Theorem 2expltfac 16805

Description: The factorial grows faster than two to the power 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
2expltfac	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2↑𝑁) < (!‘𝑁))

Proof of Theorem 2expltfac

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7280	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 4 → (2↑𝑥) = (2↑4))
2		2exp4 16797	. . . 4 ⊢ (2↑4) = ;16
3	1, 2	eqtrdi 2796	. . 3 ⊢ (𝑥 = 4 → (2↑𝑥) = ;16)
4		fveq2 6771	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 4 → (!‘𝑥) = (!‘4))
5		fac4 14006	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
6	4, 5	eqtrdi 2796	. . 3 ⊢ (𝑥 = 4 → (!‘𝑥) = ;24)
7	3, 6	breq12d 5092	. 2 ⊢ (𝑥 = 4 → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ ;16 < ;24))
8		oveq2 7280	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (2↑𝑥) = (2↑𝑛))
9		fveq2 6771	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (!‘𝑥) = (!‘𝑛))
10	8, 9	breq12d 5092	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)))
11		oveq2 7280	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (2↑𝑥) = (2↑(𝑛 + 1)))
12		fveq2 6771	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑛 + 1)))
13	11, 12	breq12d 5092	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ (2↑(𝑛 + 1)) < (!‘(𝑛 + 1))))
14		oveq2 7280	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (2↑𝑥) = (2↑𝑁))
15		fveq2 6771	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
16	14, 15	breq12d 5092	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ (2↑𝑁) < (!‘𝑁)))
17		1nn0 12260	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
18		2nn0 12261	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19		6nn0 12265	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		4nn0 12263	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		6lt10 12582	. . 3 ⊢ 6 < ;10
22		1lt2 12155	. . 3 ⊢ 1 < 2
23	17, 18, 19, 20, 21, 22	decltc 12477	. 2 ⊢ ;16 < ;24
24		2nn 12057	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℕ)
26		4nn 12067	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ
27		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘4))
28		eluznn 12669	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑛 ∈ ℕ)
29	26, 27, 28	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
30	29	nnnn0d 12304	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
31	25, 30	nnexpcld 13971	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
32	31	nnred 11999	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
33		2re 12058	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℝ)
35	32, 34	remulcld 11016	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((2↑𝑛) · 2) ∈ ℝ)
36	30	faccld 14009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
37	36	nnred 11999	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ ℝ)
38	37, 34	remulcld 11016	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((!‘𝑛) · 2) ∈ ℝ)
39	29	nnred 11999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
40		1red 10987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
41	39, 40	readdcld 11015	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
42	37, 41	remulcld 11016	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
43		2rp 12746	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℝ+)
45		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑𝑛) < (!‘𝑛))
46	32, 37, 44, 45	ltmul1dd 12838	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((2↑𝑛) · 2) < ((!‘𝑛) · 2))
47	36	nnnn0d 12304	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ ℕ0)
48	47	nn0ge0d 12307	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 0 ≤ (!‘𝑛))
49		df-2 12047	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
50	29	nnge1d 12032	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 1 ≤ 𝑛)
51	40, 39, 40, 50	leadd1dd 11600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (1 + 1) ≤ (𝑛 + 1))
52	49, 51	eqbrtrid 5114	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ≤ (𝑛 + 1))
53	34, 41, 37, 48, 52	lemul2ad 11926	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((!‘𝑛) · 2) ≤ ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
54	35, 38, 42, 46, 53	ltletrd 11146	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((2↑𝑛) · 2) < ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
55		2cnd 12062	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℂ)
56	55, 30	expp1d 13876	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑(𝑛 + 1)) = ((2↑𝑛) · 2))
57		facp1 14003	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑛 + 1)) = ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
58	30, 57	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘(𝑛 + 1)) = ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
59	54, 56, 58	3brtr4d 5111	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑(𝑛 + 1)) < (!‘(𝑛 + 1)))
60	59	ex 413	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) → ((2↑𝑛) < (!‘𝑛) → (2↑(𝑛 + 1)) < (!‘(𝑛 + 1))))
61	7, 10, 13, 16, 23, 60	uzind4i 12661	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2↑𝑁) < (!‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432  (class class class)co 7272  ℝcr 10881  1c1 10883   + caddc 10885   · cmul 10887   < clt 11020   ≤ cle 11021  ℕcn 11984  2c2 12039  4c4 12041  6c6 12043  ℕ₀cn0 12244  ;cdc 12448  ℤ_≥cuz 12593  ℝ⁺crp 12741  ↑cexp 13793  !cfa 13998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049  df-5 12050  df-6 12051  df-7 12052  df-8 12053  df-9 12054  df-n0 12245  df-z 12331  df-dec 12449  df-uz 12594  df-rp 12742  df-seq 13733  df-exp 13794  df-fac 13999

This theorem is referenced by: (None)