Theorem 2expltfac 16609

Description: The factorial grows faster than two to the power 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
2expltfac	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2↑𝑁) < (!‘𝑁))

Proof of Theorem 2expltfac

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7199	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 4 → (2↑𝑥) = (2↑4))
2		2exp4 16601	. . . 4 ⊢ (2↑4) = ;16
3	1, 2	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (𝑥 = 4 → (2↑𝑥) = ;16)
4		fveq2 6695	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 4 → (!‘𝑥) = (!‘4))
5		fac4 13812	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
6	4, 5	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (𝑥 = 4 → (!‘𝑥) = ;24)
7	3, 6	breq12d 5052	. 2 ⊢ (𝑥 = 4 → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ ;16 < ;24))
8		oveq2 7199	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (2↑𝑥) = (2↑𝑛))
9		fveq2 6695	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (!‘𝑥) = (!‘𝑛))
10	8, 9	breq12d 5052	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)))
11		oveq2 7199	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (2↑𝑥) = (2↑(𝑛 + 1)))
12		fveq2 6695	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑛 + 1)))
13	11, 12	breq12d 5052	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ (2↑(𝑛 + 1)) < (!‘(𝑛 + 1))))
14		oveq2 7199	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (2↑𝑥) = (2↑𝑁))
15		fveq2 6695	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
16	14, 15	breq12d 5052	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ (2↑𝑁) < (!‘𝑁)))
17		1nn0 12071	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
18		2nn0 12072	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19		6nn0 12076	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		4nn0 12074	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		6lt10 12392	. . 3 ⊢ 6 < ;10
22		1lt2 11966	. . 3 ⊢ 1 < 2
23	17, 18, 19, 20, 21, 22	decltc 12287	. 2 ⊢ ;16 < ;24
24		2nn 11868	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℕ)
26		4nn 11878	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ
27		simpl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘4))
28		eluznn 12479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑛 ∈ ℕ)
29	26, 27, 28	sylancr 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
30	29	nnnn0d 12115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
31	25, 30	nnexpcld 13777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
32	31	nnred 11810	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
33		2re 11869	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℝ)
35	32, 34	remulcld 10828	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((2↑𝑛) · 2) ∈ ℝ)
36	30	faccld 13815	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
37	36	nnred 11810	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ ℝ)
38	37, 34	remulcld 10828	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((!‘𝑛) · 2) ∈ ℝ)
39	29	nnred 11810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
40		1red 10799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
41	39, 40	readdcld 10827	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
42	37, 41	remulcld 10828	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
43		2rp 12556	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℝ+)
45		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑𝑛) < (!‘𝑛))
46	32, 37, 44, 45	ltmul1dd 12648	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((2↑𝑛) · 2) < ((!‘𝑛) · 2))
47	36	nnnn0d 12115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ ℕ0)
48	47	nn0ge0d 12118	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 0 ≤ (!‘𝑛))
49		df-2 11858	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
50	29	nnge1d 11843	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 1 ≤ 𝑛)
51	40, 39, 40, 50	leadd1dd 11411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (1 + 1) ≤ (𝑛 + 1))
52	49, 51	eqbrtrid 5074	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ≤ (𝑛 + 1))
53	34, 41, 37, 48, 52	lemul2ad 11737	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((!‘𝑛) · 2) ≤ ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
54	35, 38, 42, 46, 53	ltletrd 10957	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((2↑𝑛) · 2) < ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
55		2cnd 11873	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℂ)
56	55, 30	expp1d 13682	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑(𝑛 + 1)) = ((2↑𝑛) · 2))
57		facp1 13809	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑛 + 1)) = ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
58	30, 57	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘(𝑛 + 1)) = ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
59	54, 56, 58	3brtr4d 5071	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑(𝑛 + 1)) < (!‘(𝑛 + 1)))
60	59	ex 416	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) → ((2↑𝑛) < (!‘𝑛) → (2↑(𝑛 + 1)) < (!‘(𝑛 + 1))))
61	7, 10, 13, 16, 23, 60	uzind4i 12471	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2↑𝑁) < (!‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5039  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℝcr 10693  1c1 10695   + caddc 10697   · cmul 10699   < clt 10832   ≤ cle 10833  ℕcn 11795  2c2 11850  4c4 11852  6c6 11854  ℕ₀cn0 12055  ;cdc 12258  ℤ_≥cuz 12403  ℝ⁺crp 12551  ↑cexp 13600  !cfa 13804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-n0 12056  df-z 12142  df-dec 12259  df-uz 12404  df-rp 12552  df-seq 13540  df-exp 13601  df-fac 13805

This theorem is referenced by: (None)