Theorem expge1 13280

Description: Nonnegative integer exponentiation with a mantissa greater than or equal to 1 is greater than or equal to 1. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expge1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem expge1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4930	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ 𝐴))
2	1	elrab 3590	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴))
3		ssrab2 3941	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ⊆ ℝ
4		ax-resscn 10391	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5	3, 4	sstri 3862	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ⊆ ℂ
6		breq2 4930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ 𝑥))
7	6	elrab 3590	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥))
8		breq2 4930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ 𝑦))
9	8	elrab 3590	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦))
10		breq2 4930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑥 · 𝑦) → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ (𝑥 · 𝑦)))
11		remulcl 10419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
12	11	ad2ant2r 735	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
13		1t1e1 11608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 1) = 1
14		1re 10438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
15		0le1 10963	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ 1
16	14, 15	pm3.2i 463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)
17	16	jctl 516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
18	16	jctl 516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
19		lemul12a 11298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((1 ≤ 𝑥 ∧ 1 ≤ 𝑦) → (1 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑦)))
20	17, 18, 19	syl2an 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝑥 ∧ 1 ≤ 𝑦) → (1 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑦)))
21	20	imp 398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (1 ≤ 𝑥 ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (1 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑦))
22	13, 21	syl5eqbrr 4962	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (1 ≤ 𝑥 ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 1 ≤ (𝑥 · 𝑦))
23	22	an4s 648	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 1 ≤ (𝑥 · 𝑦))
24	10, 12, 23	elrabd 3593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
25	7, 9, 24	syl2anb 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
26		1le1 11068	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≤ 1
27		breq2 4930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ 1))
28	27	elrab 3590	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1))
29	14, 26, 28	mpbir2an 699	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧}
30	5, 25, 29	expcllem 13254	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
31	2, 30	sylanbr 574	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
32	31	3impa 1091	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
33	32	3com23 1107	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
34		breq2 4930	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐴↑𝑁) → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ (𝐴↑𝑁)))
35	34	elrab 3590	. . 3 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ↔ ((𝐴↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ (𝐴↑𝑁)))
36	35	simprbi 489	. 2 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} → 1 ≤ (𝐴↑𝑁))
37	33, 36	syl 17	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (𝐴↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1069   ∈ wcel 2051  {crab 3087   class class class wbr 4926  (class class class)co 6975  ℂcc 10332  ℝcr 10333  0cc0 10334  1c1 10335   · cmul 10339   ≤ cle 10474  ℕ₀cn0 11706  ↑cexp 13243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-nn 11439  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-seq 13184  df-exp 13244

This theorem is referenced by:  expgt1  13281  expge1d  13343  leexp2a  13350  hgt750lem  31603  tgoldbachgnn  31611