MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leexp1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leexp1a 14144
Description: Weak base ordering relationship for exponentiation of real bases to a fixed nonnegative integer exponent. (Contributed by NM, 18-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
leexp1a (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘))

Proof of Theorem leexp1a
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘— = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘0))
2 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘— = 0 โ†’ (๐ตโ†‘๐‘—) = (๐ตโ†‘0))
31, 2breq12d 5160 . . . . . 6 (๐‘— = 0 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘—) โ†” (๐ดโ†‘0) โ‰ค (๐ตโ†‘0)))
43imbi2d 339 . . . . 5 (๐‘— = 0 โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘—)) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘0) โ‰ค (๐ตโ†‘0))))
5 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
6 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ตโ†‘๐‘—) = (๐ตโ†‘๐‘˜))
75, 6breq12d 5160 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘—) โ†” (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘˜)))
87imbi2d 339 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘—)) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘˜))))
9 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)))
10 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘—) = (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)))
119, 10breq12d 5160 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘—) โ†” (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1))))
1211imbi2d 339 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘—)) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)))))
13 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘))
14 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐ตโ†‘๐‘—) = (๐ตโ†‘๐‘))
1513, 14breq12d 5160 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘—) โ†” (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘)))
1615imbi2d 339 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘—)) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘))))
17 recn 11202 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
18 recn 11202 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
19 exp0 14035 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
2019adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
21 1le1 11846 . . . . . . . . 9 1 โ‰ค 1
2220, 21eqbrtrdi 5186 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘0) โ‰ค 1)
23 exp0 14035 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ตโ†‘0) = 1)
2423adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘0) = 1)
2522, 24breqtrrd 5175 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘0) โ‰ค (๐ตโ†‘0))
2617, 18, 25syl2an 594 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ดโ†‘0) โ‰ค (๐ตโ†‘0))
2726adantr 479 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘0) โ‰ค (๐ตโ†‘0))
28 reexpcl 14048 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
2928ad4ant14 748 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
30 simplll 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
31 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
32 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
33 expge0 14068 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜))
3430, 31, 32, 33syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜))
35 reexpcl 14048 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
3635ad4ant24 750 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
3729, 34, 36jca31 513 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆง (๐ตโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„))
38 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
39 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
4038, 39anim12i 611 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด))
4140adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด))
42 simpllr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
4337, 41, 42jca32 514 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆง (๐ตโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„)))
4443adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘˜)) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆง (๐ตโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„)))
45 simplrr 774 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
4645anim1ci 614 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘˜)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘˜) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต))
47 lemul12a 12076 . . . . . . . . . 10 (((((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆง (๐ตโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘˜) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด) โ‰ค ((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท ๐ต)))
4844, 46, 47sylc 65 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘˜)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด) โ‰ค ((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท ๐ต))
49 expp1 14038 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
5017, 49sylan 578 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
5150ad5ant14 754 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘˜)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
52 expp1 14038 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท ๐ต))
5318, 52sylan 578 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท ๐ต))
5453ad5ant24 757 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘˜)) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท ๐ต))
5548, 51, 543brtr4d 5179 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘˜)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)))
5655ex 411 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘˜) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1))))
5756expcom 412 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘˜) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)))))
5857a2d 29 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘˜)) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)))))
594, 8, 12, 16, 27, 58nn0ind 12661 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘)))
6059exp4c 431 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘)))))
6160com3l 89 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘)))))
62613imp1 1345 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253  โ„•0cn0 12476  โ†‘cexp 14031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13971  df-exp 14032
This theorem is referenced by:  expubnd  14146  facubnd  14264  pserulm  26170  logexprlim  26964  ostth2lem2  27373  ostth3  27377  leexp1ad  41143  fltnltalem  41706  dvdivbd  44937  stoweidlem1  45015  stoweidlem24  45038  etransclem23  45271  lighneallem4a  46574
  Copyright terms: Public domain W3C validator