![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mattposm | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplying two transposed matrices results in the transposition of the product of the two matrices. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.) |
Ref | Expression |
---|---|
mattposm.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
mattposm.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
mattposm.t | โข ยท = (.rโ๐ด) |
Ref | Expression |
---|---|
mattposm | โข ((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ tpos (๐ ยท ๐) = (tpos ๐ ยท tpos ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eqid 2728 | . . 3 โข (๐ maMul โจ๐, ๐, ๐โฉ) = (๐ maMul โจ๐, ๐, ๐โฉ) | |
2 | eqid 2728 | . . 3 โข (Baseโ๐ ) = (Baseโ๐ ) | |
3 | simp1 1133 | . . 3 โข ((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ CRing) | |
4 | mattposm.a | . . . . . 6 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
5 | mattposm.b | . . . . . 6 โข ๐ต = (Baseโ๐ด) | |
6 | 4, 5 | matrcl 22332 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ (๐ โ Fin โง ๐ โ V)) |
7 | 6 | simpld 493 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ ๐ โ Fin) |
8 | 7 | 3ad2ant3 1132 | . . 3 โข ((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ Fin) |
9 | 4, 2, 5 | matbas2i 22344 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ ๐ โ ((Baseโ๐ ) โm (๐ ร ๐))) |
10 | 9 | 3ad2ant2 1131 | . . 3 โข ((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ ((Baseโ๐ ) โm (๐ ร ๐))) |
11 | 4, 2, 5 | matbas2i 22344 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ ๐ โ ((Baseโ๐ ) โm (๐ ร ๐))) |
12 | 11 | 3ad2ant3 1132 | . . 3 โข ((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ ((Baseโ๐ ) โm (๐ ร ๐))) |
13 | 1, 1, 2, 3, 8, 8, 8, 10, 12 | mamutpos 22380 | . 2 โข ((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ tpos (๐(๐ maMul โจ๐, ๐, ๐โฉ)๐) = (tpos ๐(๐ maMul โจ๐, ๐, ๐โฉ)tpos ๐)) |
14 | mattposm.t | . . . . 5 โข ยท = (.rโ๐ด) | |
15 | 4, 1 | matmulr 22360 | . . . . . 6 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing) โ (๐ maMul โจ๐, ๐, ๐โฉ) = (.rโ๐ด)) |
16 | 8, 3, 15 | syl2anc 582 | . . . . 5 โข ((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ maMul โจ๐, ๐, ๐โฉ) = (.rโ๐ด)) |
17 | 14, 16 | eqtr4id 2787 | . . . 4 โข ((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ยท = (๐ maMul โจ๐, ๐, ๐โฉ)) |
18 | 17 | oveqd 7443 | . . 3 โข ((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ๐) = (๐(๐ maMul โจ๐, ๐, ๐โฉ)๐)) |
19 | 18 | tposeqd 8241 | . 2 โข ((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ tpos (๐ ยท ๐) = tpos (๐(๐ maMul โจ๐, ๐, ๐โฉ)๐)) |
20 | 17 | oveqd 7443 | . 2 โข ((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (tpos ๐ ยท tpos ๐) = (tpos ๐(๐ maMul โจ๐, ๐, ๐โฉ)tpos ๐)) |
21 | 13, 19, 20 | 3eqtr4d 2778 | 1 โข ((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ tpos (๐ ยท ๐) = (tpos ๐ ยท tpos ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 Vcvv 3473 โจcotp 4640 ร cxp 5680 โcfv 6553 (class class class)co 7426 tpos ctpos 8237 โm cmap 8851 Fincfn 8970 Basecbs 17187 .rcmulr 17241 CRingccrg 20181 maMul cmmul 22305 Mat cmat 22327 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-rep 5289 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-cnex 11202 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 ax-pre-mulgt0 11223 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-tp 4637 df-op 4639 df-ot 4641 df-uni 4913 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-om 7877 df-1st 7999 df-2nd 8000 df-supp 8172 df-tpos 8238 df-frecs 8293 df-wrecs 8324 df-recs 8398 df-rdg 8437 df-1o 8493 df-er 8731 df-map 8853 df-ixp 8923 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-fin 8974 df-fsupp 9394 df-sup 9473 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-xr 11290 df-ltxr 11291 df-le 11292 df-sub 11484 df-neg 11485 df-nn 12251 df-2 12313 df-3 12314 df-4 12315 df-5 12316 df-6 12317 df-7 12318 df-8 12319 df-9 12320 df-n0 12511 df-z 12597 df-dec 12716 df-uz 12861 df-fz 13525 df-struct 17123 df-sets 17140 df-slot 17158 df-ndx 17170 df-base 17188 df-ress 17217 df-plusg 17253 df-mulr 17254 df-sca 17256 df-vsca 17257 df-ip 17258 df-tset 17259 df-ple 17260 df-ds 17262 df-hom 17264 df-cco 17265 df-0g 17430 df-prds 17436 df-pws 17438 df-cmn 19744 df-mgp 20082 df-cring 20183 df-sra 21065 df-rgmod 21066 df-dsmm 21673 df-frlm 21688 df-mamu 22306 df-mat 22328 |
This theorem is referenced by: madulid 22567 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |