Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks6d1c7lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks6d1c7lem1 42181
Description: The last set of inequalities of Claim 7 of Theorem 6.1 https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf. (Contributed by metakunt, 12-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks6d1c7lem1.1 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c7lem1.2 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c7lem1.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
aks6d1c7lem1.4 (𝜑𝑃𝑁)
aks6d1c7lem1.5 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c7lem1.6 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
aks6d1c7lem1.7 𝐿 = (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅))
aks6d1c7lem1.8 𝐷 = (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))
aks6d1c7lem1.9 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
aks6d1c7lem1.10 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((od𝑅)‘𝑁))
Assertion
Ref Expression
aks6d1c7lem1 (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(√‘𝐷))) < ((𝐷 + 𝐴)C(𝐷 − 1)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁,𝑙   𝑃,𝑘,𝑙   𝜑,𝑘,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘,𝑙)   𝐷(𝑘,𝑙)   𝑅(𝑘,𝑙)   𝐸(𝑘,𝑙)   𝐿(𝑘,𝑙)

Proof of Theorem aks6d1c7lem1
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks6d1c7lem1.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
2 eluzelz 12888 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4 0red 11264 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5 3re 12346 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
73zred 12722 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
8 3pos 12371 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
98a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 3)
10 eluzle 12891 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑁)
111, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
124, 6, 7, 9, 11ltletrd 11421 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝑁)
133, 12jca 511 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
14 elnnz 12623 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
1513, 14sylibr 234 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1615nnred 12281 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
17 aks6d1c7lem1.8 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 = (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))
19 aks6d1c7lem1.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
20 aks6d1c7lem1.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃𝑁)
21 aks6d1c7lem1.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
22 aks6d1c7lem1.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
23 aks6d1c7lem1.6 . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
24 aks6d1c7lem1.7 . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅))
25 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ/nℤ‘𝑅) = (ℤ/nℤ‘𝑅)
2615, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25hashscontpowcl 42121 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℕ0)
2718, 26eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
2827nn0red 12588 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
2927nn0ge0d 12590 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
3028, 29resqrtcld 15456 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
3130flcld 13838 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(√‘𝐷)) ∈ ℤ)
3228, 29sqrtge0d 15459 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (√‘𝐷))
33 0zd 12625 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
34 flge 13845 . . . . . . . . . 10 (((√‘𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (√‘𝐷) ↔ 0 ≤ (⌊‘(√‘𝐷))))
3530, 33, 34syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ (√‘𝐷) ↔ 0 ≤ (⌊‘(√‘𝐷))))
3632, 35mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(√‘𝐷)))
3731, 36jca 511 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(√‘𝐷)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(√‘𝐷))))
38 elnn0z 12626 . . . . . . 7 ((⌊‘(√‘𝐷)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(√‘𝐷)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(√‘𝐷))))
3937, 38sylibr 234 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(√‘𝐷)) ∈ ℕ0)
4016, 39reexpcld 14203 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(√‘𝐷))) ∈ ℝ)
41 2re 12340 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
43 2pos 12369 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 2)
4515nngt0d 12315 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝑁)
46 1ne2 12474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ≠ 2
4746necomi 2995 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 1
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ≠ 1)
4942, 44, 16, 45, 48relogbcld 41974 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
5018, 28eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℝ)
5129, 18breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))
5250, 51resqrtcld 15456 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) ∈ ℝ)
5349, 52remulcld 11291 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))) ∈ ℝ)
5453flcld 13838 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) ∈ ℤ)
55 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
56 0le1 11786 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≤ 1
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ 1)
5842recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
594, 44gtned 11396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ≠ 0)
60 logbid1 26811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
6158, 59, 48, 60syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
6261eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 = (2 logb 2))
63 2z 12649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℤ
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
6542leidd 11829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ≤ 2)
66 1nn0 12542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℕ0
6741, 66nn0addge1i 12574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ≤ (2 + 1)
68 2p1e3 12408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 + 1) = 3
6967, 68breqtri 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ≤ 3
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ≤ 3)
7142, 6, 7, 70, 11letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
7264, 65, 42, 44, 7, 12, 71logblebd 41977 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁))
7362, 72eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≤ (2 logb 𝑁))
744, 55, 49, 57, 73letrd 11418 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝑁))
7550, 51sqrtge0d 15459 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))
