MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2expltfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2expltfac 17028
Description: The factorial grows faster than two to the power ๐‘. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
2expltfac (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (2โ†‘๐‘) < (!โ€˜๐‘))

Proof of Theorem 2expltfac
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7419 . . . 4 (๐‘ฅ = 4 โ†’ (2โ†‘๐‘ฅ) = (2โ†‘4))
2 2exp4 17020 . . . 4 (2โ†‘4) = 16
31, 2eqtrdi 2788 . . 3 (๐‘ฅ = 4 โ†’ (2โ†‘๐‘ฅ) = 16)
4 fveq2 6891 . . . 4 (๐‘ฅ = 4 โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜4))
5 fac4 14243 . . . 4 (!โ€˜4) = 24
64, 5eqtrdi 2788 . . 3 (๐‘ฅ = 4 โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = 24)
73, 6breq12d 5161 . 2 (๐‘ฅ = 4 โ†’ ((2โ†‘๐‘ฅ) < (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” 16 < 24))
8 oveq2 7419 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (2โ†‘๐‘ฅ) = (2โ†‘๐‘›))
9 fveq2 6891 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜๐‘›))
108, 9breq12d 5161 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ ((2โ†‘๐‘ฅ) < (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)))
11 oveq2 7419 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โ†’ (2โ†‘๐‘ฅ) = (2โ†‘(๐‘› + 1)))
12 fveq2 6891 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜(๐‘› + 1)))
1311, 12breq12d 5161 . 2 (๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โ†’ ((2โ†‘๐‘ฅ) < (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” (2โ†‘(๐‘› + 1)) < (!โ€˜(๐‘› + 1))))
14 oveq2 7419 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (2โ†‘๐‘ฅ) = (2โ†‘๐‘))
15 fveq2 6891 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜๐‘))
1614, 15breq12d 5161 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((2โ†‘๐‘ฅ) < (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” (2โ†‘๐‘) < (!โ€˜๐‘)))
17 1nn0 12490 . . 3 1 โˆˆ โ„•0
18 2nn0 12491 . . 3 2 โˆˆ โ„•0
19 6nn0 12495 . . 3 6 โˆˆ โ„•0
20 4nn0 12493 . . 3 4 โˆˆ โ„•0
21 6lt10 12813 . . 3 6 < 10
22 1lt2 12385 . . 3 1 < 2
2317, 18, 19, 20, 21, 22decltc 12708 . 2 16 < 24
24 2nn 12287 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„•
2524a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
26 4nn 12297 . . . . . . . . . 10 4 โˆˆ โ„•
27 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4))
28 eluznn 12904 . . . . . . . . . 10 ((4 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
2926, 27, 28sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
3029nnnn0d 12534 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
3125, 30nnexpcld 14210 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ (2โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„•)
3231nnred 12229 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ (2โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„)
33 2re 12288 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„
3433a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
3532, 34remulcld 11246 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ ((2โ†‘๐‘›) ยท 2) โˆˆ โ„)
3630faccld 14246 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ (!โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„•)
3736nnred 12229 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ (!โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
3837, 34remulcld 11246 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ ((!โ€˜๐‘›) ยท 2) โˆˆ โ„)
3929nnred 12229 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
40 1red 11217 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
4139, 40readdcld 11245 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„)
4237, 41remulcld 11246 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ ((!โ€˜๐‘›) ยท (๐‘› + 1)) โˆˆ โ„)
43 2rp 12981 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„+
4443a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
45 simpr 485 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›))
4632, 37, 44, 45ltmul1dd 13073 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ ((2โ†‘๐‘›) ยท 2) < ((!โ€˜๐‘›) ยท 2))
4736nnnn0d 12534 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ (!โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„•0)
4847nn0ge0d 12537 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘›))
49 df-2 12277 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
5029nnge1d 12262 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘›)
5140, 39, 40, 50leadd1dd 11830 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ (1 + 1) โ‰ค (๐‘› + 1))
5249, 51eqbrtrid 5183 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ 2 โ‰ค (๐‘› + 1))
5334, 41, 37, 48, 52lemul2ad 12156 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ ((!โ€˜๐‘›) ยท 2) โ‰ค ((!โ€˜๐‘›) ยท (๐‘› + 1)))
5435, 38, 42, 46, 53ltletrd 11376 . . . 4 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ ((2โ†‘๐‘›) ยท 2) < ((!โ€˜๐‘›) ยท (๐‘› + 1)))
55 2cnd 12292 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
5655, 30expp1d 14114 . . . 4 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ (2โ†‘(๐‘› + 1)) = ((2โ†‘๐‘›) ยท 2))
57 facp1 14240 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘› + 1)) = ((!โ€˜๐‘›) ยท (๐‘› + 1)))
5830, 57syl 17 . . . 4 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ (!โ€˜(๐‘› + 1)) = ((!โ€˜๐‘›) ยท (๐‘› + 1)))
5954, 56, 583brtr4d 5180 . . 3 ((๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง (2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›)) โ†’ (2โ†‘(๐‘› + 1)) < (!โ€˜(๐‘› + 1)))
6059ex 413 . 2 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ((2โ†‘๐‘›) < (!โ€˜๐‘›) โ†’ (2โ†‘(๐‘› + 1)) < (!โ€˜(๐‘› + 1))))
617, 10, 13, 16, 23, 60uzind4i 12896 1 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (2โ†‘๐‘) < (!โ€˜๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11250   โ‰ค cle 11251  โ„•cn 12214  2c2 12269  4c4 12271  6c6 12273  โ„•0cn0 12474  cdc 12679  โ„คโ‰ฅcuz 12824  โ„+crp 12976  โ†‘cexp 14029  !cfa 14235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-rp 12977  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator