Theorem 2expltfac 17299

Description: The factorial grows faster than two to the power 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
2expltfac	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2↑𝑁) < (!‘𝑁))

Proof of Theorem 2expltfac

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7451	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 4 → (2↑𝑥) = (2↑4))
2		2exp4 17291	. . . 4 ⊢ (2↑4) = ;16
3	1, 2	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ (𝑥 = 4 → (2↑𝑥) = ;16)
4		fveq2 6908	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 4 → (!‘𝑥) = (!‘4))
5		fac4 14452	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
6	4, 5	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ (𝑥 = 4 → (!‘𝑥) = ;24)
7	3, 6	breq12d 5119	. 2 ⊢ (𝑥 = 4 → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ ;16 < ;24))
8		oveq2 7451	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (2↑𝑥) = (2↑𝑛))
9		fveq2 6908	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (!‘𝑥) = (!‘𝑛))
10	8, 9	breq12d 5119	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)))
11		oveq2 7451	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (2↑𝑥) = (2↑(𝑛 + 1)))
12		fveq2 6908	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑛 + 1)))
13	11, 12	breq12d 5119	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ (2↑(𝑛 + 1)) < (!‘(𝑛 + 1))))
14		oveq2 7451	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (2↑𝑥) = (2↑𝑁))
15		fveq2 6908	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
16	14, 15	breq12d 5119	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ (2↑𝑁) < (!‘𝑁)))
17		1nn0 12649	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
18		2nn0 12650	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19		6nn0 12654	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		4nn0 12652	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		6lt10 12981	. . 3 ⊢ 6 < ;10
22		1lt2 12542	. . 3 ⊢ 1 < 2
23	17, 18, 19, 20, 21, 22	decltc 12875	. 2 ⊢ ;16 < ;24
24		2nn 12443	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℕ)
26		4nn 12453	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ
27		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘4))
28		eluznn 13072	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑛 ∈ ℕ)
29	26, 27, 28	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
30	29	nnnn0d 12694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
31	25, 30	nnexpcld 14416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
32	31	nnred 12377	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
33		2re 12444	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℝ)
35	32, 34	remulcld 11366	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((2↑𝑛) · 2) ∈ ℝ)
36	30	faccld 14455	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
37	36	nnred 12377	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ ℝ)
38	37, 34	remulcld 11366	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((!‘𝑛) · 2) ∈ ℝ)
39	29	nnred 12377	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
40		1red 11336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
41	39, 40	readdcld 11365	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
42	37, 41	remulcld 11366	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
43		2rp 13152	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℝ+)
45		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑𝑛) < (!‘𝑛))
46	32, 37, 44, 45	ltmul1dd 13246	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((2↑𝑛) · 2) < ((!‘𝑛) · 2))
47	36	nnnn0d 12694	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ ℕ0)
48	47	nn0ge0d 12697	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 0 ≤ (!‘𝑛))
49		df-2 12432	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
50	29	nnge1d 12413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 1 ≤ 𝑛)
51	40, 39, 40, 50	leadd1dd 11957	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (1 + 1) ≤ (𝑛 + 1))
52	49, 51	eqbrtrid 5143	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ≤ (𝑛 + 1))
53	34, 41, 37, 48, 52	lemul2ad 12284	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((!‘𝑛) · 2) ≤ ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
54	35, 38, 42, 46, 53	ltletrd 11497	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((2↑𝑛) · 2) < ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
55		2cnd 12448	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℂ)
56	55, 30	expp1d 14317	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑(𝑛 + 1)) = ((2↑𝑛) · 2))
57		facp1 14449	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑛 + 1)) = ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
58	30, 57	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘(𝑛 + 1)) = ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
59	54, 56, 58	3brtr4d 5140	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑(𝑛 + 1)) < (!‘(𝑛 + 1)))
60	59	ex 418	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) → ((2↑𝑛) < (!‘𝑛) → (2↑(𝑛 + 1)) < (!‘(𝑛 + 1))))
61	7, 10, 13, 16, 23, 60	uzind4i 13064	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2↑𝑁) < (!‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232   < clt 11370   ≤ cle 11371  ℕcn 12362  2c2 12424  4c4 12426  6c6 12428  ℕ₀cn0 12633  ;cdc 12841  ℤ_≥cuz 12992  ℝ⁺crp 13147  ↑cexp 14231  !cfa 14444

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-rp 13148  df-seq 14172  df-exp 14232  df-fac 14445

This theorem is used by: (None)