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Theorem faclbnd6 14316
Description: Geometric lower bound for the factorial function, where N is usually held constant. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀)))

Proof of Theorem faclbnd6
Dummy variables 𝑚 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7432 . . . 4 (𝑚 = 0 → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑0))
21oveq2d 7440 . . 3 (𝑚 = 0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)))
3 oveq2 7432 . . . 4 (𝑚 = 0 → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + 0))
43fveq2d 6905 . . 3 (𝑚 = 0 → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + 0)))
52, 4breq12d 5166 . 2 (𝑚 = 0 → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) ≤ (!‘(𝑁 + 0))))
6 oveq2 7432 . . . 4 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑𝑘))
76oveq2d 7440 . . 3 (𝑚 = 𝑘 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)))
8 oveq2 7432 . . . 4 (𝑚 = 𝑘 → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + 𝑘))
98fveq2d 6905 . . 3 (𝑚 = 𝑘 → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + 𝑘)))
107, 9breq12d 5166 . 2 (𝑚 = 𝑘 → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))))
11 oveq2 7432 . . . 4 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1)))
1211oveq2d 7440 . . 3 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))))
13 oveq2 7432 . . . 4 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
1413fveq2d 6905 . . 3 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))
1512, 14breq12d 5166 . 2 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1)))))
16 oveq2 7432 . . . 4 (𝑚 = 𝑀 → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑𝑀))
1716oveq2d 7440 . . 3 (𝑚 = 𝑀 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)))
18 oveq2 7432 . . . 4 (𝑚 = 𝑀 → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + 𝑀))
1918fveq2d 6905 . . 3 (𝑚 = 𝑀 → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + 𝑀)))
2017, 19breq12d 5166 . 2 (𝑚 = 𝑀 → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀))))
21 faccl 14300 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
2221nnred 12279 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
2322leidd 11830 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≤ (!‘𝑁))
24 nn0cn 12534 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
25 peano2cn 11436 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
2726exp0d 14159 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)↑0) = 1)
2827oveq2d 7440 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) = ((!‘𝑁) · 1))
2921nncnd 12280 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
3029mulridd 11281 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · 1) = (!‘𝑁))
3128, 30eqtrd 2766 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) = (!‘𝑁))
3224addridd 11464 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 0) = 𝑁)
3332fveq2d 6905 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 0)) = (!‘𝑁))
3423, 31, 333brtr4d 5185 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) ≤ (!‘(𝑁 + 0)))
3522adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
36 peano2nn0 12564 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3736nn0red 12585 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
38 reexpcl 14098 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ)
3937, 38sylan 578 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ)
4035, 39remulcld 11294 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ)
41 nnnn0 12531 . . . . . . . . . . 11 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ0)
4241nn0ge0d 12587 . . . . . . . . . 10 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → 0 ≤ (!‘𝑁))
4321, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑁))
4443adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (!‘𝑁))
4537adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
46 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4736nn0ge0d 12587 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
4847adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑁 + 1))
4945, 46, 48expge0d 14183 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑁 + 1)↑𝑘))
5035, 39, 44, 49mulge0d 11841 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)))
5140, 50jca 510 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))))
52 nn0addcl 12559 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑘) ∈ ℕ0)
5352faccld 14301 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℕ)
5453nnred 12279 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ)
55 nn0re 12533 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
56 peano2nn0 12564 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
5756nn0red 12585 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
58 readdcl 11241 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
5955, 57, 58syl2an 594 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
6045, 48, 59jca31 513 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
6151, 54, 60jca31 513 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))) ∧ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)))
6261adantr 479 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))) ∧ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)))
6332adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 0) = 𝑁)
64 nn0ge0 12549 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
6564adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑘)
66 0re 11266 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
67 nn0re 12533 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
6867adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
6955adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
70 leadd2 11733 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑘 ↔ (𝑁 + 0) ≤ (𝑁 + 𝑘)))
7166, 68, 69, 70mp3an2i 1463 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑘 ↔ (𝑁 + 0) ≤ (𝑁 + 𝑘)))
7265, 71mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 0) ≤ (𝑁 + 𝑘))
7363, 72eqbrtrrd 5177 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘))
7452nn0red 12585 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑘) ∈ ℝ)
75 1re 11264 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
76 leadd1 11732 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
7775, 76mp3an3 1447 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
7869, 74, 77syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
7973, 78mpbid 231 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1))
80 nn0cn 12534 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
81 ax-1cn 11216 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
82 addass 11245 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
8381, 82mp3an3 1447 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
8424, 80, 83syl2an 594 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
8579, 84breqtrd 5179 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + (𝑘 + 1)))
8685anim1ci 614 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∧ (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + (𝑘 + 1))))
87 lemul12a 12123 . . . 4 ((((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))) ∧ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)) → ((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∧ (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + (𝑘 + 1))) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)) ≤ ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1)))))
8862, 86, 87sylc 65 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)) ≤ ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
89 expp1 14088 . . . . . . 7 (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1)) = (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1)))
9026, 89sylan 578 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1)) = (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1)))
9190oveq2d 7440 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) = ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1))))
9229adantr 479 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
93 expcl 14099 . . . . . . 7 (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℂ)
9426, 93sylan 578 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℂ)
9526adantr 479 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
9692, 94, 95mulassd 11287 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1))))
9791, 96eqtr4d 2769 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)))
9897adantr 479 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)))
99 facp1 14295 . . . . . 6 ((𝑁 + 𝑘) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 + 𝑘) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
10052, 99syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑁 + 𝑘) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
10184fveq2d 6905 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑁 + 𝑘) + 1)) = (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))
10284oveq2d 7440 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · ((𝑁 + 𝑘) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
103100, 101, 1023eqtr3d 2774 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
104103adantr 479 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
10588, 98, 1043brtr4d 5185 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))
1065, 10, 15, 20, 34, 105nn0indd 12711 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5153  cfv 6554  (class class class)co 7424  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161   · cmul 11163  cle 11299  cn 12264  0cn0 12524  cexp 14081  !cfa 14290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fac 14291
This theorem is referenced by:  eftlub  16111
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