fourierdlem4 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem fourierdlem4 42416

Description: 𝐸 is a function that maps any point to a periodic corresponding point in (𝐴, 𝐵]. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem4.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem4.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem4.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem4.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem4	⊢ (𝜑 → 𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝑇 𝜑,𝑥 Allowed substitution hint: 𝐸(𝑥)

**Proof of Theorem fourierdlem4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
2		fourierdlem4.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3, 1	resubcld 11068	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝑥) ∈ ℝ)
5		fourierdlem4.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
6		fourierdlem4.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	2, 6	resubcld 11068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
8	5, 7	eqeltrid 2917	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
9	8	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
10	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝐵 − 𝐴))
11	2	recnd 10669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12	6	recnd 10669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13		fourierdlem4.altb	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
14	6, 13	gtned 10775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
15	11, 12, 14	subne0d 11006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
16	10, 15	eqnetrd 3083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
17	16	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ≠ 0)
18	4, 9, 17	redivcld 11468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ)
19	18	flcld 13169	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) ∈ ℤ)
20	19	zred 12088	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) ∈ ℝ)
21	20, 9	remulcld 10671	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
22	1, 21	readdcld 10670	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
23	6	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
24	23, 1	resubcld 11068	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝑥) ∈ ℝ)
25	24, 9, 17	redivcld 11468	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ)
26	25, 9	remulcld 10671	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇) ∈ ℝ)
27	11	addid1d 10840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
28	27	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐵 + 0))
29	11, 12	subcld 10997	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
30	29	subidd 10985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) − (𝐵 − 𝐴)) = 0)
31	30	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 = ((𝐵 − 𝐴) − (𝐵 − 𝐴)))
32	31	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 0) = (𝐵 + ((𝐵 − 𝐴) − (𝐵 − 𝐴))))
33	11, 29, 29	addsub12d 11020	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐵 − 𝐴) − (𝐵 − 𝐴))) = ((𝐵 − 𝐴) + (𝐵 − (𝐵 − 𝐴))))
34	11, 12	nncand 11002	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (𝐵 − 𝐴)) = 𝐴)
35	34	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) + (𝐵 − (𝐵 − 𝐴))) = ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴))
36	29, 12	addcomd 10842	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)))
37	10	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = 𝑇)
38	37	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = (𝐴 + 𝑇))
39	36, 38	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) = (𝐴 + 𝑇))
40	33, 35, 39	3eqtrd 2860	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐵 − 𝐴) − (𝐵 − 𝐴))) = (𝐴 + 𝑇))
41	28, 32, 40	3eqtrd 2860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
42	41	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
43	42	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝑥) = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑥))
44	12	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
45	9	recnd 10669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
46	1	recnd 10669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
47	44, 45, 46	addsubd 11018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑥) = ((𝐴 − 𝑥) + 𝑇))
48	43, 47	eqtrd 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝑥) = ((𝐴 − 𝑥) + 𝑇))
49	48	oveq1d 7171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = (((𝐴 − 𝑥) + 𝑇) / 𝑇))
50	44, 46	subcld 10997	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝑥) ∈ ℂ)
51	50, 45, 45, 17	divdird 11454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝑥) + 𝑇) / 𝑇) = (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + (𝑇 / 𝑇)))
52	5, 29	eqeltrid 2917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
53	52, 16	dividd 11414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑇 / 𝑇) = 1)
54	53	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑇 / 𝑇) = 1)
55	54	oveq2d 7172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + (𝑇 / 𝑇)) = (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1))
56	49, 51, 55	3eqtrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1))
57	56	fveq2d 6674	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)))
58	57	oveq1d 7171	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇))
59	58, 21	eqeltrrd 2914	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇) ∈ ℝ)
60		peano2re 10813	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ → (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1) ∈ ℝ)
61	25, 60	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1) ∈ ℝ)
62		reflcl 13167	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) ∈ ℝ)
63	61, 62	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) ∈ ℝ)
64	6, 2	posdifd 11227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
65	13, 64	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
66	65, 10	breqtrrd 5094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
67	8, 66	elrpd 12429	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ⁺)
68	67	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ⁺)
69		flltp1 13171	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ → ((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) < ((⌊‘((𝐴 − 𝑥) / 𝑇)) + 1))
70	25, 69	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) < ((⌊‘((𝐴 − 𝑥) / 𝑇)) + 1))
71		1zzd 12014	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
72		fladdz 13196	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) = ((⌊‘((𝐴 − 𝑥) / 𝑇)) + 1))
73	25, 71, 72	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) = ((⌊‘((𝐴 − 𝑥) / 𝑇)) + 1))
74	70, 73	breqtrrd 5094	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) < (⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)))
75	25, 63, 68, 74	ltmul1dd 12487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇) < ((⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇))
76	26, 59, 1, 75	ltadd2dd 10799	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) < (𝑥 + ((⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇)))
77	50, 45, 17	divcan1d 11417	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇) = (𝐴 − 𝑥))
78	77	oveq2d 7172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑥 + (𝐴 − 𝑥)))
79	46, 44	pncan3d 11000	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (𝐴 − 𝑥)) = 𝐴)
80	78, 79	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = 𝐴)
81	58	oveq2d 7172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇)))
82	81	eqcomd 2827	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
83	76, 80, 82	3brtr3d 5097	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
84	18, 9	remulcld 10671	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇) ∈ ℝ)
85		flle 13170	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) ≤ ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇))
86	18, 85	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) ≤ ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇))
87	20, 18, 68	lemul1d 12475	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) ≤ ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) ↔ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇)))
88	86, 87	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇))
89	21, 84, 1, 88	leadd2dd 11255	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ (𝑥 + (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇)))
90	4	recnd 10669	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝑥) ∈ ℂ)
91	90, 45, 17	divcan1d 11417	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇) = (𝐵 − 𝑥))
92	91	oveq2d 7172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑥 + (𝐵 − 𝑥)))
93	11	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
94	46, 93	pncan3d 11000	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (𝐵 − 𝑥)) = 𝐵)
95	92, 94	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = 𝐵)
96	89, 95	breqtrd 5092	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ 𝐵)
97	23	rexrd 10691	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
98		elioc2 12800	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∧ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ 𝐵)))
99	97, 3, 98	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∧ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ 𝐵)))
100	22, 83, 96, 99	mpbir3and 1338	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
101		fourierdlem4.e	. 2 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
102	100, 101	fmptd 6878	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 ∧ w3a 1083 = wceq 1537 ∈ wcel 2114 ≠ wne 3016 class class class wbr 5066 ↦ cmpt 5146 ⟶wf 6351 ‘cfv 6355 (class class class)co 7156 ℂcc 10535 ℝcr 10536 0cc0 10537 1c1 10538 + caddc 10540 · cmul 10542 ℝ^*cxr 10674 < clt 10675 ≤ cle 10676 − cmin 10870 / cdiv 11297 ℤcz 11982 ℝ⁺crp 12390 (,]cioc 12740 ⌊cfl 13161

