fourierdlem4 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem fourierdlem4 46825

Description: 𝐸 is a function that maps any point to a periodic corresponding point in (𝐴, 𝐵]. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem4.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem4.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem4.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem4.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem4	⊢ (𝜑 → 𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝑇 𝜑,𝑥 Allowed substitution hint: 𝐸(𝑥)

**Proof of Theorem fourierdlem4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
2		fourierdlem4.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3, 1	resubcld 11637	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝑥) ∈ ℝ)
5		fourierdlem4.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
6		fourierdlem4.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	2, 6	resubcld 11637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
8	5, 7	eqeltrid 2867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
9	8	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
10	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝐵 − 𝐴))
11	2	recnd 11232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12	6	recnd 11232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13		fourierdlem4.altb	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
14	6, 13	gtned 11340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
15	11, 12, 14	subne0d 11573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
16	10, 15	eqnetrd 3025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
17	16	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ≠ 0)
18	4, 9, 17	redivcld 12038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ)
19	18	flcld 13827	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) ∈ ℤ)
20	19	zred 12695	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) ∈ ℝ)
21	20, 9	remulcld 11234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
22	1, 21	readdcld 11233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
23	6	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
24	23, 1	resubcld 11637	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝑥) ∈ ℝ)
25	24, 9, 17	redivcld 12038	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ)
26	25, 9	remulcld 11234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇) ∈ ℝ)
27	11	addridd 11405	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
28	27	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐵 + 0))
29	11, 12	subcld 11564	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
30	29	subidd 11552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) − (𝐵 − 𝐴)) = 0)
31	30	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 = ((𝐵 − 𝐴) − (𝐵 − 𝐴)))
32	31	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 0) = (𝐵 + ((𝐵 − 𝐴) − (𝐵 − 𝐴))))
33	11, 29, 29	addsub12d 11587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐵 − 𝐴) − (𝐵 − 𝐴))) = ((𝐵 − 𝐴) + (𝐵 − (𝐵 − 𝐴))))
34	11, 12	nncand 11569	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (𝐵 − 𝐴)) = 𝐴)
35	34	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) + (𝐵 − (𝐵 − 𝐴))) = ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴))
36	29, 12	addcomd 11407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)))
37	10	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = 𝑇)
38	37	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = (𝐴 + 𝑇))
39	36, 38	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) = (𝐴 + 𝑇))
40	33, 35, 39	3eqtrd 2802	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐵 − 𝐴) − (𝐵 − 𝐴))) = (𝐴 + 𝑇))
41	28, 32, 40	3eqtrd 2802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
42	41	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
43	42	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝑥) = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑥))
44	12	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
45	9	recnd 11232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
46	1	recnd 11232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
47	44, 45, 46	addsubd 11585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑥) = ((𝐴 − 𝑥) + 𝑇))
48	43, 47	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝑥) = ((𝐴 − 𝑥) + 𝑇))
49	48	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = (((𝐴 − 𝑥) + 𝑇) / 𝑇))
50	44, 46	subcld 11564	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝑥) ∈ ℂ)
51	50, 45, 45, 17	divdird 12024	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝑥) + 𝑇) / 𝑇) = (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + (𝑇 / 𝑇)))
52	5, 29	eqeltrid 2867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
53	52, 16	dividd 11984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑇 / 𝑇) = 1)
54	53	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑇 / 𝑇) = 1)
55	54	oveq2d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + (𝑇 / 𝑇)) = (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1))
56	49, 51, 55	3eqtrd 2802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1))
57	56	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)))
58	57	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇))
59	58, 21	eqeltrrd 2864	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇) ∈ ℝ)
60		peano2re 11378	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ → (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1) ∈ ℝ)
61	25, 60	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1) ∈ ℝ)
62		reflcl 13825	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) ∈ ℝ)
63	61, 62	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) ∈ ℝ)
64	6, 2	posdifd 11796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
65	13, 64	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
66	65, 10	breqtrrd 5139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
67	8, 66	elrpd 13052	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ⁺)
68	67	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ⁺)
69		flltp1 13829	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ → ((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) < ((⌊‘((𝐴 − 𝑥) / 𝑇)) + 1))
70	25, 69	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) < ((⌊‘((𝐴 − 𝑥) / 𝑇)) + 1))
71		1zzd 12620	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
72		fladdz 13854	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) = ((⌊‘((𝐴 − 𝑥) / 𝑇)) + 1))
73	25, 71, 72	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) = ((⌊‘((𝐴 − 𝑥) / 𝑇)) + 1))
74	70, 73	breqtrrd 5139	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) < (⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)))
75	25, 63, 68, 74	ltmul1dd 13110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇) < ((⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇))
76	26, 59, 1, 75	ltadd2dd 11364	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) < (𝑥 + ((⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇)))
77	50, 45, 17	divcan1d 11987	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇) = (𝐴 − 𝑥))
78	77	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑥 + (𝐴 − 𝑥)))
79	46, 44	pncan3d 11567	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (𝐴 − 𝑥)) = 𝐴)
80	78, 79	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = 𝐴)
81	58	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇)))
82	81	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
83	76, 80, 82	3brtr3d 5142	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
84	18, 9	remulcld 11234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇) ∈ ℝ)
85		flle 13828	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) ≤ ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇))
86	18, 85	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) ≤ ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇))
87	20, 18, 68	lemul1d 13098	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) ≤ ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) ↔ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇)))
88	86, 87	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇))
89	21, 84, 1, 88	leadd2dd 11824	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ (𝑥 + (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇)))
90	4	recnd 11232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝑥) ∈ ℂ)
91	90, 45, 17	divcan1d 11987	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇) = (𝐵 − 𝑥))
92	91	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑥 + (𝐵 − 𝑥)))
93	11	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
94	46, 93	pncan3d 11567	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (𝐵 − 𝑥)) = 𝐵)
95	92, 94	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = 𝐵)
96	89, 95	breqtrd 5137	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ 𝐵)
97	23	rexrd 11254	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
98		elioc2 13431	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∧ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ 𝐵)))
99	97, 3, 98	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∧ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ 𝐵)))
100	22, 83, 96, 99	mpbir3and 1361	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
101		fourierdlem4.e	. 2 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
102	100, 101	fmptd 7109	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2143 ≠ wne 2958 class class class wbr 5109 ↦ cmpt 5192 ⟶wf 6532 ‘cfv 6536 (class class class)co 7410 ℂcc 11093 ℝcr 11094 0cc0 11095 1c1 11096 + caddc 11098 · cmul 11100 ℝ^*cxr 11237 < clt 11238 ≤ cle 11239 − cmin 11436 / cdiv 11866 ℤcz 12586 ℝ⁺crp 13011 (,]cioc 13368 ⌊cfl 13819

