fourierdlem4 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem fourierdlem4 42753

Description: 𝐸 is a function that maps any point to a periodic corresponding point in (𝐴, 𝐵]. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem4.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem4.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem4.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem4.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem4	⊢ (𝜑 → 𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝑇 𝜑,𝑥 Allowed substitution hint: 𝐸(𝑥)

**Proof of Theorem fourierdlem4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
2		fourierdlem4.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3, 1	resubcld 11057	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝑥) ∈ ℝ)
5		fourierdlem4.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
6		fourierdlem4.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	2, 6	resubcld 11057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
8	5, 7	eqeltrid 2894	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
9	8	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
10	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝐵 − 𝐴))
11	2	recnd 10658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12	6	recnd 10658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13		fourierdlem4.altb	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
14	6, 13	gtned 10764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
15	11, 12, 14	subne0d 10995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
16	10, 15	eqnetrd 3054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
17	16	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ≠ 0)
18	4, 9, 17	redivcld 11457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ)
19	18	flcld 13163	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) ∈ ℤ)
20	19	zred 12075	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) ∈ ℝ)
21	20, 9	remulcld 10660	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
22	1, 21	readdcld 10659	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
23	6	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
24	23, 1	resubcld 11057	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝑥) ∈ ℝ)
25	24, 9, 17	redivcld 11457	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ)
26	25, 9	remulcld 10660	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇) ∈ ℝ)
27	11	addid1d 10829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
28	27	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐵 + 0))
29	11, 12	subcld 10986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
30	29	subidd 10974	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) − (𝐵 − 𝐴)) = 0)
31	30	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 = ((𝐵 − 𝐴) − (𝐵 − 𝐴)))
32	31	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 0) = (𝐵 + ((𝐵 − 𝐴) − (𝐵 − 𝐴))))
33	11, 29, 29	addsub12d 11009	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐵 − 𝐴) − (𝐵 − 𝐴))) = ((𝐵 − 𝐴) + (𝐵 − (𝐵 − 𝐴))))
34	11, 12	nncand 10991	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (𝐵 − 𝐴)) = 𝐴)
35	34	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) + (𝐵 − (𝐵 − 𝐴))) = ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴))
36	29, 12	addcomd 10831	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)))
37	10	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = 𝑇)
38	37	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = (𝐴 + 𝑇))
39	36, 38	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) = (𝐴 + 𝑇))
40	33, 35, 39	3eqtrd 2837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐵 − 𝐴) − (𝐵 − 𝐴))) = (𝐴 + 𝑇))
41	28, 32, 40	3eqtrd 2837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
42	41	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
43	42	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝑥) = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑥))
44	12	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
45	9	recnd 10658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
46	1	recnd 10658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
47	44, 45, 46	addsubd 11007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑥) = ((𝐴 − 𝑥) + 𝑇))
48	43, 47	eqtrd 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝑥) = ((𝐴 − 𝑥) + 𝑇))
49	48	oveq1d 7150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = (((𝐴 − 𝑥) + 𝑇) / 𝑇))
50	44, 46	subcld 10986	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝑥) ∈ ℂ)
51	50, 45, 45, 17	divdird 11443	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝑥) + 𝑇) / 𝑇) = (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + (𝑇 / 𝑇)))
52	5, 29	eqeltrid 2894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
53	52, 16	dividd 11403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑇 / 𝑇) = 1)
54	53	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑇 / 𝑇) = 1)
55	54	oveq2d 7151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + (𝑇 / 𝑇)) = (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1))
56	49, 51, 55	3eqtrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1))
57	56	fveq2d 6649	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)))
58	57	oveq1d 7150	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇))
59	58, 21	eqeltrrd 2891	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇) ∈ ℝ)
60		peano2re 10802	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ → (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1) ∈ ℝ)
61	25, 60	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1) ∈ ℝ)
62		reflcl 13161	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) ∈ ℝ)
63	61, 62	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) ∈ ℝ)
64	6, 2	posdifd 11216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
65	13, 64	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
66	65, 10	breqtrrd 5058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
67	8, 66	elrpd 12416	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ⁺)
68	67	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ⁺)
69		flltp1 13165	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ → ((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) < ((⌊‘((𝐴 − 𝑥) / 𝑇)) + 1))
70	25, 69	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) < ((⌊‘((𝐴 − 𝑥) / 𝑇)) + 1))
71		1zzd 12001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
72		fladdz 13190	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) = ((⌊‘((𝐴 − 𝑥) / 𝑇)) + 1))
73	25, 71, 72	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) = ((⌊‘((𝐴 − 𝑥) / 𝑇)) + 1))
74	70, 73	breqtrrd 5058	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) < (⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)))
75	25, 63, 68, 74	ltmul1dd 12474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇) < ((⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇))
76	26, 59, 1, 75	ltadd2dd 10788	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) < (𝑥 + ((⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇)))
77	50, 45, 17	divcan1d 11406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇) = (𝐴 − 𝑥))
78	77	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑥 + (𝐴 − 𝑥)))
79	46, 44	pncan3d 10989	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (𝐴 − 𝑥)) = 𝐴)
80	78, 79	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = 𝐴)
81	58	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇)))
82	81	eqcomd 2804	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘(((𝐴 − 𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
83	76, 80, 82	3brtr3d 5061	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
84	18, 9	remulcld 10660	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇) ∈ ℝ)
85		flle 13164	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) ≤ ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇))
86	18, 85	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) ≤ ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇))
87	20, 18, 68	lemul1d 12462	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) ≤ ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) ↔ ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇)))
88	86, 87	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇))
89	21, 84, 1, 88	leadd2dd 11244	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ (𝑥 + (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇)))
90	4	recnd 10658	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝑥) ∈ ℂ)
91	90, 45, 17	divcan1d 11406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇) = (𝐵 − 𝑥))
92	91	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑥 + (𝐵 − 𝑥)))
93	11	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
94	46, 93	pncan3d 10989	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (𝐵 − 𝑥)) = 𝐵)
95	92, 94	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = 𝐵)
96	89, 95	breqtrd 5056	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ 𝐵)
97	23	rexrd 10680	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
98		elioc2 12788	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∧ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ 𝐵)))
99	97, 3, 98	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∧ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ 𝐵)))
100	22, 83, 96, 99	mpbir3and 1339	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
101		fourierdlem4.e	. 2 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
102	100, 101	fmptd 6855	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 399 ∧ w3a 1084 = wceq 1538 ∈ wcel 2111 ≠ wne 2987 class class class wbr 5030 ↦ cmpt 5110 ⟶wf 6320 ‘cfv 6324 (class class class)co 7135 ℂcc 10524 ℝcr 10525 0cc0 10526 1c1 10527 + caddc 10529 · cmul 10531 ℝ^*cxr 10663 < clt 10664 ≤ cle 10665 − cmin 10859 / cdiv 11286 ℤcz 11969 ℝ⁺crp 12377 (,]cioc 12727 ⌊cfl 13155