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2145 ax-11 2161 ax-12 2177 ax-ext 2793 ax-sep 5203 ax-nul 5210 ax-pow 5266 ax-pr 5330 ax-un 7461 ax-cnex 10593 ax-resscn 10594 ax-1cn 10595 ax-icn 10596 ax-addcl 10597 ax-addrcl 10598 ax-mulcl 10599 ax-mulrcl 10600 ax-mulcom 10601 ax-addass 10602 ax-mulass 10603 ax-distr 10604 ax-i2m1 10605 ax-1ne0 10606 ax-1rid 10607 ax-rnegex 10608 ax-rrecex 10609 ax-cnre 10610 ax-pre-lttri 10611 ax-pre-lttrn 10612 ax-pre-ltadd 10613 ax-pre-mulgt0 10614 ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1540 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2070 df-mo 2622 df-eu 2654 df-clab 2800 df-cleq 2814 df-clel 2893 df-nfc 2963 df-ne 3017 df-nel 3124 df-ral 3143 df-rex 3144 df-reu 3145 df-rmo 3146 df-rab 3147 df-v 3496 df-sbc 3773 df-csb 3884 df-dif 3939 df-un 3941 df-in 3943 df-ss 3952 df-pss 3954 df-nul 4292 df-if 4468 df-pw 4541 df-sn 4568 df-pr 4570 df-tp 4572 df-op 4574 df-uni 4839 df-iun 4921 df-br 5067 df-opab 5129 df-mpt 5147 df-tr 5173 df-id 5460 df-eprel 5465 df-po 5474 df-so 5475 df-fr 5514 df-we 5516 df-xp 5561 df-rel 5562 df-cnv 5563 df-co 5564 df-dm 5565 df-rn 5566 df-res 5567 df-ima 5568 df-pred 6148 df-ord 6194 df-on 6195 df-lim 6196 df-suc 6197 df-iota 6314 df-fun 6357 df-fn 6358 df-f 6359 df-f1 6360 df-fo 6361 df-f1o 6362 df-fv 6363 df-riota 7114 df-ov 7159 df-oprab 7160 df-mpo 7161 df-om 7581 df-wrecs 7947 df-recs 8008 df-rdg 8046 df-er 8289 df-en 8510 df-dom 8511 df-sdom 8512 df-sup 8906 df-inf 8907 df-pnf 10677 df-mnf 10678 df-xr 10679 df-ltxr 10680 df-le 10681 df-sub 10872 df-neg 10873 df-div 11298 df-nn 11639 df-n0 11899 df-z 11983 df-uz 12245 df-rp 12391 df-ioc 12744 df-fl 13163

This theorem is referenced by: fourierdlem19 42431 fourierdlem37 42449 fourierdlem41 42453 fourierdlem48 42459 fourierdlem49 42460 fourierdlem51 42462 fourierdlem63 42474 fourierdlem65 42476 fourierdlem71 42482 fourierdlem79 42490 fourierdlem89 42500 fourierdlem90 42501 fourierdlem91 42502 fourierdlem102 42513 fourierdlem114 42525

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