Theorem faclbnd6 14396

Description: Geometric lower bound for the factorial function, where N is usually held constant. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd6	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀)))

Proof of Theorem faclbnd6

Dummy variables 𝑚 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7417	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑0))
2	1	oveq2d 7425	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)))
3		oveq2 7417	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + 0))
4	3	fveq2d 6878	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0 → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + 0)))
5	2, 4	breq12d 5116	. 2 ⊢ (𝑚 = 0 → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) ≤ (!‘(𝑁 + 0))))
6		oveq2 7417	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑𝑘))
7	6	oveq2d 7425	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)))
8		oveq2 7417	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + 𝑘))
9	8	fveq2d 6878	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + 𝑘)))
10	7, 9	breq12d 5116	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))))
11		oveq2 7417	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1)))
12	11	oveq2d 7425	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))))
13		oveq2 7417	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
14	13	fveq2d 6878	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))
15	12, 14	breq12d 5116	. 2 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1)))))
16		oveq2 7417	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑𝑀))
17	16	oveq2d 7425	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)))
18		oveq2 7417	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + 𝑀))
19	18	fveq2d 6878	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + 𝑀)))
20	17, 19	breq12d 5116	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀))))
21		faccl 14380	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
22	21	nnred 12305	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
23	22	leidd 11837	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≤ (!‘𝑁))
24		nn0cn 12571	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
25		peano2cn 11439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
26	24, 25	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
27	26	exp0d 14237	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)↑0) = 1)
28	27	oveq2d 7425	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) = ((!‘𝑁) · 1))
29	21	nncnd 12306	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
30	29	mulridd 11283	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · 1) = (!‘𝑁))
31	28, 30	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) = (!‘𝑁))
32	24	addridd 11467	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 0) = 𝑁)
33	32	fveq2d 6878	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 0)) = (!‘𝑁))
34	23, 31, 33	3brtr4d 5137	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) ≤ (!‘(𝑁 + 0)))
35	22	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
36		peano2nn0 12601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
37	36	nn0red 12623	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
38		reexpcl 14175	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ)
39	37, 38	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ)
40	35, 39	remulcld 11296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ)
41		nnnn0 12568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ0)
42	41	nn0ge0d 12625	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → 0 ≤ (!‘𝑁))
43	21, 42	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑁))
44	43	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (!‘𝑁))
45	37	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
46		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
47	36	nn0ge0d 12625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
48	47	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑁 + 1))
49	45, 46, 48	expge0d 14261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑁 + 1)↑𝑘))
50	35, 39, 44, 49	mulge0d 11848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)))
51	40, 50	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))))
52		nn0addcl 12596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑘) ∈ ℕ0)
53	52	faccld 14381	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℕ)
54	53	nnred 12305	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ)
55		nn0re 12570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
56		peano2nn0 12601	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
57	56	nn0red 12623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
58		readdcl 11240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
59	55, 57, 58	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
60	45, 48, 59	jca31 524	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
61	51, 54, 60	jca31 524	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))) ∧ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)))
62	61	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))) ∧ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)))
63	32	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 0) = 𝑁)
64		nn0ge0 12586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
65	64	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑘)
66		0re 11267	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
67		nn0re 12570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
68	67	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
69	55	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
70		leadd2 11740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑘 ↔ (𝑁 + 0) ≤ (𝑁 + 𝑘)))
71	66, 68, 69, 70	mp3an2i 1495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑘 ↔ (𝑁 + 0) ≤ (𝑁 + 𝑘)))
72	65, 71	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 0) ≤ (𝑁 + 𝑘))
73	63, 72	eqbrtrrd 5129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘))
74	52	nn0red 12623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑘) ∈ ℝ)
75		1re 11265	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
76		leadd1 11739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
77	75, 76	mp3an3 1479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
78	69, 74, 77	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
79	73, 78	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1))
80		nn0cn 12571	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
81		ax-1cn 11215	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
82		addass 11244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
83	81, 82	mp3an3 1479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
84	24, 80, 83	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
85	79, 84	breqtrd 5131	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + (𝑘 + 1)))
86	85	anim1ci 628	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∧ (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + (𝑘 + 1))))
87		lemul12a 12130	. . . 4 ⊢ ((((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))) ∧ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)) → ((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∧ (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + (𝑘 + 1))) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)) ≤ ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1)))))
88	62, 86, 87	sylc 66	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)) ≤ ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
89		expp1 14165	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1)) = (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1)))
90	26, 89	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1)) = (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1)))
91	90	oveq2d 7425	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) = ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1))))
92	29	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
93		expcl 14176	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℂ)
94	26, 93	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℂ)
95	26	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
96	92, 94, 95	mulassd 11289	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1))))
97	91, 96	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)))
98	97	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)))
99		facp1 14375	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 + 𝑘) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 + 𝑘) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
100	52, 99	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑁 + 𝑘) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
101	84	fveq2d 6878	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑁 + 𝑘) + 1)) = (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))
102	84	oveq2d 7425	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · ((𝑁 + 𝑘) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
103	100, 101, 102	3eqtr3d 2803	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
104	103	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
105	88, 98, 104	3brtr4d 5137	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))
106	5, 10, 15, 20, 34, 105	nn0indd 12751	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ℂcc 11155  ℝcr 11156  0cc0 11157  1c1 11158   + caddc 11160   · cmul 11162   ≤ cle 11301  ℕcn 12290  ℕ₀cn0 12561  ↑cexp 14158  !cfa 14370

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-seq 14099  df-exp 14159  df-fac 14371

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