Theorem mamumat1cl 22662

Description: The identity matrix (as operation in maps-to notation) is a matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamumat1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamumat1cl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mamumat1cl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mamumat1cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mamumat1cl.i	⊢ 𝐼 = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
mamumat1cl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
mamumat1cl	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐵   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖, 𝑗)   1 (𝑖, 𝑗)   𝐼(𝑖, 𝑗)   0 (𝑖, 𝑗)

Proof of Theorem mamumat1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamumat1cl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		mamumat1cl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		mamumat1cl.o	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 20407	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
5		mamumat1cl.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	2, 5	ring0cl 20409	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
7	4, 6	ifcld 4532	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵)
8	1, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀)) → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵)
10	9	ralrimivva 3207	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑗 ∈ 𝑀 if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵)
11		mamumat1cl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
12	11	fmpo 8068	. . 3 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑗 ∈ 𝑀 if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵 ↔ 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
13	10, 12	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
14	2	fvexi 6896	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		mamumat1cl.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
16		xpfi 9292	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑀) ∈ Fin)
17	15, 15, 16	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑀) ∈ Fin)
18		elmapg 8841	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑀) ∈ Fin) → (𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)) ↔ 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵))
19	14, 17, 18	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)) ↔ 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵))
20	13, 19	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  Vcvv 3453  ifcif 4485   × cxp 5657  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418   ↑_m cmap 8829  Fincfn 8955  Basecbs 17305  0_gc0g 17528  1_rcur 20321  Ringcrg 20373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-plusg 17359  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-grp 19061  df-mgp 20275  df-ur 20322  df-ring 20375

This theorem is used by:  mamulid  22664  mamurid  22665  matring  22666  mat1  22670