MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expge1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expge1 14065
Description: A real greater than or equal to 1 raised to a nonnegative integer is greater than or equal to 1. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expge1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))

Proof of Theorem expge1
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5153 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ง โ†” 1 โ‰ค ๐ด))
21elrab 3684 . . . . 5 (๐ด โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง} โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด))
3 ssrab2 4078 . . . . . . 7 {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง} โŠ† โ„
4 ax-resscn 11167 . . . . . . 7 โ„ โŠ† โ„‚
53, 4sstri 3992 . . . . . 6 {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง} โŠ† โ„‚
6 breq2 5153 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ง โ†” 1 โ‰ค ๐‘ฅ))
76elrab 3684 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง} โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ))
8 breq2 5153 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ง โ†” 1 โ‰ค ๐‘ฆ))
98elrab 3684 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง} โ†” (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ))
10 breq2 5153 . . . . . . . 8 (๐‘ง = (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ง โ†” 1 โ‰ค (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
11 remulcl 11195 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
1211ad2ant2r 746 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
13 1t1e1 12374 . . . . . . . . . 10 (1 ยท 1) = 1
14 1re 11214 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„
15 0le1 11737 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โ‰ค 1
1614, 15pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . 13 (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1)
1716jctl 525 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ ((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„))
1816jctl 525 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ ((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„))
19 lemul12a 12072 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ ((1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ (1 ยท 1) โ‰ค (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
2017, 18, 19syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ((1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ (1 ยท 1) โ‰ค (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
2120imp 408 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ (1 ยท 1) โ‰ค (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))
2213, 21eqbrtrrid 5185 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))
2322an4s 659 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))
2410, 12, 23elrabd 3686 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง})
257, 9, 24syl2anb 599 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง}) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง})
26 1le1 11842 . . . . . . 7 1 โ‰ค 1
27 breq2 5153 . . . . . . . 8 (๐‘ง = 1 โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ง โ†” 1 โ‰ค 1))
2827elrab 3684 . . . . . . 7 (1 โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง} โ†” (1 โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค 1))
2914, 26, 28mpbir2an 710 . . . . . 6 1 โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง}
305, 25, 29expcllem 14038 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง})
312, 30sylanbr 583 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง})
32313impa 1111 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง})
33323com23 1127 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง})
34 breq2 5153 . . . 4 (๐‘ง = (๐ดโ†‘๐‘) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ง โ†” 1 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘)))
3534elrab 3684 . . 3 ((๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง} โ†” ((๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘)))
3635simprbi 498 . 2 ((๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง} โ†’ 1 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))
3733, 36syl 17 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   โˆˆ wcel 2107  {crab 3433   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   โ‰ค cle 11249  โ„•0cn0 12472  โ†‘cexp 14027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028
This theorem is referenced by:  expgt1  14066  expge1d  14130  leexp2a  14137  hgt750lem  33663  tgoldbachgnn  33671
  Copyright terms: Public domain W3C validator