Theorem matmulr 21587

Description: Multiplication in the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matmulr.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matmulr.t	⊢ · = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)

Assertion

Ref	Expression
matmulr	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → · = (.r‘𝐴))

Proof of Theorem matmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7308	. . . 4 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V
2		matmulr.t	. . . . 5 ⊢ · = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
3	2	ovexi 7309	. . . 4 ⊢ · ∈ V
4	1, 3	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V ∧ · ∈ V)
5		mulrid 17004	. . . 4 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
6	5	setsid 16909	. . 3 ⊢ (((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V ∧ · ∈ V) → · = (.r‘((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩)))
7	4, 6	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → · = (.r‘((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩)))
8		matmulr.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
10	8, 9, 2	matval 21558	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝐴 = ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩))
11	10	fveq2d 6778	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (.r‘𝐴) = (.r‘((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩)))
12	7, 11	eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → · = (.r‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  ⟨cop 4567  ⟨cotp 4569   × cxp 5587  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733   sSet csts 16864  ndxcnx 16894  ._rcmulr 16963   freeLMod cfrlm 20953   maMul cmmul 21532   Mat cmat 21554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-1cn 10929  ax-addcl 10931

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-mulr 16976  df-mat 21555

This theorem is referenced by:  matring  21592  matassa  21593  matmulcell  21594  mpomatmul  21595  mat1  21596  mattposm  21608  mat1dimmul  21625  dmatmul  21646  mdetmul  21772  madurid  21793  slesolinv  21829  slesolinvbi  21830  cramerimplem3  21834  mat2pmatmul  21880  decpmatmullem  21920  decpmatmul  21921  matunitlindflem2  35774