Theorem logfacubnd 27512

Description: A simple upper bound on the logarithm of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logfacubnd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ≤ (𝐴 · (log‘𝐴)))

Proof of Theorem logfacubnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 13099	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flge1nn 13930	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ)
3	1, 2	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12637	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
5	4	faccld 14396	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (!‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ)
6	5	nnrpd 13132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (!‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ+)
7	6	relogcld 26915	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ∈ ℝ)
8	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		reflcl 13905	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
11	3	nnrpd 13132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ+)
12	11	relogcld 26915	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
13	10, 12	remulcld 11311	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((⌊‘𝐴) · (log‘(⌊‘𝐴))) ∈ ℝ)
14		relogcl 26867	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
15	14	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
16	8, 15	remulcld 11311	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝐴 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
17		facubnd 14412	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (!‘(⌊‘𝐴)) ≤ ((⌊‘𝐴)↑(⌊‘𝐴)))
18	4, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (!‘(⌊‘𝐴)) ≤ ((⌊‘𝐴)↑(⌊‘𝐴)))
19	3, 4	nnexpcld 14357	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((⌊‘𝐴)↑(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ)
20	19	nnrpd 13132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((⌊‘𝐴)↑(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ+)
21	6, 20	logled 26919	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((!‘(⌊‘𝐴)) ≤ ((⌊‘𝐴)↑(⌊‘𝐴)) ↔ (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ≤ (log‘((⌊‘𝐴)↑(⌊‘𝐴)))))
22	18, 21	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ≤ (log‘((⌊‘𝐴)↑(⌊‘𝐴))))
23	3	nnzd 12689	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
24		relogexp 26888	. . . 4 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ) → (log‘((⌊‘𝐴)↑(⌊‘𝐴))) = ((⌊‘𝐴) · (log‘(⌊‘𝐴))))
25	11, 23, 24	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘((⌊‘𝐴)↑(⌊‘𝐴))) = ((⌊‘𝐴) · (log‘(⌊‘𝐴))))
26	22, 25	breqtrd 5130	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ≤ ((⌊‘𝐴) · (log‘(⌊‘𝐴))))
27		flle 13908	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
28	8, 27	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
29		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
30	11, 29	logled 26919	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ↔ (log‘(⌊‘𝐴)) ≤ (log‘𝐴)))
31	28, 30	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘(⌊‘𝐴)) ≤ (log‘𝐴))
32	11	rprege0d 13141	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
33		log1 26877	. . . . . 6 ⊢ (log‘1) = 0
34	3	nnge1d 12356	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (⌊‘𝐴))
35		1rp 13094	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
36		logleb 26895	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ+) → (1 ≤ (⌊‘𝐴) ↔ (log‘1) ≤ (log‘(⌊‘𝐴))))
37	35, 11, 36	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (1 ≤ (⌊‘𝐴) ↔ (log‘1) ≤ (log‘(⌊‘𝐴))))
38	34, 37	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘1) ≤ (log‘(⌊‘𝐴)))
39	33, 38	eqbrtrrid 5140	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (log‘(⌊‘𝐴)))
40	12, 39	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((log‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (log‘(⌊‘𝐴))))
41		lemul12a 12145	. . . 4 ⊢ (((((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (⌊‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (((log‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (log‘(⌊‘𝐴))) ∧ (log‘𝐴) ∈ ℝ)) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ (log‘(⌊‘𝐴)) ≤ (log‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) · (log‘(⌊‘𝐴))) ≤ (𝐴 · (log‘𝐴))))
42	32, 8, 40, 15, 41	syl22anc 852	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ (log‘(⌊‘𝐴)) ≤ (log‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) · (log‘(⌊‘𝐴))) ≤ (𝐴 · (log‘𝐴))))
43	28, 31, 42	mp2and 712	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((⌊‘𝐴) · (log‘(⌊‘𝐴))) ≤ (𝐴 · (log‘𝐴)))
44	7, 13, 16, 26, 43	letrd 11439	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ≤ (𝐴 · (log‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℝcr 11171  0cc0 11172  1c1 11173   · cmul 11177   ≤ cle 11316  ℕcn 12305  ℕ₀cn0 12576  ℤcz 12663  ℝ⁺crp 13090  ⌊cfl 13899  ↑cexp 14173  !cfa 14385  logclog 26846

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250  ax-addf 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-z 12664  df-dec 12785  df-uz 12936  df-q 13046  df-rp 13091  df-xneg 13211  df-xadd 13212  df-xmul 13213  df-ioo 13450  df-ioc 13451  df-ico 13452  df-icc 13453  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-fl 13901  df-mod 13979  df-seq 14114  df-exp 14174  df-fac 14386  df-bc 14415  df-hash 14443  df-shft 15188  df-cj 15234  df-re 15235  df-im 15236  df-sqrt 15370  df-abs 15371  df-limsup 15606  df-clim 15623  df-rlim 15624  df-sum 15822  df-ef 16201  df-sin 16203  df-cos 16204  df-pi 16206  df-struct 17287  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-mulr 17404  df-starv 17405  df-sca 17406  df-vsca 17407  df-ip 17408  df-tset 17409  df-ple 17410  df-ds 17412  df-unif 17413  df-hom 17414  df-cco 17415  df-rest 17555  df-topn 17556  df-0g 17574  df-gsum 17575  df-topgen 17576  df-pt 17577  df-prds 17580  df-xrs 17636  df-qtop 17641  df-imas 17642  df-xps 17644  df-mre 17718  df-mrc 17719  df-acs 17721  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-submnd 18941  df-mulg 19240  df-cntz 19493  df-cmn 19958  df-psmet 21632  df-xmet 21633  df-met 21634  df-bl 21635  df-mopn 21636  df-fbas 21637  df-fg 21638  df-cnfld 21641  df-top 23174  df-topon 23191  df-topsp 23213  df-bases 23226  df-cld 23299  df-ntr 23300  df-cls 23301  df-nei 23378  df-lp 23416  df-perf 23417  df-cn 23507  df-cnp 23508  df-haus 23595  df-tx 23843  df-hmeo 24036  df-fil 24127  df-fm 24219  df-flim 24220  df-flf 24221  df-xms 24601  df-ms 24602  df-tms 24603  df-cncf 25161  df-limc 26148  df-dv 26149  df-log 26848

This theorem is used by: (None)