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1825 ax-4 1839 ax-5 1940 ax-6 1997 ax-7 2038 ax-8 2145 ax-9 2153 ax-10 2176 ax-11 2192 ax-12 2213 ax-ext 2735 ax-sep 5257 ax-nul 5269 ax-pow 5336 ax-pr 5404 ax-un 7732 ax-cnex 11151 ax-resscn 11152 ax-1cn 11153 ax-icn 11154 ax-addcl 11155 ax-addrcl 11156 ax-mulcl 11157 ax-mulrcl 11158 ax-mulcom 11159 ax-addass 11160 ax-mulass 11161 ax-distr 11162 ax-i2m1 11163 ax-1ne0 11164 ax-1rid 11165 ax-rnegex 11166 ax-rrecex 11167 ax-cnre 11168 ax-pre-lttri 11169 ax-pre-lttrn 11170 ax-pre-ltadd 11171 ax-pre-mulgt0 11172 ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1810 df-nf 1814 df-sb 2097 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2838 df-nfc 2912 df-ne 2959 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3457 df-sbc 3745 df-csb 3854 df-dif 3908 df-un 3910 df-in 3912 df-ss 3922 df-pss 3925 df-nul 4287 df-if 4488 df-pw 4564 df-sn 4590 df-pr 4592 df-op 4596 df-uni 4873 df-iun 4958 df-br 5110 df-opab 5174 df-mpt 5193 df-tr 5219 df-id 5556 df-eprel 5561 df-po 5569 df-so 5570 df-fr 5614 df-we 5616 df-xp 5667 df-rel 5668 df-cnv 5669 df-co 5670 df-dm 5671 df-rn 5672 df-res 5673 df-ima 5674 df-pred 6302 df-ord 6363 df-on 6364 df-lim 6365 df-suc 6366 df-iota 6492 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7367 df-ov 7413 df-oprab 7414 df-mpo 7415 df-om 7859 df-2nd 7983 df-frecs 8274 df-wrecs 8305 df-recs 8354 df-rdg 8393 df-er 8690 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-sup 9398 df-inf 9399 df-pnf 11240 df-mnf 11241 df-xr 11242 df-ltxr 11243 df-le 11244 df-sub 11438 df-neg 11439 df-div 11867 df-nn 12229 df-n0 12500 df-z 12587 df-uz 12858 df-rp 13012 df-ioc 13372 df-fl 13821

This theorem is referenced by: fourierdlem19 46840 fourierdlem37 46858 fourierdlem41 46862 fourierdlem48 46868 fourierdlem49 46869 fourierdlem51 46871 fourierdlem63 46883 fourierdlem65 46885 fourierdlem71 46891 fourierdlem79 46899 fourierdlem89 46909 fourierdlem90 46910 fourierdlem91 46911 fourierdlem102 46922 fourierdlem114 46934

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