Theorem mattposm 22481

Description: Multiplying two transposed matrices results in the transposition of the product of the two matrices. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mattposm.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mattposm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mattposm.t	⊢ · = (.r‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mattposm	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → tpos (𝑋 · 𝑌) = (tpos 𝑌 · tpos 𝑋))

Proof of Theorem mattposm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
4		mattposm.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5		mattposm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
6	4, 5	matrcl 22432	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
7	6	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
8	7	3ad2ant3 1134	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
9	4, 2, 5	matbas2i 22444	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
10	9	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
11	4, 2, 5	matbas2i 22444	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
12	11	3ad2ant3 1134	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
13	1, 1, 2, 3, 8, 8, 8, 10, 12	mamutpos 22480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → tpos (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌) = (tpos 𝑌(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)tpos 𝑋))
14		mattposm.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝐴)
15	4, 1	matmulr 22460	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
16	8, 3, 15	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
17	14, 16	eqtr4id 2794	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → · = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
18	17	oveqd 7448	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌))
19	18	tposeqd 8253	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → tpos (𝑋 · 𝑌) = tpos (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌))
20	17	oveqd 7448	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (tpos 𝑌 · tpos 𝑋) = (tpos 𝑌(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)tpos 𝑋))
21	13, 19, 20	3eqtr4d 2785	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → tpos (𝑋 · 𝑌) = (tpos 𝑌 · tpos 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  ⟨cotp 4639   × cxp 5687  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  tpos ctpos 8249   ↑_m cmap 8865  Fincfn 8984  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299  CRingccrg 20252   maMul cmmul 22410   Mat cmat 22427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-cmn 19815  df-mgp 20153  df-cring 20254  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-mamu 22411  df-mat 22428

This theorem is referenced by:  madulid  22667