MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclbnd6 14263
Description: Geometric lower bound for the factorial function, where N is usually held constant. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘€)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘€)))

Proof of Theorem faclbnd6
Dummy variables ๐‘š ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7419 . . . 4 (๐‘š = 0 โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘š) = ((๐‘ + 1)โ†‘0))
21oveq2d 7427 . . 3 (๐‘š = 0 โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘š)) = ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘0)))
3 oveq2 7419 . . . 4 (๐‘š = 0 โ†’ (๐‘ + ๐‘š) = (๐‘ + 0))
43fveq2d 6894 . . 3 (๐‘š = 0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ + ๐‘š)) = (!โ€˜(๐‘ + 0)))
52, 4breq12d 5160 . 2 (๐‘š = 0 โ†’ (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘š)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘š)) โ†” ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘0)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + 0))))
6 oveq2 7419 . . . 4 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘š) = ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜))
76oveq2d 7427 . . 3 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘š)) = ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)))
8 oveq2 7419 . . . 4 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ + ๐‘š) = (๐‘ + ๐‘˜))
98fveq2d 6894 . . 3 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜(๐‘ + ๐‘š)) = (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)))
107, 9breq12d 5160 . 2 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘š)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘š)) โ†” ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜))))
11 oveq2 7419 . . . 4 (๐‘š = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘š) = ((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
1211oveq2d 7427 . . 3 (๐‘š = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘š)) = ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘˜ + 1))))
13 oveq2 7419 . . . 4 (๐‘š = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘ + ๐‘š) = (๐‘ + (๐‘˜ + 1)))
1413fveq2d 6894 . . 3 (๐‘š = (๐‘˜ + 1) โ†’ (!โ€˜(๐‘ + ๐‘š)) = (!โ€˜(๐‘ + (๐‘˜ + 1))))
1512, 14breq12d 5160 . 2 (๐‘š = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘š)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘š)) โ†” ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + (๐‘˜ + 1)))))
16 oveq2 7419 . . . 4 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘š) = ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘€))
1716oveq2d 7427 . . 3 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘š)) = ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘€)))
18 oveq2 7419 . . . 4 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (๐‘ + ๐‘š) = (๐‘ + ๐‘€))
1918fveq2d 6894 . . 3 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (!โ€˜(๐‘ + ๐‘š)) = (!โ€˜(๐‘ + ๐‘€)))
2017, 19breq12d 5160 . 2 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘š)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘š)) โ†” ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘€)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘€))))
21 faccl 14247 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
2221nnred 12231 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
2322leidd 11784 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰ค (!โ€˜๐‘))
24 nn0cn 12486 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
25 peano2cn 11390 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
2726exp0d 14109 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘0) = 1)
2827oveq2d 7427 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘0)) = ((!โ€˜๐‘) ยท 1))
2921nncnd 12232 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
3029mulridd 11235 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท 1) = (!โ€˜๐‘))
3128, 30eqtrd 2770 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘0)) = (!โ€˜๐‘))
3224addridd 11418 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 0) = ๐‘)
3332fveq2d 6894 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 0)) = (!โ€˜๐‘))
3423, 31, 333brtr4d 5179 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘0)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + 0)))
3522adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
36 peano2nn0 12516 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
3736nn0red 12537 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
38 reexpcl 14048 . . . . . . . . 9 (((๐‘ + 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
3937, 38sylan 578 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
4035, 39remulcld 11248 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
41 nnnn0 12483 . . . . . . . . . . 11 ((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
4241nn0ge0d 12539 . . . . . . . . . 10 ((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘))
4321, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘))
4443adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘))
4537adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
46 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
4736nn0ge0d 12539 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ + 1))
4847adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ + 1))
4945, 46, 48expge0d 14133 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜))
5035, 39, 44, 49mulge0d 11795 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)))
5140, 50jca 510 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜))))
52 nn0addcl 12511 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
5352faccld 14248 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) โˆˆ โ„•)
5453nnred 12231 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) โˆˆ โ„)
55 nn0re 12485 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
56 peano2nn0 12516 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
5756nn0red 12537 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
58 readdcl 11195 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ + (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
5955, 57, 58syl2an 594 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
6045, 48, 59jca31 513 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘ + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘ + 1)) โˆง (๐‘ + (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„))
