MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matmulr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matmulr 21042
Description: Multiplication in the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matmulr.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matmulr.t · = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
Assertion
Ref Expression
matmulr ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → · = (.r𝐴))

Proof of Theorem matmulr
StepHypRef Expression
1 ovex 7179 . . . 4 (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V
2 matmulr.t . . . . 5 · = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
32ovexi 7180 . . . 4 · ∈ V
41, 3pm3.2i 474 . . 3 ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V ∧ · ∈ V)
5 mulrid 16614 . . . 4 .r = Slot (.r‘ndx)
65setsid 16536 . . 3 (((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V ∧ · ∈ V) → · = (.r‘((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩)))
74, 6mp1i 13 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → · = (.r‘((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩)))
8 matmulr.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9 eqid 2824 . . . 4 (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
108, 9, 2matval 21015 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → 𝐴 = ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩))
1110fveq2d 6663 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (.r𝐴) = (.r‘((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩)))
127, 11eqtr4d 2862 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → · = (.r𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  cop 4556  cotp 4558   × cxp 5541  cfv 6344  (class class class)co 7146  Fincfn 8501  ndxcnx 16478   sSet csts 16479  .rcmulr 16564   freeLMod cfrlm 20885   maMul cmmul 20989   Mat cmat 21011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-1cn 10589  ax-addcl 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-ot 4559  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-sets 16488  df-mulr 16577  df-mat 21012
This theorem is referenced by:  matring  21047  matassa  21048  matmulcell  21049  mpomatmul  21050  mat1  21051  mattposm  21063  mat1dimmul  21080  dmatmul  21101  mdetmul  21227  madurid  21248  slesolinv  21284  slesolinvbi  21285  cramerimplem3  21289  mat2pmatmul  21334  decpmatmullem  21374  decpmatmul  21375  matunitlindflem2  34966
  Copyright terms: Public domain W3C validator