Theorem 2expltfac 17032

Description: The factorial grows faster than two to the power 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
2expltfac	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2↑𝑁) < (!‘𝑁))

Proof of Theorem 2expltfac

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7376	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 4 → (2↑𝑥) = (2↑4))
2		2exp4 17024	. . . 4 ⊢ (2↑4) = ;16
3	1, 2	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ (𝑥 = 4 → (2↑𝑥) = ;16)
4		fveq2 6842	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 4 → (!‘𝑥) = (!‘4))
5		fac4 14216	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
6	4, 5	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ (𝑥 = 4 → (!‘𝑥) = ;24)
7	3, 6	breq12d 5113	. 2 ⊢ (𝑥 = 4 → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ ;16 < ;24))
8		oveq2 7376	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (2↑𝑥) = (2↑𝑛))
9		fveq2 6842	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (!‘𝑥) = (!‘𝑛))
10	8, 9	breq12d 5113	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)))
11		oveq2 7376	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (2↑𝑥) = (2↑(𝑛 + 1)))
12		fveq2 6842	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑛 + 1)))
13	11, 12	breq12d 5113	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ (2↑(𝑛 + 1)) < (!‘(𝑛 + 1))))
14		oveq2 7376	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (2↑𝑥) = (2↑𝑁))
15		fveq2 6842	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
16	14, 15	breq12d 5113	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ (2↑𝑁) < (!‘𝑁)))
17		1nn0 12429	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
18		2nn0 12430	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19		6nn0 12434	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		4nn0 12432	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		6lt10 12753	. . 3 ⊢ 6 < ;10
22		1lt2 12323	. . 3 ⊢ 1 < 2
23	17, 18, 19, 20, 21, 22	decltc 12648	. 2 ⊢ ;16 < ;24
24		2nn 12230	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℕ)
26		4nn 12240	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ
27		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘4))
28		eluznn 12843	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑛 ∈ ℕ)
29	26, 27, 28	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
30	29	nnnn0d 12474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
31	25, 30	nnexpcld 14180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
32	31	nnred 12172	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
33		2re 12231	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℝ)
35	32, 34	remulcld 11174	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((2↑𝑛) · 2) ∈ ℝ)
36	30	faccld 14219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
37	36	nnred 12172	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ ℝ)
38	37, 34	remulcld 11174	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((!‘𝑛) · 2) ∈ ℝ)
39	29	nnred 12172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
40		1red 11145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
41	39, 40	readdcld 11173	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
42	37, 41	remulcld 11174	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
43		2rp 12922	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℝ+)
45		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑𝑛) < (!‘𝑛))
46	32, 37, 44, 45	ltmul1dd 13016	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((2↑𝑛) · 2) < ((!‘𝑛) · 2))
47	36	nnnn0d 12474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ ℕ0)
48	47	nn0ge0d 12477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 0 ≤ (!‘𝑛))
49		df-2 12220	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
50	29	nnge1d 12205	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 1 ≤ 𝑛)
51	40, 39, 40, 50	leadd1dd 11763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (1 + 1) ≤ (𝑛 + 1))
52	49, 51	eqbrtrid 5135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ≤ (𝑛 + 1))
53	34, 41, 37, 48, 52	lemul2ad 12094	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((!‘𝑛) · 2) ≤ ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
54	35, 38, 42, 46, 53	ltletrd 11305	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((2↑𝑛) · 2) < ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
55		2cnd 12235	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℂ)
56	55, 30	expp1d 14082	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑(𝑛 + 1)) = ((2↑𝑛) · 2))
57		facp1 14213	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑛 + 1)) = ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
58	30, 57	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘(𝑛 + 1)) = ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
59	54, 56, 58	3brtr4d 5132	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑(𝑛 + 1)) < (!‘(𝑛 + 1)))
60	59	ex 412	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) → ((2↑𝑛) < (!‘𝑛) → (2↑(𝑛 + 1)) < (!‘(𝑛 + 1))))
61	7, 10, 13, 16, 23, 60	uzind4i 12835	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2↑𝑁) < (!‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11178   ≤ cle 11179  ℕcn 12157  2c2 12212  4c4 12214  6c6 12216  ℕ₀cn0 12413  ;cdc 12619  ℤ_≥cuz 12763  ℝ⁺crp 12917  ↑cexp 13996  !cfa 14208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209

This theorem is referenced by: (None)