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Theorem faclbnd6 13893
Description: Geometric lower bound for the factorial function, where N is usually held constant. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀)))

Proof of Theorem faclbnd6
Dummy variables 𝑚 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7240 . . . 4 (𝑚 = 0 → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑0))
21oveq2d 7248 . . 3 (𝑚 = 0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)))
3 oveq2 7240 . . . 4 (𝑚 = 0 → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + 0))
43fveq2d 6740 . . 3 (𝑚 = 0 → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + 0)))
52, 4breq12d 5081 . 2 (𝑚 = 0 → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) ≤ (!‘(𝑁 + 0))))
6 oveq2 7240 . . . 4 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑𝑘))
76oveq2d 7248 . . 3 (𝑚 = 𝑘 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)))
8 oveq2 7240 . . . 4 (𝑚 = 𝑘 → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + 𝑘))
98fveq2d 6740 . . 3 (𝑚 = 𝑘 → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + 𝑘)))
107, 9breq12d 5081 . 2 (𝑚 = 𝑘 → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))))
11 oveq2 7240 . . . 4 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1)))
1211oveq2d 7248 . . 3 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))))
13 oveq2 7240 . . . 4 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
1413fveq2d 6740 . . 3 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))
1512, 14breq12d 5081 . 2 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1)))))
16 oveq2 7240 . . . 4 (𝑚 = 𝑀 → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑𝑀))
1716oveq2d 7248 . . 3 (𝑚 = 𝑀 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)))
18 oveq2 7240 . . . 4 (𝑚 = 𝑀 → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + 𝑀))
1918fveq2d 6740 . . 3 (𝑚 = 𝑀 → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + 𝑀)))
2017, 19breq12d 5081 . 2 (𝑚 = 𝑀 → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀))))
21 faccl 13877 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
2221nnred 11870 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
2322leidd 11423 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≤ (!‘𝑁))
24 nn0cn 12125 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
25 peano2cn 11029 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
2726exp0d 13738 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)↑0) = 1)
2827oveq2d 7248 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) = ((!‘𝑁) · 1))
2921nncnd 11871 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
3029mulid1d 10875 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · 1) = (!‘𝑁))
3128, 30eqtrd 2778 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) = (!‘𝑁))
3224addid1d 11057 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 0) = 𝑁)
3332fveq2d 6740 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 0)) = (!‘𝑁))
3423, 31, 333brtr4d 5100 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) ≤ (!‘(𝑁 + 0)))
3522adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
36 peano2nn0 12155 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3736nn0red 12176 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
38 reexpcl 13679 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ)
3937, 38sylan 583 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ)
4035, 39remulcld 10888 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ)
41 nnnn0 12122 . . . . . . . . . . 11 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ0)
4241nn0ge0d 12178 . . . . . . . . . 10 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → 0 ≤ (!‘𝑁))
4321, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑁))
4443adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (!‘𝑁))
4537adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
46 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4736nn0ge0d 12178 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
4847adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑁 + 1))
4945, 46, 48expge0d 13762 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑁 + 1)↑𝑘))
5035, 39, 44, 49mulge0d 11434 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)))
5140, 50jca 515 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))))
52 nn0addcl 12150 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑘) ∈ ℕ0)
5352faccld 13878 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℕ)
5453nnred 11870 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ)
55 nn0re 12124 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
56 peano2nn0 12155 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
5756nn0red 12176 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
58 readdcl 10837 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
5955, 57, 58syl2an 599 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
6045, 48, 59jca31 518 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
6151, 54, 60jca31 518 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))) ∧ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)))
6261adantr 484 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))) ∧ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)))
6332adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 0) = 𝑁)
64 nn0ge0 12140 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
6564adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑘)
66 0re 10860 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
67 nn0re 12124 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
