Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2expltfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2expltfac 16421
 Description: The factorial grows faster than two to the power 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
2expltfac (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (2↑𝑁) < (!‘𝑁))

Proof of Theorem 2expltfac
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7147 . . . 4 (𝑥 = 4 → (2↑𝑥) = (2↑4))
2 2exp4 16414 . . . 4 (2↑4) = 16
31, 2eqtrdi 2852 . . 3 (𝑥 = 4 → (2↑𝑥) = 16)
4 fveq2 6649 . . . 4 (𝑥 = 4 → (!‘𝑥) = (!‘4))
5 fac4 13641 . . . 4 (!‘4) = 24
64, 5eqtrdi 2852 . . 3 (𝑥 = 4 → (!‘𝑥) = 24)
73, 6breq12d 5046 . 2 (𝑥 = 4 → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ 16 < 24))
8 oveq2 7147 . . 3 (𝑥 = 𝑛 → (2↑𝑥) = (2↑𝑛))
9 fveq2 6649 . . 3 (𝑥 = 𝑛 → (!‘𝑥) = (!‘𝑛))
108, 9breq12d 5046 . 2 (𝑥 = 𝑛 → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)))
11 oveq2 7147 . . 3 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (2↑𝑥) = (2↑(𝑛 + 1)))
12 fveq2 6649 . . 3 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑛 + 1)))
1311, 12breq12d 5046 . 2 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ (2↑(𝑛 + 1)) < (!‘(𝑛 + 1))))
14 oveq2 7147 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → (2↑𝑥) = (2↑𝑁))
15 fveq2 6649 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
1614, 15breq12d 5046 . 2 (𝑥 = 𝑁 → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ (2↑𝑁) < (!‘𝑁)))
17 1nn0 11905 . . 3 1 ∈ ℕ0
18 2nn0 11906 . . 3 2 ∈ ℕ0
19 6nn0 11910 . . 3 6 ∈ ℕ0
20 4nn0 11908 . . 3 4 ∈ ℕ0
21 6lt10 12224 . . 3 6 < 10
22 1lt2 11800 . . 3 1 < 2
2317, 18, 19, 20, 21, 22decltc 12119 . 2 16 < 24
24 2nn 11702 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
2524a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℕ)
26 4nn 11712 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ
27 simpl 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ (ℤ‘4))
28 eluznn 12310 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘4)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2926, 27, 28sylancr 590 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
3029nnnn0d 11947 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
3125, 30nnexpcld 13606 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
3231nnred 11644 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
33 2re 11703 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℝ)
3532, 34remulcld 10664 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((2↑𝑛) · 2) ∈ ℝ)
3630faccld 13644 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
3736nnred 11644 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ ℝ)
3837, 34remulcld 10664 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((!‘𝑛) · 2) ∈ ℝ)
3929nnred 11644 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
40 1red 10635 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
4139, 40readdcld 10663 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
4237, 41remulcld 10664 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
43 2rp 12386 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
4443a1i 11 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℝ+)
45 simpr 488 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑𝑛) < (!‘𝑛))
4632, 37, 44, 45ltmul1dd 12478 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((2↑𝑛) · 2) < ((!‘𝑛) · 2))
4736nnnn0d 11947 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ ℕ0)
4847nn0ge0d 11950 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 0 ≤ (!‘𝑛))
49 df-2 11692 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
5029nnge1d 11677 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 1 ≤ 𝑛)
5140, 39, 40, 50leadd1dd 11247 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (1 + 1) ≤ (𝑛 + 1))
5249, 51eqbrtrid 5068 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ≤ (𝑛 + 1))
5334, 41, 37, 48, 52lemul2ad 11573 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((!‘𝑛) · 2) ≤ ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
5435, 38, 42, 46, 53ltletrd 10793 . . . 4 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((2↑𝑛) · 2) < ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
55 2cnd 11707 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℂ)
5655, 30expp1d 13511 . . . 4 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑(𝑛 + 1)) = ((2↑𝑛) · 2))
57 facp1 13638 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑛 + 1)) = ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
5830, 57syl 17 . . . 4 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘(𝑛 + 1)) = ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
5954, 56, 583brtr4d 5065 . . 3 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑(𝑛 + 1)) < (!‘(𝑛 + 1)))
6059ex 416 . 2 (𝑛 ∈ (ℤ‘4) → ((2↑𝑛) < (!‘𝑛) → (2↑(𝑛 + 1)) < (!‘(𝑛 + 1))))
617, 10, 13, 16, 23, 60uzind4i 12302 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (2↑𝑁) < (!‘𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℝcr 10529  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668   ≤ cle 10669  ℕcn 11629  2c2 11684  4c4 11686  6c6 11688  ℕ0cn0 11889  ;cdc 12090  ℤ≥cuz 12235  ℝ+crp 12381  ↑cexp 13429  !cfa 13633 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator