . . . . . . . 8 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
48 rpvmasum2.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
49 rpvmasum2.1 . . . . . . . 8 1 = (0gβ€˜πΊ)
50 dchrisum0f.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑏 ∈ β„• ↦ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)))
51 dchrisum0f.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
52 dchrisum0flb.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
534, 16pccld 16783 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ β„•0)
5444, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 4, 53dchrisum0flblem1 27011 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
5554adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
5643, 55eqbrtrrd 5173 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ 1 ≀ (πΉβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
57 pcdvds 16797 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) βˆ₯ 𝐴)
584, 16, 57syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) βˆ₯ 𝐴)
594, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
6059, 53nnexpcld 14208 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ β„•)
61 nndivdvds 16206 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„• ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) βˆ₯ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ β„•))
6216, 60, 61syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) βˆ₯ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ β„•))
6358, 62mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ β„•)
6463nnzd 12585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ β„€)
6564adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ β„€)
6616adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„•)
6766nnrpd 13014 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
6867rprege0d 13023 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴))
6960adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ β„•)
7069nnrpd 13014 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ+)
71 sqrtdiv 15212 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = ((βˆšβ€˜π΄) / (βˆšβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
7268, 70, 71syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = ((βˆšβ€˜π΄) / (βˆšβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
73 nnz 12579 . . . . . . . . . . 11 ((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„• β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„€)
74 znq 12936 . . . . . . . . . . 11 (((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„€ ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ β„•) β†’ ((βˆšβ€˜π΄) / (βˆšβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ β„š)
7573, 42, 74syl2an2 685 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ ((βˆšβ€˜π΄) / (βˆšβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ β„š)
7672, 75eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ β„š)
77 zsqrtelqelz 16694 . . . . . . . . 9 (((𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ β„€ ∧ (βˆšβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ β„š) β†’ (βˆšβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ β„€)
7865, 76, 77syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ β„€)
7963adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ β„•)
8079nnrpd 13014 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ+)
8180sqrtgt0d 15359 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ 0 < (βˆšβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
82 elnnz 12568 . . . . . . . 8 ((βˆšβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ β„• ↔ ((βˆšβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ β„€ ∧ 0 < (βˆšβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
8378, 81, 82sylanbrc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ β„•)
8483iftrued 4537 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ if((βˆšβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ β„•, 1, 0) = 1)
85 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) β†’ (βˆšβ€˜π‘¦) = (βˆšβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
8685eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„• ↔ (βˆšβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ β„•))
8786ifbid 4552 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) β†’ if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) = if((βˆšβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ β„•, 1, 0))
88 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
8987, 88breq12d 5162 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) β†’ (if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ if((βˆšβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
90 dchrisum0flb.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1..^𝐴)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
91 nnuz 12865 . . . . . . . . . 10 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
9263, 91eleqtrdi 2844 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
9316nnzd 12585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
9459nnred 12227 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
95 dchrisum0flb.3 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑃 βˆ₯ 𝐴)
96 pcelnn 16803 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ ((𝑃 pCnt 𝐴) ∈ β„• ↔ 𝑃 βˆ₯ 𝐴))
974, 16, 96syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝑃 pCnt 𝐴) ∈ β„• ↔ 𝑃 βˆ₯ 𝐴))
9895, 97mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ β„•)
99 prmuz2 16633 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
100 eluz2gt1 12904 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 < 𝑃)
1014, 99, 1003syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 < 𝑃)
102 expgt1 14066 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ β„• ∧ 1 < 𝑃) β†’ 1 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
10394, 98, 101, 102syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
104 1red 11215 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
105 0lt1 11736 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < 1)
10760nnred 12227 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ)
10860nngt0d 12261 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
10916nnred 12227 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
11016nngt0d 12261 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐴)
111 ltdiv2 12100 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (1 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < (𝐴 / 1)))
112104, 106, 107, 108, 109, 110, 111syl222anc 1387 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < (𝐴 / 1)))
113103, 112mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < (𝐴 / 1))
11417div1d 11982 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 / 1) = 𝐴)
115113, 114breqtrd 5175 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < 𝐴)
116 elfzo2 13635 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ (1..^𝐴) ↔ ((𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < 𝐴))
11792, 93, 115, 116syl3anbrc 1344 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ (1..^𝐴))
11889, 90, 117rspcdva 3614 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
119118adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ if((βˆšβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
12084, 119eqbrtrrd 5173 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ 1 ≀ (πΉβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
121 1re 11214 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
122 0le1 11737 . . . . . . . 8 0 ≀ 1
