Theorem matassa 22570

Description: Existence of the matrix algebra, see also the statement in [Lang] p. 505: "Then Mat_n(R) is an algebra over R" . (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
matassa.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matassa	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem matassa

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matassa.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	matbas2 22547	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
4	1	matsca2 22546	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
5		eqidd 2770	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
6		eqidd 2770	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
7		eqid 2769	. . 3 ⊢ (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
8	1, 7	matmulr 22564	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
9		crngring 20327	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
10	1	matlmod 22555	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
11	9, 10	sylan2 604	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ LMod)
12	1	matring 22569	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
13	9, 12	sylan2 604	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
14	9	ad2antlr 739	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑅 ∈ Ring)
15		simpll 778	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑁 ∈ Fin)
16		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17		simpr1 1211	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
18		simpr2 1212	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
19		simpr3 1213	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
20	2, 14, 7, 15, 15, 15, 16, 17, 18, 19	mamuvs1 22531	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
21	3	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
22	18, 21	eleqtrd 2871	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
23		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
24		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
25		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 × 𝑁) = (𝑁 × 𝑁)
26	1, 23, 2, 24, 16, 25	matvsca2 22554	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑦) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑦))
27	17, 22, 26	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑦) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑦))
28	27	oveq1d 7426	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧))
29	2, 14, 7, 15, 15, 15, 18, 19	mamucl 22527	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
30	29, 21	eleqtrd 2871	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴))
31	1, 23, 2, 24, 16, 25	matvsca2 22554	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
32	17, 30, 31	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
33	20, 28, 32	3eqtr4d 2814	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
34		simplr 780	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑅 ∈ CRing)
35	34, 2, 16, 7, 15, 15, 15, 18, 17, 19	mamuvs2 22532	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑧)) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
36	19, 21	eleqtrd 2871	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐴))
37	1, 23, 2, 24, 16, 25	matvsca2 22554	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑧) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑧))
38	17, 36, 37	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑧) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑧))
39	38	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑧)) = (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑧)))
40	35, 39, 32	3eqtr4d 2814	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑧)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
41	3, 4, 5, 6, 8, 11, 13, 33, 40	isassad 21984	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ AssAlg)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {csn 4594  ⟨cotp 4602   × cxp 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∘_f cof 7673   ↑_m cmap 8824  Fincfn 8943  Basecbs 17269  ._rcmulr 17311   ·_𝑠 cvsca 17314  Ringcrg 20315  CRingccrg 20316  LModclmod 20959  AssAlgcasa 21969   maMul cmmul 22516   Mat cmat 22533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-prds 17500  df-pws 17502  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-ghm 19284  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-cring 20318  df-subrg 20655  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-dsmm 21851  df-frlm 21866  df-assa 21972  df-mamu 22517  df-mat 22534

This theorem is referenced by:  matinv  22803  pmatassa  22820  cpmadugsumlemB  23000  cpmadugsumlemC  23001  cayhamlem2  23010