MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2expltfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2expltfac 17127
Description: The factorial grows faster than two to the power 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
2expltfac (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (2↑𝑁) < (!‘𝑁))

Proof of Theorem 2expltfac
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7439 . . . 4 (𝑥 = 4 → (2↑𝑥) = (2↑4))
2 2exp4 17119 . . . 4 (2↑4) = 16
31, 2eqtrdi 2791 . . 3 (𝑥 = 4 → (2↑𝑥) = 16)
4 fveq2 6907 . . . 4 (𝑥 = 4 → (!‘𝑥) = (!‘4))
5 fac4 14317 . . . 4 (!‘4) = 24
64, 5eqtrdi 2791 . . 3 (𝑥 = 4 → (!‘𝑥) = 24)
73, 6breq12d 5161 . 2 (𝑥 = 4 → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ 16 < 24))
8 oveq2 7439 . . 3 (𝑥 = 𝑛 → (2↑𝑥) = (2↑𝑛))
9 fveq2 6907 . . 3 (𝑥 = 𝑛 → (!‘𝑥) = (!‘𝑛))
108, 9breq12d 5161 . 2 (𝑥 = 𝑛 → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)))
11 oveq2 7439 . . 3 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (2↑𝑥) = (2↑(𝑛 + 1)))
12 fveq2 6907 . . 3 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑛 + 1)))
1311, 12breq12d 5161 . 2 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ (2↑(𝑛 + 1)) < (!‘(𝑛 + 1))))
14 oveq2 7439 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → (2↑𝑥) = (2↑𝑁))
15 fveq2 6907 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
1614, 15breq12d 5161 . 2 (𝑥 = 𝑁 → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ (2↑𝑁) < (!‘𝑁)))
17 1nn0 12540 . . 3 1 ∈ ℕ0
18 2nn0 12541 . . 3 2 ∈ ℕ0
19 6nn0 12545 . . 3 6 ∈ ℕ0
20 4nn0 12543 . . 3 4 ∈ ℕ0
21 6lt10 12865 . . 3 6 < 10
22 1lt2 12435 . . 3 1 < 2
2317, 18, 19, 20, 21, 22decltc 12760 . 2 16 < 24
24 2nn 12337 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
2524a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℕ)
26 4nn 12347 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ
27 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ (ℤ‘4))
28 eluznn 12958 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘4)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2926, 27, 28sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
3029nnnn0d 12585 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
3125, 30nnexpcld 14281 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
3231nnred 12279 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
33 2re 12338 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℝ)
3532, 34remulcld 11289 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((2↑𝑛) · 2) ∈ ℝ)
3630faccld 14320 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
3736nnred 12279 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ ℝ)
3837, 34remulcld 11289 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((!‘𝑛) · 2) ∈ ℝ)
3929nnred 12279 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
40 1red 11260 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
4139, 40readdcld 11288 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
4237, 41remulcld 11289 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
43 2rp 13037 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
4443a1i 11 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℝ+)
45 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑𝑛) < (!‘𝑛))
4632, 37, 44, 45ltmul1dd 13130 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((2↑𝑛) · 2) < ((!‘𝑛) · 2))
4736nnnn0d 12585 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ ℕ0)
4847nn0ge0d 12588 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 0 ≤ (!‘𝑛))
49 df-2 12327 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
5029nnge1d 12312 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 1 ≤ 𝑛)
5140, 39, 40, 50leadd1dd 11875 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (1 + 1) ≤ (𝑛 + 1))
5249, 51eqbrtrid 5183 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ≤ (𝑛 + 1))
5334, 41, 37, 48, 52lemul2ad 12206 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((!‘𝑛) · 2) ≤ ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
5435, 38, 42, 46, 53ltletrd 11419 . . . 4 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((2↑𝑛) · 2) < ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
55 2cnd 12342 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℂ)
5655, 30expp1d 14184 . . . 4 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑(𝑛 + 1)) = ((2↑𝑛) · 2))
57 facp1 14314 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑛 + 1)) = ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
5830, 57syl 17 . . . 4 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘(𝑛 + 1)) = ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
5954, 56, 583brtr4d 5180 . . 3 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑(𝑛 + 1)) < (!‘(𝑛 + 1)))
6059ex 412 . 2 (𝑛 ∈ (ℤ‘4) → ((2↑𝑛) < (!‘𝑛) → (2↑(𝑛 + 1)) < (!‘(𝑛 + 1))))
617, 10, 13, 16, 23, 60uzind4i 12950 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (2↑𝑁) < (!‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cn 12264  2c2 12319  4c4 12321  6c6 12323  0cn0 12524  cdc 12731  cuz 12876  +crp 13032  cexp 14099  !cfa 14309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator