Theorem logfacubnd 27578

Description: A simple upper bound on the logarithm of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logfacubnd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ≤ (𝐴 · (log‘𝐴)))

Proof of Theorem logfacubnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 13156	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flge1nn 13988	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ)
3	1, 2	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12694	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
5	4	faccld 14455	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (!‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ)
6	5	nnrpd 13189	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (!‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ+)
7	6	relogcld 26981	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ∈ ℝ)
8	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		reflcl 13963	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
11	3	nnrpd 13189	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ+)
12	11	relogcld 26981	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
13	10, 12	remulcld 11366	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((⌊‘𝐴) · (log‘(⌊‘𝐴))) ∈ ℝ)
14		relogcl 26933	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
15	14	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
16	8, 15	remulcld 11366	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝐴 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
17		facubnd 14471	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (!‘(⌊‘𝐴)) ≤ ((⌊‘𝐴)↑(⌊‘𝐴)))
18	4, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (!‘(⌊‘𝐴)) ≤ ((⌊‘𝐴)↑(⌊‘𝐴)))
19	3, 4	nnexpcld 14416	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((⌊‘𝐴)↑(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ)
20	19	nnrpd 13189	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((⌊‘𝐴)↑(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ+)
21	6, 20	logled 26985	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((!‘(⌊‘𝐴)) ≤ ((⌊‘𝐴)↑(⌊‘𝐴)) ↔ (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ≤ (log‘((⌊‘𝐴)↑(⌊‘𝐴)))))
22	18, 21	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ≤ (log‘((⌊‘𝐴)↑(⌊‘𝐴))))
23	3	nnzd 12746	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
24		relogexp 26954	. . . 4 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ) → (log‘((⌊‘𝐴)↑(⌊‘𝐴))) = ((⌊‘𝐴) · (log‘(⌊‘𝐴))))
25	11, 23, 24	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘((⌊‘𝐴)↑(⌊‘𝐴))) = ((⌊‘𝐴) · (log‘(⌊‘𝐴))))
26	22, 25	breqtrd 5134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ≤ ((⌊‘𝐴) · (log‘(⌊‘𝐴))))
27		flle 13966	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
28	8, 27	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
29		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
30	11, 29	logled 26985	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ↔ (log‘(⌊‘𝐴)) ≤ (log‘𝐴)))
31	28, 30	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘(⌊‘𝐴)) ≤ (log‘𝐴))
32	11	rprege0d 13198	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (⌊‘𝐴)))
33		log1 26943	. . . . . 6 ⊢ (log‘1) = 0
34	3	nnge1d 12413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (⌊‘𝐴))
35		1rp 13151	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
36		logleb 26961	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ+) → (1 ≤ (⌊‘𝐴) ↔ (log‘1) ≤ (log‘(⌊‘𝐴))))
37	35, 11, 36	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (1 ≤ (⌊‘𝐴) ↔ (log‘1) ≤ (log‘(⌊‘𝐴))))
38	34, 37	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘1) ≤ (log‘(⌊‘𝐴)))
39	33, 38	eqbrtrrid 5144	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (log‘(⌊‘𝐴)))
40	12, 39	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((log‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (log‘(⌊‘𝐴))))
41		lemul12a 12202	. . . 4 ⊢ (((((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (⌊‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (((log‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (log‘(⌊‘𝐴))) ∧ (log‘𝐴) ∈ ℝ)) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ (log‘(⌊‘𝐴)) ≤ (log‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) · (log‘(⌊‘𝐴))) ≤ (𝐴 · (log‘𝐴))))
42	32, 8, 40, 15, 41	syl22anc 852	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ (log‘(⌊‘𝐴)) ≤ (log‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) · (log‘(⌊‘𝐴))) ≤ (𝐴 · (log‘𝐴))))
43	28, 31, 42	mp2and 712	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((⌊‘𝐴) · (log‘(⌊‘𝐴))) ≤ (𝐴 · (log‘𝐴)))
44	7, 13, 16, 26, 43	letrd 11494	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ≤ (𝐴 · (log‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228   · cmul 11232   ≤ cle 11371  ℕcn 12362  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720  ℝ⁺crp 13147  ⌊cfl 13957  ↑cexp 14231  !cfa 14444  logclog 26912

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-ioo 13507  df-ioc 13508  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-fac 14445  df-bc 14474  df-hash 14502  df-shft 15249  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-limsup 15667  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883  df-ef 16262  df-sin 16264  df-cos 16265  df-pi 16267  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-rest 17622  df-topn 17623  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-topgen 17643  df-pt 17644  df-prds 17647  df-xrs 17703  df-qtop 17708  df-imas 17709  df-xps 17711  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-mulg 19307  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-fbas 21705  df-fg 21706  df-cnfld 21709  df-top 23242  df-topon 23259  df-topsp 23281  df-bases 23294  df-cld 23367  df-ntr 23368  df-cls 23369  df-nei 23446  df-lp 23484  df-perf 23485  df-cn 23575  df-cnp 23576  df-haus 23663  df-tx 23911  df-hmeo 24104  df-fil 24195  df-fm 24287  df-flim 24288  df-flf 24289  df-xms 24669  df-ms 24670  df-tms 24671  df-cncf 25229  df-limc 26216  df-dv 26217  df-log 26914

This theorem is used by: (None)