MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expge1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expge1 14061
Description: A real greater than or equal to 1 raised to a nonnegative integer is greater than or equal to 1. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expge1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))

Proof of Theorem expge1
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5151 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ง โ†” 1 โ‰ค ๐ด))
21elrab 3682 . . . . 5 (๐ด โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง} โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด))
3 ssrab2 4076 . . . . . . 7 {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง} โŠ† โ„
4 ax-resscn 11163 . . . . . . 7 โ„ โŠ† โ„‚
53, 4sstri 3990 . . . . . 6 {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง} โŠ† โ„‚
6 breq2 5151 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ง โ†” 1 โ‰ค ๐‘ฅ))
76elrab 3682 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง} โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ))
8 breq2 5151 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ง โ†” 1 โ‰ค ๐‘ฆ))
98elrab 3682 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง} โ†” (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ))
10 breq2 5151 . . . . . . . 8 (๐‘ง = (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ง โ†” 1 โ‰ค (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
11 remulcl 11191 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
1211ad2ant2r 745 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
13 1t1e1 12370 . . . . . . . . . 10 (1 ยท 1) = 1
14 1re 11210 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„
15 0le1 11733 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โ‰ค 1
1614, 15pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . 13 (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1)
1716jctl 524 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ ((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„))
1816jctl 524 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ ((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„))
19 lemul12a 12068 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ ((1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ (1 ยท 1) โ‰ค (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
2017, 18, 19syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ((1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ (1 ยท 1) โ‰ค (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
2120imp 407 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ (1 ยท 1) โ‰ค (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))
2213, 21eqbrtrrid 5183 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))
2322an4s 658 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))
2410, 12, 23elrabd 3684 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง})
257, 9, 24syl2anb 598 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง}) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง})
26 1le1 11838 . . . . . . 7 1 โ‰ค 1
27 breq2 5151 . . . . . . . 8 (๐‘ง = 1 โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ง โ†” 1 โ‰ค 1))
2827elrab 3682 . . . . . . 7 (1 โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง} โ†” (1 โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค 1))
2914, 26, 28mpbir2an 709 . . . . . 6 1 โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง}
305, 25, 29expcllem 14034 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง})
312, 30sylanbr 582 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง})
32313impa 1110 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง})
33323com23 1126 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง})
34 breq2 5151 . . . 4 (๐‘ง = (๐ดโ†‘๐‘) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ง โ†” 1 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘)))
3534elrab 3682 . . 3 ((๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง} โ†” ((๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘)))
3635simprbi 497 . 2 ((๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 1 โ‰ค ๐‘ง} โ†’ 1 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))
3733, 36syl 17 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   โˆˆ wcel 2106  {crab 3432   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   ยท cmul 11111   โ‰ค cle 11245  โ„•0cn0 12468  โ†‘cexp 14023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-seq 13963  df-exp 14024
This theorem is referenced by:  expgt1  14062  expge1d  14126  leexp2a  14133  hgt750lem  33651  tgoldbachgnn  33659
  Copyright terms: Public domain W3C validator