6867adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
6955adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
70 leadd2 11326 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑘 ↔ (𝑁 + 0) ≤ (𝑁 + 𝑘)))
7166, 68, 69, 70mp3an2i 1468 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑘 ↔ (𝑁 + 0) ≤ (𝑁 + 𝑘)))
7265, 71mpbid 235 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 0) ≤ (𝑁 + 𝑘))
7363, 72eqbrtrrd 5092 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘))
7452nn0red 12176 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑘) ∈ ℝ)
75 1re 10858 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
76 leadd1 11325 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
7775, 76mp3an3 1452 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
7869, 74, 77syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
7973, 78mpbid 235 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1))
80 nn0cn 12125 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
81 ax-1cn 10812 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
82 addass 10841 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
8381, 82mp3an3 1452 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
8424, 80, 83syl2an 599 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
8579, 84breqtrd 5094 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + (𝑘 + 1)))
8685anim1ci 619 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∧ (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + (𝑘 + 1))))
87 lemul12a 11715 . . . 4 ((((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))) ∧ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)) → ((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∧ (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + (𝑘 + 1))) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)) ≤ ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1)))))
8862, 86, 87sylc 65 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)) ≤ ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
89 expp1 13669 . . . . . . 7 (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1)) = (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1)))
9026, 89sylan 583 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1)) = (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1)))
9190oveq2d 7248 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) = ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1))))
9229adantr 484 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
93 expcl 13680 . . . . . . 7 (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℂ)
9426, 93sylan 583 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℂ)
9526adantr 484 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
9692, 94, 95mulassd 10881 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1))))
9791, 96eqtr4d 2781 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)))
9897adantr 484 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)))
99 facp1 13872 . . . . . 6 ((𝑁 + 𝑘) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 + 𝑘) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
10052, 99syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑁 + 𝑘) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
10184fveq2d 6740 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑁 + 𝑘) + 1)) = (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))
10284oveq2d 7248 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · ((𝑁 + 𝑘) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
103100, 101, 1023eqtr3d 2786 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
104103adantr 484 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
10588, 98, 1043brtr4d 5100 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))
1065, 10, 15, 20, 34, 105nn0indd 12299 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2111   class class class wbr 5068  cfv 6398  (class class class)co 7232  cc 10752  cr 10753  0cc0 10754  1c1 10755   + caddc 10757   · cmul 10759  cle 10893  cn 11855  0cn0 12115  cexp 13662  !cfa 13867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pow 5273  ax-pr 5337  ax-un 7542  ax-cnex 10810  ax-resscn 10811  ax-1cn 10812  ax-icn 10813  ax-addcl 10814  ax-addrcl 10815  ax-mulcl 10816  ax-mulrcl 10817  ax-mulcom 10818  ax-addass 10819  ax-mulass 10820  ax-distr 10821  ax-i2m1 10822  ax-1ne0 10823  ax-1rid 10824  ax-rnegex 10825  ax-rrecex 10826  ax-cnre 10827  ax-pre-lttri 10828  ax-pre-lttrn 10829  ax-pre-ltadd 10830  ax-pre-mulgt0 10831
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3423  df-sbc 3710  df-csb 3827  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4253  df-if 4455  df-pw 4530  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4835  df-iun 4921  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5151  df-tr 5177  df-id 5470  df-eprel 5475  df-po 5483  df-so 5484  df-fr 5524  df-we 5526  df-xp 5572  df-rel 5573  df-cnv 5574  df-co 5575  df-dm 5576  df-rn 5577  df-res 5578  df-ima 5579  df-pred 6176  df-ord 6234  df-on 6235  df-lim 6236  df-suc 6237  df-iota 6356  df-fun 6400  df-fn 6401  df-f 6402  df-f1 6403  df-fo 6404  df-f1o 6405  df-fv 6406  df-riota 7189  df-ov 7235  df-oprab 7236  df-mpo 7237  df-om 7664  df-2nd 7781  df-wrecs 8068  df-recs 8129  df-rdg 8167  df-er 8412  df-en 8648  df-dom 8649  df-sdom 8650  df-pnf 10894  df-mnf 10895  df-xr 10896  df-ltxr 10897  df-le 10898  df-sub 11089  df-neg 11090  df-nn 11856  df-n0 12116  df-z 12202  df-uz 12464  df-seq 13602  df-exp 13663  df-fac 13868
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