Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0flblem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0flblem2 26107
 Description: Lemma for dchrisum0flb 26108. Induction over relatively prime factors, with the prime power case handled in dchrisum0flblem1 . (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.) Replace reference to OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 8-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
dchrisum0f.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum0flb.r (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
dchrisum0flb.1 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
dchrisum0flb.2 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
dchrisum0flb.3 (𝜑𝑃𝐴)
dchrisum0flb.4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1..^𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flblem2 (𝜑 → if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝐴))
Distinct variable groups:   𝑦, 1   𝑦,𝐹   𝑞,𝑏,𝑣,𝑦,𝐴   𝑁,𝑞,𝑦   𝑃,𝑏,𝑞,𝑣,𝑦   𝑦,𝑍   𝑦,𝐷   𝐿,𝑏,𝑣,𝑦   𝑋,𝑏,𝑣,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑣,𝑞,𝑏)   𝐷(𝑣,𝑞,𝑏)   1 (𝑣,𝑞,𝑏)   𝐹(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐺(𝑦,𝑣,𝑞,𝑏)   𝐿(𝑞)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(𝑞)   𝑍(𝑣,𝑞,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0flblem2
StepHypRef Expression
1 breq1 5034 . . 3 (1 = if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) → (1 ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) ↔ if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))))
2 breq1 5034 . . 3 (0 = if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) ↔ if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))))
3 1t1e1 11794 . . . 4 (1 · 1) = 1
4 dchrisum0flb.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
54adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
6 nnq 12356 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((√‘𝐴) ∈ ℕ → (√‘𝐴) ∈ ℚ)
76adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘𝐴) ∈ ℚ)
8 nnne0 11666 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((√‘𝐴) ∈ ℕ → (√‘𝐴) ≠ 0)
98adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘𝐴) ≠ 0)
10 2z 12009 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
12 pcexp 16193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((√‘𝐴) ∈ ℚ ∧ (√‘𝐴) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt ((√‘𝐴)↑2)) = (2 · (𝑃 pCnt (√‘𝐴))))
135, 7, 9, 11, 12syl121anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((√‘𝐴)↑2)) = (2 · (𝑃 pCnt (√‘𝐴))))
14 dchrisum0flb.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
15 eluz2nn 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
1716nncnd 11648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1817adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1918sqsqrtd 14798 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
2019oveq2d 7156 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((√‘𝐴)↑2)) = (𝑃 pCnt 𝐴))
21 2cnd 11710 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
22 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘𝐴) ∈ ℕ)
235, 22pccld 16184 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (√‘𝐴)) ∈ ℕ0)
2423nn0cnd 11952 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (√‘𝐴)) ∈ ℂ)
2521, 24mulcomd 10658 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (2 · (𝑃 pCnt (√‘𝐴))) = ((𝑃 pCnt (√‘𝐴)) · 2))
2613, 20, 253eqtr3rd 2842 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt (√‘𝐴)) · 2) = (𝑃 pCnt 𝐴))
2726oveq2d 7156 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑((𝑃 pCnt (√‘𝐴)) · 2)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
28 prmnn 16015 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
295, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
3029nncnd 11648 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
31 2nn0 11909 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ0)
3330, 32, 23expmuld 13516 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑((𝑃 pCnt (√‘𝐴)) · 2)) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))↑2))
3427, 33eqtr3d 2835 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))↑2))
3534fveq2d 6654 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) = (√‘((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))↑2)))
3629, 23nnexpcld 13609 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))) ∈ ℕ)
3736nnrpd 12424 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))) ∈ ℝ+)
3837rprege0d 12433 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))))
39 sqrtsq 14628 . . . . . . . . . 10 (((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))) → (√‘((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))↑2)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))↑2)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))))
4135, 40eqtrd 2833 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))))
4241, 36eqeltrd 2890 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ)
4342iftrued 4433 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) = 1)
44 rpvmasum.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
45 rpvmasum.l . . . . . . . 8 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
46 rpvmasum.a . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
47 rpvmasum2.g . . . . . . . 8 𝐺 = (DChr‘𝑁)
48 rpvmasum2.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Base‘𝐺)
49 rpvmasum2.1 . . . . . . . 8 1 = (0g𝐺)
50 dchrisum0f.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
51 dchrisum0f.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐷)
52 dchrisum0flb.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
534, 16pccld 16184 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
5444, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 4, 53dchrisum0flblem1 26106 . . . . . . 7 (𝜑 → if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
5554adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
5643, 55eqbrtrrd 5055 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
57 pcdvds 16197 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
584, 16, 57syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
594, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
6059, 53nnexpcld 13609 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
61 nndivdvds 15615 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ))
6216, 60, 61syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ))
6358, 62mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ)
6463nnzd 12081 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ)
6564adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ)
6616adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ)
6766nnrpd 12424 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
