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Theorem faclbnd6 14199
Description: Geometric lower bound for the factorial function, where N is usually held constant. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀)))

Proof of Theorem faclbnd6
Dummy variables 𝑚 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7365 . . . 4 (𝑚 = 0 → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑0))
21oveq2d 7373 . . 3 (𝑚 = 0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)))
3 oveq2 7365 . . . 4 (𝑚 = 0 → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + 0))
43fveq2d 6846 . . 3 (𝑚 = 0 → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + 0)))
52, 4breq12d 5118 . 2 (𝑚 = 0 → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) ≤ (!‘(𝑁 + 0))))
6 oveq2 7365 . . . 4 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑𝑘))
76oveq2d 7373 . . 3 (𝑚 = 𝑘 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)))
8 oveq2 7365 . . . 4 (𝑚 = 𝑘 → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + 𝑘))
98fveq2d 6846 . . 3 (𝑚 = 𝑘 → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + 𝑘)))
107, 9breq12d 5118 . 2 (𝑚 = 𝑘 → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))))
11 oveq2 7365 . . . 4 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1)))
1211oveq2d 7373 . . 3 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))))
13 oveq2 7365 . . . 4 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
1413fveq2d 6846 . . 3 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))
1512, 14breq12d 5118 . 2 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1)))))
16 oveq2 7365 . . . 4 (𝑚 = 𝑀 → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑𝑀))
1716oveq2d 7373 . . 3 (𝑚 = 𝑀 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)))
18 oveq2 7365 . . . 4 (𝑚 = 𝑀 → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + 𝑀))
1918fveq2d 6846 . . 3 (𝑚 = 𝑀 → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + 𝑀)))
2017, 19breq12d 5118 . 2 (𝑚 = 𝑀 → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀))))
21 faccl 14183 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
2221nnred 12168 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
2322leidd 11721 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≤ (!‘𝑁))
24 nn0cn 12423 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
25 peano2cn 11327 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
2726exp0d 14045 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)↑0) = 1)
2827oveq2d 7373 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) = ((!‘𝑁) · 1))
2921nncnd 12169 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
3029mulid1d 11172 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · 1) = (!‘𝑁))
3128, 30eqtrd 2776 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) = (!‘𝑁))
3224addid1d 11355 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 0) = 𝑁)
3332fveq2d 6846 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 0)) = (!‘𝑁))
3423, 31, 333brtr4d 5137 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) ≤ (!‘(𝑁 + 0)))
3522adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
36 peano2nn0 12453 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3736nn0red 12474 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
38 reexpcl 13984 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ)
3937, 38sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ)
4035, 39remulcld 11185 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ)
41 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . 11 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ0)
4241nn0ge0d 12476 . . . . . . . . . 10 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → 0 ≤ (!‘𝑁))
4321, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑁))
4443adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (!‘𝑁))
4537adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
46 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4736nn0ge0d 12476 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
4847adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑁 + 1))
4945, 46, 48expge0d 14069 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑁 + 1)↑𝑘))
5035, 39, 44, 49mulge0d 11732 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)))
5140, 50jca 512 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))))
52 nn0addcl 12448 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑘) ∈ ℕ0)
5352faccld 14184 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℕ)
5453nnred 12168 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ)
55 nn0re 12422 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
56 peano2nn0 12453 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
5756nn0red 12474 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
58 readdcl 11134 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
5955, 57, 58syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
6045, 48, 59jca31 515 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
6151, 54, 60jca31 515 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))) ∧ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)))
6261adantr 481 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))) ∧ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)))
6332adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 0) = 𝑁)
64 nn0ge0 12438 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
6564adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑘)
66 0re 11157 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
67 nn0re 12422 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
6867adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
6955adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
70 leadd2 11624 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑘 ↔ (𝑁 + 0) ≤ (𝑁 + 𝑘)))
7166, 68, 69, 70mp3an2i 1466 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑘 ↔ (𝑁 + 0) ≤ (𝑁 + 𝑘)))
7265, 71mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 0) ≤ (𝑁 + 𝑘))
7363, 72eqbrtrrd 5129 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘))
7452nn0red 12474 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑘) ∈ ℝ)
75 1re 11155 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
76 leadd1 11623 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
7775, 76mp3an3 1450 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
7869, 74, 77syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
7973, 78mpbid 231 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1))
80 nn0cn 12423 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
81 ax-1cn 11109 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
82 addass 11138 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
8381, 82mp3an3 1450 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
8424, 80, 83syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
8579, 84breqtrd 5131 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + (𝑘 + 1)))
8685anim1ci 616 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∧ (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + (𝑘 + 1))))
87 lemul12a 12013 . . . 4 ((((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))) ∧ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)) → ((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∧ (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + (𝑘 + 1))) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)) ≤ ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1)))))
8862, 86, 87sylc 65 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)) ≤ ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
89 expp1 13974 . . . . . . 7 (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1)) = (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1)))
9026, 89sylan 580 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1)) = (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1)))
9190oveq2d 7373 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) = ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1))))
9229adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
93 expcl 13985 . . . . . . 7 (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℂ)
9426, 93sylan 580 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℂ)
9526adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
9692, 94, 95mulassd 11178 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1))))
9791, 96eqtr4d 2779 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)))
9897adantr 481 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)))
99 facp1 14178 . . . . . 6 ((𝑁 + 𝑘) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 + 𝑘) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
10052, 99syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑁 + 𝑘) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
10184fveq2d 6846 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑁 + 𝑘) + 1)) = (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))
10284oveq2d 7373 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · ((𝑁 + 𝑘) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
103100, 101, 1023eqtr3d 2784 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
104103adantr 481 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
10588, 98, 1043brtr4d 5137 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))
1065, 10, 15, 20, 34, 105nn0indd 12600 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cle 11190  cn 12153  0cn0 12413  cexp 13967  !cfa 14173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174
This theorem is referenced by:  eftlub  15991
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