Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem4 41123
Description: 𝐸 is a function that maps any point to a periodic corresponding point in (𝐴, 𝐵]. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem4.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem4.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem4.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem4.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem4.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem4 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem4
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
2 fourierdlem4.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
32adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
43, 1resubcld 10783 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵𝑥) ∈ ℝ)
5 fourierdlem4.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝐵𝐴)
6 fourierdlem4.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
72, 6resubcld 10783 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
85, 7syl5eqel 2911 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
98adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
105a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 = (𝐵𝐴))
112recnd 10386 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
126recnd 10386 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
13 fourierdlem4.altb . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 < 𝐵)
146, 13gtned 10492 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵𝐴)
1511, 12, 14subne0d 10723 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
1610, 15eqnetrd 3067 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ≠ 0)
1716adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ≠ 0)
184, 9, 17redivcld 11180 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ)
1918flcld 12895 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ∈ ℤ)
2019zred 11811 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ∈ ℝ)
2120, 9remulcld 10388 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
221, 21readdcld 10387 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
236adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2423, 1resubcld 10783 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝑥) ∈ ℝ)
2524, 9, 17redivcld 11180 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ)
2625, 9remulcld 10388 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇) ∈ ℝ)
2711addid1d 10556 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
2827eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 = (𝐵 + 0))
2911, 12subcld 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
3029subidd 10702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐵𝐴) − (𝐵𝐴)) = 0)
3130eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 = ((𝐵𝐴) − (𝐵𝐴)))
3231oveq2d 6922 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 + 0) = (𝐵 + ((𝐵𝐴) − (𝐵𝐴))))
3311, 29, 29addsub12d 10737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 + ((𝐵𝐴) − (𝐵𝐴))) = ((𝐵𝐴) + (𝐵 − (𝐵𝐴))))
3411, 12nncand 10719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵 − (𝐵𝐴)) = 𝐴)
3534oveq2d 6922 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵𝐴) + (𝐵 − (𝐵𝐴))) = ((𝐵𝐴) + 𝐴))
3629, 12addcomd 10558 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐵𝐴) + 𝐴) = (𝐴 + (𝐵𝐴)))
3710eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵𝐴) = 𝑇)
3837oveq2d 6922 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = (𝐴 + 𝑇))
3936, 38eqtrd 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵𝐴) + 𝐴) = (𝐴 + 𝑇))
4033, 35, 393eqtrd 2866 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 + ((𝐵𝐴) − (𝐵𝐴))) = (𝐴 + 𝑇))
4128, 32, 403eqtrd 2866 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
4241adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
4342oveq1d 6921 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵𝑥) = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑥))
4412adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
459recnd 10386 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
461recnd 10386 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
4744, 45, 46addsubd 10735 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑥) = ((𝐴𝑥) + 𝑇))
4843, 47eqtrd 2862 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵𝑥) = ((𝐴𝑥) + 𝑇))
4948oveq1d 6921 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = (((𝐴𝑥) + 𝑇) / 𝑇))
5044, 46subcld 10714 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝑥) ∈ ℂ)
5150, 45, 45, 17divdird 11166 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) + 𝑇) / 𝑇) = (((𝐴𝑥) / 𝑇) + (𝑇 / 𝑇)))
525, 29syl5eqel 2911 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
5352, 16dividd 11126 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 / 𝑇) = 1)
5453adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑇 / 𝑇) = 1)
5554oveq2d 6922 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) / 𝑇) + (𝑇 / 𝑇)) = (((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1))
5649, 51, 553eqtrd 2866 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = (((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1))
5756fveq2d 6438 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)))
5857oveq1d 6921 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇))
5958, 21eqeltrrd 2908 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇) ∈ ℝ)
60 peano2re 10529 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ → (((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1) ∈ ℝ)
6125, 60syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1) ∈ ℝ)
62 reflcl 12893 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) ∈ ℝ)
6361, 62syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) ∈ ℝ)
646, 2posdifd 10940 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
6513, 64mpbid 224 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
6665, 10breqtrrd 4902 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝑇)
678, 66elrpd 12154 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
6867adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ+)
69 flltp1 12897 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ → ((𝐴𝑥) / 𝑇) < ((⌊‘((𝐴𝑥) / 𝑇)) + 1))
7025, 69syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑥) / 𝑇) < ((⌊‘((𝐴𝑥) / 𝑇)) + 1))
71 1zzd 11737 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
72 fladdz 12922 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) = ((⌊‘((𝐴𝑥) / 𝑇)) + 1))
7325, 71, 72syl2anc 581 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) = ((⌊‘((𝐴𝑥) / 𝑇)) + 1))
7470, 73breqtrrd 4902 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑥) / 𝑇) < (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)))
7525, 63, 68, 74ltmul1dd 12212 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇) < ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇))
7626, 59, 1, 75ltadd2dd 10516 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) < (𝑥 + ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇)))
7750, 45, 17divcan1d 11129 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇) = (𝐴𝑥))
7877oveq2d 6922 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑥 + (𝐴𝑥)))
7946, 44pncan3d 10717 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (𝐴𝑥)) = 𝐴)
8078, 79eqtrd 2862 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = 𝐴)
8158oveq2d 6922 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇)))
8281eqcomd 2832 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
8376, 80, 823brtr3d 4905 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
8418, 9remulcld 10388 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇) ∈ ℝ)
85 flle 12896 . . . . . . 7 (((𝐵𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ≤ ((𝐵𝑥) / 𝑇))
8618, 85syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ≤ ((𝐵𝑥) / 𝑇))
8720, 18, 68lemul1d 12200 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ≤ ((𝐵𝑥) / 𝑇) ↔ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇)))
8886, 87mpbid 224 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇))
8921, 84, 1, 88leadd2dd 10968 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ (𝑥 + (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇)))
904recnd 10386 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵𝑥) ∈ ℂ)
9190, 45, 17divcan1d 11129 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇) = (𝐵𝑥))
9291oveq2d 6922 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑥 + (𝐵𝑥)))
9311adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9446, 93pncan3d 10717 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (𝐵𝑥)) = 𝐵)
9592, 94eqtrd 2862 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = 𝐵)
9689, 95breqtrd 4900 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ 𝐵)
9723rexrd 10407 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
98 elioc2 12525 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∧ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ 𝐵)))
9997, 3, 98syl2anc 581 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∧ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ 𝐵)))
10022, 83, 96, 99mpbir3and 1448 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
101 fourierdlem4.e . 2 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
102100, 101fmptd 6634 1 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 3000   class class class wbr 4874  cmpt 4953  wf 6120  cfv 6124  (class class class)co 6906  cc 10251  cr 10252  0cc0 10253  1c1 10254   + caddc 10256   · cmul 10258  *cxr 10391   < clt 10392  cle 10393  cmin 10586   / cdiv 11010  cz 11705  +crp 12113  (,]cioc 12465  cfl 12887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-sup 8618  df-inf 8619  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-rp 12114  df-ioc 12469  df-fl 12889
This theorem is referenced by:  fourierdlem19  41138  fourierdlem37  41156  fourierdlem41  41160  fourierdlem48  41166  fourierdlem49  41167  fourierdlem51  41169  fourierdlem63  41181  fourierdlem65  41183  fourierdlem71  41189  fourierdlem79  41197  fourierdlem89  41207  fourierdlem90  41208  fourierdlem91  41209  fourierdlem102  41220  fourierdlem114  41232
  Copyright terms: Public domain W3C validator