Theorem matmulr 21939

Description: Multiplication in the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matmulr.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matmulr.t	⊢ · = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)

Assertion

Ref	Expression
matmulr	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → · = (.r‘𝐴))

Proof of Theorem matmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7441	. . . 4 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V
2		matmulr.t	. . . . 5 ⊢ · = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
3	2	ovexi 7442	. . . 4 ⊢ · ∈ V
4	1, 3	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V ∧ · ∈ V)
5		mulridx 17238	. . . 4 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
6	5	setsid 17140	. . 3 ⊢ (((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V ∧ · ∈ V) → · = (.r‘((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩)))
7	4, 6	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → · = (.r‘((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩)))
8		matmulr.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
10	8, 9, 2	matval 21910	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝐴 = ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩))
11	10	fveq2d 6895	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (.r‘𝐴) = (.r‘((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩)))
12	7, 11	eqtr4d 2775	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → · = (.r‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  ⟨cop 4634  ⟨cotp 4636   × cxp 5674  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938   sSet csts 17095  ndxcnx 17125  ._rcmulr 17197   freeLMod cfrlm 21300   maMul cmmul 21884   Mat cmat 21906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-1cn 11167  ax-addcl 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-mulr 17210  df-mat 21907

This theorem is referenced by:  matring  21944  matassa  21945  matmulcell  21946  mpomatmul  21947  mat1  21948  mattposm  21960  mat1dimmul  21977  dmatmul  21998  mdetmul  22124  madurid  22145  slesolinv  22181  slesolinvbi  22182  cramerimplem3  22186  mat2pmatmul  22232  decpmatmullem  22272  decpmatmul  22273  matunitlindflem2  36480