MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0flblem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0flblem2 26018
Description: Lemma for dchrisum0flb 26019. Induction over relatively prime factors, with the prime power case handled in dchrisum0flblem1 . (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.) Replace reference to OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 8-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
dchrisum0f.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum0flb.r (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
dchrisum0flb.1 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
dchrisum0flb.2 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
dchrisum0flb.3 (𝜑𝑃𝐴)
dchrisum0flb.4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1..^𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flblem2 (𝜑 → if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝐴))
Distinct variable groups:   𝑦, 1   𝑦,𝐹   𝑞,𝑏,𝑣,𝑦,𝐴   𝑁,𝑞,𝑦   𝑃,𝑏,𝑞,𝑣,𝑦   𝑦,𝑍   𝑦,𝐷   𝐿,𝑏,𝑣,𝑦   𝑋,𝑏,𝑣,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑣,𝑞,𝑏)   𝐷(𝑣,𝑞,𝑏)   1 (𝑣,𝑞,𝑏)   𝐹(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐺(𝑦,𝑣,𝑞,𝑏)   𝐿(𝑞)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(𝑞)   𝑍(𝑣,𝑞,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0flblem2
StepHypRef Expression
1 breq1 5066 . . 3 (1 = if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) → (1 ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) ↔ if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))))
2 breq1 5066 . . 3 (0 = if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) ↔ if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))))
3 1t1e1 11793 . . . 4 (1 · 1) = 1
4 dchrisum0flb.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
54adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
6 nnq 12356 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((√‘𝐴) ∈ ℕ → (√‘𝐴) ∈ ℚ)
76adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘𝐴) ∈ ℚ)
8 nnne0 11665 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((√‘𝐴) ∈ ℕ → (√‘𝐴) ≠ 0)
98adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘𝐴) ≠ 0)
10 2z 12008 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
12 pcexp 16191 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((√‘𝐴) ∈ ℚ ∧ (√‘𝐴) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt ((√‘𝐴)↑2)) = (2 · (𝑃 pCnt (√‘𝐴))))
135, 7, 9, 11, 12syl121anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((√‘𝐴)↑2)) = (2 · (𝑃 pCnt (√‘𝐴))))
14 dchrisum0flb.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
15 eluz2nn 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
1716nncnd 11648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1817adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1918sqsqrtd 14794 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
2019oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((√‘𝐴)↑2)) = (𝑃 pCnt 𝐴))
21 2cnd 11709 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
22 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘𝐴) ∈ ℕ)
235, 22pccld 16182 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (√‘𝐴)) ∈ ℕ0)
2423nn0cnd 11951 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (√‘𝐴)) ∈ ℂ)
2521, 24mulcomd 10656 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (2 · (𝑃 pCnt (√‘𝐴))) = ((𝑃 pCnt (√‘𝐴)) · 2))
2613, 20, 253eqtr3rd 2870 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt (√‘𝐴)) · 2) = (𝑃 pCnt 𝐴))
2726oveq2d 7166 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑((𝑃 pCnt (√‘𝐴)) · 2)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
28 prmnn 16013 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
295, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
3029nncnd 11648 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
31 2nn0 11908 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ0)
3330, 32, 23expmuld 13508 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑((𝑃 pCnt (√‘𝐴)) · 2)) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))↑2))
3427, 33eqtr3d 2863 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))↑2))
3534fveq2d 6673 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) = (√‘((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))↑2)))
3629, 23nnexpcld 13601 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))) ∈ ℕ)
3736nnrpd 12424 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))) ∈ ℝ+)
3837rprege0d 12433 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))))
39 sqrtsq 14624 . . . . . . . . . 10 (((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))) → (√‘((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))↑2)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘((𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴)))↑2)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))))
4135, 40eqtrd 2861 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (√‘𝐴))))
4241, 36eqeltrd 2918 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ)
4342iftrued 4478 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) = 1)
44 rpvmasum.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
45 rpvmasum.l . . . . . . . 8 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
46 rpvmasum.a . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
47 rpvmasum2.g . . . . . . . 8 𝐺 = (DChr‘𝑁)
48 rpvmasum2.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Base‘𝐺)
49 rpvmasum2.1 . . . . . . . 8 1 = (0g𝐺)
50 dchrisum0f.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
51 dchrisum0f.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐷)
52 dchrisum0flb.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
534, 16pccld 16182 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
5444, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 4, 53dchrisum0flblem1 26017 . . . . . . 7 (𝜑 → if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
5554adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
5643, 55eqbrtrrd 5087 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
57 pcdvds 16195 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
584, 16, 57syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
594, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
6059, 53nnexpcld 13601 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
61 nndivdvds 15611 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ))
6216, 60, 61syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ))
6358, 62mpbid 233 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ)
