Theorem matassa 22759

Description: Existence of the matrix algebra, see also the statement in [Lang] p. 505: "Then Mat_n(R) is an algebra over R" . (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
matassa.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matassa	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem matassa

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matassa.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	matbas2 22736	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
4	1	matsca2 22735	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
5		eqidd 2762	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
6		eqidd 2762	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
7		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
8	1, 7	matmulr 22753	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
9		crngring 20472	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
10	1	matlmod 22744	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
11	9, 10	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ LMod)
12	1	matring 22758	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
13	9, 12	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
14	9	ad2antlr 740	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑅 ∈ Ring)
15		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑁 ∈ Fin)
16		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17		simpr1 1213	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
18		simpr2 1214	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
19		simpr3 1215	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
20	2, 14, 7, 15, 15, 15, 16, 17, 18, 19	mamuvs1 22720	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
21	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
22	18, 21	eleqtrd 2863	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
23		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
24		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
25		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 × 𝑁) = (𝑁 × 𝑁)
26	1, 23, 2, 24, 16, 25	matvsca2 22743	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑦) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑦))
27	17, 22, 26	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑦) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑦))
28	27	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧))
29	2, 14, 7, 15, 15, 15, 18, 19	mamucl 22716	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
30	29, 21	eleqtrd 2863	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴))
31	1, 23, 2, 24, 16, 25	matvsca2 22743	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
32	17, 30, 31	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
33	20, 28, 32	3eqtr4d 2806	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
34		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑅 ∈ CRing)
35	34, 2, 16, 7, 15, 15, 15, 18, 17, 19	mamuvs2 22721	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑧)) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
36	19, 21	eleqtrd 2863	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐴))
37	1, 23, 2, 24, 16, 25	matvsca2 22743	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑧) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑧))
38	17, 36, 37	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑧) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑧))
39	38	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑧)) = (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑧)))
40	35, 39, 32	3eqtr4d 2806	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑧)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
41	3, 4, 5, 6, 8, 11, 13, 33, 40	isassad 22173	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ AssAlg)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584  ⟨cotp 4592   × cxp 5649  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8973  Basecbs 17387  ._rcmulr 17429   ·_𝑠 cvsca 17432  Ringcrg 20459  CRingccrg 20460  LModclmod 21135  AssAlgcasa 22158   maMul cmmul 22705   Mat cmat 22722

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-dsmm 22038  df-frlm 22053  df-assa 22161  df-mamu 22706  df-mat 22723

This theorem is used by:  matinv  22992  pmatassa  23012  cpmadugsumlemB  23192  cpmadugsumlemC  23193  cayhamlem2  23202