Theorem leexp1a 14321

Description: Weak base ordering relationship for exponentiation of real bases to a fixed nonnegative integer exponent. (Contributed by NM, 18-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
leexp1a	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐵↑𝑁))

Proof of Theorem leexp1a

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑0))
2		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑0))
3	1, 2	breq12d 5115	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗) ↔ (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0)))
4	3	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0))))
5		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑘))
6		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑𝑘))
7	5, 6	breq12d 5115	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗) ↔ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)))
8	7	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘))))
9		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
10		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑(𝑘 + 1)))
11	9, 10	breq12d 5115	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1))))
12	11	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1)))))
13		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑁))
14		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑𝑁))
15	13, 14	breq12d 5115	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗) ↔ (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐵↑𝑁)))
16	15	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐵↑𝑁))))
17		recn 11293	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
18		recn 11293	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
19		exp0 14211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
20	19	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) = 1)
21		1le1 11947	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 1
22	20, 21	eqbrtrdi 5143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) ≤ 1)
23		exp0 14211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
24	23	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑0) = 1)
25	22, 24	breqtrrd 5132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0))
26	17, 18, 25	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0))
27	26	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0))
28		reexpcl 14224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
29	28	ad4ant14 765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
30		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
31		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
32		simplrl 789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
33		expge0 14244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴↑𝑘))
34	30, 31, 32, 33	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴↑𝑘))
35		reexpcl 14224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
36	35	ad4ant24 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
37	29, 34, 36	jca31 524	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑘)) ∧ (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ))
38		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
39		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 ≤ 𝐴)
40	38, 39	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
41	40	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
42		simpllr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
43	37, 41, 42	jca32 525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑘)) ∧ (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
44	43	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → ((((𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑘)) ∧ (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
45		simplrr 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ 𝐵)
46	45	anim1ci 628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → ((𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
47		lemul12a 12178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑘)) ∧ (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) ≤ ((𝐵↑𝑘) · 𝐵)))
48	44, 46, 47	sylc 66	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) ≤ ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
49		expp1 14214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
50	17, 49	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
51	50	ad5ant14 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
52		expp1 14214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
53	18, 52	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
54	53	ad5ant24 773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
55	48, 51, 54	3brtr4d 5136	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1)))
56	55	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1))))
57	56	expcom 419	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1)))))
58	57	a2d 30	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1)))))
59	4, 8, 12, 16, 27, 58	nn0ind 12797	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐵↑𝑁)))
60	59	exp4c 438	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐵↑𝑁)))))
61	60	com3l 90	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐵↑𝑁)))))
62	61	3imp1 1366	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐵↑𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208   ≤ cle 11347  ℕ₀cn0 12609  ↑cexp 14207

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-seq 14148  df-exp 14208

This theorem is used by:  leexp1ad  14322  expubnd  14324  facubnd  14447  pserulm  26754  logexprlim  27557  ostth2lem2  27966  ostth3  27970  fltnltalem  43766  dvdivbd  47026  stoweidlem1  47104  stoweidlem24  47127  etransclem23  47360  lighneallem4a  48786