6463nnzd 12080 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ)
6564adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ)
6616adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ)
6766nnrpd 12424 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
6867rprege0d 12433 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
6960adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
7069nnrpd 12424 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ+)
71 sqrtdiv 14620 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ+) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = ((√‘𝐴) / (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
7268, 70, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = ((√‘𝐴) / (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
73 nnz 11998 . . . . . . . . . . 11 ((√‘𝐴) ∈ ℕ → (√‘𝐴) ∈ ℤ)
74 znq 12346 . . . . . . . . . . 11 (((√‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ) → ((√‘𝐴) / (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℚ)
7573, 42, 74syl2an2 682 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → ((√‘𝐴) / (√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℚ)
7672, 75eqeltrd 2918 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℚ)
77 zsqrtelqelz 16093 . . . . . . . . 9 (((𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ ∧ (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℚ) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℤ)
7865, 76, 77syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℤ)
7963adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ)
8079nnrpd 12424 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ+)
8180sqrtgt0d 14767 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 0 < (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
82 elnnz 11985 . . . . . . . 8 ((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ ↔ ((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℤ ∧ 0 < (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
8378, 81, 82sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ)
8483iftrued 4478 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) = 1)
85 fveq2 6669 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → (√‘𝑦) = (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
8685eleq1d 2902 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → ((√‘𝑦) ∈ ℕ ↔ (√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ))
8786ifbid 4492 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) = if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0))
88 fveq2 6669 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
8987, 88breq12d 5076 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → (if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
90 dchrisum0flb.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1..^𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))
91 nnuz 12275 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
9263, 91syl6eleq 2928 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ (ℤ‘1))
9316nnzd 12080 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
9459nnred 11647 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
95 dchrisum0flb.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃𝐴)
96 pcelnn 16201 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝑃𝐴))
974, 16, 96syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝑃𝐴))
9895, 97mpbird 258 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
99 prmuz2 16035 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
100 eluz2gt1 12314 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
1014, 99, 1003syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 < 𝑃)
102 expgt1 13462 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃) → 1 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
10394, 98, 101, 102syl3anc 1365 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
104 1red 10636 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
105 0lt1 11156 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 1)
10760nnred 11647 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ)
10860nngt0d 11680 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
10916nnred 11647 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
11016nngt0d 11680 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐴)
111 ltdiv2 11520 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < (𝐴 / 1)))
112104, 106, 107, 108, 109, 110, 111syl222anc 1380 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 < (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < (𝐴 / 1)))
113103, 112mpbid 233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < (𝐴 / 1))
11417div1d 11402 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)
115113, 114breqtrd 5089 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < 𝐴)
116 elfzo2 13036 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ (1..^𝐴) ↔ ((𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) < 𝐴))
11792, 93, 115, 116syl3anbrc 1337 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ (1..^𝐴))
11889, 90, 117rspcdva 3629 . . . . . . 7 (𝜑 → if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
119118adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
12084, 119eqbrtrrd 5087 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
121 1re 10635 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
122 0le1 11157 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
123121, 122pm3.2i 471 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)
124123a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1))
12544, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52dchrisum0ff 26016 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
126125, 60ffvelrnd 6850 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ)
127126adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ)
128125, 63ffvelrnd 6850 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℝ)
129128adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℝ)
130 lemul12a 11492 . . . . . 6 ((((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ) ∧ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℝ)) → ((1 ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∧ 1 ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) → (1 · 1) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))))
131124, 127, 124, 129, 130syl22anc 836 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → ((1 ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∧ 1 ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) → (1 · 1) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))))
