Theorem matmulr 21531

Description: Multiplication in the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matmulr.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matmulr.t	⊢ · = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)

Assertion

Ref	Expression
matmulr	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → · = (.r‘𝐴))

Proof of Theorem matmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7293	. . . 4 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V
2		matmulr.t	. . . . 5 ⊢ · = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
3	2	ovexi 7294	. . . 4 ⊢ · ∈ V
4	1, 3	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V ∧ · ∈ V)
5		mulrid 16948	. . . 4 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
6	5	setsid 16853	. . 3 ⊢ (((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V ∧ · ∈ V) → · = (.r‘((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩)))
7	4, 6	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → · = (.r‘((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩)))
8		matmulr.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
10	8, 9, 2	matval 21502	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝐴 = ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩))
11	10	fveq2d 6765	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (.r‘𝐴) = (.r‘((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩)))
12	7, 11	eqtr4d 2780	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → · = (.r‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3427  ⟨cop 4569  ⟨cotp 4571   × cxp 5583  ‘cfv 6423  (class class class)co 7260  Fincfn 8696   sSet csts 16808  ndxcnx 16838  ._rcmulr 16907   freeLMod cfrlm 20897   maMul cmmul 21476   Mat cmat 21498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7571  ax-cnex 10874  ax-1cn 10876  ax-addcl 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3429  df-sbc 3717  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-ot 4572  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6259  df-on 6260  df-lim 6261  df-suc 6262  df-iota 6381  df-fun 6425  df-fn 6426  df-f 6427  df-f1 6428  df-fo 6429  df-f1o 6430  df-fv 6431  df-ov 7263  df-oprab 7264  df-mpo 7265  df-om 7693  df-2nd 7810  df-frecs 8073  df-wrecs 8104  df-recs 8178  df-rdg 8217  df-nn 11920  df-2 11982  df-3 11983  df-sets 16809  df-slot 16827  df-ndx 16839  df-mulr 16920  df-mat 21499

This theorem is referenced by:  matring  21536  matassa  21537  matmulcell  21538  mpomatmul  21539  mat1  21540  mattposm  21552  mat1dimmul  21569  dmatmul  21590  mdetmul  21716  madurid  21737  slesolinv  21773  slesolinvbi  21774  cramerimplem3  21778  mat2pmatmul  21824  decpmatmullem  21864  decpmatmul  21865  matunitlindflem2  35743