MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mattposm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mattposm 20634
Description: Multiplying two transposed matrices results in the transposition of the product of the two matrices. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mattposm.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mattposm.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mattposm.t · = (.r𝐴)
Assertion
Ref Expression
mattposm ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → tpos (𝑋 · 𝑌) = (tpos 𝑌 · tpos 𝑋))

Proof of Theorem mattposm
StepHypRef Expression
1 eqid 2826 . . 3 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
2 eqid 2826 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 simp1 1172 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
4 mattposm.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5 mattposm.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
64, 5matrcl 20586 . . . . 5 (𝑌𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
76simpld 490 . . . 4 (𝑌𝐵𝑁 ∈ Fin)
873ad2ant3 1171 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
94, 2, 5matbas2i 20596 . . . 4 (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
1093ad2ant2 1170 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
114, 2, 5matbas2i 20596 . . . 4 (𝑌𝐵𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
12113ad2ant3 1171 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
131, 1, 2, 3, 8, 8, 8, 10, 12mamutpos 20633 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → tpos (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌) = (tpos 𝑌(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)tpos 𝑋))
144, 1matmulr 20612 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
158, 3, 14syl2anc 581 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
16 mattposm.t . . . . 5 · = (.r𝐴)
1715, 16syl6reqr 2881 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → · = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
1817oveqd 6923 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌))
1918tposeqd 7621 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → tpos (𝑋 · 𝑌) = tpos (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌))
2017oveqd 6923 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (tpos 𝑌 · tpos 𝑋) = (tpos 𝑌(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)tpos 𝑋))
2113, 19, 203eqtr4d 2872 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → tpos (𝑋 · 𝑌) = (tpos 𝑌 · tpos 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  Vcvv 3415  cotp 4406   × cxp 5341  cfv 6124  (class class class)co 6906  tpos ctpos 7617  𝑚 cmap 8123  Fincfn 8223  Basecbs 16223  .rcmulr 16307  CRingccrg 18903   maMul cmmul 20557   Mat cmat 20581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-ot 4407  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-tpos 7618  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-ixp 8177  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fsupp 8546  df-sup 8618  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-fz 12621  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-ip 16324  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-hom 16330  df-cco 16331  df-0g 16456  df-prds 16462  df-pws 16464  df-cmn 18549  df-mgp 18845  df-cring 18905  df-sra 19534  df-rgmod 19535  df-dsmm 20440  df-frlm 20455  df-mamu 20558  df-mat 20582
This theorem is referenced by:  madulid  20820
  Copyright terms: Public domain W3C validator