MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leexp1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leexp1a 14140
Description: Weak base ordering relationship for exponentiation of real bases to a fixed nonnegative integer exponent. (Contributed by NM, 18-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
leexp1a (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑁) ≤ (𝐵𝑁))

Proof of Theorem leexp1a
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝐴𝑗) = (𝐴↑0))
2 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝐵𝑗) = (𝐵↑0))
31, 2breq12d 5162 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗) ↔ (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0)))
43imbi2d 341 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0))))
5 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
6 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑘))
75, 6breq12d 5162 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗) ↔ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)))
87imbi2d 341 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))))
9 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
10 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑗) = (𝐵↑(𝑘 + 1)))
119, 10breq12d 5162 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1))))
1211imbi2d 341 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1)))))
13 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑁))
14 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑁))
1513, 14breq12d 5162 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗) ↔ (𝐴𝑁) ≤ (𝐵𝑁)))
1615imbi2d 341 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑁) ≤ (𝐵𝑁))))
17 recn 11200 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
18 recn 11200 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
19 exp0 14031 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
2019adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) = 1)
21 1le1 11842 . . . . . . . . 9 1 ≤ 1
2220, 21eqbrtrdi 5188 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) ≤ 1)
23 exp0 14031 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
2423adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑0) = 1)
2522, 24breqtrrd 5177 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0))
2617, 18, 25syl2an 597 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0))
2726adantr 482 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0))
28 reexpcl 14044 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
2928ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
30 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
31 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
32 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
33 expge0 14064 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴𝑘))
3430, 31, 32, 33syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴𝑘))
35 reexpcl 14044 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
3635ad4ant24 753 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
3729, 34, 36jca31 516 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴𝑘)) ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ))
38 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
39 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ≤ 𝐴𝐴𝐵) → 0 ≤ 𝐴)
4038, 39anim12i 614 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
4140adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
42 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
4337, 41, 42jca32 517 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴𝑘)) ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
4443adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴𝑘)) ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
45 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴𝐵)
4645anim1ci 617 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) ∧ 𝐴𝐵))
47 lemul12a 12072 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴𝑘)) ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴𝑘) · 𝐴) ≤ ((𝐵𝑘) · 𝐵)))
4844, 46, 47sylc 65 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ((𝐴𝑘) · 𝐴) ≤ ((𝐵𝑘) · 𝐵))
49 expp1 14034 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
5017, 49sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
5150ad5ant14 757 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
52 expp1 14034 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵𝑘) · 𝐵))
5318, 52sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵𝑘) · 𝐵))
5453ad5ant24 760 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵𝑘) · 𝐵))
5548, 51, 543brtr4d 5181 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1)))
5655ex 414 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1))))
5756expcom 415 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → ((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1)))))
5857a2d 29 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1)))))
594, 8, 12, 16, 27, 58nn0ind 12657 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑁) ≤ (𝐵𝑁)))
6059exp4c 434 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴𝐴𝐵) → (𝐴𝑁) ≤ (𝐵𝑁)))))
6160com3l 89 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0 ≤ 𝐴𝐴𝐵) → (𝐴𝑁) ≤ (𝐵𝑁)))))
62613imp1 1348 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴𝑁) ≤ (𝐵𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  cc 11108  cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115  cle 11249  0cn0 12472  cexp 14027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028
This theorem is referenced by:  expubnd  14142  facubnd  14260  pserulm  25934  logexprlim  26728  ostth2lem2  27137  ostth3  27141  leexp1ad  40837  fltnltalem  41404  dvdivbd  44639  stoweidlem1  44717  stoweidlem24  44740  etransclem23  44973  lighneallem4a  46276
  Copyright terms: Public domain W3C validator