Theorem lgslem3 26791

Description: The set 𝑍 of all integers with absolute value at most 1 is closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgslem2.z	⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}

Assertion

Ref	Expression
lgslem3	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑍 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lgslem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 12607	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
2	1	ad2ant2r 745	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
3		zcn 12559	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
4		zcn 12559	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
5		absmul 15237	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
6	3, 4, 5	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
7	6	ad2ant2r 745	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
8		abscl 15221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9		absge0 15230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
10	8, 9	jca 512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
11	3, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
12	11	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
13		1red 11211	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
14		abscl 15221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
15		absge0 15230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐵))
16	14, 15	jca 512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
17	4, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
18	17	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
19		lemul12a 12068	. . . . . . . 8 ⊢ (((((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)) ∧ 1 ∈ ℝ)) → (((abs‘𝐴) ≤ 1 ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ≤ (1 · 1)))
20	12, 13, 18, 13, 19	syl22anc 837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((abs‘𝐴) ≤ 1 ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ≤ (1 · 1)))
21	20	imp 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((abs‘𝐴) ≤ 1 ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ≤ (1 · 1))
22	21	an4s 658	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ≤ (1 · 1))
23		1t1e1 12370	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
24	22, 23	breqtrdi 5188	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ≤ 1)
25	7, 24	eqbrtrd 5169	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ 1)
26	2, 25	jca 512	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ 1))
27		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (abs‘𝑥) = (abs‘𝐴))
28	27	breq1d 5157	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ (abs‘𝐴) ≤ 1))
29		lgslem2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
30	28, 29	elrab2 3685	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑍 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1))
31		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (abs‘𝑥) = (abs‘𝐵))
32	31	breq1d 5157	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ (abs‘𝐵) ≤ 1))
33	32, 29	elrab2 3685	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑍 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1))
34	30, 33	anbi12i 627	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑍 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍) ↔ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)))
35		fveq2 6888	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 · 𝐵) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐴 · 𝐵)))
36	35	breq1d 5157	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐴 · 𝐵) → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ (abs‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ 1))
37	36, 29	elrab2 3685	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑍 ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ 1))
38	26, 34, 37	3imtr4i 291	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑍 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111   ≤ cle 11245  ℤcz 12554  abscabs 15177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179

This theorem is referenced by:  lgsfcl2  26795  lgscllem  26796  lgsdirprm  26823