Theorem expge1 14036

Description: A real greater than or equal to 1 raised to a nonnegative integer is greater than or equal to 1. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expge1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem expge1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5104	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ 𝐴))
2	1	elrab 3648	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴))
3		ssrab2 4034	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ⊆ ℝ
4		ax-resscn 11097	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5	3, 4	sstri 3945	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ⊆ ℂ
6		breq2 5104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ 𝑥))
7	6	elrab 3648	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥))
8		breq2 5104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ 𝑦))
9	8	elrab 3648	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦))
10		breq2 5104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑥 · 𝑦) → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ (𝑥 · 𝑦)))
11		remulcl 11125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
12	11	ad2ant2r 748	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
13		1t1e1 12316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 1) = 1
14		1re 11146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
15		0le1 11674	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ 1
16	14, 15	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)
17	16	jctl 523	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
18	16	jctl 523	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
19		lemul12a 12013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((1 ≤ 𝑥 ∧ 1 ≤ 𝑦) → (1 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑦)))
20	17, 18, 19	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝑥 ∧ 1 ≤ 𝑦) → (1 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑦)))
21	20	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (1 ≤ 𝑥 ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (1 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑦))
22	13, 21	eqbrtrrid 5136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (1 ≤ 𝑥 ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 1 ≤ (𝑥 · 𝑦))
23	22	an4s 661	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 1 ≤ (𝑥 · 𝑦))
24	10, 12, 23	elrabd 3650	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
25	7, 9, 24	syl2anb 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
26		1le1 11779	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≤ 1
27		breq2 5104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ 1))
28	27	elrab 3648	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1))
29	14, 26, 28	mpbir2an 712	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧}
30	5, 25, 29	expcllem 14009	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
31	2, 30	sylanbr 583	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
32	31	3impa 1110	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
33	32	3com23 1127	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
34		breq2 5104	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐴↑𝑁) → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ (𝐴↑𝑁)))
35	34	elrab 3648	. . 3 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ↔ ((𝐴↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ (𝐴↑𝑁)))
36	35	simprbi 497	. 2 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} → 1 ≤ (𝐴↑𝑁))
37	33, 36	syl 17	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (𝐴↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114  {crab 3401   class class class wbr 5100  (class class class)co 7370  ℂcc 11038  ℝcr 11039  0cc0 11040  1c1 11041   · cmul 11045   ≤ cle 11181  ℕ₀cn0 12415  ↑cexp 13998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-seq 13939  df-exp 13999

This theorem is referenced by:  expgt1  14037  expge1d  14102  leexp2a  14109  hgt750lem  34835  tgoldbachgnn  34843