Theorem matmulr 22428

Description: Multiplication in the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matmulr.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matmulr.t	⊢ · = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)

Assertion

Ref	Expression
matmulr	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → · = (.r‘𝐴))

Proof of Theorem matmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7396	. . . 4 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V
2		matmulr.t	. . . . 5 ⊢ · = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
3	2	ovexi 7397	. . . 4 ⊢ · ∈ V
4	1, 3	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V ∧ · ∈ V)
5		mulridx 17256	. . . 4 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
6	5	setsid 17175	. . 3 ⊢ (((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V ∧ · ∈ V) → · = (.r‘((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩)))
7	4, 6	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → · = (.r‘((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩)))
8		matmulr.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
10	8, 9, 2	matval 22401	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝐴 = ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩))
11	10	fveq2d 6838	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (.r‘𝐴) = (.r‘((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩)))
12	7, 11	eqtr4d 2778	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → · = (.r‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432  ⟨cop 4568  ⟨cotp 4570   × cxp 5623  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Fincfn 8890   sSet csts 17131  ndxcnx 17161  ._rcmulr 17219   freeLMod cfrlm 21728   maMul cmmul 22380   Mat cmat 22397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-1cn 11094  ax-addcl 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-ot 4571  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-mulr 17232  df-mat 22398

This theorem is referenced by:  matring  22433  matassa  22434  matmulcell  22435  mpomatmul  22436  mat1  22437  mattposm  22449  mat1dimmul  22466  dmatmul  22487  mdetmul  22613  madurid  22634  slesolinv  22670  slesolinvbi  22671  cramerimplem3  22675  mat2pmatmul  22721  decpmatmullem  22761  decpmatmul  22762  matunitlindflem2  37991