MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expge1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expge1 14005
Description: A real greater than or equal to 1 raised to a nonnegative integer is greater than or equal to 1. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expge1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (𝐴𝑁))

Proof of Theorem expge1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5109 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ 𝐴))
21elrab 3645 . . . . 5 (𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴))
3 ssrab2 4037 . . . . . . 7 {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ⊆ ℝ
4 ax-resscn 11108 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
53, 4sstri 3953 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ⊆ ℂ
6 breq2 5109 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ 𝑥))
76elrab 3645 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥))
8 breq2 5109 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ 𝑦))
98elrab 3645 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦))
10 breq2 5109 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑥 · 𝑦) → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ (𝑥 · 𝑦)))
11 remulcl 11136 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
1211ad2ant2r 745 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
13 1t1e1 12315 . . . . . . . . . 10 (1 · 1) = 1
14 1re 11155 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
15 0le1 11678 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 1
1614, 15pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)
1716jctl 524 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
1816jctl 524 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
19 lemul12a 12013 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((1 ≤ 𝑥 ∧ 1 ≤ 𝑦) → (1 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑦)))
2017, 18, 19syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝑥 ∧ 1 ≤ 𝑦) → (1 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑦)))
2120imp 407 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (1 ≤ 𝑥 ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (1 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑦))
2213, 21eqbrtrrid 5141 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (1 ≤ 𝑥 ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 1 ≤ (𝑥 · 𝑦))
2322an4s 658 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 1 ≤ (𝑥 · 𝑦))
2410, 12, 23elrabd 3647 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
257, 9, 24syl2anb 598 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
26 1le1 11783 . . . . . . 7 1 ≤ 1
27 breq2 5109 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ 1))
2827elrab 3645 . . . . . . 7 (1 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1))
2914, 26, 28mpbir2an 709 . . . . . 6 1 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧}
305, 25, 29expcllem 13978 . . . . 5 ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
312, 30sylanbr 582 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
32313impa 1110 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
33323com23 1126 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
34 breq2 5109 . . . 4 (𝑧 = (𝐴𝑁) → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ (𝐴𝑁)))
3534elrab 3645 . . 3 ((𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ↔ ((𝐴𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ (𝐴𝑁)))
3635simprbi 497 . 2 ((𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} → 1 ≤ (𝐴𝑁))
3733, 36syl 17 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (𝐴𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087  wcel 2106  {crab 3407   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  cle 11190  0cn0 12413  cexp 13967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-seq 13907  df-exp 13968
This theorem is referenced by:  expgt1  14006  expge1d  14070  leexp2a  14077  hgt750lem  33264  tgoldbachgnn  33272
  Copyright terms: Public domain W3C validator