Theorem leexp1a 14084

Description: Weak base ordering relationship for exponentiation of real bases to a fixed nonnegative integer exponent. (Contributed by NM, 18-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
leexp1a	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐵↑𝑁))

Proof of Theorem leexp1a

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7360	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑0))
2		oveq2 7360	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑0))
3	1, 2	breq12d 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗) ↔ (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0)))
4	3	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0))))
5		oveq2 7360	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑘))
6		oveq2 7360	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑𝑘))
7	5, 6	breq12d 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗) ↔ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)))
8	7	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘))))
9		oveq2 7360	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
10		oveq2 7360	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑(𝑘 + 1)))
11	9, 10	breq12d 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1))))
12	11	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1)))))
13		oveq2 7360	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑁))
14		oveq2 7360	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑𝑁))
15	13, 14	breq12d 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗) ↔ (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐵↑𝑁)))
16	15	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐵↑𝑁))))
17		recn 11103	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
18		recn 11103	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
19		exp0 13974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) = 1)
21		1le1 11752	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 1
22	20, 21	eqbrtrdi 5132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) ≤ 1)
23		exp0 13974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
24	23	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑0) = 1)
25	22, 24	breqtrrd 5121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0))
26	17, 18, 25	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0))
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0))
28		reexpcl 13987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
29	28	ad4ant14 752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
30		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
31		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
32		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
33		expge0 14007	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴↑𝑘))
34	30, 31, 32, 33	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴↑𝑘))
35		reexpcl 13987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
36	35	ad4ant24 754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
37	29, 34, 36	jca31 514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑘)) ∧ (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ))
38		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
39		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 ≤ 𝐴)
40	38, 39	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
42		simpllr 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
43	37, 41, 42	jca32 515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑘)) ∧ (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → ((((𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑘)) ∧ (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
45		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ 𝐵)
46	45	anim1ci 616	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → ((𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
47		lemul12a 11986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑘)) ∧ (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) ≤ ((𝐵↑𝑘) · 𝐵)))
48	44, 46, 47	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) ≤ ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
49		expp1 13977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
50	17, 49	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
51	50	ad5ant14 757	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
52		expp1 13977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
53	18, 52	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
54	53	ad5ant24 760	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
55	48, 51, 54	3brtr4d 5125	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1)))
56	55	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1))))
57	56	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1)))))
58	57	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1)))))
59	4, 8, 12, 16, 27, 58	nn0ind 12574	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐵↑𝑁)))
60	59	exp4c 432	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐵↑𝑁)))))
61	60	com3l 89	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐵↑𝑁)))))
62	61	3imp1 1348	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐵↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  ℝcr 11012  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   · cmul 11018   ≤ cle 11154  ℕ₀cn0 12388  ↑cexp 13970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-seq 13911  df-exp 13971

This theorem is referenced by:  leexp1ad  14085  expubnd  14087  facubnd  14209  pserulm  26359  logexprlim  27164  ostth2lem2  27573  ostth3  27577  fltnltalem  42781  dvdivbd  46046  stoweidlem1  46124  stoweidlem24  46147  etransclem23  46380  lighneallem4a  47733