Theorem lgslem3 27146

Description: The set 𝑍 of all integers with absolute value at most 1 is closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgslem2.z	⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}

Assertion

Ref	Expression
lgslem3	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑍 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lgslem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 12618	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
2	1	ad2ant2r 744	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
3		zcn 12570	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
4		zcn 12570	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
5		absmul 15248	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
6	3, 4, 5	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
7	6	ad2ant2r 744	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
8		abscl 15232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9		absge0 15241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
10	8, 9	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
11	3, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
13		1red 11222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
14		abscl 15232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
15		absge0 15241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐵))
16	14, 15	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
17	4, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
18	17	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
19		lemul12a 12079	. . . . . . . 8 ⊢ (((((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)) ∧ 1 ∈ ℝ)) → (((abs‘𝐴) ≤ 1 ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ≤ (1 · 1)))
20	12, 13, 18, 13, 19	syl22anc 836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((abs‘𝐴) ≤ 1 ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ≤ (1 · 1)))
21	20	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((abs‘𝐴) ≤ 1 ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ≤ (1 · 1))
22	21	an4s 657	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ≤ (1 · 1))
23		1t1e1 12381	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
24	22, 23	breqtrdi 5189	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ≤ 1)
25	7, 24	eqbrtrd 5170	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ 1)
26	2, 25	jca 511	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ 1))
27		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (abs‘𝑥) = (abs‘𝐴))
28	27	breq1d 5158	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ (abs‘𝐴) ≤ 1))
29		lgslem2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
30	28, 29	elrab2 3686	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑍 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1))
31		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (abs‘𝑥) = (abs‘𝐵))
32	31	breq1d 5158	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ (abs‘𝐵) ≤ 1))
33	32, 29	elrab2 3686	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑍 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1))
34	30, 33	anbi12i 626	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑍 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍) ↔ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)))
35		fveq2 6891	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 · 𝐵) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐴 · 𝐵)))
36	35	breq1d 5158	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐴 · 𝐵) → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ (abs‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ 1))
37	36, 29	elrab2 3686	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑍 ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ 1))
38	26, 34, 37	3imtr4i 292	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑍 ∧ 𝐵 ∈ 𝑍) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  ℝcr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   · cmul 11121   ≤ cle 11256  ℤcz 12565  abscabs 15188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190

This theorem is referenced by:  lgsfcl2  27150  lgscllem  27151  lgsdirprm  27178