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2770 ax-sep 5167 ax-nul 5174 ax-pow 5231 ax-pr 5295 ax-un 7441 ax-cnex 10582 ax-resscn 10583 ax-1cn 10584 ax-icn 10585 ax-addcl 10586 ax-addrcl 10587 ax-mulcl 10588 ax-mulrcl 10589 ax-mulcom 10590 ax-addass 10591 ax-mulass 10592 ax-distr 10593 ax-i2m1 10594 ax-1ne0 10595 ax-1rid 10596 ax-rnegex 10597 ax-rrecex 10598 ax-cnre 10599 ax-pre-lttri 10600 ax-pre-lttrn 10601 ax-pre-ltadd 10602 ax-pre-mulgt0 10603 ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1541 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2070 df-mo 2598 df-eu 2629 df-clab 2777 df-cleq 2791 df-clel 2870 df-nfc 2938 df-ne 2988 df-nel 3092 df-ral 3111 df-rex 3112 df-reu 3113 df-rmo 3114 df-rab 3115 df-v 3443 df-sbc 3721 df-csb 3829 df-dif 3884 df-un 3886 df-in 3888 df-ss 3898 df-pss 3900 df-nul 4244 df-if 4426 df-pw 4499 df-sn 4526 df-pr 4528 df-tp 4530 df-op 4532 df-uni 4801 df-iun 4883 df-br 5031 df-opab 5093 df-mpt 5111 df-tr 5137 df-id 5425 df-eprel 5430 df-po 5438 df-so 5439 df-fr 5478 df-we 5480 df-xp 5525 df-rel 5526 df-cnv 5527 df-co 5528 df-dm 5529 df-rn 5530 df-res 5531 df-ima 5532 df-pred 6116 df-ord 6162 df-on 6163 df-lim 6164 df-suc 6165 df-iota 6283 df-fun 6326 df-fn 6327 df-f 6328 df-f1 6329 df-fo 6330 df-f1o 6331 df-fv 6332 df-riota 7093 df-ov 7138 df-oprab 7139 df-mpo 7140 df-om 7561 df-wrecs 7930 df-recs 7991 df-rdg 8029 df-er 8272 df-en 8493 df-dom 8494 df-sdom 8495 df-sup 8890 df-inf 8891 df-pnf 10666 df-mnf 10667 df-xr 10668 df-ltxr 10669 df-le 10670 df-sub 10861 df-neg 10862 df-div 11287 df-nn 11626 df-n0 11886 df-z 11970 df-uz 12232 df-rp 12378 df-ioc 12731 df-fl 13157

This theorem is referenced by: fourierdlem19 42768 fourierdlem37 42786 fourierdlem41 42790 fourierdlem48 42796 fourierdlem49 42797 fourierdlem51 42799 fourierdlem63 42811 fourierdlem65 42813 fourierdlem71 42819 fourierdlem79 42827 fourierdlem89 42837 fourierdlem90 42838 fourierdlem91 42839 fourierdlem102 42850 fourierdlem114 42862

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