Theorem 2expltfac 16976

Description: The factorial grows faster than two to the power 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
2expltfac	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2↑𝑁) < (!‘𝑁))

Proof of Theorem 2expltfac

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7370	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 4 → (2↑𝑥) = (2↑4))
2		2exp4 16968	. . . 4 ⊢ (2↑4) = ;16
3	1, 2	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (𝑥 = 4 → (2↑𝑥) = ;16)
4		fveq2 6847	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 4 → (!‘𝑥) = (!‘4))
5		fac4 14191	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
6	4, 5	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (𝑥 = 4 → (!‘𝑥) = ;24)
7	3, 6	breq12d 5123	. 2 ⊢ (𝑥 = 4 → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ ;16 < ;24))
8		oveq2 7370	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (2↑𝑥) = (2↑𝑛))
9		fveq2 6847	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (!‘𝑥) = (!‘𝑛))
10	8, 9	breq12d 5123	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)))
11		oveq2 7370	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (2↑𝑥) = (2↑(𝑛 + 1)))
12		fveq2 6847	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑛 + 1)))
13	11, 12	breq12d 5123	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ (2↑(𝑛 + 1)) < (!‘(𝑛 + 1))))
14		oveq2 7370	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (2↑𝑥) = (2↑𝑁))
15		fveq2 6847	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
16	14, 15	breq12d 5123	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ (2↑𝑁) < (!‘𝑁)))
17		1nn0 12438	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
18		2nn0 12439	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19		6nn0 12443	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		4nn0 12441	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		6lt10 12761	. . 3 ⊢ 6 < ;10
22		1lt2 12333	. . 3 ⊢ 1 < 2
23	17, 18, 19, 20, 21, 22	decltc 12656	. 2 ⊢ ;16 < ;24
24		2nn 12235	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℕ)
26		4nn 12245	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ
27		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘4))
28		eluznn 12852	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑛 ∈ ℕ)
29	26, 27, 28	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
30	29	nnnn0d 12482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
31	25, 30	nnexpcld 14158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
32	31	nnred 12177	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
33		2re 12236	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℝ)
35	32, 34	remulcld 11194	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((2↑𝑛) · 2) ∈ ℝ)
36	30	faccld 14194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
37	36	nnred 12177	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ ℝ)
38	37, 34	remulcld 11194	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((!‘𝑛) · 2) ∈ ℝ)
39	29	nnred 12177	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
40		1red 11165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
41	39, 40	readdcld 11193	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
42	37, 41	remulcld 11194	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
43		2rp 12929	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℝ+)
45		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑𝑛) < (!‘𝑛))
46	32, 37, 44, 45	ltmul1dd 13021	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((2↑𝑛) · 2) < ((!‘𝑛) · 2))
47	36	nnnn0d 12482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ ℕ0)
48	47	nn0ge0d 12485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 0 ≤ (!‘𝑛))
49		df-2 12225	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
50	29	nnge1d 12210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 1 ≤ 𝑛)
51	40, 39, 40, 50	leadd1dd 11778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (1 + 1) ≤ (𝑛 + 1))
52	49, 51	eqbrtrid 5145	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ≤ (𝑛 + 1))
53	34, 41, 37, 48, 52	lemul2ad 12104	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((!‘𝑛) · 2) ≤ ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
54	35, 38, 42, 46, 53	ltletrd 11324	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((2↑𝑛) · 2) < ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
55		2cnd 12240	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℂ)
56	55, 30	expp1d 14062	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑(𝑛 + 1)) = ((2↑𝑛) · 2))
57		facp1 14188	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑛 + 1)) = ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
58	30, 57	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘(𝑛 + 1)) = ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
59	54, 56, 58	3brtr4d 5142	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑(𝑛 + 1)) < (!‘(𝑛 + 1)))
60	59	ex 413	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘4) → ((2↑𝑛) < (!‘𝑛) → (2↑(𝑛 + 1)) < (!‘(𝑛 + 1))))
61	7, 10, 13, 16, 23, 60	uzind4i 12844	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2↑𝑁) < (!‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5110  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  ℝcr 11059  1c1 11061   + caddc 11063   · cmul 11065   < clt 11198   ≤ cle 11199  ℕcn 12162  2c2 12217  4c4 12219  6c6 12221  ℕ₀cn0 12422  ;cdc 12627  ℤ_≥cuz 12772  ℝ⁺crp 12924  ↑cexp 13977  !cfa 14183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-rp 12925  df-seq 13917  df-exp 13978  df-fac 14184

This theorem is referenced by: (None)