MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclbnd6 14259
Description: Geometric lower bound for the factorial function, where N is usually held constant. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘€)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘€)))

Proof of Theorem faclbnd6
Dummy variables ๐‘š ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7417 . . . 4 (๐‘š = 0 โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘š) = ((๐‘ + 1)โ†‘0))
21oveq2d 7425 . . 3 (๐‘š = 0 โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘š)) = ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘0)))
3 oveq2 7417 . . . 4 (๐‘š = 0 โ†’ (๐‘ + ๐‘š) = (๐‘ + 0))
43fveq2d 6896 . . 3 (๐‘š = 0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ + ๐‘š)) = (!โ€˜(๐‘ + 0)))
52, 4breq12d 5162 . 2 (๐‘š = 0 โ†’ (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘š)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘š)) โ†” ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘0)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + 0))))
6 oveq2 7417 . . . 4 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘š) = ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜))
76oveq2d 7425 . . 3 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘š)) = ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)))
8 oveq2 7417 . . . 4 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ + ๐‘š) = (๐‘ + ๐‘˜))
98fveq2d 6896 . . 3 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜(๐‘ + ๐‘š)) = (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)))
107, 9breq12d 5162 . 2 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘š)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘š)) โ†” ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜))))
11 oveq2 7417 . . . 4 (๐‘š = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘š) = ((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
1211oveq2d 7425 . . 3 (๐‘š = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘š)) = ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘˜ + 1))))
13 oveq2 7417 . . . 4 (๐‘š = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘ + ๐‘š) = (๐‘ + (๐‘˜ + 1)))
1413fveq2d 6896 . . 3 (๐‘š = (๐‘˜ + 1) โ†’ (!โ€˜(๐‘ + ๐‘š)) = (!โ€˜(๐‘ + (๐‘˜ + 1))))
1512, 14breq12d 5162 . 2 (๐‘š = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘š)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘š)) โ†” ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + (๐‘˜ + 1)))))
16 oveq2 7417 . . . 4 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘š) = ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘€))
1716oveq2d 7425 . . 3 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘š)) = ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘€)))
18 oveq2 7417 . . . 4 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (๐‘ + ๐‘š) = (๐‘ + ๐‘€))
1918fveq2d 6896 . . 3 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (!โ€˜(๐‘ + ๐‘š)) = (!โ€˜(๐‘ + ๐‘€)))
2017, 19breq12d 5162 . 2 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘š)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘š)) โ†” ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘€)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘€))))
21 faccl 14243 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
2221nnred 12227 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
2322leidd 11780 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰ค (!โ€˜๐‘))
24 nn0cn 12482 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
25 peano2cn 11386 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
2726exp0d 14105 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘0) = 1)
2827oveq2d 7425 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘0)) = ((!โ€˜๐‘) ยท 1))
2921nncnd 12228 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
3029mulridd 11231 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท 1) = (!โ€˜๐‘))
3128, 30eqtrd 2773 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘0)) = (!โ€˜๐‘))
3224addridd 11414 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 0) = ๐‘)
3332fveq2d 6896 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 0)) = (!โ€˜๐‘))
3423, 31, 333brtr4d 5181 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘0)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + 0)))
3522adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
36 peano2nn0 12512 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
3736nn0red 12533 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
38 reexpcl 14044 . . . . . . . . 9 (((๐‘ + 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
3937, 38sylan 581 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
4035, 39remulcld 11244 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
41 nnnn0 12479 . . . . . . . . . . 11 ((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
4241nn0ge0d 12535 . . . . . . . . . 10 ((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘))
4321, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘))
4443adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘))
4537adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
46 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
4736nn0ge0d 12535 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ + 1))
4847adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ + 1))
4945, 46, 48expge0d 14129 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜))
5035, 39, 44, 49mulge0d 11791 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)))
5140, 50jca 513 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜))))
52 nn0addcl 12507 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
5352faccld 14244 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) โˆˆ โ„•)
5453nnred 12227 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) โˆˆ โ„)
55 nn0re 12481 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
56 peano2nn0 12512 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
5756nn0red 12533 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
58 readdcl 11193 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ + (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
5955, 57, 58syl2an 597 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
6045, 48, 59jca31 516 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘ + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘ + 1)) โˆง (๐‘ + (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„))