6867rprege0d 12433 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
6960adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
7069nnrpd 12424 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ+)
71 sqrtdiv 14624 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ+) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = ((√‘𝐴) / (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
7268, 70, 71syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = ((√‘𝐴) / (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
73 nnz 11999 . . . . . . . . . . 11 ((√‘𝐴) ∈ ℕ → (√‘𝐴) ∈ ℤ)
74 znq 12347 . . . . . . . . . . 11 (((√‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ) → ((√‘𝐴) / (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℚ)
7573, 42, 74syl2an2 685 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → ((√‘𝐴) / (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℚ)
7672, 75eqeltrd 2890 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℚ)
77 zsqrtelqelz 16095 . . . . . . . . 9 (((𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ ∧ (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℚ) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℤ)
7865, 76, 77syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℤ)
7963adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ)
8079nnrpd 12424 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ+)
8180sqrtgt0d 14771 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 0 < (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
82 elnnz 11986 . . . . . . . 8 ((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ ↔ ((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℤ ∧ 0 < (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
8378, 81, 82sylanbrc 586 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ)
8483iftrued 4433 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) = 1)
85 fveq2 6650 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → (√‘𝑦) = (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
8685eleq1d 2874 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → ((√‘𝑦) ∈ ℕ ↔ (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ))
8786ifbid 4447 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) = if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0))
88 fveq2 6650 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
8987, 88breq12d 5044 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → (if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
90 dchrisum0flb.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1..^𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))
91 nnuz 12276 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
9263, 91eleqtrdi 2900 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ (ℤ‘1))
9316nnzd 12081 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
9459nnred 11647 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
95 dchrisum0flb.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃𝐴)
96 pcelnn 16203 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝑃𝐴))
974, 16, 96syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝑃𝐴))
9895, 97mpbird 260 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
99 prmuz2 16037 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
100 eluz2gt1 12315 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
1014, 99, 1003syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 < 𝑃)
102 expgt1 13470 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃) → 1 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
10394, 98, 101, 102syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
104 1red 10638 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
105 0lt1 11158 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 1)
10760nnred 11647 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ)
10860nngt0d 11681 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
10916nnred 11647 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
11016nngt0d 11681 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐴)
111 ltdiv2 11522 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < (𝐴 / 1)))
112104, 106, 107, 108, 109, 110, 111syl222anc 1383 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < (𝐴 / 1)))
113103, 112mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < (𝐴 / 1))
11417div1d 11404 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)
115113, 114breqtrd 5057 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < 𝐴)
116 elfzo2 13043 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ (1..^𝐴) ↔ ((𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < 𝐴))
11792, 93, 115, 116syl3anbrc 1340 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ (1..^𝐴))
11889, 90, 117rspcdva 3573 . . . . . . 7 (𝜑 → if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
119118adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
12084, 119eqbrtrrd 5055 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
121 1re 10637 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
122 0le1 11159 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
123121, 122pm3.2i 474 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)
124123a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1))
12544, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52dchrisum0ff 26105 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
126125, 60ffvelrnd 6834 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ)
127126adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ)
128125, 63ffvelrnd 6834 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℝ)
129128adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℝ)
130 lemul12a 11494 . . . . . 6 ((((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ) ∧ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℝ)) → ((1 ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∧ 1 ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) → (1 · 1) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))))
131124, 127, 124, 129, 130syl22anc 837 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → ((1 ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∧ 1 ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) → (1 · 1) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))))
13256, 120, 131mp2and 698 . . . 4 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (1 · 1) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
1333, 132eqbrtrrid 5067 . . 3 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 1 ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
134 0red 10640 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