7649, 52, 74, 75mulge0d 11840 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ ((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))
77 flge 13845 . . . . . . . . . . . . 13 ((((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ ((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))) ↔ 0 ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))))
7853, 33, 77syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 ≤ ((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))) ↔ 0 ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))))
7976, 78mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))))
8054, 79jca 511 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))))
81 elnn0z 12626 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))))
8280, 81sylibr 234 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) ∈ ℕ0)
8366a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
8482, 83nn0addcld 12591 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) ∈ ℕ0)
8521phicld 16809 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ϕ‘𝑅) ∈ ℕ)
8685nnred 12281 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ϕ‘𝑅) ∈ ℝ)
8785nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ϕ‘𝑅) ∈ ℕ0)
8887nn0ge0d 12590 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ (ϕ‘𝑅))
8986, 88resqrtcld 15456 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (√‘(ϕ‘𝑅)) ∈ ℝ)
9089, 49remulcld 11291 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)) ∈ ℝ)
9190flcld 13838 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))) ∈ ℤ)
9286, 88sqrtge0d 15459 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (√‘(ϕ‘𝑅)))
9389, 49, 92, 74mulge0d 11840 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ ((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
94 flge 13845 . . . . . . . . . . . 12 ((((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ ((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)) ↔ 0 ≤ (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))))
9590, 33, 94syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 ≤ ((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)) ↔ 0 ≤ (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))))
9693, 95mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))))
9791, 96jca 511 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))))
98 elnn0z 12626 . . . . . . . . 9 ((⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))))
9997, 98sylibr 234 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))) ∈ ℕ0)
10084, 99nn0addcld 12591 . . . . . . 7 (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))) ∈ ℕ0)
10154peano2zd 12725 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) ∈ ℤ)
102 1zzd 12648 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
103102znegcld 12724 . . . . . . . 8 (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
104101, 103zaddcld 12726 . . . . . . 7 (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + -1) ∈ ℤ)
105 bccl 14361 . . . . . . 7 (((((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))) ∈ ℕ0 ∧ (((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + -1) ∈ ℤ) → ((((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))))C(((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + -1)) ∈ ℕ0)
106100, 104, 105syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))))C(((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + -1)) ∈ ℕ0)
107106nn0red 12588 . . . . 5 (𝜑 → ((((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))))C(((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + -1)) ∈ ℝ)
10826, 99nn0addcld 12591 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) + (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))) ∈ ℕ0)
10926nn0zd 12639 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℤ)
110109, 103zaddcld 12726 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) + -1) ∈ ℤ)
111 bccl 14361 . . . . . . 7 ((((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) + (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) + -1) ∈ ℤ) → (((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) + (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))))C((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) + -1)) ∈ ℕ0)
112108, 110, 111syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) + (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))))C((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) + -1)) ∈ ℕ0)
113112nn0red 12588 . . . . 5 (𝜑 → (((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) + (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))))C((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) + -1)) ∈ ℝ)
11452, 49remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁)) ∈ ℝ)
115114flcld 13838 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌊‘((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁))) ∈ ℤ)
11652, 49, 75, 74mulge0d 11840 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ ((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁)))
117 flge 13845 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ ((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁)) ↔ 0 ≤ (⌊‘((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁)))))
118114, 33, 117syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 ≤ ((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁)) ↔ 0 ≤ (⌊‘((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁)))))
119116, 118mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁))))
120115, 119jca 511 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((⌊‘((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁))) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁)))))
121 elnn0z 12626 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁))) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁))) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁)))))
122120, 121sylibr 234 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁))) ∈ ℕ0)
12384, 122nn0addcld 12591 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁)))) ∈ ℕ0)
124 bccl 14361 . . . . . . . . 9 (((((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁)))) ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) ∈ ℤ) → ((((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁))))C(⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) ∈ ℕ0)
125123, 54, 124syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁))))C(⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) ∈ ℕ0)
126125nn0red 12588 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁))))C(⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) ∈ ℝ)
127 bccl 14361 . . . . . . . . 9 (((((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))) ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) ∈ ℤ) → ((((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))))C(⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) ∈ ℕ0)
