Theorem leexp1a 14082

Description: Weak base ordering relationship for exponentiation of real bases to a fixed nonnegative integer exponent. (Contributed by NM, 18-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
leexp1a	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐵↑𝑁))

Proof of Theorem leexp1a

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7354	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑0))
2		oveq2 7354	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑0))
3	1, 2	breq12d 5104	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗) ↔ (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0)))
4	3	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0))))
5		oveq2 7354	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑘))
6		oveq2 7354	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑𝑘))
7	5, 6	breq12d 5104	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗) ↔ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)))
8	7	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘))))
9		oveq2 7354	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
10		oveq2 7354	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑(𝑘 + 1)))
11	9, 10	breq12d 5104	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1))))
12	11	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1)))))
13		oveq2 7354	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑁))
14		oveq2 7354	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐵↑𝑗) = (𝐵↑𝑁))
15	13, 14	breq12d 5104	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗) ↔ (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐵↑𝑁)))
16	15	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑗)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐵↑𝑁))))
17		recn 11096	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
18		recn 11096	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
19		exp0 13972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) = 1)
21		1le1 11745	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 1
22	20, 21	eqbrtrdi 5130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) ≤ 1)
23		exp0 13972	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
24	23	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑0) = 1)
25	22, 24	breqtrrd 5119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0))
26	17, 18, 25	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0))
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑0) ≤ (𝐵↑0))
28		reexpcl 13985	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
29	28	ad4ant14 752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
30		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
31		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
32		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
33		expge0 14005	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴↑𝑘))
34	30, 31, 32, 33	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴↑𝑘))
35		reexpcl 13985	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
36	35	ad4ant24 754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
37	29, 34, 36	jca31 514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑘)) ∧ (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ))
38		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
39		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 ≤ 𝐴)
40	38, 39	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
42		simpllr 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
43	37, 41, 42	jca32 515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑘)) ∧ (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → ((((𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑘)) ∧ (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
45		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ 𝐵)
46	45	anim1ci 616	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → ((𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
47		lemul12a 11979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑘)) ∧ (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) ≤ ((𝐵↑𝑘) · 𝐵)))
48	44, 46, 47	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) ≤ ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
49		expp1 13975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
50	17, 49	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
51	50	ad5ant14 757	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
52		expp1 13975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
53	18, 52	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
54	53	ad5ant24 760	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
55	48, 51, 54	3brtr4d 5123	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1)))
56	55	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1))))
57	56	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1)))))
58	57	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑘) ≤ (𝐵↑𝑘)) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ≤ (𝐵↑(𝑘 + 1)))))
59	4, 8, 12, 16, 27, 58	nn0ind 12568	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐵↑𝑁)))
60	59	exp4c 432	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐵↑𝑁)))))
61	60	com3l 89	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐵↑𝑁)))))
62	61	3imp1 1348	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐵↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   ≤ cle 11147  ℕ₀cn0 12381  ↑cexp 13968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-seq 13909  df-exp 13969

This theorem is referenced by:  leexp1ad  14083  expubnd  14085  facubnd  14207  pserulm  26359  logexprlim  27164  ostth2lem2  27573  ostth3  27577  fltnltalem  42701  dvdivbd  45967  stoweidlem1  46045  stoweidlem24  46068  etransclem23  46301  lighneallem4a  47645