MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamumat1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamumat1cl 21584
Description: The identity matrix (as operation in maps-to notation) is a matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamumat1cl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamumat1cl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mamumat1cl.o 1 = (1r𝑅)
mamumat1cl.z 0 = (0g𝑅)
mamumat1cl.i 𝐼 = (𝑖𝑀, 𝑗𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
mamumat1cl.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
mamumat1cl (𝜑𝐼 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑀)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐵   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑗)   1 (𝑖,𝑗)   𝐼(𝑖,𝑗)   0 (𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mamumat1cl
StepHypRef Expression
1 mamumat1cl.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 mamumat1cl.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 mamumat1cl.o . . . . . . . 8 1 = (1r𝑅)
42, 3ringidcl 19803 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵)
5 mamumat1cl.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
62, 5ring0cl 19804 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
74, 6ifcld 4511 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵)
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵)
98adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑗𝑀)) → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵)
109ralrimivva 3117 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖𝑀𝑗𝑀 if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵)
11 mamumat1cl.i . . . 4 𝐼 = (𝑖𝑀, 𝑗𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
1211fmpo 7899 . . 3 (∀𝑖𝑀𝑗𝑀 if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
1310, 12sylib 217 . 2 (𝜑𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
142fvexi 6783 . . 3 𝐵 ∈ V
15 mamumat1cl.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
16 xpfi 9061 . . . 4 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑀) ∈ Fin)
1715, 15, 16syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑀 × 𝑀) ∈ Fin)
18 elmapg 8609 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑀) ∈ Fin) → (𝐼 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑀)) ↔ 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵))
1914, 17, 18sylancr 587 . 2 (𝜑 → (𝐼 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑀)) ↔ 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵))
2013, 19mpbird 256 1 (𝜑𝐼 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wral 3066  Vcvv 3431  ifcif 4465   × cxp 5587  wf 6427  cfv 6431  (class class class)co 7269  cmpo 7271  m cmap 8596  Fincfn 8714  Basecbs 16908  0gc0g 17146  1rcur 19733  Ringcrg 19779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8479  df-map 8598  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-sets 16861  df-slot 16879  df-ndx 16891  df-base 16909  df-plusg 16971  df-0g 17148  df-mgm 18322  df-sgrp 18371  df-mnd 18382  df-grp 18576  df-mgp 19717  df-ur 19734  df-ring 19781
This theorem is referenced by:  mamulid  21586  mamurid  21587  matring  21588  mat1  21592
  Copyright terms: Public domain W3C validator