128100, 54, 127syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))))C(⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) ∈ ℕ0)
129128nn0red 12588 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))))C(⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) ∈ ℝ)
13042, 84reexpcld 14203 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2↑((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1)) ∈ ℝ)
131 2nn0 12543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ0
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
133132, 82nn0mulcld 12592 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) ∈ ℕ0)
134133, 83nn0addcld 12591 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) + 1) ∈ ℕ0)
135 bccl 14361 . . . . . . . . . . . . 13 ((((2 · (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) ∈ ℤ) → (((2 · (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) + 1)C(⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) ∈ ℕ0)
136134, 54, 135syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) + 1)C(⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) ∈ ℕ0)
137136nn0red 12588 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) + 1)C(⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) ∈ ℝ)
1384, 42, 44ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ 2)
13942, 138, 53recxpcld 26765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) ∈ ℝ)
140 reflcl 13836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))) ∈ ℝ → (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) ∈ ℝ)
14153, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) ∈ ℝ)
142141, 55readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) ∈ ℝ)
14342, 138, 142recxpcld 26765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2↑𝑐((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1)) ∈ ℝ)
144 1le2 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ≤ 2
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ≤ 2)
14655, 42, 7, 145, 71letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
147 reflcl 13836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((√‘𝐷) ∈ ℝ → (⌊‘(√‘𝐷)) ∈ ℝ)
14830, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌊‘(√‘𝐷)) ∈ ℝ)
14918fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (√‘𝐷) = (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))
150149fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⌊‘(√‘𝐷)) = (⌊‘(√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))
151 flle 13839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) ∈ ℝ → (⌊‘(√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))) ≤ (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))
15252, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⌊‘(√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))) ≤ (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))
153150, 152eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌊‘(√‘𝐷)) ≤ (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))
1547, 146, 148, 52, 153cxplead 26763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁𝑐(⌊‘(√‘𝐷))) ≤ (𝑁𝑐(√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))
1557recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
1564, 12gtned 11396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ≠ 0)
157155, 156, 31cxpexpzd 26753 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁𝑐(⌊‘(√‘𝐷))) = (𝑁↑(⌊‘(√‘𝐷))))
15859, 48nelprd 4657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ¬ 2 ∈ {0, 1})
15958, 158eldifd 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
160156neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ¬ 𝑁 = 0)
161 elsng 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ {0} ↔ 𝑁 = 0))
16215, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑁 ∈ {0} ↔ 𝑁 = 0))
163160, 162mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ {0})
164155, 163eldifd 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0}))
165 cxplogb 26829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) = 𝑁)
166159, 164, 165syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) = 𝑁)
167166eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 = (2↑𝑐(2 logb 𝑁)))
168167oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁𝑐(√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))) = ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐(√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))
169154, 157, 1683brtr3d 5174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(√‘𝐷))) ≤ ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐(√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))
17042, 44elrpd 13074 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
17152recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) ∈ ℂ)
172 cxpmul 26730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) ∈ ℂ) → (2↑𝑐((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) = ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐(√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))
173170, 49, 171, 172syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) = ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐(√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))
174169, 173breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(√‘𝐷))) ≤ (2↑𝑐((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))))
175 fllep1 13841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))) ≤ ((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1))
17653, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))) ≤ ((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1))
17755, 42, 145, 48leneltd 11415 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 < 2)
17884nn0red 12588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) ∈ ℝ)
17942, 177, 53, 178cxpled 26762 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))) ≤ ((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) ↔ (2↑𝑐((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) ≤ (2↑𝑐((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1))))
180176, 179mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) ≤ (2↑𝑐((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1)))
18140, 139, 143, 174, 180letrd 11418 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(√‘𝐷))) ≤ (2↑𝑐((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1)))
182 cxpexpz 26709 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ ((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) ∈ ℤ) → (2↑𝑐((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1)) = (2↑((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1)))