13256, 120, 131mp2and 695 . . . 4 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → (1 · 1) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
1333, 132eqbrtrrid 5099 . . 3 ((𝜑 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 1 ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
134 0red 10638 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
135 0re 10637 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
136121, 135ifcli 4516 . . . . . . 7 if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ
137136a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ)
138 breq2 5067 . . . . . . . 8 (1 = if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ 1 ↔ 0 ≤ if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0)))
139 breq2 5067 . . . . . . . 8 (0 = if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0)))
140 0le0 11732 . . . . . . . 8 0 ≤ 0
141138, 139, 122, 140keephyp 4539 . . . . . . 7 0 ≤ if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0)
142141a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ if((√‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ, 1, 0))
143134, 137, 126, 142, 54letrd 10791 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
144121, 135ifcli 4516 . . . . . . 7 if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ
145144a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ)
146 breq2 5067 . . . . . . . 8 (1 = if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ 1 ↔ 0 ≤ if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0)))
147 breq2 5067 . . . . . . . 8 (0 = if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0)))
148146, 147, 122, 140keephyp 4539 . . . . . . 7 0 ≤ if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0)
149148a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ if((√‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) ∈ ℕ, 1, 0))
150134, 145, 128, 149, 118letrd 10791 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
151126, 128, 143, 150mulge0d 11211 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
152151adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (√‘𝐴) ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
1531, 2, 133, 152ifbothda 4507 . 2 (𝜑 → if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
15460nncnd 11648 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℂ)
15560nnne0d 11681 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ≠ 0)
15617, 154, 155divcan2d 11412 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) · (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 𝐴)
157156fveq2d 6673 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) · (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) = (𝐹𝐴))
158 pcndvds2 16199 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ¬ 𝑃 ∥ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
1594, 16, 158syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
160 coprm 16050 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1))
1614, 64, 160syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝑃 ∥ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1))
162159, 161mpbid 233 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1)
163 prmz 16014 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1644, 163syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
165 rpexp1i 16060 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0) → ((𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1))
166164, 64, 53, 165syl3anc 1365 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃 gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1))
167162, 166mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) gcd (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))) = 1)
16844, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 60, 63, 167dchrisum0fmul 26015 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) · (𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))) = ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
169157, 168eqtr3d 2863 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴) = ((𝐹‘(𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) · (𝐹‘(𝐴 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))))
170153, 169breqtrrd 5091 1 (𝜑 → if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wral 3143  {crab 3147  ifcif 4470   class class class wbr 5063  cmpt 5143  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   · cmul 10536   < clt 10669  cle 10670   / cdiv 11291  cn 11632  2c2 11686  0cn0 11891  cz 11975  cuz 12237  cq 12342  +crp 12384  ..^cfzo 13028  cexp 13424  csqrt 14587  Σcsu 15037  cdvds 15602   gcd cgcd 15838  cprime 16010   pCnt cpc 16168  Basecbs 16478  0gc0g 16708  ℤRHomczrh 20582  ℤ/nczn 20585  DChrcdchr 25741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-disj 5029  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8284  df-ec 8286  df-qs 8290  df-map 8403  df-pm 8404  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-acn 9365  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ioc 12738  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13425  df-fac 13629  df-bc 13658  df-hash 13686  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419  df-pi 15421  df-dvds 15603  df-gcd 15839  df-prm 16011  df-numer 16070  df-denom 16071  df-pc 16169  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-qus 16777  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18051  df-minusg 18052  df-sbg 18053  df-mulg 18170  df-subg 18221  df-nsg 18222  df-eqg 18223  df-ghm 18301  df-cntz 18392  df-od 18592  df-cmn 18844  df-abl 18845  df-mgp 19176  df-ur 19188  df-ring 19235  df-cring 19236  df-oppr 19309  df-dvdsr 19327  df-unit 19328  df-invr 19358  df-dvr 19369  df-rnghom 19403  df-drng 19440  df-subrg 19469  df-lmod 19572  df-lss 19640  df-lsp 19680  df-sra 19880  df-rgmod 19881  df-lidl 19882  df-rsp 19883  df-2idl 19940  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-fbas 20477  df-fg 20478  df-cnfld 20481  df-zring 20553  df-zrh 20586  df-zn 20589  df-top 21437  df-topon 21454  df-topsp 21476  df-bases 21489  df-cld 21562  df-ntr 21563  df-cls 21564  df-nei 21641  df-lp 21679  df-perf 21680  df-cn 21770  df-cnp 21771  df-haus 21858  df-tx 22105  df-hmeo 22298  df-fil 22389  df-fm 22481  df-flim 22482  df-flf 22483  df-xms 22864  df-ms 22865  df-tms 22866  df-cncf 23420  df-limc 24398  df-dv 24399  df-log 25072  df-cxp 25073  df-dchr 25742
This theorem is referenced by:  dchrisum0flb  26019
  Copyright terms: Public domain W3C validator