MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2expltfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2expltfac 17026
Description: The factorial grows faster than two to the power ๐‘. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
2expltfac (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (2โ†‘๐‘) < (!โ€˜๐‘))

Proof of Theorem 2expltfac
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7417 . . . 4 (๐‘ฅ = 4 โ†’ (2โ†‘๐‘ฅ) = (2โ†‘4))
2 2exp4 17018 . . . 4 (2โ†‘4) = 16
31, 2eqtrdi 2789 . . 3 (๐‘ฅ = 4 โ†’ (2โ†‘๐‘ฅ) = 16)
4 fveq2 6892 . . . 4 (๐‘ฅ = 4 โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜4))
5 fac4 14241 . . . 4 (!โ€˜4) = 24
64, 5eqtrdi 2789 . . 3 (๐‘ฅ = 4 โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = 24)
73, 6breq12d 5162 . 2 (๐‘ฅ = 4 โ†’ ((2โ†‘๐‘ฅ) < (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” 16 < 24))
8 oveq2 7417 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (2โ†‘๐‘ฅ) = (2โ†‘๐‘›))
9 fveq2 6892 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜๐‘›))
108, 9breq12d 5162 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ ((2โ†‘๐‘ฅ) < (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)))
11 oveq2 7417 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โ†’ (2โ†‘๐‘ฅ) = (2โ†‘(๐‘› + 1)))
12 fveq2 6892 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜(๐‘› + 1)))
1311, 12breq12d 5162 . 2 (๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โ†’ ((2โ†‘๐‘ฅ) < (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” (2โ†‘(๐‘› + 1)) < (!โ€˜(๐‘› + 1))))
14 oveq2 7417 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (2โ†‘๐‘ฅ) = (2โ†‘๐‘))
15 fveq2 6892 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜๐‘))
1614, 15breq12d 5162 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((2โ†‘๐‘ฅ) < (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” (2โ†‘๐‘) < (!โ€˜๐‘)))
17 1nn0 12488 . . 3 1 โˆˆ โ„•0
18 2nn0 12489 . . 3 2 โˆˆ โ„•0
19 6nn0 12493 . . 3 6 โˆˆ โ„•0
20 4nn0 12491 . . 3 4 โˆˆ โ„•0
21 6lt10 12811 . . 3 6 < 10
22 1lt2 12383 . . 3 1 < 2
2317, 18, 19, 20, 21, 22decltc 12706 . 2 16 < 24
24 2nn 12285 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„•
2524a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
26 4nn 12295 . . . . . . . . . 10 4 โˆˆ โ„•
27 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4))
28 eluznn 12902 . . . . . . . . . 10 ((4 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
2926, 27, 28sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
3029nnnn0d 12532 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
3125, 30nnexpcld 14208 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ (2โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„•)
3231nnred 12227 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ (2โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„)
33 2re 12286 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„
3433a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
3532, 34remulcld 11244 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ ((2โ†‘๐‘›) ยท 2) โˆˆ โ„)
3630faccld 14244 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ (!โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„•)
3736nnred 12227 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ (!โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
3837, 34remulcld 11244 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ ((!โ€˜๐‘›) ยท 2) โˆˆ โ„)
3929nnred 12227 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
40 1red 11215 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
4139, 40readdcld 11243 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„)
4237, 41remulcld 11244 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ ((!โ€˜๐‘›) ยท (๐‘› + 1)) โˆˆ โ„)
43 2rp 12979 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„+
4443a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
45 simpr 486 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›))
4632, 37, 44, 45ltmul1dd 13071 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ ((2โ†‘๐‘›) ยท 2) < ((!โ€˜๐‘›) ยท 2))
4736nnnn0d 12532 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ (!โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„•0)
4847nn0ge0d 12535 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘›))
49 df-2 12275 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
5029nnge1d 12260 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘›)
5140, 39, 40, 50leadd1dd 11828 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ (1 + 1) โ‰ค (๐‘› + 1))
5249, 51eqbrtrid 5184 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ 2 โ‰ค (๐‘› + 1))
5334, 41, 37, 48, 52lemul2ad 12154 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ ((!โ€˜๐‘›) ยท 2) โ‰ค ((!โ€˜๐‘›) ยท (๐‘› + 1)))
5435, 38, 42, 46, 53ltletrd 11374 . . . 4 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ ((2โ†‘๐‘›) ยท 2) < ((!โ€˜๐‘›) ยท (๐‘› + 1)))
55 2cnd 12290 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
5655, 30expp1d 14112 . . . 4 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ (2โ†‘(๐‘› + 1)) = ((2โ†‘๐‘›) ยท 2))
57 facp1 14238 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘› + 1)) = ((!โ€˜๐‘›) ยท (๐‘› + 1)))
5830, 57syl 17 . . . 4 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ (!โ€˜(๐‘› + 1)) = ((!โ€˜๐‘›) ยท (๐‘› + 1)))
5954, 56, 583brtr4d 5181 . . 3 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ (2โ†‘(๐‘› + 1)) < (!โ€˜(๐‘› + 1)))
6059ex 414 . 2 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ((2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›) โ†’ (2โ†‘(๐‘› + 1)) < (!โ€˜(๐‘› + 1))))
617, 10, 13, 16, 23, 60uzind4i 12894 1 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (2โ†‘๐‘) < (!โ€˜๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249  โ„•cn 12212  2c2 12267  4c4 12269  6c6 12271  โ„•0cn0 12472  cdc 12677  โ„คโ‰ฅcuz 12822  โ„+crp 12974  โ†‘cexp 14027  !cfa 14233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator