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Theorem fourierdlem4 46126
Description: 𝐸 is a function that maps any point to a periodic corresponding point in (𝐴, 𝐵]. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem4.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem4.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem4.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem4.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem4.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem4 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem4
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
2 fourierdlem4.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
32adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
43, 1resubcld 11691 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵𝑥) ∈ ℝ)
5 fourierdlem4.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝐵𝐴)
6 fourierdlem4.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
72, 6resubcld 11691 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
85, 7eqeltrid 2845 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
98adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
105a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 = (𝐵𝐴))
112recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
126recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
13 fourierdlem4.altb . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 < 𝐵)
146, 13gtned 11396 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵𝐴)
1511, 12, 14subne0d 11629 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
1610, 15eqnetrd 3008 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ≠ 0)
1716adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ≠ 0)
184, 9, 17redivcld 12095 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ)
1918flcld 13838 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ∈ ℤ)
2019zred 12722 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ∈ ℝ)
2120, 9remulcld 11291 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
221, 21readdcld 11290 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
236adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2423, 1resubcld 11691 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝑥) ∈ ℝ)
2524, 9, 17redivcld 12095 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ)
2625, 9remulcld 11291 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇) ∈ ℝ)
2711addridd 11461 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
2827eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 = (𝐵 + 0))
2911, 12subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
3029subidd 11608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐵𝐴) − (𝐵𝐴)) = 0)
3130eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 = ((𝐵𝐴) − (𝐵𝐴)))
3231oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 + 0) = (𝐵 + ((𝐵𝐴) − (𝐵𝐴))))
3311, 29, 29addsub12d 11643 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 + ((𝐵𝐴) − (𝐵𝐴))) = ((𝐵𝐴) + (𝐵 − (𝐵𝐴))))
3411, 12nncand 11625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵 − (𝐵𝐴)) = 𝐴)
3534oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵𝐴) + (𝐵 − (𝐵𝐴))) = ((𝐵𝐴) + 𝐴))
3629, 12addcomd 11463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐵𝐴) + 𝐴) = (𝐴 + (𝐵𝐴)))
3710eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵𝐴) = 𝑇)
3837oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = (𝐴 + 𝑇))
3936, 38eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵𝐴) + 𝐴) = (𝐴 + 𝑇))
4033, 35, 393eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 + ((𝐵𝐴) − (𝐵𝐴))) = (𝐴 + 𝑇))
4128, 32, 403eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
4241adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
4342oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵𝑥) = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑥))
4412adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
459recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
461recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
4744, 45, 46addsubd 11641 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑥) = ((𝐴𝑥) + 𝑇))
4843, 47eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵𝑥) = ((𝐴𝑥) + 𝑇))
4948oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = (((𝐴𝑥) + 𝑇) / 𝑇))
5044, 46subcld 11620 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝑥) ∈ ℂ)
5150, 45, 45, 17divdird 12081 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) + 𝑇) / 𝑇) = (((𝐴𝑥) / 𝑇) + (𝑇 / 𝑇)))
525, 29eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
5352, 16dividd 12041 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 / 𝑇) = 1)
5453adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑇 / 𝑇) = 1)
5554oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) / 𝑇) + (𝑇 / 𝑇)) = (((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1))
5649, 51, 553eqtrd 2781 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = (((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1))
5756fveq2d 6910 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)))
5857oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇))
5958, 21eqeltrrd 2842 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇) ∈ ℝ)
60 peano2re 11434 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ → (((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1) ∈ ℝ)
6125, 60syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1) ∈ ℝ)
62 reflcl 13836 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) ∈ ℝ)
6361, 62syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) ∈ ℝ)
646, 2posdifd 11850 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
6513, 64mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
6665, 10breqtrrd 5171 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝑇)
678, 66elrpd 13074 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
6867adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ+)
69 flltp1 13840 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ → ((𝐴𝑥) / 𝑇) < ((⌊‘((𝐴𝑥) / 𝑇)) + 1))
7025, 69syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑥) / 𝑇) < ((⌊‘((𝐴𝑥) / 𝑇)) + 1))
71 1zzd 12648 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
72 fladdz 13865 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) = ((⌊‘((𝐴𝑥) / 𝑇)) + 1))
7325, 71, 72syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) = ((⌊‘((𝐴𝑥) / 𝑇)) + 1))
7470, 73breqtrrd 5171 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑥) / 𝑇) < (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)))
7525, 63, 68, 74ltmul1dd 13132 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇) < ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇))
7626, 59, 1, 75ltadd2dd 11420 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) < (𝑥 + ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇)))
7750, 45, 17divcan1d 12044 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇) = (𝐴𝑥))
7877oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑥 + (𝐴𝑥)))
7946, 44pncan3d 11623 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (𝐴𝑥)) = 𝐴)
8078, 79eqtrd 2777 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = 𝐴)
8158oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇)))
8281eqcomd 2743 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
8376, 80, 823brtr3d 5174 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
8418, 9remulcld 11291 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇) ∈ ℝ)
85 flle 13839 . . . . . . 7 (((𝐵𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ≤ ((𝐵𝑥) / 𝑇))
8618, 85syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ≤ ((𝐵𝑥) / 𝑇))
8720, 18, 68lemul1d 13120 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ≤ ((𝐵𝑥) / 𝑇) ↔ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇)))
8886, 87mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇))
8921, 84, 1, 88leadd2dd 11878 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ (𝑥 + (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇)))
904recnd 11289 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵𝑥) ∈ ℂ)
9190, 45, 17divcan1d 12044 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇) = (𝐵𝑥))
9291oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑥 + (𝐵𝑥)))
9311adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9446, 93pncan3d 11623 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (𝐵𝑥)) = 𝐵)
9592, 94eqtrd 2777 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = 𝐵)
9689, 95breqtrd 5169 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ 𝐵)
9723rexrd 11311 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
98 elioc2 13450 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∧ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ 𝐵)))
9997, 3, 98syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∧ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ 𝐵)))
10022, 83, 96, 99mpbir3and 1343 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
101 fourierdlem4.e . 2 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
102100, 101fmptd 7134 1 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cz 12613  +crp 13034  (,]cioc 13388  cfl 13830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ioc 13392  df-fl 13832
This theorem is referenced by:  fourierdlem19  46141  fourierdlem37  46159  fourierdlem41  46163  fourierdlem48  46169  fourierdlem49  46170  fourierdlem51  46172  fourierdlem63  46184  fourierdlem65  46186  fourierdlem71  46192  fourierdlem79  46200  fourierdlem89  46210  fourierdlem90  46211  fourierdlem91  46212  fourierdlem102  46223  fourierdlem114  46235
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