6151, 54, 60jca31 513 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜))) โˆง (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) โˆˆ โ„) โˆง (((๐‘ + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘ + 1)) โˆง (๐‘ + (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)))
6261adantr 479 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜))) โ†’ (((((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜))) โˆง (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) โˆˆ โ„) โˆง (((๐‘ + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘ + 1)) โˆง (๐‘ + (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)))
6332adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + 0) = ๐‘)
64 nn0ge0 12501 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐‘˜)
6564adantl 480 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘˜)
66 0re 11220 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
67 nn0re 12485 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
6867adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
6955adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
70 leadd2 11687 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘˜ โ†” (๐‘ + 0) โ‰ค (๐‘ + ๐‘˜)))
7166, 68, 69, 70mp3an2i 1464 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘˜ โ†” (๐‘ + 0) โ‰ค (๐‘ + ๐‘˜)))
7265, 71mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + 0) โ‰ค (๐‘ + ๐‘˜))
7363, 72eqbrtrrd 5171 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐‘ + ๐‘˜))
7452nn0red 12537 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + ๐‘˜) โˆˆ โ„)
75 1re 11218 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„
76 leadd1 11686 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ + ๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘ + ๐‘˜) โ†” (๐‘ + 1) โ‰ค ((๐‘ + ๐‘˜) + 1)))
7775, 76mp3an3 1448 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ + ๐‘˜) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘ + ๐‘˜) โ†” (๐‘ + 1) โ‰ค ((๐‘ + ๐‘˜) + 1)))
7869, 74, 77syl2anc 582 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘ + ๐‘˜) โ†” (๐‘ + 1) โ‰ค ((๐‘ + ๐‘˜) + 1)))
7973, 78mpbid 231 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + 1) โ‰ค ((๐‘ + ๐‘˜) + 1))
80 nn0cn 12486 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
81 ax-1cn 11170 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„‚
82 addass 11199 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ + ๐‘˜) + 1) = (๐‘ + (๐‘˜ + 1)))
8381, 82mp3an3 1448 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ + ๐‘˜) + 1) = (๐‘ + (๐‘˜ + 1)))
8424, 80, 83syl2an 594 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ + ๐‘˜) + 1) = (๐‘ + (๐‘˜ + 1)))
8579, 84breqtrd 5173 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + 1) โ‰ค (๐‘ + (๐‘˜ + 1)))
8685anim1ci 614 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜))) โ†’ (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) โˆง (๐‘ + 1) โ‰ค (๐‘ + (๐‘˜ + 1))))
87 lemul12a 12076 . . . 4 ((((((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜))) โˆง (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) โˆˆ โ„) โˆง (((๐‘ + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘ + 1)) โˆง (๐‘ + (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)) โ†’ ((((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) โˆง (๐‘ + 1) โ‰ค (๐‘ + (๐‘˜ + 1))) โ†’ (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) ยท (๐‘ + 1)) โ‰ค ((!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) ยท (๐‘ + (๐‘˜ + 1)))))
8862, 86, 87sylc 65 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜))) โ†’ (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) ยท (๐‘ + 1)) โ‰ค ((!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) ยท (๐‘ + (๐‘˜ + 1))))
89 expp1 14038 . . . . . . 7 (((๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ + 1)))
9026, 89sylan 578 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ + 1)))
9190oveq2d 7427 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((!โ€˜๐‘) ยท (((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ + 1))))
9229adantr 479 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
93 expcl 14049 . . . . . . 7 (((๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
9426, 93sylan 578 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
9526adantr 479 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
9692, 94, 95mulassd 11241 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) ยท (๐‘ + 1)) = ((!โ€˜๐‘) ยท (((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ + 1))))
9791, 96eqtr4d 2773 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘˜ + 1))) = (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) ยท (๐‘ + 1)))
9897adantr 479 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜))) โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘˜ + 1))) = (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) ยท (๐‘ + 1)))
99 facp1 14242 . . . . . 6 ((๐‘ + ๐‘˜) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((๐‘ + ๐‘˜) + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) ยท ((๐‘ + ๐‘˜) + 1)))
10052, 99syl 17 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜((๐‘ + ๐‘˜) + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) ยท ((๐‘ + ๐‘˜) + 1)))
10184fveq2d 6894 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜((๐‘ + ๐‘˜) + 1)) = (!โ€˜(๐‘ + (๐‘˜ + 1))))
10284oveq2d 7427 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) ยท ((๐‘ + ๐‘˜) + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) ยท (๐‘ + (๐‘˜ + 1))))
103100, 101, 1023eqtr3d 2778 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(๐‘ + (๐‘˜ + 1))) = ((!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) ยท (๐‘ + (๐‘˜ + 1))))
104103adantr 479 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜))) โ†’ (!โ€˜(๐‘ + (๐‘˜ + 1))) = ((!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜)) ยท (๐‘ + (๐‘˜ + 1))))
10588, 98, 1043brtr4d 5179 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘˜)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘˜))) โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + (๐‘˜ + 1))))
1065, 10, 15, 20, 34, 105nn0indd 12663 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1)โ†‘๐‘€)) โ‰ค (!โ€˜(๐‘ + ๐‘€)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ†‘cexp 14031  !cfa 14237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238
This theorem is referenced by:  eftlub  16056
  Copyright terms: Public domain W3C validator