123121, 122pm3.2i 472 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1)
124123a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1))
12544, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52dchrisum0ff 27010 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
126125, 60ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ)
127126adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ)
128125, 63ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℝ)
129128adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℝ)
130 lemul12a 12072 . . . . . 6 ((((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1) ∧ (πΉβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ) ∧ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℝ)) β†’ ((1 ≀ (πΉβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∧ 1 ≀ (πΉβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) β†’ (1 Β· 1) ≀ ((πΉβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) Β· (πΉβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))))
131124, 127, 124, 129, 130syl22anc 838 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ ((1 ≀ (πΉβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∧ 1 ≀ (πΉβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) β†’ (1 Β· 1) ≀ ((πΉβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) Β· (πΉβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))))
13256, 120, 131mp2and 698 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (1 Β· 1) ≀ ((πΉβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) Β· (πΉβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
1333, 132eqbrtrrid 5185 . . 3 ((πœ‘ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ 1 ≀ ((πΉβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) Β· (πΉβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
134 0red 11217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
135 0re 11216 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
136121, 135ifcli 4576 . . . . . . 7 if((βˆšβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ
137136a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ)
138 breq2 5153 . . . . . . . 8 (1 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ β„•, 1, 0) β†’ (0 ≀ 1 ↔ 0 ≀ if((βˆšβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ β„•, 1, 0)))
139 breq2 5153 . . . . . . . 8 (0 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ β„•, 1, 0) β†’ (0 ≀ 0 ↔ 0 ≀ if((βˆšβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ β„•, 1, 0)))
140 0le0 12313 . . . . . . . 8 0 ≀ 0
141138, 139, 122, 140keephyp 4600 . . . . . . 7 0 ≀ if((βˆšβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ β„•, 1, 0)
142141a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ if((βˆšβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ β„•, 1, 0))
143134, 137, 126, 142, 54letrd 11371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
144121, 135ifcli 4576 . . . . . . 7 if((βˆšβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ
145144a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ)
146 breq2 5153 . . . . . . . 8 (1 = if((βˆšβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ β„•, 1, 0) β†’ (0 ≀ 1 ↔ 0 ≀ if((βˆšβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ β„•, 1, 0)))
147 breq2 5153 . . . . . . . 8 (0 = if((βˆšβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ β„•, 1, 0) β†’ (0 ≀ 0 ↔ 0 ≀ if((βˆšβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ β„•, 1, 0)))
148146, 147, 122, 140keephyp 4600 . . . . . . 7 0 ≀ if((βˆšβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ β„•, 1, 0)
149148a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ if((βˆšβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ β„•, 1, 0))
150134, 145, 128, 149, 118letrd 11371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
151126, 128, 143, 150mulge0d 11791 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) Β· (πΉβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
152151adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) Β· (πΉβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
1531, 2, 133, 152ifbothda 4567 . 2 (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•, 1, 0) ≀ ((πΉβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) Β· (πΉβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
15460nncnd 12228 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ β„‚)
15560nnne0d 12262 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) β‰  0)
15617, 154, 155divcan2d 11992 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) Β· (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 𝐴)
157156fveq2d 6896 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) Β· (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) = (πΉβ€˜π΄))
158 pcndvds2 16801 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ Β¬ 𝑃 βˆ₯ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
1594, 16, 158syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑃 βˆ₯ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
160 coprm 16648 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ β„€) β†’ (Β¬ 𝑃 βˆ₯ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1))
1614, 64, 160syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑃 βˆ₯ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1))
162159, 161mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1)
163 prmz 16612 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
1644, 163syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
165 rpexp1i 16660 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ β„€ ∧ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ β„€ ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ β„•0) β†’ ((𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1 β†’ ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1))
166164, 64, 53, 165syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1 β†’ ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1))
167162, 166mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1)
16844, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 60, 63, 167dchrisum0fmul 27009 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) Β· (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) = ((πΉβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) Β· (πΉβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
169157, 168eqtr3d 2775 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = ((πΉβ€˜(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) Β· (πΉβ€˜(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
170153, 169breqtrrd 5177 1 (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  {crab 3433  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„šcq 12932  β„+crp 12974  ..^cfzo 13627  β†‘cexp 14027  βˆšcsqrt 15180  Ξ£csu 15632   βˆ₯ cdvds 16197   gcd cgcd 16435  β„™cprime 16608   pCnt cpc 16769  Basecbs 17144  0gc0g 17385  β„€RHomczrh 21049  β„€/nβ„€czn 21052  DChrcdchr 26735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-numer 16671  df-denom 16672  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-qus 17455  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-nsg 19004  df-eqg 19005  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-od 19396  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-rsp 20788  df-2idl 20857  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-zn 21056  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-cxp 26066  df-dchr 26736
This theorem is referenced by:  dchrisum0flb  27013
  Copyright terms: Public domain W3C validator