MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgslem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgslem3 26647
Description: The set 𝑍 of all integers with absolute value at most 1 is closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgslem2.z 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
Assertion
Ref Expression
lgslem3 ((𝐴𝑍𝐵𝑍) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lgslem3
StepHypRef Expression
1 zmulcl 12552 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
21ad2ant2r 745 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
3 zcn 12504 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
4 zcn 12504 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
5 absmul 15179 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
63, 4, 5syl2an 596 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
76ad2ant2r 745 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
8 abscl 15163 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9 absge0 15172 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
108, 9jca 512 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
113, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
1211adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
13 1red 11156 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
14 abscl 15163 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
15 absge0 15172 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐵))
1614, 15jca 512 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℂ → ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
174, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℤ → ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
1817adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
19 lemul12a 12013 . . . . . . . 8 (((((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)) ∧ 1 ∈ ℝ)) → (((abs‘𝐴) ≤ 1 ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ≤ (1 · 1)))
2012, 13, 18, 13, 19syl22anc 837 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((abs‘𝐴) ≤ 1 ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ≤ (1 · 1)))
2120imp 407 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((abs‘𝐴) ≤ 1 ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ≤ (1 · 1))
2221an4s 658 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ≤ (1 · 1))
23 1t1e1 12315 . . . . 5 (1 · 1) = 1
2422, 23breqtrdi 5146 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ≤ 1)
257, 24eqbrtrd 5127 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ 1)
262, 25jca 512 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ 1))
27 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (abs‘𝑥) = (abs‘𝐴))
2827breq1d 5115 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ (abs‘𝐴) ≤ 1))
29 lgslem2.z . . . 4 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
3028, 29elrab2 3648 . . 3 (𝐴𝑍 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1))
31 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (abs‘𝑥) = (abs‘𝐵))
3231breq1d 5115 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ (abs‘𝐵) ≤ 1))
3332, 29elrab2 3648 . . 3 (𝐵𝑍 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1))
3430, 33anbi12i 627 . 2 ((𝐴𝑍𝐵𝑍) ↔ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)))
35 fveq2 6842 . . . 4 (𝑥 = (𝐴 · 𝐵) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐴 · 𝐵)))
3635breq1d 5115 . . 3 (𝑥 = (𝐴 · 𝐵) → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ (abs‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ 1))
3736, 29elrab2 3648 . 2 ((𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑍 ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ 1))
3826, 34, 373imtr4i 291 1 ((𝐴𝑍𝐵𝑍) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3407   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  cle 11190  cz 12499  abscabs 15119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121
This theorem is referenced by:  lgsfcl2  26651  lgscllem  26652  lgsdirprm  26679
  Copyright terms: Public domain W3C validator