fourierdlem4 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem fourierdlem4 44813

Description: 𝐸 is a function that maps any point to a periodic corresponding point in (𝐴, 𝐵]. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem4.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem4.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem4.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem4.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem4	⊢ (𝜑 → 𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝑇 𝜑,𝑥 Allowed substitution hint: 𝐸(𝑥)

**Proof of Theorem fourierdlem4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
2		fourierdlem4.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3, 1	resubcld 11638	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝑥) ∈ ℝ)
5		fourierdlem4.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
6		fourierdlem4.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	2, 6	resubcld 11638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
8	5, 7	eqeltrid 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
9	8	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
10	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝐵 − 𝐴))
11	2	recnd 11238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12	6	recnd 11238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13		fourierdlem4.altb	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
14	6, 13	gtned 11345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
15	11, 12, 14	subne0d 11576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
16	10, 15	eqnetrd 3008	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
17	16	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ≠ 0)
18	4, 9, 17	redivcld 12038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ)
19	18	flcld 13759	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) ∈ ℤ)
20	19	zred 12662	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) ∈ ℝ)
21	20, 9	remulcld 11240	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
22	1, 21	readdcld 11239	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
23	6	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
24	23, 1	resubcld 11638	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝑥) ∈ ℝ)
25	24, 9, 17	redivcld 12038	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ)
26	25, 9	remulcld 11240	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇) ∈ ℝ)
27	11	addridd 11410	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
28	27	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐵 + 0))
29	11, 12	subcld 11567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
30	29	subidd 11555	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) − (𝐵 − 𝐴)) = 0)
31	30	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 = ((𝐵 − 𝐴) − (𝐵 − 𝐴)))
32	31	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 0) = (𝐵 + ((𝐵 − 𝐴) − (𝐵 − 𝐴))))
33	11, 29, 29	addsub12d 11590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐵 − 𝐴) − (𝐵 − 𝐴))) = ((𝐵 − 𝐴) + (𝐵 − (𝐵 − 𝐴))))
34	11, 12	nncand 11572	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (𝐵 − 𝐴)) = 𝐴)
35	34	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) + (𝐵 − (𝐵 − 𝐴))) = ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴))
36	29, 12	addcomd 11412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)))
37	10	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = 𝑇)
38	37	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = (𝐴 + 𝑇))
39	36, 38	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) = (𝐴 + 𝑇))
40	33, 35, 39	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐵 − 𝐴) − (𝐵 − 𝐴))) = (𝐴 + 𝑇))
41	28, 32, 40	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
43	42	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝑥) = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑥))
44	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
45	9	recnd 11238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
46	1	recnd 11238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
47	44, 45, 46	addsubd 11588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑥) = ((𝐴 − 𝑥) + 𝑇))
48	43, 47	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝑥) = ((𝐴 − 𝑥) + 𝑇))
49	48	oveq1d 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = (((𝐴 − 𝑥) + 𝑇) / 𝑇))
50	44, 46	subcld 11567	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝑥) ∈ ℂ)
51	50, 45, 45, 17	divdird 12024	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝑥) + 𝑇) / 𝑇) = (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + (𝑇 / 𝑇)))
52	5, 29	eqeltrid 2837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
53	52, 16	dividd 11984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑇 / 𝑇) = 1)
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑇 / 𝑇) = 1)
55	54	oveq2d 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + (𝑇 / 𝑇)) = (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1))
56	49, 51, 55	3eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1))
57	56	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)))
58	57	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇))
59	58, 21	eqeltrrd 2834	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇) ∈ ℝ)
60		peano2re 11383	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ → (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1) ∈ ℝ)
61	25, 60	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1) ∈ ℝ)
62		reflcl 13757	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) ∈ ℝ)
63	61, 62	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) ∈ ℝ)
64	6, 2	posdifd 11797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
65	13, 64	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
66	65, 10	breqtrrd 5175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
67	8, 66	elrpd 13009	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ⁺)
68	67	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ⁺)
69		flltp1 13761	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ → ((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) < ((⌊‘((𝐴 − 𝑥) / 𝑇)) + 1))
70	25, 69	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) < ((⌊‘((𝐴 − 𝑥) / 𝑇)) + 1))
71		1zzd 12589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
72		fladdz 13786	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) = ((⌊‘((𝐴 − 𝑥) / 𝑇)) + 1))
73	25, 71, 72	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) = ((⌊‘((𝐴 − 𝑥) / 𝑇)) + 1))
74	70, 73	breqtrrd 5175	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) < (⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)))
75	25, 63, 68, 74	ltmul1dd 13067	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇) < ((⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇))
76	26, 59, 1, 75	ltadd2dd 11369	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) < (𝑥 + ((⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇)))
77	50, 45, 17	divcan1d 11987	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇) = (𝐴 − 𝑥))
78	77	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑥 + (𝐴 − 𝑥)))
79	46, 44	pncan3d 11570	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (𝐴 − 𝑥)) = 𝐴)
80	78, 79	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = 𝐴)
81	58	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇)))
82	81	eqcomd 2738	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
83	76, 80, 82	3brtr3d 5178	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
84	18, 9	remulcld 11240	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇) ∈ ℝ)
85		flle 13760	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) ≤ ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇))
86	18, 85	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) ≤ ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇))
87	20, 18, 68	lemul1d 13055	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) ≤ ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) ↔ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇)))
88	86, 87	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇))
89	21, 84, 1, 88	leadd2dd 11825	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ (𝑥 + (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇)))
90	4	recnd 11238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝑥) ∈ ℂ)
91	90, 45, 17	divcan1d 11987	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇) = (𝐵 − 𝑥))
92	91	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑥 + (𝐵 − 𝑥)))
93	11	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
94	46, 93	pncan3d 11570	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (𝐵 − 𝑥)) = 𝐵)
95	92, 94	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = 𝐵)
96	89, 95	breqtrd 5173	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ 𝐵)
97	23	rexrd 11260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
98		elioc2 13383	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∧ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ 𝐵)))
99	97, 3, 98	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∧ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ 𝐵)))
100	22, 83, 96, 99	mpbir3and 1342	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
101		fourierdlem4.e	. 2 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
102	100, 101	fmptd 7110	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2940 class class class wbr 5147 ↦ cmpt 5230 ⟶wf 6536 ‘cfv 6540 (class class class)co 7405 ℂcc 11104 ℝcr 11105 0cc0 11106 1c1 11107 + caddc 11109 · cmul 11111 ℝ^*cxr 11243 < clt 11244 ≤ cle 11245 − cmin 11440 / cdiv 11867 ℤcz 12554 ℝ⁺crp 12970 (,]cioc 13321 ⌊cfl 13751

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7721 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6297 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7852 df-2nd 7972 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-er 8699 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-sup 9433 df-inf 9434 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-div 11868 df-nn 12209 df-n0 12469 df-z 12555 df-uz 12819 df-rp 12971 df-ioc 13325 df-fl 13753

This theorem is referenced by: fourierdlem19 44828 fourierdlem37 44846 fourierdlem41 44850 fourierdlem48 44856 fourierdlem49 44857 fourierdlem51 44859 fourierdlem63 44871 fourierdlem65 44873 fourierdlem71 44879 fourierdlem79 44887 fourierdlem89 44897 fourierdlem90 44898 fourierdlem91 44899 fourierdlem102 44910 fourierdlem114 44922

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