MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamumat1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamumat1cl 22424
Description: The identity matrix (as operation in maps-to notation) is a matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamumat1cl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamumat1cl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mamumat1cl.o 1 = (1r𝑅)
mamumat1cl.z 0 = (0g𝑅)
mamumat1cl.i 𝐼 = (𝑖𝑀, 𝑗𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
mamumat1cl.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
mamumat1cl (𝜑𝐼 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑀)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐵   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑗)   1 (𝑖,𝑗)   𝐼(𝑖,𝑗)   0 (𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mamumat1cl
StepHypRef Expression
1 mamumat1cl.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 mamumat1cl.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 mamumat1cl.o . . . . . . . 8 1 = (1r𝑅)
42, 3ringidcl 20240 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵)
5 mamumat1cl.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
62, 5ring0cl 20241 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
74, 6ifcld 4578 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵)
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵)
98adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑗𝑀)) → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵)
109ralrimivva 3190 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖𝑀𝑗𝑀 if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵)
11 mamumat1cl.i . . . 4 𝐼 = (𝑖𝑀, 𝑗𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
1211fmpo 8081 . . 3 (∀𝑖𝑀𝑗𝑀 if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
1310, 12sylib 217 . 2 (𝜑𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
142fvexi 6914 . . 3 𝐵 ∈ V
15 mamumat1cl.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
16 xpfi 9355 . . . 4 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑀) ∈ Fin)
1715, 15, 16syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (𝑀 × 𝑀) ∈ Fin)
18 elmapg 8867 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑀) ∈ Fin) → (𝐼 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑀)) ↔ 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵))
1914, 17, 18sylancr 585 . 2 (𝜑 → (𝐼 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑀)) ↔ 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵))
2013, 19mpbird 256 1 (𝜑𝐼 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  Vcvv 3461  ifcif 4532   × cxp 5679  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7423  cmpo 7425  m cmap 8854  Fincfn 8973  Basecbs 17208  0gc0g 17449  1rcur 20159  Ringcrg 20211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8856  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12260  df-2 12322  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-plusg 17274  df-0g 17451  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-grp 18926  df-mgp 20113  df-ur 20160  df-ring 20213
This theorem is referenced by:  mamulid  22426  mamurid  22427  matring  22428  mat1  22432
  Copyright terms: Public domain W3C validator