MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2expltfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2expltfac 16414
Description: The factorial grows faster than two to the power 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
2expltfac (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (2↑𝑁) < (!‘𝑁))

Proof of Theorem 2expltfac
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7153 . . . 4 (𝑥 = 4 → (2↑𝑥) = (2↑4))
2 2exp4 16409 . . . 4 (2↑4) = 16
31, 2syl6eq 2869 . . 3 (𝑥 = 4 → (2↑𝑥) = 16)
4 fveq2 6663 . . . 4 (𝑥 = 4 → (!‘𝑥) = (!‘4))
5 fac4 13629 . . . 4 (!‘4) = 24
64, 5syl6eq 2869 . . 3 (𝑥 = 4 → (!‘𝑥) = 24)
73, 6breq12d 5070 . 2 (𝑥 = 4 → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ 16 < 24))
8 oveq2 7153 . . 3 (𝑥 = 𝑛 → (2↑𝑥) = (2↑𝑛))
9 fveq2 6663 . . 3 (𝑥 = 𝑛 → (!‘𝑥) = (!‘𝑛))
108, 9breq12d 5070 . 2 (𝑥 = 𝑛 → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)))
11 oveq2 7153 . . 3 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (2↑𝑥) = (2↑(𝑛 + 1)))
12 fveq2 6663 . . 3 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑛 + 1)))
1311, 12breq12d 5070 . 2 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ (2↑(𝑛 + 1)) < (!‘(𝑛 + 1))))
14 oveq2 7153 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → (2↑𝑥) = (2↑𝑁))
15 fveq2 6663 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
1614, 15breq12d 5070 . 2 (𝑥 = 𝑁 → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ (2↑𝑁) < (!‘𝑁)))
17 1nn0 11901 . . 3 1 ∈ ℕ0
18 2nn0 11902 . . 3 2 ∈ ℕ0
19 6nn0 11906 . . 3 6 ∈ ℕ0
20 4nn0 11904 . . 3 4 ∈ ℕ0
21 6lt10 12220 . . 3 6 < 10
22 1lt2 11796 . . 3 1 < 2
2317, 18, 19, 20, 21, 22decltc 12115 . 2 16 < 24
24 2nn 11698 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
2524a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℕ)
26 4nn 11708 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ
27 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ (ℤ‘4))
28 eluznn 12306 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘4)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2926, 27, 28sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
3029nnnn0d 11943 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
3125, 30nnexpcld 13594 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
3231nnred 11641 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
33 2re 11699 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℝ)
3532, 34remulcld 10659 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((2↑𝑛) · 2) ∈ ℝ)
3630faccld 13632 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
3736nnred 11641 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ ℝ)
3837, 34remulcld 10659 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((!‘𝑛) · 2) ∈ ℝ)
3929nnred 11641 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
40 1red 10630 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
4139, 40readdcld 10658 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
4237, 41remulcld 10659 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
43 2rp 12382 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
4443a1i 11 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℝ+)
45 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑𝑛) < (!‘𝑛))
4632, 37, 44, 45ltmul1dd 12474 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((2↑𝑛) · 2) < ((!‘𝑛) · 2))
4736nnnn0d 11943 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ ℕ0)
4847nn0ge0d 11946 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 0 ≤ (!‘𝑛))
49 df-2 11688 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
5029nnge1d 11673 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 1 ≤ 𝑛)
5140, 39, 40, 50leadd1dd 11242 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (1 + 1) ≤ (𝑛 + 1))
5249, 51eqbrtrid 5092 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ≤ (𝑛 + 1))
5334, 41, 37, 48, 52lemul2ad 11568 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((!‘𝑛) · 2) ≤ ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
5435, 38, 42, 46, 53ltletrd 10788 . . . 4 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((2↑𝑛) · 2) < ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
55 2cnd 11703 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℂ)
5655, 30expp1d 13499 . . . 4 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑(𝑛 + 1)) = ((2↑𝑛) · 2))
57 facp1 13626 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑛 + 1)) = ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
5830, 57syl 17 . . . 4 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘(𝑛 + 1)) = ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
5954, 56, 583brtr4d 5089 . . 3 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑(𝑛 + 1)) < (!‘(𝑛 + 1)))
6059ex 413 . 2 (𝑛 ∈ (ℤ‘4) → ((2↑𝑛) < (!‘𝑛) → (2↑(𝑛 + 1)) < (!‘(𝑛 + 1))))
617, 10, 13, 16, 23, 60uzind4i 12298 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (2↑𝑁) < (!‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cn 11626  2c2 11680  4c4 11682  6c6 11684  0cn0 11885  cdc 12086  cuz 12231  +crp 12377  cexp 13417  !cfa 13621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator