Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mattposm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mattposm 21073
 Description: Multiplying two transposed matrices results in the transposition of the product of the two matrices. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mattposm.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mattposm.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mattposm.t · = (.r𝐴)
Assertion
Ref Expression
mattposm ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → tpos (𝑋 · 𝑌) = (tpos 𝑌 · tpos 𝑋))

Proof of Theorem mattposm
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . 3 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
2 eqid 2824 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 simp1 1133 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
4 mattposm.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5 mattposm.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
64, 5matrcl 21026 . . . . 5 (𝑌𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
76simpld 498 . . . 4 (𝑌𝐵𝑁 ∈ Fin)
873ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
94, 2, 5matbas2i 21036 . . . 4 (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
1093ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
114, 2, 5matbas2i 21036 . . . 4 (𝑌𝐵𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
12113ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
131, 1, 2, 3, 8, 8, 8, 10, 12mamutpos 21072 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → tpos (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌) = (tpos 𝑌(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)tpos 𝑋))
144, 1matmulr 21052 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
158, 3, 14syl2anc 587 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
16 mattposm.t . . . . 5 · = (.r𝐴)
1715, 16syl6reqr 2878 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → · = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
1817oveqd 7168 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌))
1918tposeqd 7893 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → tpos (𝑋 · 𝑌) = tpos (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌))
2017oveqd 7168 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (tpos 𝑌 · tpos 𝑋) = (tpos 𝑌(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)tpos 𝑋))
2113, 19, 203eqtr4d 2869 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → tpos (𝑋 · 𝑌) = (tpos 𝑌 · tpos 𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480  ⟨cotp 4558   × cxp 5541  ‘cfv 6345  (class class class)co 7151  tpos ctpos 7889   ↑m cmap 8404  Fincfn 8507  Basecbs 16485  .rcmulr 16568  CRingccrg 19300   maMul cmmul 20999   Mat cmat 21021 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-ot 4559  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-tpos 7890  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-ixp 8460  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fsupp 8833  df-sup 8905  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12897  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-hom 16591  df-cco 16592  df-0g 16717  df-prds 16723  df-pws 16725  df-cmn 18910  df-mgp 19242  df-cring 19302  df-sra 19946  df-rgmod 19947  df-dsmm 20430  df-frlm 20445  df-mamu 21000  df-mat 21022 This theorem is referenced by:  madulid  21259
 Copyright terms: Public domain W3C validator