6151, 54, 60jca31 516 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜))) โˆง (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) โˆˆ โ„) โˆง (((๐‘ + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘ + 1)) โˆง (๐‘ + (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)))
6261adantr 482 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜))) โ†’ (((((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜))) โˆง (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) โˆˆ โ„) โˆง (((๐‘ + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘ + 1)) โˆง (๐‘ + (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)))
6332adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + 0) = ๐‘)
64 nn0ge0 12497 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐‘˜)
6564adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘˜)
66 0re 11216 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
67 nn0re 12481 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
6867adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
6955adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
70 leadd2 11683 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘˜ โ†” (๐‘ + 0) โ‰ค (๐‘ + ๐‘˜)))
7166, 68, 69, 70mp3an2i 1467 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘˜ โ†” (๐‘ + 0) โ‰ค (๐‘ + ๐‘˜)))
7265, 71mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + 0) โ‰ค (๐‘ + ๐‘˜))
7363, 72eqbrtrrd 5173 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐‘ + ๐‘˜))
7452nn0red 12533 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + ๐‘˜) โˆˆ โ„)
75 1re 11214 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„
76 leadd1 11682 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ + ๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘ + ๐‘˜) โ†” (๐‘ + 1) โ‰ค ((๐‘ + ๐‘˜) + 1)))
7775, 76mp3an3 1451 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ + ๐‘˜) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘ + ๐‘˜) โ†” (๐‘ + 1) โ‰ค ((๐‘ + ๐‘˜) + 1)))
7869, 74, 77syl2anc 585 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘ + ๐‘˜) โ†” (๐‘ + 1) โ‰ค ((๐‘ + ๐‘˜) + 1)))
7973, 78mpbid 231 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + 1) โ‰ค ((๐‘ + ๐‘˜) + 1))
80 nn0cn 12482 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
81 ax-1cn 11168 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„‚
82 addass 11197 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ + ๐‘˜) + 1) = (๐‘ + (๐‘˜ + 1)))
8381, 82mp3an3 1451 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ + ๐‘˜) + 1) = (๐‘ + (๐‘˜ + 1)))
8424, 80, 83syl2an 597 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ + ๐‘˜) + 1) = (๐‘ + (๐‘˜ + 1)))
8579, 84breqtrd 5175 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + 1) โ‰ค (๐‘ + (๐‘˜ + 1)))
8685anim1ci 617 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜))) โ†’ (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) โˆง (๐‘ + 1) โ‰ค (๐‘ + (๐‘˜ + 1))))
87 lemul12a 12072 . . . 4 ((((((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜))) โˆง (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) โˆˆ โ„) โˆง (((๐‘ + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘ + 1)) โˆง (๐‘ + (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)) โ†’ ((((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) โˆง (๐‘ + 1) โ‰ค (๐‘ + (๐‘˜ + 1))) โ†’ (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) ยท (๐‘ + 1)) โ‰ค ((!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) ยท (๐‘ + (๐‘˜ + 1)))))
8862, 86, 87sylc 65 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜))) โ†’ (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) ยท (๐‘ + 1)) โ‰ค ((!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) ยท (๐‘ + (๐‘˜ + 1))))
89 expp1 14034 . . . . . . 7 (((๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ + 1)))
9026, 89sylan 581 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ + 1)))
9190oveq2d 7425 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((!โ€˜๐‘) ยท (((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ + 1))))
9229adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
93 expcl 14045 . . . . . . 7 (((๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
9426, 93sylan 581 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
9526adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
9692, 94, 95mulassd 11237 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) ยท (๐‘ + 1)) = ((!โ€˜๐‘) ยท (((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ + 1))))
9791, 96eqtr4d 2776 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘˜ + 1))) = (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) ยท (๐‘ + 1)))
9897adantr 482 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜))) โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘˜ + 1))) = (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) ยท (๐‘ + 1)))
99 facp1 14238 . . . . . 6 ((๐‘ + ๐‘˜) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((๐‘ + ๐‘˜) + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) ยท ((๐‘ + ๐‘˜) + 1)))
10052, 99syl 17 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜((๐‘ + ๐‘˜) + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) ยท ((๐‘ + ๐‘˜) + 1)))
10184fveq2d 6896 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜((๐‘ + ๐‘˜) + 1)) = (!โ€˜(๐‘ + (๐‘˜ + 1))))
10284oveq2d 7425 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) ยท ((๐‘ + ๐‘˜) + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) ยท (๐‘ + (๐‘˜ + 1))))
103100, 101, 1023eqtr3d 2781 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(๐‘ + (๐‘˜ + 1))) = ((!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) ยท (๐‘ + (๐‘˜ + 1))))
104103adantr 482 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜))) โ†’ (!โ€˜(๐‘ + (๐‘˜ + 1))) = ((!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) ยท (๐‘ + (๐‘˜ + 1))))
10588, 98, 1043brtr4d 5181 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜))) โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + (๐‘˜ + 1))))
1065, 10, 15, 20, 34, 105nn0indd 12659 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘€)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘€)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โ‰ค cle 11249  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ†‘cexp 14027  !cfa 14233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234
This theorem is referenced by:  eftlub  16052
  Copyright terms: Public domain W3C validator