18358, 59, 101, 182syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2↑𝑐((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1)) = (2↑((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1)))
184181, 183breqtrd 5169 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(√‘𝐷))) ≤ (2↑((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1)))
18549, 49jca 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ (2 logb 𝑁) ∈ ℝ))
186 remulcl 11240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ (2 logb 𝑁) ∈ ℝ) → ((2 logb 𝑁) · (2 logb 𝑁)) ∈ ℝ)
187185, 186syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 logb 𝑁) · (2 logb 𝑁)) ∈ ℝ)
188 reflcl 13836 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb 𝑁) · (2 logb 𝑁)) ∈ ℝ → (⌊‘((2 logb 𝑁) · (2 logb 𝑁))) ∈ ℝ)
189187, 188syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁) · (2 logb 𝑁))) ∈ ℝ)
19082nn0red 12588 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) ∈ ℝ)
19142, 44, 6, 9, 48relogbcld 41974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 logb 3) ∈ ℝ)
192191resqcld 14165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 logb 3)↑2) ∈ ℝ)
19349recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℂ)
194193sqvald 14183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) = ((2 logb 𝑁) · (2 logb 𝑁)))
195194, 187eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
196 3lexlogpow2ineq2 42060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)
197196simpli 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 < ((2 logb 3)↑2)
198197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 < ((2 logb 3)↑2))
19942, 192, 198ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ≤ ((2 logb 3)↑2))
2006, 42, 59redivcld 12095 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (3 / 2) ∈ ℝ)
201 2rp 13039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ+
202201a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
2034, 6, 9ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ 3)
2046, 202, 203divge0d 13117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ (3 / 2))
205 3lexlogpow2ineq1 42059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))
206205simpli 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (3 / 2) < (2 logb 3)
207206a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (3 / 2) < (2 logb 3))
208200, 191, 207ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (3 / 2) ≤ (2 logb 3))
2094, 200, 191, 204, 208letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 3))
21064, 65, 6, 9, 7, 12, 11logblebd 41977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 logb 3) ≤ (2 logb 𝑁))
211191, 49, 132, 209, 210leexp1ad 41973 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 logb 3)↑2) ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
21242, 192, 195, 199, 211letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ≤ ((2 logb 𝑁)↑2))
213212, 194breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ≤ ((2 logb 𝑁) · (2 logb 𝑁)))
214 flge 13845 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2 logb 𝑁) · (2 logb 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 ≤ ((2 logb 𝑁) · (2 logb 𝑁)) ↔ 2 ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁) · (2 logb 𝑁)))))
215187, 64, 214syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 ≤ ((2 logb 𝑁) · (2 logb 𝑁)) ↔ 2 ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁) · (2 logb 𝑁)))))
216213, 215mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁) · (2 logb 𝑁))))
21749, 49remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 logb 𝑁) · (2 logb 𝑁)) ∈ ℝ)
218 aks6d1c7lem1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((od𝑅)‘𝑁))
21915, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 218aks6d1c3 42124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))
220171sqvald 14183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))↑2) = ((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))
22126nn0cnd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℂ)
222221msqsqrtd 15479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))) = (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))
223220, 222eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) = ((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))↑2))
224219, 223breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))↑2))
22549, 52, 74, 75lt2sqd 14295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 logb 𝑁) < (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) ↔ ((2 logb 𝑁)↑2) < ((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))↑2)))
226224, 225mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 logb 𝑁) < (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))
22749, 52, 226ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 logb 𝑁) ≤ (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))
22849, 52, 49, 74, 227lemul2ad 12208 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 logb 𝑁) · (2 logb 𝑁)) ≤ ((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))
229 flwordi 13852 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2 logb 𝑁) · (2 logb 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))) ∈ ℝ ∧ ((2 logb 𝑁) · (2 logb 𝑁)) ≤ ((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) → (⌊‘((2 logb 𝑁) · (2 logb 𝑁))) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))))
230217, 53, 228, 229syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁) · (2 logb 𝑁))) ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))))
23142, 189, 190, 216, 230letrd 11418 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≤ (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))))
23254, 2312ap1caineq 42146 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2↑((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1)) < (((2 · (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) + 1)C(⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))))
23340, 130, 137, 184, 232lelttrd 11419 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(√‘𝐷))) < (((2 · (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) + 1)C(⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))))
23482nn0cnd 12589 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) ∈ ℂ)
2352342timesd 12509 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) = ((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))))
236235oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) + 1) = (((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) + 1))
237236oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) + 1)C(⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) = ((((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) + 1)C(⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))))
238233, 237breqtrd 5169 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(√‘𝐷))) < ((((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) + 1)C(⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))))
