Theorem mamumat1cl 22781

Description: The identity matrix (as operation in maps-to notation) is a matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamumat1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamumat1cl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mamumat1cl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mamumat1cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mamumat1cl.i	⊢ 𝐼 = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
mamumat1cl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
mamumat1cl	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐵   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖, 𝑗)   1 (𝑖, 𝑗)   𝐼(𝑖, 𝑗)   0 (𝑖, 𝑗)

Proof of Theorem mamumat1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamumat1cl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		mamumat1cl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		mamumat1cl.o	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 20521	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
5		mamumat1cl.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	2, 5	ring0cl 20523	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
7	4, 6	ifcld 4532	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵)
8	1, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀)) → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵)
10	9	ralrimivva 3209	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑗 ∈ 𝑀 if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵)
11		mamumat1cl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
12	11	fmpo 8101	. . 3 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑗 ∈ 𝑀 if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵 ↔ 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
13	10, 12	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
14	2	fvexi 6919	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		mamumat1cl.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
16		xpfi 9336	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑀) ∈ Fin)
17	15, 15, 16	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑀) ∈ Fin)
18		elmapg 8884	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑀) ∈ Fin) → (𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)) ↔ 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵))
19	14, 17, 18	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)) ↔ 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵))
20	13, 19	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454  ifcif 4485   × cxp 5653  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ∈ cmpo 7442   ↑_m cmap 8872  Fincfn 8998  Basecbs 17413  0_gc0g 17636  1_rcur 20434  Ringcrg 20486

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-plusg 17467  df-0g 17638  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-mgp 20388  df-ur 20435  df-ring 20488

This theorem is used by:  mamulid  22783  mamurid  22784  matring  22785  mat1  22789