MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matmulr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matmulr 22444
Description: Multiplication in the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matmulr.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matmulr.t · = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
Assertion
Ref Expression
matmulr ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → · = (.r𝐴))

Proof of Theorem matmulr
StepHypRef Expression
1 ovex 7464 . . . 4 (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V
2 matmulr.t . . . . 5 · = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
32ovexi 7465 . . . 4 · ∈ V
41, 3pm3.2i 470 . . 3 ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V ∧ · ∈ V)
5 mulridx 17338 . . . 4 .r = Slot (.r‘ndx)
65setsid 17244 . . 3 (((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V ∧ · ∈ V) → · = (.r‘((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩)))
74, 6mp1i 13 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → · = (.r‘((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩)))
8 matmulr.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9 eqid 2737 . . . 4 (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
108, 9, 2matval 22415 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → 𝐴 = ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩))
1110fveq2d 6910 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (.r𝐴) = (.r‘((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩)))
127, 11eqtr4d 2780 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → · = (.r𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cop 4632  cotp 4634   × cxp 5683  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985   sSet csts 17200  ndxcnx 17230  .rcmulr 17298   freeLMod cfrlm 21766   maMul cmmul 22394   Mat cmat 22411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-mulr 17311  df-mat 22412
This theorem is referenced by:  matring  22449  matassa  22450  matmulcell  22451  mpomatmul  22452  mat1  22453  mattposm  22465  mat1dimmul  22482  dmatmul  22503  mdetmul  22629  madurid  22650  slesolinv  22686  slesolinvbi  22687  cramerimplem3  22691  mat2pmatmul  22737  decpmatmullem  22777  decpmatmul  22778  matunitlindflem2  37624
  Copyright terms: Public domain W3C validator