239 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
240234, 234, 239addassd 11283 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) + 1) = ((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + ((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1)))
24184nn0cnd 12589 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) ∈ ℂ)
242234, 241addcomd 11463 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + ((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1)) = (((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))))
243240, 242eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) + 1) = (((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))))
244243oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) + 1)C(⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) = ((((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))))C(⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))))
245238, 244breqtrd 5169 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(√‘𝐷))) < ((((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))))C(⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))))
246193, 171mulcomd 11282 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))) = ((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁)))
247246fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) = (⌊‘((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁))))
248247oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) = (((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁)))))
249248oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))))C(⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) = ((((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁))))C(⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))))
250245, 249breqtrd 5169 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(√‘𝐷))) < ((((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁))))C(⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))))
251122nn0red 12588 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁))) ∈ ℝ)
25299nn0red 12588 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))) ∈ ℝ)
25317, 27eqeltrrid 2846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℕ0)
254253nn0red 12588 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℝ)
255253nn0ge0d 12590 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))
256254, 255resqrtcld 15456 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) ∈ ℝ)
257256, 49remulcld 11291 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁)) ∈ ℝ)
25815, 19, 20, 21, 22, 23, 24aks6d1c4 42125 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ≤ (ϕ‘𝑅))
25950, 51, 86, 88sqrtled 15465 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ≤ (ϕ‘𝑅) ↔ (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) ≤ (√‘(ϕ‘𝑅))))
260258, 259mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) ≤ (√‘(ϕ‘𝑅)))
261256, 89, 49, 74, 260lemul1ad 12207 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁)) ≤ ((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
262 flwordi 13852 . . . . . . . . . 10 ((((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁)) ≤ ((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))) → (⌊‘((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁))) ≤ (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))))
263257, 90, 261, 262syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁))) ≤ (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))))
264251, 252, 142, 263leadd2dd 11878 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁)))) ≤ (((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))))
265123, 100, 54, 264bcled 42179 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (2 logb 𝑁))))C(⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) ≤ ((((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))))C(⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))))
26640, 126, 129, 250, 265ltletrd 11421 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(√‘𝐷))) < ((((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))))C(⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))))
267234, 239pncand 11621 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) − 1) = (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))))
268267eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) = (((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) − 1))
269241, 239negsubd 11626 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + -1) = (((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) − 1))
270269eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) − 1) = (((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + -1))
271268, 270eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) = (((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + -1))
272271oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → ((((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))))C(⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))) = ((((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))))C(((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + -1)))
273266, 272breqtrd 5169 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(√‘𝐷))) < ((((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))))C(((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + -1)))
27421nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
27525zncrng 21563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘𝑅) ∈ CRing)
276274, 275syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (ℤ/nℤ‘𝑅) ∈ CRing)
277 crngring 20242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℤ/nℤ‘𝑅) ∈ CRing → (ℤ/nℤ‘𝑅) ∈ Ring)
27824zrhrhm 21522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℤ/nℤ‘𝑅) ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom (ℤ/nℤ‘𝑅)))
279 zringbas 21464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℤ = (Base‘ℤring)
280 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) = (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑅))
281279, 280rhmf 20485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom (ℤ/nℤ‘𝑅)) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑅)))
282276, 277, 278, 2814syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑅)))
283282ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐿 Fn ℤ)
28415, 19, 20, 23aks6d1c2p1 42119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶ℕ)
285 nnssz 12635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℕ ⊆ ℤ
286285a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ℕ ⊆ ℤ)
287284, 286fssd 6753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶ℤ)
