Theorem lgslem3 27266

Description: The set 𝑍 of all integers with absolute value at most 1 is closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgslem2.z	⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}

Assertion

Ref	Expression
lgslem3	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑍 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lgslem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 12540	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
2	1	ad2ant2r 747	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
3		zcn 12493	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
4		zcn 12493	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
5		absmul 15217	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
6	3, 4, 5	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
7	6	ad2ant2r 747	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
8		abscl 15201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9		absge0 15210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
10	8, 9	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
11	3, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
13		1red 11133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
14		abscl 15201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
15		absge0 15210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐵))
16	14, 15	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
17	4, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
18	17	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
19		lemul12a 11999	. . . . . . . 8 ⊢ (((((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)) ∧ 1 ∈ ℝ)) → (((abs‘𝐴) ≤ 1 ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ≤ (1 · 1)))
20	12, 13, 18, 13, 19	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((abs‘𝐴) ≤ 1 ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ≤ (1 · 1)))
21	20	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((abs‘𝐴) ≤ 1 ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ≤ (1 · 1))
22	21	an4s 660	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ≤ (1 · 1))
23		1t1e1 12302	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
24	22, 23	breqtrdi 5139	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ≤ 1)
25	7, 24	eqbrtrd 5120	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ 1)
26	2, 25	jca 511	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ 1))
27		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (abs‘𝑥) = (abs‘𝐴))
28	27	breq1d 5108	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ (abs‘𝐴) ≤ 1))
29		lgslem2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
30	28, 29	elrab2 3649	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑍 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1))
31		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (abs‘𝑥) = (abs‘𝐵))
32	31	breq1d 5108	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ (abs‘𝐵) ≤ 1))
33	32, 29	elrab2 3649	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑍 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1))
34	30, 33	anbi12i 628	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑍 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍) ↔ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)))
35		fveq2 6834	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 · 𝐵) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐴 · 𝐵)))
36	35	breq1d 5108	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐴 · 𝐵) → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ (abs‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ 1))
37	36, 29	elrab2 3649	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑍 ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ 1))
38	26, 34, 37	3imtr4i 292	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑍 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   · cmul 11031   ≤ cle 11167  ℤcz 12488  abscabs 15157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159

This theorem is referenced by:  lgsfcl2  27270  lgscllem  27271  lgsdirprm  27298