135 0re 10639 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
136121, 135ifcli 4471 . . . . . . 7 if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ
137136a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ)
138 breq2 5035 . . . . . . . 8 (1 = if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ 1 ↔ 0 ≤ if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0)))
139 breq2 5035 . . . . . . . 8 (0 = if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0)))
140 0le0 11733 . . . . . . . 8 0 ≤ 0
141138, 139, 122, 140keephyp 4494 . . . . . . 7 0 ≤ if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0)
142141a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0))
143134, 137, 126, 142, 54letrd 10793 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
144121, 135ifcli 4471 . . . . . . 7 if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ
145144a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ)
146 breq2 5035 . . . . . . . 8 (1 = if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ 1 ↔ 0 ≤ if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0)))
147 breq2 5035 . . . . . . . 8 (0 = if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0)))
148146, 147, 122, 140keephyp 4494 . . . . . . 7 0 ≤ if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0)
149148a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0))
150134, 145, 128, 149, 118letrd 10793 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
151126, 128, 143, 150mulge0d 11213 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
152151adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
1531, 2, 133, 152ifbothda 4462 . 2 (𝜑 → if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
15460nncnd 11648 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℂ)
15560nnne0d 11682 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ≠ 0)
15617, 154, 155divcan2d 11414 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) · (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 𝐴)
157156fveq2d 6654 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) · (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) = (𝐹𝐴))
158 pcndvds2 16201 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ¬ 𝑃 ∥ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
1594, 16, 158syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
160 coprm 16052 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1))
1614, 64, 160syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝑃 ∥ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1))
162159, 161mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1)
163 prmz 16016 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1644, 163syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
165 rpexp1i 16062 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0) → ((𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1))
166164, 64, 53, 165syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1))
167162, 166mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1)
16844, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 60, 63, 167dchrisum0fmul 26104 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) · (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) = ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
169157, 168eqtr3d 2835 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴) = ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
170153, 169breqtrrd 5059 1 (𝜑 → if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  {crab 3110  ifcif 4425   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111  ⟶wf 6323  ‘cfv 6327  (class class class)co 7140  ℂcc 10531  ℝcr 10532  0cc0 10533  1c1 10534   · cmul 10538   < clt 10671   ≤ cle 10672   / cdiv 11293  ℕcn 11632  2c2 11687  ℕ0cn0 11892  ℤcz 11976  ℤ≥cuz 12238  ℚcq 12343  ℝ+crp 12384  ..^cfzo 13035  ↑cexp 13432  √csqrt 14591  Σcsu 15041   ∥ cdvds 15606   gcd cgcd 15840  ℙcprime 16012   pCnt cpc 16170  Basecbs 16482  0gc0g 16712  ℤRHomczrh 20202  ℤ/nℤczn 20205  DChrcdchr 25830 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-inf2 9095  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610  ax-pre-sup 10611  ax-addf 10612  ax-mulf 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-disj 4997  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7395  df-om 7568  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7821  df-tpos 7882  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-oadd 8096  df-omul 8097  df-er 8279  df-ec 8281  df-qs 8285  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8452  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-fsupp 8825  df-fi 8866  df-sup 8897  df-inf 8898  df-oi 8965  df-card 9359  df-acn 9362  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-div 11294  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ioc 12738  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-fl 13164  df-mod 13240  df-seq 13372  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14425  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-limsup 14827  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042  df-ef 15420  df-sin 15422  df-cos 15423  df-pi 15425  df-dvds 15607  df-gcd 15841  df-prm 16013  df-numer 16072  df-denom 16073  df-pc 16171  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-rest 16695  df-topn 16696  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-topgen 16716  df-pt 16717  df-prds 16720  df-xrs 16774  df-qtop 16779  df-imas 16780  df-qus 16781  df-xps 16782  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-mhm 17955  df-submnd 17956  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-nsg 18277  df-eqg 18278  df-ghm 18356  df-cntz 18447  df-od 18656  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19241  df-ur 19253  df-ring 19300  df-cring 19301  df-oppr 19377  df-dvdsr 19395  df-unit 19396  df-invr 19426  df-dvr 19437  df-rnghom 19471  df-drng 19505  df-subrg 19534  df-lmod 19637  df-lss 19705  df-lsp 19745  df-sra 19945  df-rgmod 19946  df-lidl 19947  df-rsp 19948  df-2idl 20006  df-psmet 20091  df-xmet 20092  df-met 20093  df-bl 20094  df-mopn 20095  df-fbas 20096  df-fg 20097  df-cnfld 20100  df-zring 20172  df-zrh 20206  df-zn 20209  df-top 21513  df-topon 21530  df-topsp 21552  df-bases 21565  df-cld 21638  df-ntr 21639  df-cls 21640  df-nei 21717  df-lp 21755  df-perf 21756  df-cn 21846  df-cnp 21847  df-haus 21934  df-tx 22181  df-hmeo 22374  df-fil 22465  df-fm 22557  df-flim 22558  df-flf 22559  df-xms 22941  df-ms 22942  df-tms 22943  df-cncf 23497  df-limc 24483  df-dv 24484  df-log 25162  df-cxp 25163  df-dchr 25831 This theorem is referenced by:  dchrisum0flb  26108
 Copyright terms: Public domain W3C validator