288 frn 6743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐸:(ℕ0 × ℕ0)⟶ℤ → ran 𝐸 ⊆ ℤ)
289287, 288syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ran 𝐸 ⊆ ℤ)
290284ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐸 Fn (ℕ0 × ℕ0))
291 fnima 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐸 Fn (ℕ0 × ℕ0) → (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)) = ran 𝐸)
292290, 291syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)) = ran 𝐸)
293292sseq1d 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)) ⊆ ℤ ↔ ran 𝐸 ⊆ ℤ))
294289, 293mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)) ⊆ ℤ)
295 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑘 ∈ V
296 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑙 ∈ V
297295, 296op1std 8024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑣 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (1st𝑣) = 𝑘)
298297oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑣 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (𝑃↑(1st𝑣)) = (𝑃𝑘))
299295, 296op2ndd 8025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑣 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → (2nd𝑣) = 𝑙)
300299oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑣 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑣)) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))
301298, 300oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑣 = ⟨𝑘, 𝑙⟩ → ((𝑃↑(1st𝑣)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑣))) = ((𝑃𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
302301mpompt 7547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st𝑣)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑣)))) = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
303302eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))) = (𝑣 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st𝑣)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑣))))
30423, 303eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐸 = (𝑣 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st𝑣)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑣))))
305304a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐸 = (𝑣 ∈ (ℕ0 × ℕ0) ↦ ((𝑃↑(1st𝑣)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑣)))))
306 c0ex 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ∈ V
307306, 306op1std 8024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑣 = ⟨0, 0⟩ → (1st𝑣) = 0)
308307adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑣 = ⟨0, 0⟩) → (1st𝑣) = 0)
309308oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑣 = ⟨0, 0⟩) → (𝑃↑(1st𝑣)) = (𝑃↑0))
310306, 306op2ndd 8025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑣 = ⟨0, 0⟩ → (2nd𝑣) = 0)
311310adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑣 = ⟨0, 0⟩) → (2nd𝑣) = 0)
312311oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑣 = ⟨0, 0⟩) → ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑣)) = ((𝑁 / 𝑃)↑0))
313309, 312oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑣 = ⟨0, 0⟩) → ((𝑃↑(1st𝑣)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑣))) = ((𝑃↑0) · ((𝑁 / 𝑃)↑0)))
314 prmnn 16711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
31519, 314syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
316315nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
317316exp0d 14180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑃↑0) = 1)
318315nnne0d 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝑃 ≠ 0)
319155, 316, 318divcld 12043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℂ)
320319exp0d 14180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((𝑁 / 𝑃)↑0) = 1)
321317, 320oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑃↑0) · ((𝑁 / 𝑃)↑0)) = (1 · 1))
322239mulridd 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (1 · 1) = 1)
323321, 322eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝑃↑0) · ((𝑁 / 𝑃)↑0)) = 1)
324323adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑣 = ⟨0, 0⟩) → ((𝑃↑0) · ((𝑁 / 𝑃)↑0)) = 1)
325313, 324eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑣 = ⟨0, 0⟩) → ((𝑃↑(1st𝑣)) · ((𝑁 / 𝑃)↑(2nd𝑣))) = 1)
326 0nn0 12541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℕ0
327326a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
328327, 327opelxpd 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ⟨0, 0⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0))
329 1nn 12277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℕ
330329a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
331305, 325, 328, 330fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐸‘⟨0, 0⟩) = 1)
332 ssidd 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (ℕ0 × ℕ0) ⊆ (ℕ0 × ℕ0))
333 fnfvima 7253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐸 Fn (ℕ0 × ℕ0) ∧ (ℕ0 × ℕ0) ⊆ (ℕ0 × ℕ0) ∧ ⟨0, 0⟩ ∈ (ℕ0 × ℕ0)) → (𝐸‘⟨0, 0⟩) ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))
334290, 332, 328, 333syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐸‘⟨0, 0⟩) ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))
335331, 334eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))
336 fnfvima 7253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)) ⊆ ℤ ∧ 1 ∈ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) → (𝐿‘1) ∈ (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))
337283, 294, 335, 336syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐿‘1) ∈ (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))
33824a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐿 = (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)))
339 fvexd 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅)) ∈ V)
340338, 339eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐿 ∈ V)
341340imaexd 7938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∈ V)
342337, 341hashelne0d 14407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ¬ (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) = 0)
343342neqned 2947 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ≠ 0)
34426, 343jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ≠ 0))
345 elnnne0 12540 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℕ ↔ ((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ≠ 0))
346344, 345sylibr 234 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℕ)
347346nnrpd 13075 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℝ+)
348347rpsqrtcld 15450 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) ∈ ℝ+)
34949, 52, 348, 226ltmul1dd 13132 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))) < ((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))
35050, 51, 50, 51sqrtmuld 15463 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (√‘((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) · (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))) = ((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))
