Theorem mamumat1cl 22392

Description: The identity matrix (as operation in maps-to notation) is a matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamumat1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamumat1cl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mamumat1cl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mamumat1cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mamumat1cl.i	⊢ 𝐼 = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
mamumat1cl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
mamumat1cl	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐵   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑗)   1 (𝑖,𝑗)   𝐼(𝑖,𝑗)   0 (𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mamumat1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamumat1cl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		mamumat1cl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		mamumat1cl.o	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 20235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
5		mamumat1cl.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	2, 5	ring0cl 20237	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
7	4, 6	ifcld 4503	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵)
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀)) → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵)
10	9	ralrimivva 3178	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑗 ∈ 𝑀 if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵)
11		mamumat1cl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
12	11	fmpo 8010	. . 3 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑗 ∈ 𝑀 if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵 ↔ 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
13	10, 12	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
14	2	fvexi 6843	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		mamumat1cl.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
16		xpfi 9219	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑀) ∈ Fin)
17	15, 15, 16	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑀) ∈ Fin)
18		elmapg 8775	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑀) ∈ Fin) → (𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)) ↔ 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵))
19	14, 17, 18	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)) ↔ 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵))
20	13, 19	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3049  Vcvv 3427  ifcif 4456   × cxp 5618  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358   ↑_m cmap 8762  Fincfn 8882  Basecbs 17168  0_gc0g 17391  1_rcur 20151  Ringcrg 20203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8632  df-map 8764  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-plusg 17222  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-mgp 20111  df-ur 20152  df-ring 20205

This theorem is referenced by:  mamulid  22394  mamurid  22395  matring  22396  mat1  22400