MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mattposm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mattposm 21943
Description: Multiplying two transposed matrices results in the transposition of the product of the two matrices. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mattposm.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mattposm.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mattposm.t · = (.r𝐴)
Assertion
Ref Expression
mattposm ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → tpos (𝑋 · 𝑌) = (tpos 𝑌 · tpos 𝑋))

Proof of Theorem mattposm
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
2 eqid 2733 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 simp1 1137 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
4 mattposm.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5 mattposm.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
64, 5matrcl 21894 . . . . 5 (𝑌𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
76simpld 496 . . . 4 (𝑌𝐵𝑁 ∈ Fin)
873ad2ant3 1136 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
94, 2, 5matbas2i 21906 . . . 4 (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
1093ad2ant2 1135 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
114, 2, 5matbas2i 21906 . . . 4 (𝑌𝐵𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
12113ad2ant3 1136 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
131, 1, 2, 3, 8, 8, 8, 10, 12mamutpos 21942 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → tpos (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌) = (tpos 𝑌(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)tpos 𝑋))
14 mattposm.t . . . . 5 · = (.r𝐴)
154, 1matmulr 21922 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
168, 3, 15syl2anc 585 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
1714, 16eqtr4id 2792 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → · = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
1817oveqd 7421 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌))
1918tposeqd 8209 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → tpos (𝑋 · 𝑌) = tpos (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌))
2017oveqd 7421 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (tpos 𝑌 · tpos 𝑋) = (tpos 𝑌(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)tpos 𝑋))
2113, 19, 203eqtr4d 2783 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → tpos (𝑋 · 𝑌) = (tpos 𝑌 · tpos 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  cotp 4635   × cxp 5673  cfv 6540  (class class class)co 7404  tpos ctpos 8205  m cmap 8816  Fincfn 8935  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  CRingccrg 20048   maMul cmmul 21867   Mat cmat 21889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-prds 17389  df-pws 17391  df-cmn 19643  df-mgp 19980  df-cring 20050  df-sra 20773  df-rgmod 20774  df-dsmm 21271  df-frlm 21286  df-mamu 21868  df-mat 21890
This theorem is referenced by:  madulid  22129
  Copyright terms: Public domain W3C validator