351350eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))) = (√‘((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) · (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))
352349, 351breqtrd 5169 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))) < (√‘((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) · (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))))
353350, 222eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (√‘((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) · (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))) = (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))
354352, 353breqtrd 5169 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))) < (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))
355 fllt 13846 . . . . . . . . 9 ((((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))) ∈ ℝ ∧ (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℤ) → (((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))) < (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ↔ (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) < (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))
35653, 109, 355syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))) < (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ↔ (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) < (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))
357354, 356mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) < (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))
35854, 109zltp1led 41980 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) < (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ↔ ((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) ≤ (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))
359357, 358mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) ≤ (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))))
36055renegcld 11690 . . . . . . 7 (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
361 df-neg 11495 . . . . . . . . 9 -1 = (0 − 1)
362361a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → -1 = (0 − 1))
3634lem1d 12201 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 − 1) ≤ 0)
364362, 363eqbrtrd 5165 . . . . . . 7 (𝜑 → -1 ≤ 0)
365360, 4, 252, 364, 96letrd 11418 . . . . . 6 (𝜑 → -1 ≤ (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))))
36684, 26, 99, 103, 359, 365bcle2d 42180 . . . . 5 (𝜑 → ((((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))))C(((⌊‘((2 logb 𝑁) · (√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))) + 1) + -1)) ≤ (((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) + (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))))C((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) + -1)))
36740, 107, 113, 273, 366ltletrd 11421 . . . 4 (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(√‘𝐷))) < (((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) + (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))))C((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) + -1)))
368221, 239negsubd 11626 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) + -1) = ((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1))
369368oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → (((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) + (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))))C((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) + -1)) = (((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) + (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))))C((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)))
370367, 369breqtrd 5169 . . 3 (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(√‘𝐷))) < (((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) + (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))))C((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)))
371 aks6d1c7lem1.9 . . . . . . 7 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
372371eqcomi 2746 . . . . . 6 (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))) = 𝐴
373372a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))) = 𝐴)
374373oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) + (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))) = ((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) + 𝐴))
375374oveq1d 7446 . . 3 (𝜑 → (((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) + (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁))))C((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)) = (((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) + 𝐴)C((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)))
376370, 375breqtrd 5169 . 2 (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(√‘𝐷))) < (((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) + 𝐴)C((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)))
37718eqcomd 2743 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) = 𝐷)
378377oveq1d 7446 . . 3 (𝜑 → ((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) + 𝐴) = (𝐷 + 𝐴))
379377oveq1d 7446 . . 3 (𝜑 → ((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1) = (𝐷 − 1))
380378, 379oveq12d 7449 . 2 (𝜑 → (((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) + 𝐴)C((♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) − 1)) = ((𝐷 + 𝐴)C(𝐷 − 1)))
381376, 380breqtrd 5169 1 (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(√‘𝐷))) < ((𝐷 + 𝐴)C(𝐷 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  cdif 3948  wss 3951  {csn 4626  {cpr 4628  cop 4632   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  ran crn 5686  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  1st c1st 8012  2nd c2nd 8013  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  5c5 12324  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  cfl 13830  cexp 14102  Ccbc 14341  chash 14369  csqrt 15272  cdvds 16290   gcd cgcd 16531  cprime 16708  odcodz 16800  ϕcphi 16801  Basecbs 17247  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231   RingHom crh 20469  ringczring 21457  ℤRHomczrh 21510  ℤ/nczn 21513  𝑐ccxp 26597   logb clogb 26807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-prod 15940  df-fallfac 16043  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-odz 16802  df-phi 16803  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-qus 17554  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-2idl 21260  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-zn 21517  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599  df-logb 26808
This theorem is referenced by:  aks6d1c7lem2  42182
  Copyright terms: Public domain W3C validator